新教材2024-2025學年高中數(shù)學第1章預備知識測評北師大版必修第一冊

第一章測評一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.命題“?x∈N+,a≤x”的否定是()A.?x∈N+,a>x B.?x?N+,a>xC.?x∈N+,a>x D.?x?N+,a>x2.已知t=a+4b,s=a+b2+4,則t和s的大小關系是()A.t>s B.t≥sC.t<s D.t≤s3.設集合M={x|x2-3x≤0},N=x12<x<4,則M∩N=()A.x0≤x≤12 B.x12C.{x|3≤x<4} D.{x|0≤x<4}4.若關于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|-1<x<2},則能使不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax成立的x的集合為()A.{x|0<x<3} B.{x|x<0,或x>3}C.{x|x>3} D.{x|-2<x<1}5.命題“?x∈{x|1≤x≤3},有x2-a≤0”是真命題的一個充分不必要條件是()A.a≥9 B.a≥8C.a≥10 D.a≤106.若x>0,y>0且x+y=1,則下列結論正確的是 ()A.x+yB.xy的最小值是1C.x2+y2的最小值是2D.2x+7.已知a,b為正實數(shù),且ab-3(a+b)+8=0,則ab的取值范圍是()A.[2,4] B.(0,2]∪[4,+∞)C.[4,16] D.(0,4]∪[16,+∞)8.已知非空集合A,B滿意以下兩個條件:(1)A∪B={1,2,3,4,5,6},A∩B=?;(2)A的元素個數(shù)不是A中的元素,B的元素個數(shù)不是B中的元素,則有序集合對(A,B)的個數(shù)為()A.10 B.12 C.14 D.16二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.對于隨意實數(shù)a,b,c,d,有以下四個命題,其中為真命題的是()A.若a>b,c>d,則ac>bdB.若ac2>bc2,則a>bC.若a>b,則1D.若a>b,c>d,則a-d>b-c10.下列結論正確的是()A.“xy>0”是“xy>B.x2C.命題“?x>1,x2-x>0”的否定是“?x≤1,x2-x≤0”D.“一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點(1,0)”是“a+b+c=0”的充要條件11.若“x2+3x-4<0”是“x2-(2k+3)x+k2+3k>0”的充分不必要條件,則實數(shù)k可以是()A.-8 B.-5 C.1 D.412.當一個非空數(shù)集G滿意“隨意a,b∈G,則a+b,a-b,ab∈G,且b≠0時,ab∈G”時,我們稱G就是一個數(shù)域.以下關于數(shù)域的說法,其中正確的是(A.0是任何數(shù)域的元素B.若數(shù)域G有非零元素,則2022∈GC.集合P={x|x=2k,k∈Z}是一個數(shù)域D.任何一個數(shù)域的元素個數(shù)必為奇數(shù)三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.若集合A={-1,1},B={0,2},則集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素個數(shù)為.

14.若集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2-x+r=0},A∩B={-1},A∪B={-1,2},則r=,p+q=.

15.某省每年損失耕地20萬畝,每畝耕地價值24000元,為了減小耕地損失,確定按耕地價格的t%征收耕地占用稅,這樣每年的耕地損失可削減52t萬畝,為了既削減耕地的損失又保證此項稅收一年不少于9000萬元,t變動的范圍是16.已知x>0,y>0,求z=(x+2y)2x+4y甲、乙兩位同學分別給出了兩種不同的解法:甲:z=(x+2y)2x+4y=2+4乙:z=(x+2y)2x+4y≥22xy·28①你認為甲、乙兩人解法正確的是.

②請你給出一個類似的利用基本不等式求最值的問題,使甲、乙的解法都正確:

.

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)若bc-ad≥0,bd>0,求證:a+18.(12分)已知全集U=R,集合A={x|a<x≤a+2,a∈R},B={x|-1<x<3}.(1)若a=1,求(?UA)∩B;(2)若A∪B=B,求實數(shù)a的取值范圍.19.(12分)請在①充分不必要條件,②必要不充分條件,③充要條件這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,并解答.已知集合A={x|x2-4x-12≤0},B={x|x2-2x+1-m2≤0,m>0}.若x∈A是x∈B成立的,推斷實數(shù)m是否存在?若實數(shù)m存在,求出m的取值范圍;若不存在,說明理由.

