初等數(shù)學(xué)研究課件

1.1數(shù)系的擴(kuò)充

2021/6/271“數(shù)系”的歷史擴(kuò)展與邏輯擴(kuò)展過(guò)程不同

“數(shù)學(xué)史上這一系列事件的發(fā)生順序是耐人尋味的，數(shù)學(xué)家們并不是按照先整數(shù)、分?jǐn)?shù)，然后無(wú)理數(shù)、復(fù)數(shù)、代數(shù)學(xué)和微積分的順序，而是按照相反的順序與它們打交道的．看來(lái)，他們進(jìn)行邏輯化的工作是極不情愿的．”

M.Kline《數(shù)學(xué)——確定性的喪失》2021/6/272數(shù)學(xué)教育研究表明，人們認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)比起認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)要容易些．但是，歷史有獨(dú)特的自身發(fā)展邏輯．事實(shí)上，當(dāng)人們還普遍懷疑負(fù)整數(shù)也是一種數(shù)時(shí)，人們就已經(jīng)在研究正的有理數(shù)與無(wú)理數(shù)，甚至已經(jīng)開始使用復(fù)數(shù)了．2021/6/273“數(shù)系”的歷史擴(kuò)展途徑“數(shù)系”的邏輯擴(kuò)展途徑2021/6/274新數(shù)產(chǎn)生的原因數(shù)是抽象思維的產(chǎn)物．真正與實(shí)體直接相關(guān)的、用日常生活經(jīng)驗(yàn)可以獲得的數(shù)，只有自然數(shù)．其他的數(shù)，都需要進(jìn)行理性思考才能獲得．?dāng)?shù)的概念產(chǎn)生于對(duì)實(shí)物的計(jì)量．在漫長(zhǎng)的史前時(shí)代，人類已經(jīng)認(rèn)識(shí)了抽象的自然數(shù)．隨著人類文明的進(jìn)步，數(shù)的概念從實(shí)體的測(cè)量發(fā)展為抽象的存在，如從正方形對(duì)角線的測(cè)量得到脫離經(jīng)驗(yàn)的“無(wú)理數(shù)”．接著是代數(shù)運(yùn)算的需要，因減法、開方運(yùn)算的需要產(chǎn)生了負(fù)數(shù)、無(wú)理數(shù)和復(fù)數(shù)．到了近代，“數(shù)”不再只是單個(gè)的量的表示，人們?yōu)榱俗非筮\(yùn)算的無(wú)矛盾性，接受了理想的“數(shù)”，包括復(fù)數(shù)、四元數(shù)、八元數(shù)等等．2021/6/275“新數(shù)”為何最初不被承認(rèn)？不能夠測(cè)量并非非有不可不能夠理解邏輯基礎(chǔ)不清楚2021/6/276“新數(shù)”為何最終獲得承認(rèn)？

“因?yàn)樵跀?shù)學(xué)中和在其他場(chǎng)合一樣，成功是最高法庭，任何人都得服從它的裁決.”

D.Hilbert《論無(wú)限》2021/6/277算法合理性是“新數(shù)”獲得承認(rèn)的主要原因算術(shù)到代數(shù)的演進(jìn)加速了數(shù)系的形成廣泛的應(yīng)用促進(jìn)廣泛的承認(rèn)“理想數(shù)”的思想2021/6/2781.2數(shù)系的構(gòu)造理論

2021/6/2791.2.1自然數(shù)的定義自然數(shù)嚴(yán)格的抽象定義是由peano公理給出的，它刻畫了自然數(shù)的本質(zhì)屬性，并導(dǎo)出了有關(guān)自然數(shù)的所有運(yùn)算和性質(zhì)。Peano公理陳述如下：（1）0是自然數(shù)；（2）每個(gè)自然數(shù)都有一個(gè)后繼，a的后繼記為a+；（3）沒(méi)有自然數(shù)的后繼為0；（4）不同的自然數(shù)有不同的后繼，即若a+=b+，則a=b；（5）（歸納公理）如果0有某個(gè)屬性，而且若自然數(shù)a有該屬性則a+也有該屬性，那么所有自然數(shù)都有該屬性。2021/6/2710例設(shè)m∈N,m≠0,那么，必有n∈N使得

n+=m

證明設(shè)集合A由所有這樣的自然數(shù)組成：它是某個(gè)自然數(shù)的后繼.設(shè)S={0}∪A.

顯然,0∈S.若x∈S,由A的定義有x+∈A,因而x+∈S.

由歸納公理知,S=N.

因此，若m∈N,m≠0,就必有m∈A,即存在n∈N,使得n+=m.該例題表明：每個(gè)不為0的自然數(shù)必為某個(gè)自然數(shù)的后繼。2021/6/2711加法定義1自然數(shù)集N上的二元運(yùn)算“+”稱為加法，滿足條件：(1)對(duì)任何a∈N，a+0=a(2)對(duì)任何a,b∈Na+b+=(a+b)+

2021/6/2712例證明2+3=5證明：2+0=22+1=2+0+=(2+0)+=2+=32+2=2+1+=(2+1)+=3+=42+3=2+2+=(2+2)+=4+=52021/6/2713例對(duì)任何a∈N，證明0+a=a+0.證明：利用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)a=0時(shí)，結(jié)論顯然成立。假使a=n時(shí)，結(jié)論成立，即0+n=n+0，則當(dāng)a=n+時(shí)0+n+=(0+n)+=(n+0)+=n+=n++0

結(jié)論亦成立。2021/6/2714乘法定義2自然數(shù)集N上的二元運(yùn)算“?”稱為乘法，滿足條件：(1)對(duì)任何a∈N，a?0=0(2)對(duì)任何a,b∈Na?b+=(a?b)+a

2021/6/2715例證明a·3=a+a+a證明:a·0=0a·1=a·0+=(a·0)+a=0+a=a+0=aa·2=a·1+=(a·1)+a=a+aa·3=a·2+=(a·2)+a=a+a+a2021/6/2716運(yùn)算律定理2對(duì)任何a,b,c∈N有①加法交換律a+b=b+a②加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)③加法相消律若a+b=a+c,則b=c.

若b+a=c+a,則b=c.④乘法交換律a·b=b·a⑤乘法結(jié)合律(a·b)·c=a·(b·c)⑥乘法相消律若a≠0,a·b=a·c,則b=c.

