2025屆天津市一中高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆天津市一中高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．有一圓柱狀有蓋鐵皮桶（鐵皮厚度忽略不計(jì)），底面直徑為cm，高度為cm，現(xiàn)往里面裝直徑為cm的球，在能蓋住蓋子的情況下，最多能裝（）（附：）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)2．已知滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．3．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．4．已知各項(xiàng)都為正的等差數(shù)列中，，若，，成等比數(shù)列，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，將的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變；再把所得圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若，則的值可能為（）A． B． C． D．6．如圖，棱長(zhǎng)為的正方體中，為線段的中點(diǎn)，分別為線段和棱上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，且a?α，b?β，aβ，bα，則“ab“是“αβ”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．9．已知平面向量，，，則實(shí)數(shù)x的值等于（）A．6 B．1 C． D．10．設(shè)是虛數(shù)單位，，，則（）A． B． C．1 D．211．若復(fù)數(shù)滿足，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，則（）A．1 B．0 C． D．12．已知焦點(diǎn)為的拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則當(dāng)取得最大值時(shí)，直線的方程為（）A．或 B．或 C．或 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)列滿足遞推公式，且，則___________.14．若函數(shù)，則使得不等式成立的的取值范圍為_(kāi)________.15．三對(duì)父子去參加親子活動(dòng)，坐在如圖所示的6個(gè)位置上，有且僅有一對(duì)父子是相鄰而坐的坐法有________種（比如：B與D、B與C是相鄰的，A與D、C與D是不相鄰的）.16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則滿足的正整數(shù)的值為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，已知．（1）求的值；（2）若，求的面積．18．（12分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱．連接．求證：存在實(shí)數(shù)，使得成立．19．（12分）已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)的值.20．（12分）設(shè)實(shí)數(shù)滿足.（1）若，求的取值范圍；（2）若，，求證：.21．（12分）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的周長(zhǎng)是否有最大值？如果有，求出這個(gè)最大值，如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（10分）某房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商在其開(kāi)發(fā)的某小區(qū)前修建了一個(gè)弓形景觀湖．如圖，該弓形所在的圓是以為直徑的圓，且米，景觀湖邊界與平行且它們間的距離為米．開(kāi)發(fā)商計(jì)劃從點(diǎn)出發(fā)建一座景觀橋（假定建成的景觀橋的橋面與地面和水面均平行），橋面在湖面上的部分記作．設(shè)．（1）用表示線段并確定的范圍；（2）為了使小區(qū)居民可以充分地欣賞湖景，所以要將的長(zhǎng)度設(shè)計(jì)到最長(zhǎng)，求的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

計(jì)算球心連線形成的正四面體相對(duì)棱的距離為cm，得到最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為cm，得到不等式，計(jì)算得到答案.【詳解】由題意，若要裝更多的球，需要讓球和鐵皮桶側(cè)面相切，且相鄰四個(gè)球兩兩相切，這樣，相鄰的四個(gè)球的球心連線構(gòu)成棱長(zhǎng)為cm的正面體，易求正四面體相對(duì)棱的距離為cm，每裝兩個(gè)球稱為“一層”，這樣裝層球，則最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為cm，若想要蓋上蓋子，則需要滿足，解得，所以最多可以裝層球，即最多可以裝個(gè)球．故選：【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱和球的綜合問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.2、C【解析】

設(shè)，則的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的斜率，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】解：設(shè)，則的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的斜率，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由圖可知當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線平行于軸時(shí)，此時(shí)成立；取所有負(fù)值都成立；當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取正值中的最小值，，此時(shí)；故的取值范圍為；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的非線性目標(biāo)函數(shù)函數(shù)問(wèn)題，解題時(shí)作出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解是解題關(guān)鍵．對(duì)于直線斜率要注意斜率不存在的直線是否存在．3、B【解析】

由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，由此求出四棱錐的體積．【詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，畫(huà)出四棱錐的直觀圖，如圖所示：則該四棱錐的體積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．4、A【解析】試題分析：設(shè)公差為或（舍），故選A.考點(diǎn)：等差數(shù)列及其性質(zhì).5、C【解析】

利用二倍角公式與輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)，然后利用圖象變換規(guī)律得出函數(shù)的解析式為，可得函數(shù)的值域?yàn)?，結(jié)合條件，可得出、均為函數(shù)的最大值，于是得出為函數(shù)最小正周期的整數(shù)倍，由此可得出正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)，將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，得的圖象；再把所得圖象向上平移個(gè)單位，得函數(shù)的圖象，易知函數(shù)的值域?yàn)?若，則且，均為函數(shù)的最大值，由，解得；其中、是三角函數(shù)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)，的值為函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍，且．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換，同時(shí)也考查了正弦型函數(shù)與周期相關(guān)的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于確定、均為函數(shù)的最大值，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.6、D【解析】

