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河北省遵化市鄉(xiāng)村中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)一模試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,設(shè),則數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值時(shí)的值為()A.2020 B.20l9 C.2018 D.20172.2019年10月1日上午,慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年閱兵儀式在天安門(mén)廣場(chǎng)隆重舉行.這次閱兵不僅展示了我國(guó)的科技軍事力量,更是讓世界感受到了中國(guó)的日新月異.今年的閱兵方陣有一個(gè)很搶眼,他們就是院??蒲蟹疥?他們是由軍事科學(xué)院、國(guó)防大學(xué)、國(guó)防科技大學(xué)聯(lián)合組建.若已知甲、乙、丙三人來(lái)自上述三所學(xué)校,學(xué)歷分別有學(xué)士、碩士、博士學(xué)位.現(xiàn)知道:①甲不是軍事科學(xué)院的;②來(lái)自軍事科學(xué)院的不是博士;③乙不是軍事科學(xué)院的;④乙不是博士學(xué)位;⑤國(guó)防科技大學(xué)的是研究生.則丙是來(lái)自哪個(gè)院校的,學(xué)位是什么()A.國(guó)防大學(xué),研究生 B.國(guó)防大學(xué),博士C.軍事科學(xué)院,學(xué)士 D.國(guó)防科技大學(xué),研究生3.洛書(shū),古稱龜書(shū),是陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源,在古代傳說(shuō)中有神龜出于洛水,其甲殼上心有此圖象,結(jié)構(gòu)是戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,以五居中,五方白圈皆陽(yáng)數(shù),四角黑點(diǎn)為陰數(shù).如圖,若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽(yáng)數(shù)中分別隨機(jī)選取1個(gè)數(shù),則其和等于11的概率是().A. B. C. D.4.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若,則()A. B.6 C.4 D.55.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則()A.23 B.25 C.28 D.296.如圖所示,為了測(cè)量、兩座島嶼間的距離,小船從初始位置出發(fā),已知在的北偏西的方向上,在的北偏東的方向上,現(xiàn)在船往東開(kāi)2百海里到達(dá)處,此時(shí)測(cè)得在的北偏西的方向上,再開(kāi)回處,由向西開(kāi)百海里到達(dá)處,測(cè)得在的北偏東的方向上,則、兩座島嶼間的距離為()A.3 B. C.4 D.7.拋物線y2=ax(a>0)的準(zhǔn)線與雙曲線C:x28A.8 B.6 C.4 D.28.定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿足任意,有,且當(dāng)時(shí),.若函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.9.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為,且點(diǎn)到該漸近線的距離為,則雙曲線的實(shí)軸的長(zhǎng)為A. B.C. D.10.己知函數(shù)若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有2對(duì),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.11.下列幾何體的三視圖中,恰好有兩個(gè)視圖相同的幾何體是()A.正方體 B.球體C.圓錐 D.長(zhǎng)寬高互不相等的長(zhǎng)方體12.設(shè),則A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若雙曲線C:(,)的頂點(diǎn)到漸近線的距離為,則的最小值________.14.在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別是,若,,則____.15.已知集合,.若,則實(shí)數(shù)a的值是______.16.已知,如果函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在①,②,③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中.若問(wèn)題中的正整數(shù)存在,求的值;若不存在,說(shuō)明理由.設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,是等差數(shù)列,__________,,,,是否存在正整數(shù),使得成立?18.(12分)已知,函數(shù).(Ⅰ)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求的值;(Ⅱ)若恒成立,求的最大值.(參考數(shù)據(jù):)19.(12分)已知函數(shù),設(shè)為的導(dǎo)數(shù),.(1)求,;(2)猜想的表達(dá)式,并證明你的結(jié)論.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形,平面,是棱上的一點(diǎn),滿足平面.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)設(shè),,若為棱上一點(diǎn),使得直線與平面所成角的大小為30°,求的值.21.(12分)本小題滿分14分)已知曲線的極坐標(biāo)方程為,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),求直線被曲線截得的線段的長(zhǎng)度22.(10分)如圖,矩形和梯形所在的平面互相垂直,,,.(1)若為的中點(diǎn),求證:平面;(2)若,求四棱錐的體積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)題意計(jì)算,,,計(jì)算,,,得到答案.【詳解】是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,故,,,,故,當(dāng)時(shí),,,,,當(dāng)時(shí),,故前項(xiàng)和最大.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列和的最值問(wèn)題,意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.2、C【解析】
根據(jù)①③可判斷丙的院校;由②和⑤可判斷丙的學(xué)位.【詳解】由題意①甲不是軍事科學(xué)院的,③乙不是軍事科學(xué)院的;則丙來(lái)自軍事科學(xué)院;由②來(lái)自軍事科學(xué)院的不是博士,則丙不是博士;由⑤國(guó)防科技大學(xué)的是研究生,可知丙不是研究生,故丙為學(xué)士.綜上可知,丙來(lái)自軍事科學(xué)院,學(xué)位是學(xué)士.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了合情推理的簡(jiǎn)單應(yīng)用,由條件的相互牽制判斷符合要求的情況,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
