《振動力學(xué)（第三版）》課件 第3章 多自由度系統(tǒng)振動3

振

動

力

學(xué)

電子課件3.3多自由度系統(tǒng)固有特性的近似解法多自由度系統(tǒng)的自由振動的分析主要—環(huán)節(jié)：求解特征方程（頻率方程）的特征解（固有頻率）問題。求解方法有：特征多項式求根法；向量迭代法：矩陣迭代法；矩陣變換法：雅可比法，QR法，還有其他近似法：鄧柯萊法瑞雷法李茲法振型截斷法傳遞矩陣法（鏈狀結(jié)構(gòu)）3.3.1

鄧柯萊法主要思想：應(yīng)用柔度矩陣求得系統(tǒng)的特征方程為：展開上式：根據(jù)多項式的根與系數(shù)之間的關(guān)系：為取等式左邊最大一項保留：這就是鄧柯萊公式。注意：（1）的含義：即為解耦為單自由度，系統(tǒng)的自由振動微分方程組中ii方程式：的固有頻率為；（2）只求解基頻；（3）應(yīng)用此式得出的值恒低于的精確值。（4）根據(jù)應(yīng)用建立運動方程情況下，那么瑞雷法也可用來表示§4－2

瑞雷法單自由度系統(tǒng)的振動應(yīng)用機械能守恒定理對于多自由度系統(tǒng)的振動：注意：（1）主振型{A}未知，應(yīng)假設(shè)，假設(shè){A}與真實{A}不接近，誤差值即大。（2）假設(shè){A}不是一次，可能要二、三次使其逼近真實{A};（3）一般只求解基頻。例4-1已知，求得的精確值為，現(xiàn)用瑞雷法計算。由解：設(shè)一列陣則此值與p1值的相對誤差：若選取,則計算出此時取計算值中最小的p值注意：計算出的近似值皆高于精確值；從物理意義上看：任選一{A}意味著對系統(tǒng)施加了約束，即增加了系統(tǒng)的剛度，提高了p2；一般計算時可選取幾個{A}來求出p2，取最小值；瑞雷法一般只求基頻，不求高階頻率值。3.3.2

李茲法瑞雷法與鄧柯萊法兩者皆只求基頻的近似值。李茲法可求前幾階固有頻率及主振型的近似解。實質(zhì)上，它是一種縮減系統(tǒng)自由度數(shù)的近似解法。設(shè)有一個n個自由度系統(tǒng)，其廣義坐標(biāo)為：q1、q2、.....、qn記為{q}?，F(xiàn)采用李茲法時，即使自由度n個縮減到n1（n1<n),令含義：系統(tǒng)由原來獨立的n個坐標(biāo)組成的列陣{q}被強制了，即限制{q}必須是事先選定的n1個列陣{φ1}、{φ2}、.......、{φn}的線性組合，則系統(tǒng)的自由度只表現(xiàn)為n1個新坐標(biāo)x1、x2、........xn值的組合。李茲法求解步驟：（1）假設(shè)振型函數(shù)[φ];（2）根據(jù)拉格朗日方程建立運動微分方程，即計算廣義剛度矩陣廣義質(zhì)量矩陣n1個固有頻率：主振型：（6）對應(yīng){q}的前n1階主振型注意：精確值n1個值中。前個或個值比較接近精確值，后面的值誤差比較大；欲求n個自由度系統(tǒng)的前n階固有頻率及主振型的近似解，自由度數(shù)最好由n縮減到個。例4-2將等值桿體用聚縮質(zhì)量的方法離散化成優(yōu)先自由度系統(tǒng)，并用李茲法求桿件縱向振動第一階固有頻率及主振型的近似解。解：已知—單位體積的重量，A—截面面積，總質(zhì)量：每段質(zhì)量：每段之間的剛度系數(shù)：振動微分方程的建立：應(yīng)用李茲法求解：其矩陣形式為：令{x}=[φ]{y},選取由新坐標(biāo)，再建立系統(tǒng)的自由振動微分方程為：現(xiàn)計算求近似解的振動微分方程：令其特征（頻率）方程為即：對應(yīng)的為：則原坐標(biāo){x}的振型：3.3.3

