四川省遂寧市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一診模擬考試文科試卷二含解析

Page18四川省遂寧市2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一診模擬考試文科試卷（二）滿分:150分時(shí)間:120分鐘一、單項(xiàng)選擇題（本題共12道小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求集合，再求集合交集與并集即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)不等式，集合交并集運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)滿意，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則干脆計(jì)算得到答案.【詳解】，故.故選：D3.人口普查是世界各國所廣泛實(shí)行的一種調(diào)查方法，依據(jù)人口普查的基本狀況，可以科學(xué)的探討制定社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、科教等各項(xiàng)發(fā)展政策，是國家科學(xué)決策的重要基礎(chǔ)工作.截止2024年6月，我國共進(jìn)行了七次人口普查，下圖是這七次人口普查的城鄉(xiāng)人數(shù)和增幅狀況，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.城鎮(zhèn)人口數(shù)逐次增加B.歷次人口普查中第七次普查城鎮(zhèn)人口最多C.城鎮(zhèn)人口比重逐次增加D.鄉(xiāng)村人口數(shù)逐次增加【答案】D【解析】【分析】依據(jù)給定的條形圖，結(jié)合選項(xiàng)，逐個(gè)判定，即可求解.【詳解】依據(jù)給定的條形圖，可得城鎮(zhèn)人口在逐年增加，所以A正確；從給定的條形圖象，可得再歷次人口普查中第七次普查城鎮(zhèn)人口最多的，所以B正確；從圖表中數(shù)據(jù)可得，七次人口普查中城鎮(zhèn)人口比重依次為，，可知城鎮(zhèn)人口比值逐次增加，所以C正確；由圖表，可得鄉(xiāng)村人口先增加后削減，所以D不正確.故選：D。4.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合．若角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】計(jì)算得到，依據(jù)三角函數(shù)定義計(jì)算得到答案.【詳解】，即，則，.故.故選：A5.執(zhí)行下側(cè)所示的程序框圖，輸出的值為（）A.30 B.70 C.110 D.140【答案】B【解析】【分析】依據(jù)程序框圖依次計(jì)算得到答案.【詳解】依據(jù)程序框圖得到：起先，；；；；；，結(jié)束.故選：B6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先依據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)解除B，再考慮當(dāng)且時(shí)，，解除A.再用特別值法解除C，即可得答案.【詳解】解：令，則函數(shù)定義域?yàn)?，且滿意，故函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，解除選項(xiàng)B；當(dāng)且時(shí)，，解除選項(xiàng)A；取特別值時(shí)，，解除選項(xiàng)C.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)解析式選函數(shù)圖象問題，考查函數(shù)的基本性質(zhì)，是中檔題.7.在正方體中，M，N分別為，的中點(diǎn)，則異面直線AM與CN所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取AB的中點(diǎn)G，連接，MN，GC，則，則（或其補(bǔ)角）就是異面直線與所成的角，運(yùn)用余弦定理可求出答案.【詳解】解：如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接，MN，GC，，分別為，的中點(diǎn)，所以，，所以，，所以四邊形AGNM是平行四邊形，所以，所以（或其補(bǔ)角）就是異面直線與所成的角，設(shè)正方體的棱長為2，則，所以，又，所以在中，，所以異面直線AM與CN所成角的余弦值為.故選：D.8.已知離心率為的雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則的方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由拋物線的焦點(diǎn)得到，再由雙曲線的離心率求得，即可得出的方程?！驹斀狻繏佄锞€的焦點(diǎn)為，所以雙曲線的，又因?yàn)殡p曲線的離心率為，則，則，，則的方程是：.故選：B.9.從1，2，3，4，5中隨機(jī)抽取三個(gè)數(shù)，則這三個(gè)數(shù)能成為一個(gè)三角形三邊長的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列舉出全部狀況，然后依據(jù)兩邊之和大于第三邊數(shù)出能構(gòu)成三角形的狀況，進(jìn)而得到答案.【詳解】5個(gè)數(shù)取3個(gè)數(shù)的全部狀況如下：{1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5；1,4,5；2,3,4；2,3,5；2,4,5；3,4,5}共10種狀況，而能構(gòu)成三角形的狀況有{2,3,4；2,4,5；3,4,5}共3種狀況，故所求概率.故選：C.10.雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，若直線與該雙曲線交于、兩點(diǎn)，為等腰直角三角形，則該雙曲線離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出，分析可得，可得出關(guān)于、、的齊次等式，由此可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】聯(lián)立，可得，則，易知點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，且為線段的中點(diǎn)，則，又因?yàn)闉榈妊苯侨切危?，，即，即，所以，，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：A.11.已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)．則的值為（）A.0 B. C.0或 D.0或【答案】D【解析】【分析】畫出的圖象，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】的圖象如下：其中若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)．則或當(dāng)時(shí)，三個(gè)零點(diǎn)為，故當(dāng)時(shí)，小于0的零點(diǎn)為，大于0的兩個(gè)零點(diǎn)之積為1，所以故選：D12.某四棱錐的底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為正方形中心，該四棱錐全部頂點(diǎn)都在半徑為的球上，當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，底面正方形所在平面截球的截面面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出圖形，可知四棱錐為正四棱錐，由勾股定理可得出，分析得出，可設(shè)，，其中，可得出，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值，求出的值，可得出的長，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，可知四棱錐為正四棱錐，設(shè)，則球心在直線上，設(shè)，，則，由勾股定理可得，即，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，則點(diǎn)在線段上，則，可設(shè)，，其中，，令，，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，此時(shí)，，則，因此，當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，底面正方形所在平面截球的截面面積是.