若a≠0,b·a=c·a,則b=c.⑦乘法對(duì)加法分配律a·(b+c)=a·b+a·c(a+b)·c=a·c+b·c2021/6/2717代數(shù)結(jié)構(gòu)定理3自然數(shù)集關(guān)于加法和乘法都是一個(gè)可交換的半群，0是其零元，1是其單位元。0的負(fù)元是0，1的逆元是1，除此之外其他自然數(shù)都沒(méi)有負(fù)元和逆元。2021/6/2718減法加法的相消律保證我們可以定義加法的逆運(yùn)算——減法。定義3設(shè)a，b∈N，若存在x∈N，使x+b=a，則稱x=a-b.根據(jù)定義，有①(a-b)+b=a;②除零元之外其他自然數(shù)都沒(méi)有負(fù)元，這說(shuō)明在整數(shù)集上減法不具有封閉性。2021/6/2719例證明不存在x∈N，使得x+2=1成立.證明：反證法假使存在x∈N,滿足x+2=1,則(x+1)+=0+x+1=0(x+0)+=0x+=0

這與0不是任何自然數(shù)的后繼相矛盾。2021/6/2720除法乘法的相消律保證我們可以定義乘法的逆運(yùn)算——除法。定義4設(shè)a，b∈N,b≠0,若存在x∈N，使x·b=a，則稱x=.根據(jù)定義，有

除單位元之外其他自然數(shù)都沒(méi)有逆元，這說(shuō)明在自然數(shù)集上除法不具有封閉性。2021/6/2721例證明不存在x∈N，使得x·2=1成立.證明：反證法假使存在x∈N,滿足x·2=1,則

x+x=1

顯然x≠0,可設(shè)x=y+,所以

y++y+=1((y+y)+)+=0+

(y+y)+=0

這與0不是任何自然數(shù)的后繼相矛盾。2021/6/2722自然數(shù)的序關(guān)系定義5對(duì)給定的a,b∈N,若存在x∈N，使得b=a+x,則稱a≤b,或b≥a.定理5關(guān)系“≤”(≥)是自然數(shù)集上的全序關(guān)系，即滿足自反性、反對(duì)稱性、傳遞性和強(qiáng)連接性。定理6（最小自然數(shù)原理）(N,≤)是良序集，即N的每一個(gè)非空子集都有最小數(shù)。2021/6/2723定理7對(duì)任何a∈N,a≥0定理8若a,b,c∈N,則①當(dāng)a≤b時(shí)，a+c≤b+c②當(dāng)a≤b時(shí)，a·c≤b·c所以，“≤”(≥)是自然數(shù)集上的大小關(guān)系。2021/6/2724定義6若a≤b,且a≠b,則稱a<b,或b>a.定理9“<”(>)也是自然數(shù)集上的大小關(guān)系。定理10（阿基米德性質(zhì)）對(duì)于任意a，b∈N，a>0，總存在n∈N，使n?a>b.2021/6/27251.2.2從自然數(shù)到整數(shù)定義1N×N上的關(guān)系“~”規(guī)定如下：對(duì)于任意(a,b),(c,d)∈N×N,如果a+d＝b+c,則稱(a,b)~(c,d).定理1：關(guān)系“~”是N×N上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，即滿足自反性、對(duì)稱性和傳遞性。定義2：N×N按等價(jià)關(guān)系“~”劃分的等價(jià)類（以[(a,b)]表示(a,b)所屬的等價(jià)類）叫做整數(shù)，一切整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集，記為Z.2021/6/2726定理2設(shè)Z+={[(a,0)]|a∈N-{0}}Z-={[(0,a)]|a∈N-{0}}

則Z=Z+∪[(0,0)]∪Z-,且Z+,[(0,0)],Z-兩兩不相交.定義3稱Z+為正整數(shù)集，稱Z-為負(fù)整數(shù)集。2021/6/2727整數(shù)集上的運(yùn)算定義4（整數(shù)加法）整數(shù)集Z上的二元運(yùn)算加法“+”規(guī)定如下：對(duì)于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Z,[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]上述定義是合理的，可以證明Z中的加法運(yùn)算與等價(jià)類代表的選取無(wú)關(guān)。即若(a1,b1)~(a2,b2),(c1,d1)~(c2,d2),則(a1+c1,b1+d1)~(a2+c2,b2+d2).2021/6/2728定義5（整數(shù)乘法）整數(shù)集Z上的二元運(yùn)算加法“?”規(guī)定如下：對(duì)于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Z,[(a,b)]?[(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)]上述定義是合理的，可以證明Z中的乘法運(yùn)算與等價(jià)類代表的選取無(wú)關(guān)。即若(a1,b1)~(a2,b2),(c1,d1)~(c2,d2),則(a1c1+b1d1,a1d1+b1c1)~(a2c2+b2d2,a2d2+b2c2).2021/6/2729定理3對(duì)任何a,b,c∈Z有①加法交換律a+b=b+a②加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)③加法相消律若a+b=a+c,則b=c.

若b+a=c+a,則b=c.④乘法交換律a·b=b·a⑤乘法結(jié)合律(a·b)·c=a·(b·c)⑥乘法相消律若a≠[0,0],a·b=a·c,則b=c.

若a≠[0,0],b·a=c·a,則b=c.⑦乘法對(duì)加法分配律a·(b+c)=a·b+a·c(a+b)·c=a·c+b·c2021/6/2730定理4整數(shù)集是一個(gè)交換環(huán)，[(a,a)]是其零元，[(a+1,a)]是其單位元。[(a,b)]的負(fù)元是[(b,a)],單位元的逆元是自身，除此之外其他整數(shù)都沒(méi)有逆元。2021/6/2731減法加法的消去律保證我們可以定義加法的逆運(yùn)算——減法。定義6設(shè)a，b∈Z，若存在x∈Z，使x+b=a，則稱x=a-b.整數(shù)都有負(fù)元保證了整數(shù)集上減法的封閉性。2021/6/2732除法乘法的相消律保證我們可以定義乘法的逆運(yùn)算——除法。定義7設(shè)a，b∈Z,b≠[(0,0)],若存在x∈Z，使x·b=a，則稱x=.除單位元之外其他整數(shù)都沒(méi)有逆元，這說(shuō)明在整數(shù)集上除法不具有封閉性。2021/6/2733整數(shù)集上的序關(guān)系定義8對(duì)于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Z,如果a+d≤b+c,則稱[(a,b)]≤[(c,d)])定理5關(guān)系“≤”是整數(shù)集上的全序關(guān)系，即滿足自反性、反對(duì)稱性、傳遞性和強(qiáng)連接性。2021/6/2734定理6若a,b,c∈Z,則①當(dāng)a≤b時(shí)，a+c≤b+c②當(dāng)a≤b,[(0,0)]≤c時(shí)，a·c≤b·c所以，“≤”是整數(shù)集上的大小關(guān)系。2021/6/2735整數(shù)集是自然數(shù)集的擴(kuò)張定理7整數(shù)集Z是自然數(shù)集N的一個(gè)擴(kuò)張，即存在一個(gè)N到Z上的一個(gè)一一映射f，使得（1）對(duì)于任意a,b∈N,都有

f(a+b)=f(a)+f(b)f(a·b)=f(a)·f(b)（2）對(duì)于任意a,b∈N,若a≤b,則f(a)≤f(b).證明：構(gòu)造f:N→Z如下

f(a)=[(a,0)]

即可滿足定理要求。2021/6/2736因此，以后我們可以對(duì)a與[(a,0)]不加區(qū)別地使用，從而有Z+=N-{0}.