傳遞矩陣法系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特點：鏈狀式：（1）圓盤軸系統(tǒng)；（2）梁的橫向振動思路：寫出質(zhì)點（圓盤）i與質(zhì)點i-1之間的狀態(tài)變量之間的關(guān)系。此關(guān)系式中的系數(shù)矩陣稱為傳遞矩陣。1、結(jié)構(gòu)的單元對于軸、盤系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)的單元其寫出的傳遞矩陣是二階2×2；對于梁的結(jié)構(gòu)的單元，其寫出的傳遞矩陣是四階4×4

；2、狀態(tài)變量軸盤系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)角扭矩梁的橫向振動系統(tǒng)擾度轉(zhuǎn)角彎矩剪力注意：（1）狀態(tài)變量：變形、內(nèi)力作為變量；（2）狀態(tài)變量符號表示，以圓盤或質(zhì)點為根據(jù)，右邊用上標(biāo)。3、單元的狀態(tài)變量之間的關(guān)系的建立軸盤系統(tǒng)（1）對盤：動靜法（受力狀態(tài)）:變形狀態(tài)：又設(shè)：狀態(tài)變量：表示右邊表示左邊方程式：盤左邊的狀態(tài)向量盤右邊的狀態(tài)向量第i盤左邊狀態(tài)傳遞到右邊狀態(tài)的傳遞的關(guān)系，此矩陣稱為點傳遞矩陣，簡稱點矩陣。（2）軸：軸只考慮彈性，其質(zhì)量分配到相鄰兩盤上，故無轉(zhuǎn)動慣量。受力狀態(tài)（靜態(tài)）：變形狀態(tài)：由材料力學(xué)知：以矩陣形式表示：i軸段右端的狀態(tài)向量i軸段左端的狀態(tài)向量第i軸段左邊到右邊狀態(tài)的傳遞關(guān)系，此矩陣稱為場傳遞矩陣，簡稱場矩陣（3）建立第i盤右邊的狀態(tài)向量與第i-1盤右邊狀態(tài)向量之間的關(guān)系。i盤右端的狀態(tài)向量第i-1盤右端的狀態(tài)向量第i軸段的傳遞矩陣（2×2階方陣即階為2）通式：*以此類推建立軸上其他各段的傳遞矩陣。從而由最左端→最右端的各盤狀態(tài)矢量之間的關(guān)系即可建立?？偟膫鬟f矩陣**應(yīng)用邊界條件的狀態(tài)向量，即求出軸盤系統(tǒng)的扭振的固有頻率及主振型。梁的橫向振動（1）點矩陣的建立受力狀態(tài)（動靜法）變形條件：以矩陣形式表示：點矩陣（4×4）(2)場矩陣的建立受力狀態(tài)（靜平衡）變形條件場矩陣（4×4）（3）傳遞矩陣的建立傳遞矩陣（4×4）若在質(zhì)量下面還有彈簧時，它只影響點矩陣。由受力圖可見，應(yīng)用動靜法：即在點矩陣中的處修改為3.3.4

矩陣迭代法動力矩陣假設(shè)的向量特征值原來的向量—迭代公式可求出固有頻率（任一階的）主振型。

計算步驟一、求第一階固有頻率及第一階主振型1.求動力矩陣：[D]=[δ][M][δ]=[K]-12.設(shè){A}1T={111......1}（經(jīng)驗式理論上），{A}1為初始列陣，視為n組主振型按一定比例組合而成；3、計算使歸一化使歸一化振型二、求第二階固有頻率及第二階主振型1.計算2.假設(shè)初始列陣,以后計算步驟同上。注意：初始列陣{A}選擇要恰當(dāng)；求低階固有頻率及主振型精確度較高；[δ]在半正定系統(tǒng)中不適合。即在剛體運動的情況，也即是p=0的情況，故此法不能用。另一種迭代形式：例

已知系統(tǒng)的