取中點(diǎn)，過(guò)作面，可得為等腰直角三角形，由，可得，當(dāng)時(shí)，最小，由，故，即可求解.【詳解】取中點(diǎn)，過(guò)作面，如圖：則，故，而對(duì)固定的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，最?。藭r(shí)由面，可知為等腰直角三角形，，故.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.7、D【解析】

根據(jù)面面平行的判定及性質(zhì)求解即可．【詳解】解：a?α，b?β，a∥β，b∥α，由a∥b，不一定有α∥β，α與β可能相交；反之，由α∥β，可得a∥b或a與b異面，∴a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，且a?α，b?β，a∥β，b∥α，則“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要條件．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，考查面面平行的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解析】構(gòu)造函數(shù)，令，則，由可得，則是區(qū)間上的單調(diào)遞減函數(shù)，且，當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.綜上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范圍是.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中．某些數(shù)學(xué)問(wèn)題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用．因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的．根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧．許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效．9、A【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】，，，，即，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于容易題.10、C【解析】

由，可得，通過(guò)等號(hào)左右實(shí)部和虛部分別相等即可求出的值.【詳解】解：，，解得：.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)相等的涵義.對(duì)于復(fù)數(shù)的運(yùn)算類問(wèn)題，易錯(cuò)點(diǎn)是把當(dāng)成進(jìn)行運(yùn)算.11、C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可．【詳解】解：∵，∴，則，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解析】

過(guò)作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，利用拋物線的定義可得，要使最大，則應(yīng)最大，此時(shí)與拋物線相切，再用判別式或?qū)?shù)計(jì)算即可.【詳解】過(guò)作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，最大，此時(shí)與拋物線相切，易知此時(shí)直線的斜率存在，設(shè)切線方程為，則.則，則直線的方程為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及到拋物線的定義，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2020【解析】

可對(duì)左右兩端同乘以得，依次寫(xiě)出，，，，累加可得，再由得，代入即可求解【詳解】左右兩端同乘以有，從而，，，，將以上式子累加得.由得.令，有.故答案為：2020【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式和累加法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題14、【解析】

分，兩種情況代入討論即可求解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，符合；當(dāng)時(shí)，，不滿足.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的計(jì)算，考查了分類討論的思想.15、192【解析】

根據(jù)題意，分步進(jìn)行分析：①，在三對(duì)父子中任選1對(duì)，安排在相鄰的位置上，②，將剩下的4人安排在剩下的4個(gè)位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分步進(jìn)行分析：①，在三對(duì)父子中任選1對(duì)，有3種選法，由圖可得相鄰的位置有4種情況，將選出的1對(duì)父子安排在相鄰的位置，有種安排方法；②，將剩下的4人安排在剩下的4個(gè)位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，有種安排方法，則有且僅有一對(duì)父子是相鄰而坐的坐法種；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16、6【解析】

已知，利用，求出通項(xiàng)，然后即可求解【詳解】∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴，故數(shù)列是首項(xiàng)為-2，公比為2的等比數(shù)列，∴.又，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查通項(xiàng)求解問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）由，利用余弦定理可得,結(jié)合可得結(jié)果；（2）由正弦定理，,利用三角形內(nèi)角和定理可得，由三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意，得.∵.∴,∵，∴.（2）∵，由正弦定理，可得.∵a>b，∴,∴.∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于中檔題.對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.18、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）由點(diǎn)可得,由,根據(jù)即可求解；（2）設(shè)直線的方程為,聯(lián)立可得,設(shè),由韋達(dá)定理可得,再根據(jù)直線的斜率公式求得；由點(diǎn)B與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,可設(shè),可求得,則,即可求證.【詳解】解:（1）由題意可知,,又,得,所以橢圓的方程為（2）證明:設(shè)直線的方程為，聯(lián)立,可得,設(shè),則有,因?yàn)?所以,又因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以,即,則有,由點(diǎn)在橢圓上,得,所以,所以,即，所以存在實(shí)數(shù),使成立【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線的斜率公式的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）把轉(zhuǎn)化成，令，由題意得，即證明恒成立，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求證即可（2）直接求導(dǎo)可得，，令，得或，故根據(jù)0與的大小關(guān)系來(lái)進(jìn)行分類討論即可【詳解】證明：（1）令，則.分析知，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.所以當(dāng)時(shí)，.所以，即，所以.所以當(dāng)時(shí)，.解：（2）因?yàn)?，所?討論：①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，故此時(shí)函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)為0；②當(dāng)時(shí)，令，得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.又極大值，所以極小值.當(dāng)時(shí)，有.又，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)還有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，令得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.又極小值，所以極大值.若，則，得，所以，所以當(dāng)且時(shí)，，故此時(shí)函數(shù)還有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.綜上，所求實(shí)數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的恒成立問(wèn)題和函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，本題的難點(diǎn)在于把導(dǎo)數(shù)化成因式分解的形式，如，進(jìn)而分類討論，本題屬于難題20、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）依題意可得，考慮到，則有再分類討論可得；（2）要證明，即證，即證.利用基本不等式即可得證；【