因?yàn)閇(0,a)]是[(a,0)]的負(fù)元，所以我們也用-a表示[(0,a)].2021/6/27371.2.3從整數(shù)到有理數(shù)記Z0=Z+∪Z-.定義1Z×Z0上的關(guān)系“~”規(guī)定如下：對(duì)于任意(a,b),(c,d)∈Z×Z0,如果ad＝bc,則稱(a,b)~(c,d).定理1：關(guān)系“~”是Z×Z上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，即滿足自反性、對(duì)稱性和傳遞性。定義2：Z×Z按等價(jià)關(guān)系“~”劃分的等價(jià)類（以[(a,b)]表示(a,b)所屬的等價(jià)類）叫做有理數(shù)，一切有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集，記為Q.2021/6/2738有理數(shù)集上的運(yùn)算定義3（有理數(shù)加法）有理數(shù)集Q上的二元運(yùn)算加法“+”規(guī)定如下：對(duì)于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Q,[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]上述定義是合理的，可以證明Q中的加法運(yùn)算與等價(jià)類代表的選取無(wú)關(guān)。即若(a1,b1)~(a2,b2),(c1,d1)~(c2,d2),則(a1d1+b1c1,b1d1)~(a2d2+b2c2,b2d2).2021/6/2739定義4（有理數(shù)乘法）有理數(shù)集Q上的二元運(yùn)算加法“?”規(guī)定如下：對(duì)于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Q,[(a,b)]?[(c,d)]=[(ac,bd)]上述定義是合理的，可以證明Q中的乘法運(yùn)算與等價(jià)類代表的選取無(wú)關(guān)。即若(a1,b1)~(a2,b2),(c1,d1)~(c2,d2),則(a1c1,b1d1)~(a2c2,b2d2).2021/6/2740定理2對(duì)任何a,b,c∈Q

有①加法交換律a+b=b+a②加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)③加法相消律若a+b=a+c,則b=c.

若b+a=c+a,則b=c.④乘法交換律a·b=b·a⑤乘法結(jié)合律(a·b)·c=a·(b·c)⑥乘法相消律若a≠[(0,1)],a·b=a·c,則b=c.

若a≠[(0,1)],b·a=c·a,則b=c.⑦乘法對(duì)加法分配律a·(b+c)=a·b+a·c(a+b)·c=a·c+b·c2021/6/2741定理3有理數(shù)集是一個(gè)域，[(0,a)]是其零元，[(a,a)]是其單位元。[(a,b)]的負(fù)元是[(-a,b)],[(a,b)]的逆元是[(b,a)].2021/6/2742減法加法的消去律保證我們可以定義加法的逆運(yùn)算—減法。定義5設(shè)a，b∈Q，若存在x∈Q，使x+b=a，則稱x=a-b.有理數(shù)都有負(fù)元保證了有理數(shù)集上減法的封閉性。2021/6/2743除法乘法的相消律保證我們可以定義乘法的逆運(yùn)算——除法。定義6設(shè)a，b∈Q,b≠[(0,1)],若存在x∈Q，使x·b=a，則稱x=.有理數(shù)都有逆元保證了有理數(shù)集上除法的封閉性。2021/6/2744有理數(shù)集上的序關(guān)系定義7對(duì)于任意[(a,b)],[(c,d)]∈Q,如果abd2≤cdb2,則稱[(a,b)]≤[(c,d)]).定理4關(guān)系“≤”是有理數(shù)集上的全序關(guān)系，即滿足自反性、反對(duì)稱性、傳遞性和強(qiáng)連接性。2021/6/2745定理5若a,b,c∈Q,則①當(dāng)a≤b時(shí)，a+c≤b+c②當(dāng)a≤b,[(0,1)]≤c時(shí)，a·c≤b·c所以，“≤”是有理數(shù)集上的大小關(guān)系。2021/6/2746有理數(shù)集是整數(shù)集的擴(kuò)張定理6有理數(shù)Q是整數(shù)集Z的一個(gè)擴(kuò)張，即存在一個(gè)Z到Q上的一個(gè)一一映射f，使得（1）對(duì)于任意a,b∈Z,都有

f(a+b)=f(a)+f(b)f(a·b)=f(a)·f(b)（2）對(duì)于任意a,b∈Z,若a≤b,則f(a)≤f(b).證明：構(gòu)造f:Z→Q如下

f(a)=[(a,1)]

即可滿足定理要求。2021/6/2747因此，以后我們可以對(duì)a與[(a,1)]不加區(qū)別地使用.因?yàn)閇(a,b)]=,所以我們也用表示[(a,b)].2021/6/27481.2.4實(shí)數(shù)的構(gòu)造有理數(shù)集的缺陷有理數(shù)域缺乏連續(xù)性有理數(shù)域雖是稠密的，但它未鋪滿數(shù)軸，中間還有空隙。它不能與直線等量齊觀，因?yàn)橹本€是連續(xù)的。有理數(shù)域缺乏完備性盡管有理數(shù)集是一個(gè)域，在加減乘除運(yùn)算下都封閉，但它在極限運(yùn)算下并不是一個(gè)封閉的數(shù)域。因?yàn)楸M管某些有理序列本身收斂（cauchy序列意義下），但在有理數(shù)范圍內(nèi)找不到一個(gè)極限值。正是對(duì)有理數(shù)域的缺陷兩方面的思考，康托爾從完備性要求出發(fā)，戴德金從連續(xù)性要求（完備性的幾何性質(zhì)）出發(fā)，同時(shí)洞悉了無(wú)理數(shù)的本質(zhì)，并得到了表示它們的兩種形式，奠定了實(shí)數(shù)的構(gòu)造理論。2021/6/2749Cantor構(gòu)造定義1記所有有理數(shù)Cauchy序列的集合為?.實(shí)際上，?2N×Q定義2?上的關(guān)系“~”規(guī)定如下：對(duì)于任意(rn),(Sn)∈?,如果,則稱(rn)~(Sn).定理1：關(guān)系“~”是?上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，即滿足自反性、對(duì)稱性和傳遞性。2021/6/2750定義3：?按等價(jià)關(guān)系“~”劃分的等價(jià)類（以[(rn)]表示(rn)所屬的等價(jià)類）叫做實(shí)數(shù)，一切實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集，記為R.2021/6/2751實(shí)數(shù)集上的運(yùn)算定義4（實(shí)數(shù)加法）實(shí)數(shù)集R上的二元運(yùn)算加法“+”規(guī)定如下：對(duì)于任意[(rn)],[(sn)]∈R,[(rn)]+[(sn)]=[(rn+sn)]上述定義是合理的，這需要證明若(rn),(sn)是有理數(shù)Cauchy序列,則(rn+sn)也是有理數(shù)Cauchy序列.R中的加法運(yùn)算與等價(jià)類代表的選取無(wú)關(guān)。即若(rn)~(xn),(sn)~(yn),則(rn+sn)~(xn+yn).2021/6/2752定義5（實(shí)數(shù)乘法）實(shí)數(shù)集R上的二元運(yùn)算乘法“?”規(guī)定如下：對(duì)于任意[(rn)],[(sn)]∈R,[(rn)]?[(sn)]=[(rn?sn)]上述定義是合理的，這需要證明若(rn),(sn)是有理數(shù)Cauchy序列,則(rn?sn)也是有理數(shù)Cauchy序列.R中的乘法運(yùn)算與等價(jià)類代表的選取無(wú)關(guān)。即若(rn)~(xn),(sn)~(yn),則(rn?sn)~(xn?yn).2021/6/2753定理2對(duì)任何a,b,c∈R有①加法交換律a+b=b+a②加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)③加法相消律若a+b=a+c,則b=c.

