河北省遵化一中2025屆高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含解析

河北省遵化一中2025屆高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率等于()A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列中，若，則此數(shù)列中一定為0的是（）A． B． C． D．3．復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C．2 D．4．用1，2，3，4，5組成不含重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，要求數(shù)字4不出現(xiàn)在首位和末位，數(shù)字1，3，5中有且僅有兩個數(shù)字相鄰，則滿足條件的不同五位數(shù)的個數(shù)是（）A．48 B．60 C．72 D．1205．已知實數(shù)、滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C． D．6．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．7．曲線上任意一點處的切線斜率的最小值為（）A．3 B．2 C． D．18．做拋擲一枚骰子的試驗，當(dāng)出現(xiàn)1點或2點時，就說這次試驗成功，假設(shè)骰子是質(zhì)地均勻的.則在3次這樣的試驗中成功次數(shù)X的期望為（）A．13 B．19．已知三棱錐中，是等邊三角形，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．10．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A．5 B． C． D．-511．下圖是來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊、直角邊，已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為，記，則（）A． B． C．1 D．12．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過且斜率為的直線交拋物線于兩點，為的焦點若的面積等于的面積的2倍，則的值為___________.14．已知向量，，若，則______.15．正四棱柱中，，.若是側(cè)面內(nèi)的動點，且，則與平面所成角的正切值的最大值為___________.16．已知雙曲線(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱柱中，平面，，，分別為，的中點.（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城”過程中，運城市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況，進行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次)，通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的人的得分統(tǒng)計結(jié)果如表所示：.組別頻數(shù)（1）由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分似為這人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)，利用該正態(tài)分布，求；（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：①得分不低于的可以獲贈次隨機話費，得分低于的可以獲贈次隨機話費；②每次獲贈的隨機話費和對應(yīng)的概率為：贈送話費的金額(單位：元)概率現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記(單位：元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：參考數(shù)據(jù)與公式：，若，則，，19．（12分）如圖為某大江的一段支流，岸線與近似滿足∥，寬度為．圓為江中的一個半徑為的小島，小鎮(zhèn)位于岸線上，且滿足岸線，．現(xiàn)計劃建造一條自小鎮(zhèn)經(jīng)小島至對岸的水上通道（圖中粗線部分折線段，在右側(cè)），為保護小島，段設(shè)計成與圓相切．設(shè)．（1）試將通道的長表示成的函數(shù)，并指出定義域；（2）若建造通道的費用是每公里100萬元，則建造此通道最少需要多少萬元？20．（12分）已知橢圓：（），點是的左頂點，點為上一點，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點的直線與的另一個交點為（異于點），是否存在直線，使得以為直徑的圓經(jīng)過點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.21．（12分）2019年入冬時節(jié)，長春市民為了迎接2022年北京冬奧會，增強身體素質(zhì)，積極開展冰上體育鍛煉.現(xiàn)從速滑項目中隨機選出100名參與者，并由專業(yè)的評估機構(gòu)對他們的鍛煉成果進行評估打分（滿分為100分）并且認(rèn)為評分不低于80分的參與者擅長冰上運動，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求的值；（2）將選取的100名參與者的性別與是否擅長冰上運動進行統(tǒng)計，請將下列列聯(lián)表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率在不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運動與性別有關(guān)系？擅長不擅長合計男性30女性50合計1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）22．（10分）設(shè)橢圓：的右焦點為，右頂點為，已知橢圓離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線斜率的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由于直線的斜率k,所以一條漸近線的斜率為，即，所以，選B.2、A【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，由此確定數(shù)列為的項.【詳解】由于等差數(shù)列中，所以，化簡得，所以為.故選：A【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計算，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，化簡出，即可得出虛部.【詳解】解：=，故虛部為-2.故選：D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)數(shù)的概念.4、A【解析】

對數(shù)字分類討論，結(jié)合數(shù)字中有且僅有兩個數(shù)字相鄰，利用分類計數(shù)原理，即可得到結(jié)論【詳解】數(shù)字出現(xiàn)在第位時，數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位，共有個數(shù)字出現(xiàn)在第位時，同理也有個數(shù)字出現(xiàn)在第位時，數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位，共有個故滿足條件的不同的五位數(shù)的個數(shù)是個故選【點睛】本題主要考查了排列，組合及簡單計數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是對數(shù)字分類討論，屬于基礎(chǔ)題。5、C【解析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，結(jié)合圖象知當(dāng)直線過點時，取得最大值.【詳解】解：作出約束條件表示的可行域是以為頂點的三角形及其內(nèi)部，如下圖表示：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點時，取得最大值，最大值為.故選：C.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)用意識,屬于中檔題.6、D【解析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，由此判斷出的大小關(guān)系.【詳解】依題意，得，，.令，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，且，即，所以.故選：D.【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查對數(shù)式比較大小，屬于中檔題.7、A【解析】

根據(jù)題意，求導(dǎo)后結(jié)合基本不等式，即可求出切線斜率，即可得出答案.【詳解】解：由于，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得：，即切線斜率，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，所以上任意一點處的切線斜率的最小值為3.故選：A.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及運用基本不等式求最值，考查計算能力.8、C【解析】

每一次成功的概率為p=26=【詳解】每一次成功的概率為p=26=13故選：C.【點睛】本題考查了二項分布求數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.9、D【解析】