故選：C.二、填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）13.已知向量，滿意，，則向量與的夾角為________．【答案】####【解析】【分析】依據(jù)條件求出坐標(biāo)，然后可得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以所以所以向量與的夾角為故答案為：14.若實(shí)數(shù)滿意約束條件，則的最大值為__________【答案】4【解析】【分析】作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線，平移該直線可得最優(yōu)解．【詳解】作出可行域如圖所示，作出直線，直線中表示直線的縱截距，向上平移該直線增大，由得，即，平移直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，.故答案為：4.15.若數(shù)列對(duì)隨意滿意：，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_________．【答案】【解析】【分析】本題首先可通過得出，然后兩式相減，得出，再然后依據(jù)得出，最終通過裂項(xiàng)相消法求和即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，兩式相減，得，，當(dāng)時(shí)，滿意，故，則，數(shù)列的前項(xiàng)和，故答案為：.16.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且直線與函數(shù)的圖象在上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得到，結(jié)合直線與函數(shù)的圖象在上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，列出方程組，即可求解.【詳解】令，可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，可得，因?yàn)椋獾?，又因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象在上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以，解得，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.三、解答題（本題共6道小題，共70分，寫出必要的文字說明與演算步驟）17.某項(xiàng)目建設(shè)過程中，發(fā)覺其補(bǔ)貼額x(單位：百萬元）與該項(xiàng)目的經(jīng)濟(jì)回報(bào)y(單位：千萬元）之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：補(bǔ)貼額x(單位：百萬元）23456經(jīng)濟(jì)回報(bào)y(單位：千萬元）2．5344．56（1）請(qǐng)依據(jù)上表所給的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回來直線方程；（2）請(qǐng)依據(jù)（1）中所得到的線性回來直線方程，預(yù)料當(dāng)補(bǔ)貼額達(dá)到8百萬元時(shí)該項(xiàng)目的經(jīng)濟(jì)回報(bào).參考公式：【答案】（1）（2）7.4千萬元【解析】【分析】（1）依據(jù)所給數(shù)據(jù)和公式算出答案即可；（2）當(dāng)時(shí)，算出的值即可.【小問1詳解】∵，．，．∴∴；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，．∴當(dāng)補(bǔ)貼額達(dá)到8百萬元時(shí)，該項(xiàng)日的經(jīng)濟(jì)回報(bào)為7.4千萬元．18.在中，a，b，c分別為角A?B?C的對(duì)邊，.（1）求A；（2）若角A的平分線AD交BC于D，且BD=2DC，，求a.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解；（2）依據(jù)BD=2DC，由角平分線定理得到c=2b,再由，得到，再利用余弦定理求解.【小問1詳解】解：因?yàn)?，所?，即，即，所以，因?yàn)?，所以；【小?詳解】因?yàn)榻茿的平分線AD交BC于D，且BD=2DC，由角平分線定理得：c=2b,又，即，所以，即，所以，由余弦定理得：，所以.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證:.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由利用得數(shù)列是等差數(shù)列，從而可得其通項(xiàng)公式；（2）由錯(cuò)位相減法求得和后結(jié)合單調(diào)性可證不等式成立．【小問1詳解】因?yàn)椋裕?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，其公差.由成等比數(shù)列，得，則，所以，所以;【小問2詳解】由題可知，所以，所以，兩式相減得，所以.所以，又，所以是遞增數(shù)列，，故.20.如圖，是的直徑，垂直于所在的平面，是圓周上異于的隨意一點(diǎn)，于，于.（1）證明：平面平面；（2）若，求三棱錐的體積的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）要想證明平面平面，即要證面，即要證，即要證面，即要證，即要證面，由題意可知，，故可證明出平面平面.（2）當(dāng)△的面積取最大值時(shí)，即為三棱錐的體積的最大值，即可得到答案.【小問1詳解】垂直于所在的平面，面，.是圓周上的點(diǎn)，故，面，面，面，，面，面，面，，面，面，平面，平面平面.【小問2詳解】三棱錐的體積.當(dāng)△的面積取最大值時(shí)，三棱錐的體積取得最大值，的最大值為，故.21.已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求a的值；（2）若，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由可得的值，再驗(yàn)證切點(diǎn)坐標(biāo)也滿意條件；（2）由，知要證也即證，設(shè)，求出導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，得出其最值可證明.【小問1詳解】，則解得又，，可得綜上小問2詳解】由，知要證即證也即證設(shè)，則，再令，，所以在上單調(diào)遞增，又則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以所以成立，即成立.選做題（多做或做錯(cuò)，均依據(jù)第一題計(jì)分）22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程與曲線C的一般方程；（2）已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（-1，3），直線l與曲線C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求|AE|·|AF|的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）消去參數(shù)得曲線的一般方程，由題得，化成直角坐標(biāo)方程即得解；（2）先寫出直線的參數(shù)方程，再利用直線參數(shù)方程的幾何意義結(jié)合韋達(dá)定理求解.【小問1詳解】解：由曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)，得曲線的一般方程為.由得，所以，∴直線的直角坐標(biāo)方程為.【小問2詳解】解：設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點(diǎn)在直線上，將直線的參數(shù)方程代入曲線的一般方程，整理可得（*）.設(shè)是方程（*）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根...23.已知函數(shù)=|x-1|+2|