若b+a=c+a,則b=c.④乘法交換律a·b=b·a⑤乘法結(jié)合律(a·b)·c=a·(b·c)⑥乘法相消律若a≠[(0)],a·b=a·c,則b=c.

若a≠[(0)],b·a=c·a,則b=c.⑦乘法對(duì)加法分配律a·(b+c)=a·b+a·c(a+b)·c=a·c+b·c2021/6/2754定理3實(shí)數(shù)集是一個(gè)域，[(0)]是其零元，[(1)]是其單位元。[(rn)]的負(fù)元是[(-rn)],[(rn)](rn≠0)的逆元是[(1/rn)].2021/6/2755實(shí)數(shù)集上的序關(guān)系定義6對(duì)于任意[(rn)],[(sn)]∈R,如果存在有理數(shù)ε>0和自然數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，恒有rn+ε<

sn成立，則稱[(rn)]

[(sn)].

定義7對(duì)于任意[(rn)],[(sn)]∈R,如果[(rn)]

[(sn)]或[(rn)]=[(sn)],則稱[(rn)]≤[(sn)].

定理4關(guān)系“≤”是實(shí)數(shù)集上的全序關(guān)系，即滿足自反性、反對(duì)稱性、傳遞性和強(qiáng)連接性。2021/6/2756定理5若a,b,c∈R,則①當(dāng)a≤b時(shí)，a+c≤b+c②當(dāng)a≤b,[(0)]≤c時(shí)，a·c≤b·c所以，“≤”是實(shí)數(shù)集上的大小關(guān)系。2021/6/2757實(shí)數(shù)集是有理數(shù)集的擴(kuò)張定理6實(shí)數(shù)集R是有理數(shù)集Q的一個(gè)擴(kuò)張，即存在一個(gè)Q到R上的一個(gè)一一映射f，使得（1）對(duì)于任意a,b∈Q,都有

f(a+b)=f(a)+f(b)f(a·b)=f(a)·f(b)（2）對(duì)于任意a,b∈Q,若a≤b,則f(a)≤f(b).證明：構(gòu)造f:Q→R如下

f(a)=[(a)]

即可滿足定理要求。2021/6/2758定義8我們稱[(a)],a∈Q為有理數(shù)，其它實(shí)數(shù)稱為無(wú)理數(shù)。因此，以后我們對(duì)a與[(a)]可以不加區(qū)別地使用.2021/6/2759定義9實(shí)數(shù)的絕對(duì)值規(guī)定如下：對(duì)于任意a∈R,當(dāng)a≥0時(shí),|a|=a當(dāng)a≤0時(shí),|a|=-a.定義10設(shè)(rn)是實(shí)數(shù)序列，如果存在有理數(shù)r,使得對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)ε>0,都存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，恒有|rn-

r|<ε成立,那么就稱實(shí)數(shù)r是(rn)的極限，記為.2021/6/2760定義11設(shè)(rn)是實(shí)數(shù)序列，如果對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)ε>0,都存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n,m>N時(shí)，恒有|rn-

rm|<ε成立，那么就稱(rn)為一個(gè)實(shí)數(shù)Cauchy序列。定理7實(shí)數(shù)序列極限存在的充要條件是它是實(shí)數(shù)Cauchy序列。2021/6/2761Dedekind構(gòu)造定義1設(shè)A,BQ,二元組(A,B)稱為Dedekind分割,當(dāng)且僅當(dāng)滿足：1)A∪B=Q2)A∩B=?3)對(duì)于任意a∈A,b∈B,有a<b.

并稱集Ａ為分割的下類，集B為分割的上類。記所有Dedekind分割的集合為Θ.實(shí)際上，Θ2Q×2Q.2021/6/2762定理1Dedekind分割(A,B)只有下述三種情形：A無(wú)最大數(shù)，B有最小數(shù)。A無(wú)最大數(shù)，B無(wú)最小數(shù)。A有最大數(shù)，B無(wú)最小數(shù)。定義2下類沒(méi)有最大數(shù)的Dedekind分割叫做實(shí)數(shù)，一切實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集，記為R.上類有最小數(shù)的實(shí)數(shù)稱為有理數(shù)，上類沒(méi)有最小數(shù)的實(shí)數(shù)稱為無(wú)理數(shù)。2021/6/2763實(shí)數(shù)集上的序關(guān)系定義3對(duì)于任意[(A,B)],[(C,D)]∈R,如果AC,則稱[(A,B)]≤[(C,D)].

定理2關(guān)系“≤”是實(shí)數(shù)集上的全序關(guān)系，即滿足自反性、反對(duì)稱性、傳遞性和強(qiáng)連接性。2021/6/2764利用Dedekind分割定義實(shí)數(shù)集上的代數(shù)運(yùn)算比較復(fù)雜，請(qǐng)同學(xué)們自己試一試。2021/6/2765復(fù)數(shù)的定義定義1（復(fù)數(shù)的序偶定義）將有序的實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)稱為復(fù)數(shù)，并定義它們的運(yùn)算法則如下：定義2（復(fù)數(shù)的矩陣定義）將二階實(shí)數(shù)矩陣稱為復(fù)數(shù)．矩陣定義下復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則2021/6/2766定理1全體復(fù)數(shù)組成一個(gè)域.定理2復(fù)數(shù)集是完備的半序域．說(shuō)明：(復(fù)數(shù)的半序結(jié)構(gòu))兩個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi,w=c+di有半序關(guān)系z(mì)≤w，當(dāng)且僅當(dāng)a≤c,b≤d.

復(fù)數(shù)在這樣的半序關(guān)系下，加法是保序的，乘法（乘數(shù)為正數(shù)）也是保序的．按照復(fù)數(shù)的模作為距離，復(fù)數(shù)系是完備的，即復(fù)數(shù)的康托爾序列都收斂于一個(gè)復(fù)數(shù)．

2021/6/2767復(fù)數(shù)系還能再擴(kuò)充嗎？事實(shí)上，復(fù)數(shù)系還可以擴(kuò)充為四元數(shù)系、八元數(shù)系等．但是實(shí)數(shù)域上四元數(shù)系雖然是一個(gè)除環(huán)，但它的乘法并不滿足交換律，八元數(shù)系甚至連乘法的結(jié)合律都不再滿足，這些數(shù)系與傳統(tǒng)的數(shù)系的概念相去太遠(yuǎn)，我們不作討論．

2021/6/27682不等式

2021/6/2769重要不等式平均值不等式（正實(shí)數(shù)）變式2021/6/2770排序不等式

對(duì)于兩列數(shù)，反序元乘積之和≤亂序元乘積之和≤同序元乘積之和對(duì)于兩列正數(shù)，同序元和之乘積≤亂序元和之乘積≤反序元和之乘積注意：對(duì)于任何一個(gè)問(wèn)題，如果不失一般性，把涉及到的數(shù)按照大小順序排列，總可以滿足排序不等式的條件，因此排序不等式有廣泛的應(yīng)用。2021/6/2771推廣