根據(jù)底面為等邊三角形，取中點，可證明平面，從而，即可證明三棱錐為正三棱錐.取底面等邊的重心為，可求得到平面的距離，畫出幾何關(guān)系，設(shè)球心為，即可由球的性質(zhì)和勾股定理求得球的半徑，進而得球的表面積.【詳解】設(shè)為中點，是等邊三角形，所以，又因為，且，所以平面，則，由三線合一性質(zhì)可知所以三棱錐為正三棱錐，設(shè)底面等邊的重心為，可得，，所以三棱錐的外接球球心在面下方，設(shè)為，如下圖所示：由球的性質(zhì)可知，平面，且在同一直線上，設(shè)球的半徑為，在中，，即，解得，所以三棱錐的外接球表面積為，故選：D.【點睛】本題考查了三棱錐的結(jié)構(gòu)特征和相關(guān)計算，正三棱錐的外接球半徑求法，球的表面積求法，對空間想象能力要求較高，屬于中檔題.10、C【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【詳解】由（1+i）z＝|3+4i|，得z，∴z的虛部為．故選C．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．11、D【解析】

根據(jù)以直角邊為直徑的半圓的面積之比求得，即的值，由此求得和的值，進而求得所求表達式的值.【詳解】由于直角邊為直徑的半圓的面積之比為，所以，即，所以，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出，寫出共軛復(fù)數(shù)，寫出共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)點坐標(biāo)即得【詳解】解析：，，對應(yīng)點為，在第三象限．故選：C．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，共軛復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的幾何意義．掌握復(fù)數(shù)除法法則是解題關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及面積關(guān)系求解即可.【詳解】如圖，設(shè)，由，則，由可得，由，則，所以，得.故答案為：2【點睛】此題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題.14、1【解析】

根據(jù)向量加法和減法的坐標(biāo)運算,先分別求得與,再結(jié)合向量的模長公式即可求得的值.【詳解】向量,則,則因為即,化簡可得解得故答案為:【點睛】本題考查了向量坐標(biāo)加法和減法的運算,向量模長的求法,屬于基礎(chǔ)題.15、2.【解析】

如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點，由得，證明為與平面所成角，令，用三角函數(shù)表示出，求解三角函數(shù)的最大值得到結(jié)果.【詳解】如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點，則，，又，得即；又平面，為與平面所成角，令，當(dāng)時，最大，即與平面所成角的正切值的最大值為2.故答案為：2【點睛】本題主要考查了立體幾何中的動點問題，考查了直線與平面所成角的計算.對于這類題，一般是建立空間直角坐標(biāo)，在動點坐標(biāo)內(nèi)引入?yún)?shù)，將最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解，考查了學(xué)生的運算求解能力和直觀想象能力.16、【解析】

根據(jù)題意，由雙曲線的漸近線方程可得，即a＝2b，進而由雙曲線的幾何性質(zhì)可得cb，由雙曲線的離心率公式計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，又由該雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y＝0，即yx，則有，即a＝2b，則cb，則該雙曲線的離心率e；故答案為：．【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是分析a、b之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）連接，，則且為的中點，又∵為的中點，∴，又平面，平面，故平面．（2）由平面，得，．以為原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，．取平面的一個法向量為，由，得：，令，得同理可得平面的一個法向量為∵平面平面，∴解得，得，又，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以，直線與平面所成角的正弦值是．18、（1）（2）詳見解析【解析】

由題意，根據(jù)平均數(shù)公式求得，再根據(jù)，參照數(shù)據(jù)求解.由題意得，獲贈話費的可能取值為，求得相應(yīng)的概率，列出分布列求期望.【詳解】由題意得綜上，由題意得，獲贈話費的可能取值為，，的分布列為：【點睛】本題主要考查正態(tài)分布和離散型隨機變量的分布列及期望，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.19、（1），定義域是．（2）百萬【解析】

（1）以為原點，直線為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用直線與圓相切得到，再代入這一關(guān)系中，即可得答案；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可得答案；【詳解】以為原點，直線為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，．因為，所以直線的方程為，即，因為圓與相切，所以，即，從而得，在直線的方程中，令，得，所以，所以當(dāng)時，，設(shè)銳角滿足，則，所以關(guān)于的函數(shù)是，定義域是．（2）要使建造此通道費用最少，只要通道的長度即最?。?，得，設(shè)銳角，滿足，得．列表：0減極小值增所以時，，所以建造此通道的最少費用至少為百萬元．【點睛】本題考查三角函數(shù)模型的實際應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.20、（1）；（2）存在，【解析】

（1）把點代入橢圓C的方程，再結(jié)合離心率，可得a,b,c的關(guān)系，可得橢圓的方程；（2）設(shè)出直線的方程，代入橢圓，運用韋達定理可求得點的坐標(biāo)，再由，可求得直線的方程,要注意檢驗直線是否和橢圓有兩個交點．【詳解】（1）由題可得∴，所以橢圓的方程（2）由題知，設(shè)，直線的斜率存在設(shè)為，則與橢圓聯(lián)立得，，∴，，∴若以為直徑的圓經(jīng)過點，則，∴，化簡得，∴，解得或因為與不重合，所以舍.所以直線的方程為.【點睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了向量的數(shù)量積的運用，屬于中檔題.21、（1）（2）填表見解析；不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運動與性別有關(guān)系【解析】

（1）利用頻率分布直方圖小長方形的面積和為列方程，解方程求得的值.（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)填