基本事件總數(shù),利用列舉法求出其和等于11包含的基本事件有4個(gè),由此能求出其和等于11的概率.【詳解】解:從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽(yáng)數(shù)中分別隨機(jī)選取1個(gè)數(shù),基本事件總數(shù),其和等于11包含的基本事件有:,,,,共4個(gè),其和等于的概率.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算.【詳解】由題意.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.5、D【解析】
由可求,再求公差,再求解即可.【詳解】解:是等差數(shù)列,又,公差為,,故選:D【點(diǎn)睛】考查等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、運(yùn)算求解能力和推理論證能力,是基礎(chǔ)題.6、B【解析】
先根據(jù)角度分析出的大小,然后根據(jù)角度關(guān)系得到的長(zhǎng)度,再根據(jù)正弦定理計(jì)算出的長(zhǎng)度,最后利用余弦定理求解出的長(zhǎng)度即可.【詳解】由題意可知:,所以,,所以,所以,又因?yàn)?,所以,所?故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形中的角度問(wèn)題,難度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答問(wèn)題的關(guān)鍵.7、A【解析】
求得拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程,解得兩交點(diǎn),由三角形的面積公式,計(jì)算即可得到所求值.【詳解】拋物線y2=ax(a>0)的準(zhǔn)線為x=-a4,雙曲線C:x28-y24【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積的求法,注意運(yùn)用拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
由題意可得的周期為,當(dāng)時(shí),,令,則的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn),畫(huà)出圖像,數(shù)形結(jié)合,根據(jù),求得的取值范圍.【詳解】是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),滿足任意,,令,又,為周期為的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,當(dāng),當(dāng),作出圖像,如下圖所示:函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn),則的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn),,若,的圖像和的圖像只有1個(gè)交點(diǎn),不合題意,所以,的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn),則有,即,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用,解題過(guò)程中用到了數(shù)形結(jié)合方法,這也是高考常考的熱點(diǎn)問(wèn)題,屬于中檔題.9、B【解析】
雙曲線的漸近線方程為,由題可知.設(shè)點(diǎn),則點(diǎn)到直線的距離為,解得,所以,解得,所以雙曲線的實(shí)軸的長(zhǎng)為,故選B.10、B【解析】
考慮當(dāng)時(shí),有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,令,則有兩個(gè)不同的零點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在定理可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)榈膱D象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有2對(duì),所以時(shí),有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.令,則在有兩個(gè)不同的零點(diǎn).又,當(dāng)時(shí),,故在上為增函數(shù),在上至多一個(gè)零點(diǎn),舍.當(dāng)時(shí),若,則,在上為增函數(shù);若,則,在上為減函數(shù);故,因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn),所以,解得.又當(dāng)時(shí),且,故在上存在一個(gè)零點(diǎn).又,其中.令,則,當(dāng)時(shí),,故為減函數(shù),所以即.因?yàn)椋栽谏弦泊嬖谝粋€(gè)零點(diǎn).綜上,當(dāng)時(shí),有兩個(gè)不同的零點(diǎn).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),一般地,較為復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn),必須先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,再結(jié)合零點(diǎn)存在定理說(shuō)明零點(diǎn)的存在性,本題屬于難題.11、C【解析】
根據(jù)基本幾何體的三視圖確定.【詳解】正方體的三個(gè)三視圖都是相等的正方形,球的三個(gè)三視圖都是相等的圓,圓錐的三個(gè)三視圖有一個(gè)是圓,另外兩個(gè)是全等的等腰三角形,長(zhǎng)寬高互不相等的長(zhǎng)方體的三視圖是三個(gè)兩兩不全等的矩形.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查基本幾何體的三視圖,掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.12、C【解析】分析:利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則:分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),然后求解復(fù)數(shù)的模.詳解:,則,故選c.點(diǎn)睛:復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí),主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算.要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解,掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念,復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算,通過(guò)分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法,運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn),防止簡(jiǎn)單問(wèn)題出錯(cuò),造成不必要的失分.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)雙曲線的方程求出其中一條漸近線,頂點(diǎn),再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得,由,利用基本不等式即可求解.【詳解】由雙曲線C:(,,可得一條漸近線,一個(gè)頂點(diǎn),所以,解得,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),所以的最小值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式求最值,注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