對(duì)于多列正數(shù)，亂序元乘積之和≤同序元乘積之和同序元和之乘積≤亂序元和之乘積2021/6/2772推論：切比雪夫不等式若則2021/6/2773Cauchy不等式向量表示：2021/6/2774三角不等式向量表示：絕對(duì)值不等式分式不等式2021/6/2775不等式的證明綜合法與分析法利用重要不等式2021/6/2776利用Cauchy不等式證明不等式2021/6/2777證：得證問(wèn)題擴(kuò)展：在題設(shè)條件下，求的最小值2021/6/27782021/6/2779放縮法2021/6/27802021/6/2781放縮法常見的一些技巧：舍掉或加進(jìn)一些項(xiàng)放大或縮小分子或分母．運(yùn)用基本不等式利用函數(shù)單調(diào)性2021/6/2782構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造的函數(shù)通常有一次函數(shù)、二次函數(shù)、分式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等，證明過(guò)程中用函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)值的范圍，二次函數(shù)的判別式等．2021/6/27832021/6/2784構(gòu)造圖形2021/6/2785求證：對(duì)任何a>0，b>0，c>0，都有，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。

60obac60o2021/6/27862021/6/2787解不等式解不等式基本思路是，將超越不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式；將無(wú)理不等式轉(zhuǎn)化為有理不等式，將高次不等式轉(zhuǎn)化為低次不等式等．解不等式需要注意同解變形。若要解決的問(wèn)題不能統(tǒng)一處理（如含有參數(shù)）時(shí)，要按各種情況進(jìn)行分類討論，然后解相應(yīng)的不等式組。如果不等式的結(jié)構(gòu)可以通過(guò)某種方式與圖形建立起聯(lián)系，則可設(shè)法構(gòu)造圖形，將不等式所表達(dá)的抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形加以解決．2021/6/27882021/6/27892021/6/27902021/6/27912021/6/27923方程2021/6/2793方程的價(jià)值數(shù)學(xué)有“好”數(shù)學(xué)和“不太好”數(shù)學(xué)之分。方程，是“好”的數(shù)學(xué)的代表。（陳省身）方程的思想無(wú)所不在，方程的概念不斷發(fā)展。從經(jīng)典的代數(shù)方程到微分方程、積分方程，方程無(wú)疑是數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容之一。許多數(shù)學(xué)的進(jìn)步是隨著方程研究發(fā)展而發(fā)展的?？茖W(xué)的基本任務(wù)是由已知的數(shù)量計(jì)算未知的數(shù)量，由已知的前提推證未知的結(jié)論．這種計(jì)算或推理的問(wèn)題，也是方程的基本內(nèi)容．2021/6/2794一個(gè)方程的例子化學(xué)方程式配平，相當(dāng)于是解方程的過(guò)程。2021/6/2795方程的定義含有未知數(shù)的等式叫做方程．(目前中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中通用的方程定義)這個(gè)定義用的是“種＋屬差”的邏輯定義方式，即“它首先是等式”，再指出它是“含有未知數(shù)的”等式．由于它比較直觀、形象、簡(jiǎn)潔明了，便于初學(xué)者理解和掌握，能為大家所認(rèn)同和接受．外延很大，可包括一切形式的方程(組)甚至微分(積分)方程(只要把未知數(shù)、已知數(shù)擴(kuò)展為未知函數(shù)、已知函數(shù))缺憾：無(wú)法從中獲得方程的思想實(shí)質(zhì)——通過(guò)已知與未知的關(guān)系，認(rèn)識(shí)和研究未知。2021/6/2796方程定義教學(xué)中的問(wèn)題——分歧的焦點(diǎn)是：究竟是看重方程的邏輯定義，還是看重方程的思想方法．沒(méi)有哪一個(gè)學(xué)生是因?yàn)椤坝洸蛔∵@一定義”而不會(huì)解方程的。方程的邏輯定義，簡(jiǎn)單交代，不需深究．方程的思想需要特別關(guān)注．2021/6/2797一個(gè)真實(shí)的例子20世紀(jì)70年代，上海51中學(xué)的一位畢業(yè)生到和平飯店擔(dān)任電工．工作中，他發(fā)現(xiàn)12樓客房的室溫，和地下室設(shè)定的溫度有差異．他懷疑是地下室到12樓空調(diào)器的三根導(dǎo)線不一樣長(zhǎng)，造成電阻不同所致。但距離如此遠(yuǎn)，如何測(cè)知它們的電阻？2021/6/2798于是這位電工想到了數(shù)學(xué)，想到了方程．盡管單根電線的電阻很難測(cè)知，但是12樓上兩根電線連接起來(lái)，在地下室測(cè)量?jī)筛娋€的電阻卻是輕而易舉的．xyz2021/6/2799于是，他列出了以下的方程：可貴之處：測(cè)量電阻時(shí)能想到運(yùn)用方程思想求未知數(shù)．2021/6/27100形式化定義定義l形如f(xl,x2,…,xn)=g(xl,x2,…,xn)的等式叫做方程，變?cè)獂l,x2,…,xn稱為未知數(shù)，解析式f與g的定義域的交集叫做方程的定義域．多個(gè)n元方程的集合，叫做n元方程組．方程組中所有方程的定義域的交集叫做該方程組的定義域．定義2如果用定義域中有序數(shù)組(al,a2,…,an)取代n元方程(組)中相應(yīng)的未知數(shù)能使方程(組)中(每一個(gè))等式都成立，則該有序數(shù)組稱為方程(組)的一個(gè)解.方程(組)的所有解的集合叫做方程(組)的解集．上述定義的一個(gè)好處是確定了未知數(shù)的取值范圍．一次方程可以有整數(shù)解和有理數(shù)解的區(qū)別．高次方程的解有實(shí)數(shù)解和復(fù)數(shù)解的區(qū)別．2021/6/271012021/6/27102方程的同解變形定義