注:假如選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.20.(12分)已知關于x的不等式x2-ax-2x+b<0.(1)若此不等式的解集為(-1,2),求a,b的值;(2)若b=2a,求該不等式的解集.21.(12分)第一機床廠投資A生產線500萬元,每萬元可創(chuàng)建利潤1.5萬元.該廠通過引進先進技術,在A生產線的投資削減了x(x>0)萬元,且每萬元創(chuàng)建的利潤變?yōu)樵瓉淼?1+0.005x)倍.現(xiàn)將在A生產線少投資的x萬元全部投入B生產線,且每萬元創(chuàng)建的利潤為1.5(a-0.013x)萬元,其中a>0.(1)若技術改進后A生產線的利潤不低于原來A生產線的利潤,求x的取值范圍;(2)若B生產線的利潤始終不高于技術改進后A生產線的利潤,求a的最大值.22.(12分)已知函數(shù)y=x2-2ax-1+a,a∈R.(1)若a=2,試求函數(shù)yx(x>(2)對于隨意的x∈[0,2],不等式y(tǒng)≤a成立,試求a的取值范圍.

參考答案第一章測評1.C2.Dt-s=4b-b2-4=-(b-2)2≤0,故t≤s.3.B因為M={x|x2-3x≤0}={x|0≤x≤3},N={x12<x<所以M∩N={x12<x≤3}4.B∵不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|-1<x<2},∴-1和2是方程ax2+bx+c=0的兩根且a<0,∴-ba=-1+2=1,ca∴b=-a,c=-2a,由a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax,得a(x2+1)-a(x-1)-2a<2ax,得ax2-3ax<0,∵a<0,∴x2-3x>0,∴x<0或x>3,∴不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集為{x|x<0,或x>3}.5.C當該命題是真命題時,只需當1≤x≤3時,a≥(x因為1≤x≤3時,y=x2的最大值是9,所以a≥9.因為a≥9推不出a≥10,a≥10?a≥9,所以C符合要求.A為充要條件,B為必要不充分條件,D為既不充分也不必要的條件.6.A由基本不等式得xy≤(x+y2)2=14,當且僅當x=y=12∵(x+y)2=x+y+2xy=1+2xy≤1+2×14=2,∴x∵x2+y2=(x+y)2-2xy=1-2xy≥1-2×14∴x2+y2有最小值12∵2x+1y=(2x+1y)(x+y)=3+2yx+xy≥3+2∴2x+1y有最小值3+7.D因為a,b為正實數(shù),則0=ab-3(a+b)+8≤ab-6ab+8,當且僅當a=b時,等號成立,即(ab-2)(ab-4)≥0,所以0<ab≤2或ab≥4,所以0<ab≤4或ab≥16,故ab的取值范圍是(0,4]∪[16,+∞).故選D.8.A依據(jù)條件,A的元素個數(shù)不是A中的元素,B的元素個數(shù)不是B中的元素.可知(1)當集合A只有1個元素時,集合B中有5個元素,1?A且5?B,此時僅有一種結果A={5},B={1,2,3,4,6};(2)當集合A有2個元素時,集合B中有4個元素,2?A且4?B,此時集合A中必有1個元素為4,集合B中必有1個元素為2,故有如下可能結果:①A={1,4},B={2,3,5,6};②A={3,4},B={1,2,5,6};③A={5,4},B={1,2,3,6};④A={6,4},B={1,2,3,5}.共計4種可能;(3)當集合A中有3個元素時,集合B中有3個元素,3?A,3?B,不符合條件;(4)當集合A中有4個元素時,集合B中有2個元素,此狀況與狀況(2)相同,只需A,B互換即可,共計4種可能;(5)當集合A中有5個元素時,集合B中有1個元素,此狀況與狀況(1)相同,只需A,B互換即可,共計1種可能.