由,根據(jù)正弦定理“邊化角”,可得,根據(jù)余弦定理,結(jié)合已知聯(lián)立方程組,即可求得角.【詳解】根據(jù)正弦定理:可得根據(jù)余弦定理:由已知可得:故可聯(lián)立方程:解得:.由故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求三角形的一個(gè)內(nèi)角,解題關(guān)鍵是掌握由正弦定理“邊化角”的方法和余弦定理公式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.15、9【解析】
根據(jù)集合交集的定義即得.【詳解】集合,,,,則a的值是9.故答案為:9【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集,是基礎(chǔ)題.16、【解析】
首先把零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題,等價(jià)于有三個(gè)零點(diǎn),兩側(cè)開(kāi)方,可得,即有三個(gè)零點(diǎn),再運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合最值即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),即零點(diǎn)有,顯然,則有,可得,即有三個(gè)零點(diǎn),不妨令,對(duì)于,函數(shù)單調(diào)遞增,,,所以函數(shù)在區(qū)間上只有一解,對(duì)于函數(shù),,解得,,解得,,解得,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)若有兩個(gè)零點(diǎn),則有,綜上可知,若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的零點(diǎn),恰當(dāng)?shù)拈_(kāi)方,轉(zhuǎn)化為函數(shù)有零點(diǎn)問(wèn)題,注意恰有三個(gè)零點(diǎn)條件的應(yīng)用,根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)的范圍,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、見(jiàn)解析【解析】
根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)及、,可求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,由即可求得的值;根據(jù)等式,變形可得,分別討論?、佗冖壑械囊粋€(gè),結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式代入化簡(jiǎn),檢驗(yàn)是否存在正整數(shù)的值即可.【詳解】∵在等差數(shù)列中,,∴,∴公差,∴,∴,若存在正整數(shù),使得成立,即成立,設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的公比為的公比為,若選①,∵,∴,∴,∴,∴當(dāng)時(shí),滿足成立.若選②,∵,∴,∴,∴,∴方程無(wú)正整數(shù)解,∴不存在正整數(shù)使得成立.若選③,∵,∴,∴,∴,∴解得或(舍去),∴,∴當(dāng)時(shí),滿足成立.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法,等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,遞推公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,補(bǔ)充條件后求參數(shù)的值,屬于中檔題.18、(Ⅰ);(Ⅱ)3.【解析】
(Ⅰ)先求導(dǎo),得,已知導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增,又在區(qū)間上單調(diào)遞增,故,令,求得,討論得,而,故,進(jìn)而得解;(Ⅱ)可通過(guò)必要性探路,當(dāng)時(shí),由知,又由于,則,當(dāng),,結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷必存在使得,得,,化簡(jiǎn)得,再由二次函數(shù)性質(zhì)即可求證;【詳解】(Ⅰ)的定義域?yàn)?易知單調(diào)遞增,由題意有.令,則.令得.所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.所以,而又有,因此,所以.(Ⅱ)由知,又由于,則.下面證明符合條件.若.所以.易知單調(diào)遞增,而,,因此必存在使得,即.且當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;則.綜上,的最大值為3.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性和最值,屬于中檔題19、,;,證明見(jiàn)解析【解析】
對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),并通過(guò)三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得的表達(dá)式,對(duì)函數(shù)再進(jìn)行求導(dǎo)并通過(guò)三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得的表達(dá)式;根據(jù)中,的表達(dá)式進(jìn)行歸納猜想,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】(1),其中,[,其中,(2)猜想,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)時(shí),成立,②假設(shè)時(shí),猜想成立即當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),猜想成立由①②對(duì)成立【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、三角恒等變換、歸納與猜想和數(shù)學(xué)歸納法;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力;熟練掌握用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的步驟是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.20、(Ⅰ)證明見(jiàn)解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)由平面,可得,又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),即得證;(Ⅱ)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),計(jì)算平面的法向量,由直線與平面所成角的大小為30°,列出等式,即得解.【詳解】(Ⅰ)如圖,連接交于點(diǎn),連接,則是平面與平面的交線,因?yàn)槠矫?,故,又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以是的中點(diǎn),故.(Ⅱ)由條件可知,,所以,故以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸,為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,設(shè),則,設(shè)平面的法向量為,則,即,故取因?yàn)橹本€與平面所成角的大小為30°所以,即,解得,故此時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何和空間向量綜合,考查了學(xué)生邏輯推理,空間想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.21、【解析】解:解:將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為,即,它表示以為圓心,2為半徑圓,……
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