如果方程(1)的任何一個(gè)解都是方程(2)的解，并且方程(2)的任何一個(gè)解也是方程(1)的解，則方程(1)與(2)稱為同解方程．如果方程(1)的每一個(gè)解都是方程(2)的解，那么方程(2)稱為方程(1)的結(jié)果．約定:對(duì)于整式方程，僅當(dāng)它們相同的根還具有相同的次數(shù)時(shí)，才認(rèn)為它們是同解方程．如方程x-1=0與方程(x-1)2=0不被認(rèn)為是同解方程．為了求出方程或方程組的解，需要將方程不斷地變形，在保持它的解不變前提下的變形，稱為同解變形．2021/6/27103判斷：是否為同解變形？增根還是失根？2021/6/271042021/6/271052021/6/271062021/6/271072021/6/271082021/6/271092021/6/271102021/6/27111總結(jié)：一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)在方程兩端施行某一運(yùn)算，而這種運(yùn)算的逆運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果不是唯一確定的時(shí)候，便將得到與原方程不同解的方程。由于方程變形后，改變了（擴(kuò)大或縮?。┰匠痰亩x域，變形后的方程往往是不同解的。一個(gè)變形有可能既產(chǎn)生增根又產(chǎn)生失根（如：合分比變形雖可互逆，但對(duì)定義域既可能擴(kuò)大又可能縮?。?yīng)根據(jù)變形對(duì)方程不同的影響判斷是否有增根和失根．2021/6/27112剔除增根在方程變形過(guò)程中，把由原方程的結(jié)果得到的解代入原方程檢驗(yàn)滿足與否，以判斷是不是增解．在方程變形過(guò)程中，把原方程的定義域的擴(kuò)大部分中的數(shù)代入原方程檢驗(yàn)滿足與否，以判斷是不是增解．2021/6/27113找回失根在方程變形過(guò)程中，把原方程的定義域的縮小部分中的數(shù)代入原方程檢驗(yàn)滿足與否，以判斷是不是原方程的解．注：合分比變形雖可互逆，但對(duì)定義域既可能擴(kuò)大又可能縮小。2021/6/27114解決思路是化為缺項(xiàng)的三次方程，再作變換轉(zhuǎn)換為二次方程來(lái)求解。三次方程的解法2021/6/271152021/6/271162021/6/27117三次方程的判別式

2021/6/271182021/6/27119四次方程的解法方法一：用待定系數(shù)的方法設(shè)法將其化為二個(gè)二次因式的形式，再解二次方程．方法二：轉(zhuǎn)換為缺項(xiàng)的四次方程，再將缺項(xiàng)的四次方程轉(zhuǎn)換為三次方程，解出三次方程后，再求出四次方程的根．2021/6/271202021/6/271212021/6/271224.1函數(shù)2021/6/27123函數(shù)的價(jià)值18世紀(jì)以來(lái)，分析學(xué)一直占據(jù)著數(shù)學(xué)的核心地位，是數(shù)學(xué)的核心學(xué)科，從而把函數(shù)概念和方法置于整個(gè)數(shù)學(xué)的中心地位．許多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題都可以歸因于研究數(shù)量的變化過(guò)程，幾乎所有領(lǐng)域都有函數(shù)應(yīng)用的實(shí)例。日常生活的語(yǔ)言也引入了函數(shù)的許多詞匯。20世紀(jì)以來(lái)，世界各國(guó)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容從以解方程為中心轉(zhuǎn)到以研究函數(shù)為中心．函數(shù)的觀念已經(jīng)成為對(duì)公民素質(zhì)的基本要求，成為人們?cè)诂F(xiàn)代社會(huì)交往中必備的能力．2021/6/27124初等函數(shù)的重要性初等函數(shù)的研究是與微積學(xué)的研究結(jié)合在一起的。初等函數(shù)的使用面相當(dāng)廣泛，在建立描摹大自然的數(shù)學(xué)模型時(shí)，初等函數(shù)能夠基本上滿足需要．2021/6/27125舊函數(shù)，新意義對(duì)數(shù)的發(fā)明在于簡(jiǎn)化計(jì)算．20世紀(jì)中葉以后，計(jì)算機(jī)和計(jì)算器的普遍使用使得對(duì)數(shù)的這種計(jì)算功能幾乎完全廢棄．對(duì)數(shù)函數(shù)的現(xiàn)代意義是：作為一種數(shù)學(xué)模型，對(duì)數(shù)函數(shù)提供了緩增的類型．2021/6/27126最初引入三角函數(shù)是幾何學(xué)的需要，是為了處理三角形，其基本思想是使用比例手段定量地表示三角形邊角之間的關(guān)系．三角函數(shù)的重要，在于它的周期性．三角函數(shù)提供了周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型。三角函數(shù)的重要，還在于傅里葉發(fā)現(xiàn)：相當(dāng)廣闊的一類函數(shù)(許多實(shí)用的周期函數(shù))都可以展開為三角級(jí)數(shù)。2021/6/27127函數(shù)的定義變量說(shuō)：如果某些變量以如下方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后者變化時(shí)，前者本身也發(fā)生變化，則稱前一個(gè)變量是后一些變量的函數(shù)。(歐拉，1755)對(duì)應(yīng)(或映射)說(shuō)：我們假定Z是一個(gè)變量．如果對(duì)它的每一個(gè)值，都有未知量W的一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，則稱W是Z的函數(shù)。(黎曼，1851)關(guān)系說(shuō)：若X,Y是兩個(gè)集合，X×Y的任何子集S稱為它們之間的一種關(guān)系．如果關(guān)系F滿足：對(duì)于每一個(gè)x∈X，都存在唯一的一個(gè)y，使得(x,y)∈F，則稱關(guān)系F是一個(gè)函數(shù)．(布爾巴基學(xué)派，1939)2021/6/27128誰(shuí)更重要？“變量說(shuō)”建立在變量的基礎(chǔ)上，描述和強(qiáng)調(diào)了函數(shù)最重要的特性——變化，其優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀、自然，通俗易懂。任何人理解函數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，都是從觀察兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系入手的．因此“變量說(shuō)”是最樸素、最根本的，對(duì)于初學(xué)者也最容易接受。這種描述性的定義沒(méi)有突出函數(shù)的本質(zhì)——對(duì)應(yīng)關(guān)系。2021/6/27129“對(duì)應(yīng)說(shuō)”突出地反映了變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，它能夠微觀地、明確地指出因變量是如何隨著自變量的變化而變化的?！皩?duì)應(yīng)說(shuō)”抓住了函數(shù)的本質(zhì)。函數(shù)的本質(zhì)是變量之間的關(guān)系，而描述這種關(guān)系的正是“對(duì)應(yīng)”?！皩?duì)應(yīng)說(shuō)”建立在集合論的基礎(chǔ)上，更接近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，普適性強(qiáng)。但它沒(méi)能對(duì)“對(duì)應(yīng)”進(jìn)行嚴(yán)格刻畫，對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系的界定也不夠清楚。2021/6/27130“關(guān)系說(shuō)”沒(méi)有使用其他未經(jīng)定義的日常語(yǔ)言，完全用集合論的語(yǔ)言敘述。它通過(guò)外延定義徹底解決了對(duì)應(yīng)關(guān)系的界定問(wèn)題，是完全數(shù)學(xué)形式化的表述，便于更深入地理解函數(shù)本質(zhì)，也便于計(jì)算機(jī)接受，廣泛用于計(jì)算機(jī)科學(xué)中。但正是由于它過(guò)于形式化，抽去了函數(shù)關(guān)系的生動(dòng)直觀——變量變化及相互依賴關(guān)系的特征，看不見對(duì)應(yīng)關(guān)系的形式和規(guī)律（解析式），對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)不易理解和掌握。“關(guān)系說(shuō)”雖不適合放在中學(xué)教材中，但中學(xué)教師應(yīng)該掌握。2021/6/27131函數(shù)的發(fā)展古埃及、古巴比倫、古希臘、古印度、古代中國(guó)的數(shù)學(xué)中都研究過(guò)方程，但是都沒(méi)有形成函數(shù)的思想。函數(shù)概念的產(chǎn)生是16－17世紀(jì)由于人們對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的研究，特別是對(duì)天體運(yùn)動(dòng)的研究而開始的。Galileo（1564－1642）自由落體運(yùn)動(dòng)S=0.5gt2、斜拋運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線Descartes（1596－1650）最先提出了“變量”的概念Newton認(rèn)識(shí)到曲線是記錄了點(diǎn)的連續(xù)運(yùn)動(dòng)Leibniz最早使用“函數(shù)”這個(gè)詞，他用它表示任何一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)的變動(dòng)而變動(dòng)的量李善蘭在《代微積拾級(jí)》中譯為“函數(shù)”2021/6/27132函數(shù)的三種表示形式函數(shù)的表達(dá)方法很多，列表法，圖像法和解析式法，都可以表示函數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)所要研究的函數(shù)，一般是需要解析式的．建立函數(shù)模型，主要是找到解析式表示，才能通過(guò)論證和計(jì)算解決問(wèn)題．離散的數(shù)字表格，可以插值形成連續(xù)函數(shù)，圖像則可以用解析式逼近或數(shù)字近似．但并非所有的函數(shù)都能夠用算式表示．也存在一些變量之間的變化關(guān)系我們可能能夠感覺得到，卻無(wú)法用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)方法描摹出來(lái)．如統(tǒng)計(jì)報(bào)表，股票走勢(shì)圖等要尋求算式，但又不限于算式，是掌握函數(shù)概念的一部分．2021/6/271332021/6/27134函數(shù)與曲線、方程函數(shù)的圖象是曲線，曲線又可以看作是坐標(biāo)適合二元方程的點(diǎn)的軌跡，在上述意義下函數(shù)、曲線、方程沒(méi)有區(qū)別。這種統(tǒng)一性是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心思想，這樣幾何中的形與代數(shù)中的數(shù)就統(tǒng)一起來(lái)了，初中數(shù)學(xué)知識(shí)與高中數(shù)學(xué)知識(shí)也統(tǒng)一起來(lái)了。中學(xué)階段不必過(guò)分強(qiáng)調(diào)函數(shù)的圖象與方程的曲線之間的差異，而更應(yīng)該強(qiáng)調(diào)統(tǒng)一性。2021/6/27135復(fù)合函數(shù)中的定義域問(wèn)題門德榮.關(guān)于復(fù)合函數(shù)的教學(xué).數(shù)學(xué)通報(bào),1995,(9):12.本題目的實(shí)質(zhì)是“已知f[g(x)]的定義域求f(x)的定義域.2021/6/27136問(wèn)題1誰(shuí)對(duì)誰(shuí)錯(cuò)？2021/6/27137類似的病題2021/6/27138函數(shù)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間要求極大嗎？排他？例已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+1的增區(qū)間為[1,+∞)，求a的取值范圍解f(x)=x2-2ax+1=(x-a)2+1-a2其增區(qū)間為[a,+∞)