綜上所述,有序集合對(A,B)的個數(shù)為10.9.BDA選項:-3>-5,1>-4,但是-3×1<-5×(-4),A不正確;B選項:因為ac2>bc2成立,則c2>0,那么a>b,B正確;C選項:2>-3,但是12>-1D選項:因為c>d,所以-c<-d,又a>b,所以a-d>b-c,D正確.10.ADxy>0?xy>y=x2+9+1則y=t+1t,且在區(qū)間[3,+∞)上,函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大,最小值為3+1命題“?x>1,x2-x>0”的否定是“?x>1,x2-x≤0”,故C錯誤;一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點(1,0)明顯有a+b+c=0,反之亦可,故D正確.11.ACD由x2+3x-4<0,解得-4<x<1,令A={x|-4<x<1}.x2-(2k+3)x+k2+3k>0即(x-k)[x-(k+3)]>0,解得x<k,或x>k+3,令B={x|x<k,或x>k+3}.由題意知A?B,所以k≥1或k+3≤-4,即k∈(-∞,-7]∪[1,+∞).12.ABD當a=b時,由數(shù)域的定義可知,若a,b∈G,則有a-b∈G,即0∈G,故A正確;當a=b≠0時,由數(shù)域的定義可知,a,b∈G,則有ab∈G,即1∈G,若1∈G,則1+1=2∈G,則1+2=3∈G,…,則1+2024=2024∈G當a=2,b=4時,ab=1由0∈G,當b∈G且b≠0時,則-b∈G,因此只要這個數(shù)不為0,就肯定成對出現(xiàn),所以數(shù)域的元素個數(shù)必為奇數(shù),所以D正確.13.3A={-1,1},B={0,2},∵x∈A,y∈B,∴x=1或x=-1,y=0或y=2.則z=x+y的值可能是-1,1,3.故答案為3.14.-23由A∩B={-1},知-1∈B,∴(-1)2-(-1)+r=0,解得r=-2,∴B={x|x2-x-2=0}={-1,2},又A∪B={-1,2},A∩B={-1},∴A={x|x2+px+q=0}={-1},即方程x2+px+q=0有兩個相同的實數(shù)根-1,∴Δ=p2-4q=0,且(-1)2+p(-1)+q=0,解得p=2,q=1.所以p+q=3.15.[3,5]由題意知征收耕地占用稅后每年損失耕地為(20-52t)萬畝,則稅收收入為(20-52t)×24000×t由題意(20-52t)×24000×t整理得t2-8t+15≤0,解得3≤t≤5.∴當耕地占用稅率為3%~5%時,既可削減耕地損失又可保證一年稅收不少于9000萬元.∴t的范圍是[3,5].16.①甲②答案不唯一,合理即可.如:已知a>0,b>0,求z=(a+b)(1a+甲:z=(a+b)(1a+1b)=1乙:z=(a+b)(1a+1b)≥2ab·217.證明∵bc-ad≥0,bd>0,∴bc≥ad,1bd>∴bc·1bd≥ad·1bd,即∴cd+1≥ab∴c+dd18.解(1)當a=1時,集合A={x|1<x≤3},B={x|-1<x<3}.∴?UA={x|x≤1或x>3},故(?UA)∩B={x|-1<x≤1}.(2)∵A∪B=B,∴A?B,∴a解得-1≤a<1.∴實數(shù)a的取值范圍是[-1,1).19.解由x2-4x-12≤0得-2≤x≤6,故集合A={x|-2≤x≤6},由x2-2x+1-m2=0得x1=1-m,x2=1+m,因為m>0,故集合B={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.若選擇條件①,即x∈A是x∈B成立的充分不必要條件,則集合A是集合B的真子集,則有1-m≤所以,實數(shù)m的取值范圍是[5,+∞).若選擇條件②,即x∈A是x∈B成立的必要不充分條件,則集合B是集合A的真子集,則有1解得0<m≤3,所以實數(shù)m的取值范圍是(0,3].若選擇條件③,即x∈A是x∈B成立的充要條件,則集合A等于集合B,則有1-所以不存在滿意條件的實數(shù)m.20.解(1)由不等式的解集為(-1,2),可知方程x2-ax-2x+b=0的兩根為-1和2,得a解得a=-1,b=-2.(2)若b=2a,原不等式可化為x2-(a+2)x+2a<0;因此(x-a)(x-2)<0.①當a<2時,原不等式等價于a<x<2;②當a=2時,原不等式等價于(x-2)2<0,解集為空集;③當a>2時,原不等式等價于2<x<a.綜上所述:當a<2時,原不等式的解集為(a,2);當a=2時,原不等式的解集為空集;當a>2時,原不等式的解集為(2,a).21.解(1)由題意,得1.5(1+0.005x)(500-x)≥1.5×500,整理得x2-300x≤0,解得0≤x≤300,又x>0,故0<x≤300,即x的取值范圍為(0,300].(2)由題意知,B生產線的利潤為1.5(a-0.013x)x萬元,技術改進后A生產線的利潤為1.5(1+0.005x)(500-x)萬元,則1.5