所以，a=1對(duì)嗎？為什么要引入單調(diào)區(qū)間的概念？不過(guò)是為了比較函數(shù)值的方便而已。與極大無(wú)關(guān)，當(dāng)然單調(diào)區(qū)間越大越有利。2021/6/27139函數(shù)單調(diào)性的幾個(gè)結(jié)論約定：兩個(gè)函數(shù)在所討論的區(qū)間里都是遞增的（或遞減的），就稱這兩個(gè)函數(shù)依同向變化；若其中一增一減，就稱這兩個(gè)函數(shù)依反向變化．則單調(diào)函數(shù)f(x)與函數(shù)f(x)＋c(c是常數(shù))依同向變化．單調(diào)函數(shù)f(x)與函數(shù)c·f(x)(c是常數(shù))，當(dāng)c>0時(shí)，依同向變化；當(dāng)c<0時(shí)，依反向變化．若兩個(gè)單調(diào)函數(shù)f1(x)與f2(x)依同向變化，則兩函數(shù)的和也和它們依同向變化．若兩個(gè)正值(或負(fù)值)單調(diào)函數(shù)f1(x)與f2(x)依同向變化，那么這兩函數(shù)的乘積與它們依同向(或反向)變化．單調(diào)函數(shù)f(x)與函數(shù)1/f(x)在f(x)不等于零的同號(hào)區(qū)間里依反向變化．單調(diào)函數(shù)f(x)和它的反函數(shù)f-1(x)依同向變化．如果單調(diào)函數(shù)f(x)和單調(diào)函數(shù)g(x)依同向(或反向)變化，那么復(fù)合函數(shù)f(g(x))是單調(diào)遞增(或遞減)的．2021/6/27140函數(shù)奇偶性與定義域的對(duì)稱性2021/6/27141函數(shù)奇偶性當(dāng)前的定義y=f(x)(x∈D)是奇函數(shù)

如果對(duì)于任意x∈D,都有f(x)=-f(-x)y=f(x)(x∈D)是偶函數(shù)

如果對(duì)于任意x∈D,都有f(x)=f(-x)定義隱含：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2021/6/271422021/6/27143函數(shù)奇偶性的幾個(gè)結(jié)論兩個(gè)奇(或偶)函數(shù)的代數(shù)和仍是奇(或偶)函數(shù)．兩個(gè)奇(或偶)函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)．如果奇函數(shù)的反函數(shù)存在，且定義在對(duì)稱于原點(diǎn)的數(shù)集上，那么這個(gè)反函數(shù)也是奇函數(shù)．奇(或偶)函數(shù)的倒數(shù)函數(shù)(分母不為零)仍為奇(或偶)函數(shù)．設(shè)函數(shù)y=f(g(x))定義在對(duì)稱于原點(diǎn)的數(shù)集上①若g(x)是奇函數(shù)，則當(dāng)f(x)是奇(或偶)函數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))也是奇(或偶)函數(shù)；②若g(x)是偶函數(shù)，則不論f(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))都是偶函數(shù)．2021/6/27144函數(shù)周期性的幾個(gè)結(jié)論如果T是函數(shù)f(x)的周期，那么-T也是f(x)的周期，而且對(duì)于任意的非零整數(shù)k,kT也是函數(shù)f(x)的周期．如果函數(shù)f(x)具有最小正周期T0,那么f(x)的任一正周期T一定是T0的正整數(shù)倍．周期函數(shù)的定義域一定是一個(gè)上下無(wú)界的無(wú)窮集．但并不一定就是R，例如函數(shù)tanx.并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，f(x)=c．2021/6/271454.2函數(shù)方程2021/6/27146函數(shù)方程含有未知函數(shù)的等式叫做函數(shù)方程，能使函數(shù)方程成立的函數(shù)叫做函數(shù)方程的解。如f(x+1)=x是函數(shù)方程，其解為函數(shù)f(x)=x-1f(x)=f(-x)是函數(shù)方程，其解為偶函數(shù)f(x)=-f(-x)是函數(shù)方程，其解為奇函數(shù)f(x)=f(x+2)是函數(shù)方程，其解為周期為2的周期函數(shù)微分方程也是函數(shù)方程2021/6/27147求解函數(shù)方程目前求解函數(shù)方程還沒(méi)有完備的理論和方法，其技巧性較強(qiáng)。在中學(xué)階段，解決這類問(wèn)題的一般方法是代入法（或代換法）。代入法（或代換法）包括換元法特值法（注意：很多時(shí)候的特值不失一般性）任何解方程都需要保證同解，既不能出現(xiàn)增根，也不能出現(xiàn)失根。采用代入法對(duì)函數(shù)方程的變形通常是不同解的，一般只是必要而非充分條件，因此函數(shù)方程一般在獲得解后需要代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)。2021/6/271482021/6/27149例已知f(x)的定義域?yàn)?，且求f(x)2021/6/27150例已知f(x)的定義域?yàn)?，且求f(x)2021/6/271512021/6/271522021/6/27153已知f·g及g求f的消參觀點(diǎn)——代入法的一個(gè)新觀點(diǎn)例已知f(x)的定義域?yàn)?，且，求f(x)解：由題意知，函數(shù)f(x)的圖象即下述參數(shù)方程決定的曲線消去參數(shù)x得，所以2021/6/27154

2021/6/27155所以解之，得2021/6/27156同理，得2021/6/271572021/6/271582021/6/27159經(jīng)檢驗(yàn)，原方程的解為2021/6/271602021/6/27161代入法基礎(chǔ)上的更深入的技巧遞歸法遞歸法多用于解決自然數(shù)集上的函數(shù)，即數(shù)列。遞歸法即將函數(shù)方程轉(zhuǎn)化為遞歸方程。爬山法——Cauchy法歷史上，Cauchy在解函數(shù)方程f(x+y)=f(x)+f(y)時(shí)，首先引進(jìn)了該方法。f(x+y)=f(x)+f(y)也稱為Cauchy函數(shù)方程，有許多函數(shù)方程都可化為該方程而獲解。爬山法解函數(shù)方程的基本步驟是：依次求自變量在自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集和實(shí)數(shù)集范圍內(nèi)時(shí)的函數(shù)值。運(yùn)用爬山法通常還要求所求函數(shù)是連續(xù)或者單調(diào)的。2021/6/271622021/6/27163解從而f(x-1)=f(x)-1解上述兩個(gè)遞歸方程，得當(dāng)x為正整數(shù)時(shí)，f(x)=2+(x-1)·1=x+1當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=2-1=1當(dāng)x為負(fù)整數(shù)時(shí)，f(x)=2+(-x+1)·(-1)=x+12021/6/271642021/6/271652021/6/271662021/6/27167一些錯(cuò)誤分析問(wèn)題1：門德榮,李艷芳.求f(x)的若干方法.數(shù)學(xué)通報(bào),1999,(1):16.2021/6/27168分析一個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題2021/6/271692021/6/27170問(wèn)題2：曾小鴻.淺析解函數(shù)方程的幾個(gè)誤區(qū).數(shù)學(xué)通訊,2001,(5):15.2021/6/27171例：已知f(x2)=x,求f(x)(x≥0)題意：已知f(x2)=x(對(duì)于任意x∈R),求f(x)解1（換元法）：解2（代入法）：2021/6/27172用參數(shù)法求解由題意知，函數(shù)f(x)的圖象即下述參數(shù)方程決定的曲線消去參數(shù)x得，它不是函數(shù)，所以原方程無(wú)解。2021/6/27173確定未知函數(shù)的性質(zhì)一般而言，如果并不總能對(duì)函數(shù)方程進(jìn)行求解，此時(shí)我們可能更為關(guān)心根據(jù)函數(shù)方程研究未知函數(shù)的性質(zhì)。在初等數(shù)學(xué)中,函數(shù)性質(zhì)主要包括奇偶性、單調(diào)性、周期性以及有界性等。確定未知函數(shù)性質(zhì)的基本方法也主要是代入法。2021/6/271741.(第32屆美國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)函數(shù)f(x)在x=0處沒(méi)有定義,但對(duì)所有非零實(shí)數(shù)x,有f(x)+2f(1/x)=3x.滿足方程f(x)=f(-x)的實(shí)數(shù)_____(A)恰有一個(gè)(B)恰有兩個(gè)(C)有無(wú)窮多個(gè)(D)不存在答案：B2.(1998年希望杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽高一第2試)函數(shù)f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,都滿足f(x+y2)=f(x)+2f2(y),且f(1)≠0,則f(1998)=_____答案：9992021/6/27175函數(shù)方程與函數(shù)性質(zhì)對(duì)于f(x)(x∈R)，下列命題都是顯然的，你能夠看出來(lái)嗎？f(a+x)=f(a-x)

f(x+a)是偶函數(shù)

f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱

f(2a-x)=f(x)f(a+x)=-f(a-x)

f(x+a)是奇函數(shù)

f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱

f(2a-x)=-f(x)f(a+x)=f(b-x)

f(x)關(guān)于直線x=(a+b)/2對(duì)稱f(a+x)=-f(b-x)

f(x)關(guān)于點(diǎn)((a+b)/2,0)中心對(duì)稱f(a+x)=f(b+x)

a-b為f(x)的周期f(a+x)=-f(b+x)2(a-b)為f(x)的周期2021/6/27176奇偶性合成周期性f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)2(a-b)為f(x)的周期f(a+x)=-f(a-x),f(b+x)=-f(b-x)2(a-b)為f(x)的周期f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=-f(b-x)4(a-b)為f(x)的周期f(x)f(x+a)=k(k≠0)2a為f(x)的周期2021/6/27177f(f(x))=x

f(x)可逆，且f(x)=f-1(x)

f(x)關(guān)于y=x對(duì)稱；2021/6/27178方程與不等式習(xí)題課2021/6/27179解下列方程（不要求得出結(jié)果）1.2.3.4.2021/6/271802021/6/271812021/6/271822021/6/27183一題多解2021/6/271842021/6/271852021/6/271862021/6/271872021/6/27188已知猜測(cè)x+y+z的結(jié)果是什么形式。求x+y+z2021/6/27189解法一2021/6/27190解法二2021/6/27191解法三猜測(cè)x+y+z可以寫作3x+7y+z與4x+10y+z的線性組合x+y+z=3(3x+7y+z)-2(4x+10y+z)2021/6/27192解法四矩陣解法．令將方程①②③聯(lián)立得一個(gè)三元非齊線性方程組，k存在即該方程組有解若系數(shù)矩陣秩為1，要使方程組有解，則相應(yīng)的增廣矩陣與系數(shù)矩陣秩相同，此時(shí)k或無(wú)解或有唯一值或取任意值。若系數(shù)矩陣秩為2，要使方程組有解，則相應(yīng)的增廣矩陣與系數(shù)矩陣秩相同，此時(shí)k或無(wú)解或有唯一值或取任意值。若系數(shù)矩陣秩為3，則方程組總有解，此時(shí)k可取任意值。2021/6/27193將方程①②③聯(lián)立得2021/6/27194解法五幾何解法①②表示兩個(gè)相交平面，而求解則是確定一個(gè)過(guò)交點(diǎn)上的點(diǎn)的平面（求k）若交線與上述平面平行（即相應(yīng)向量的混合積為0，亦即①②③聯(lián)立方程組的系數(shù)行