第03講 三角形的內切圓（6類題型）-2023-2024學年九年級數學下冊同步學與練（浙教版）（解析版）

第03講三角形的內切圓（6類題型）課程標準學習目標1.三角形的內切圓；2.三角形的內心相關概念；1.掌握三角形的內切圓及內心的概念；知識點01、三角形的內切圓（1）有關概念：與三角形各邊都相切的圓叫作三角形的內切圓，內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫作三角形的內心。（2）三角形內心的性質：三角形的內心到三條邊的距離相等。點撥：（1）設直角三角形的兩條直角邊長為斜邊長為c，則它的內切圓半徑；（2）三角形的頂點到其所在兩邊上的內切圓切點的距離相等；（3）三角形的周長與內切圓半徑乘積的一半等于這個三角形的面積，即其中為的內切圓半徑，分別為的三邊長?！炯磳W即練1】1．（2023上·江蘇連云港·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點是的內切圓的圓心，若，則度數等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了三角形內心的性質以及三角形內角和定理．利用內心的性質得出，，進而利用三角形內角和定理得出，進而求出答案．【詳解】解：∵O是的內心，∴，，∵，∴，∴，∴．故選：D．【即學即練2】2．（2023上·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，則內切圓的半徑是（

）

A．1 B． C．2 D．3【答案】C【分析】此題考查了勾股定理，正方形的判定與性質，直角三角形內切圓的性質，以及切線長定理．設、、與的切點分別為D、E、F；易證得四邊形是正方形；那么根據切線長定理可得：，由此可求出r的長．【詳解】解：如圖，

在中，，根據勾股定理.四邊形中，，，∴四邊形是正方形，由切線長定理，得：，，；∴；∴．故選：C．考查題型一直角三角形周長、面積與內切圓半徑的關系1．（2023上·廣東深圳·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，，是的內切圓，則陰影部分面積是（

）A．2 B．π C． D．【答案】C【分析】先利用勾股定理求出，設與分別相切于，連接，利用切線的性質和等面積法求出，再證明四邊形是正方形，得到，最后根據進行求解即可．【詳解】解：∵在中，，∴，如圖所示，設與分別相切于，連接，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是正方形，∴，∴，故選C．【點睛】本題主要考查了直角三角形內切圓半徑與直角三角形三邊的關系，勾股定理，正方形的性質與判定，求不規(guī)則圖形面積，正確求出圓O的半徑長是解題的關鍵．2．（2022上·福建福州·九年級福建省福州屏東中學?？茧A段練習）如圖，中，，，，點是的內心，則的長度為（

）

A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角形的內切圓和內心，勾股定理，三角形的外接圓與外心，根據點是的內心，畫出的內切圓，如圖，過點作，，，垂足為，，，連接，根據內切圓的性質可知垂足，，也是三邊與的切點，，，，，利用勾股定理可得，設，則，根據切線長定理可求得，設，根據，可得，即，問題隨之得解．【詳解】根據點是的內心，畫出的內切圓，如圖，過點作，，，垂足為，，，連接，

根據內切圓的性質可知垂足，，也是三邊與的切點，，，，，，，，，設，則，，，，，，，設，，，，，．故選：C．3．（2022上·甘肅平涼·九年級?？计谀┤鐖D，已知為的內切圓，切點分別為D、E、F，且，，，求的半徑．

【答案】的半徑為2．【分析】連接，由勾股定理可計算出AC的長，根據面積關系，即可求得半徑．【詳解】解：如圖，連接，

∵為的內切圓，切點分別為D、E、F∴，且，在中，由勾股定理得，∴，∵∴即∴，即的半徑為2．【點睛】本題考查了三角形的內切圓，切線的性質，勾股定理，圖形的面積等知識，利用面積關系解答是關鍵．考查題型二圓外切四邊形模型1．（2021·九年級課時練習）下面圖形中，一定有內切圓的是（

）A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四邊形【答案】C【分析】根據內切圓的定義以及特殊四邊形的性質進行分析，從而可得答案．【詳解】角平分線上的點到角的兩邊距離相等，角平分線的交點是內切圓的圓心，菱形的對角線平分對角，所以菱形的兩條對角線的交點到菱形的各邊的距離相等，以交點為圓心，交點到菱形的邊為半徑的圓就是菱形的內切圓，選項中只有菱形，對角線平分對角．故選C【點睛】本題考查了內切圓的定義，菱形的性質，掌握內切圓的定義是解題的關鍵．2．（2022上·河北邯鄲·九年級校考期中）如圖，是四邊形的內切圓．若，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據內切圓得到四條角平分線，結合四邊形內角和定理求解即可得到答案；【詳解】解：∵是四邊形的內切圓，∴，，，，∵，∴，∵，，，∴，故選：A；【點睛】本題考查圓內切四邊形及四邊形的內角和定理，解題的關鍵是得到．3．（2021上·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）如圖，圓O是四邊形ABCD的內切圓，若∠BOC＝118°，則∠AOD＝．【答案】62°【分析】先根據切線長定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形內角和計算出∠1+∠2＝62°，則∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四邊形內角和得出∠BAD+∠ADC＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可．【詳解】解：∵圓O是四邊形ABCD的內切圓，∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°，∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°，∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°，∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°，∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°．故答案為：62°．【點睛】本題考查了四邊形的內切圓．切線的性質和切線長定理，三角形內角和，掌握四邊形的內切圓性質．切線的性質和切線長定理，三角形內角和是解題關鍵．考查題型三三角形內心有關應用1．（2023上·山東濟寧·九年級?？计谀┤鐖D，的內切圓與、、分別相切于點、、，且，，，則陰影部分（即四邊形）的面積是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再利用正方形的判定確定四邊形是正方形，進而利用圓的切線性質可知線段的關系，進而求出陰影部分的面積．【詳解】解：∵，，，∴，∴為直角三角形，，∵與分別相切于點、，∴，，，∴四邊形是正方形，設，則，∵的內切圓與、、分別相切于點、、，∴，，∴，∴，∴陰影部分的面積是：，故選：D．【點睛】本題考查了三角形的內切圓和內心：三角形的內心到三角形三邊的距離相等，三角形的內心到頂點的連線平分這個內角；勾股定理的逆定理和切線性質等相關知識點．熟練運用知識點是解決問題的關鍵．2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，的內切圓與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（

）A．2r， B．0， C．2r， D．0，【答案】D【分析】如圖，連接．利用切線長定理，圓周角定理，切線的性質解決問題即可．【詳解】解：如圖，連接．∵的內切圓與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)，∴，∴，，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查三角形的內切圓與內心，圓周角定理，切線的性質等知識，解題的關鍵是掌握切線的性質，屬于中考常考題型．3．（2023上·九年級課時練習）如圖，已知是的內切圓，點是內心，若，則等于．

【答案】/104度【分析】根據內切圓得到，，結合三角形內角和定理求解即可得到答案；【詳解】解：∵是的內切圓，∴，，∵，∴，∴；【點睛】本題考查三角形內角和定理及三角形內切圓的定義，解題的關鍵是根據內切圓得到，．考查題型四一般三角形周長、面積與內切圓半徑的關系1．（2022下·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖，在中，，于，為的內切圓，設的半徑為，的長為，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據三角形內切圓的特點作出圓心和三條半徑，分別表示出的面積，利用面積相等即可解決問題．【詳解】解：如圖所示：為中、、的角平分線交點，過點分別作垂線交、、于點、、，

，，，的長為，，，，，故選：A．【點睛】本題考查了三角形內切圓的相關性質，本題掌握三角形內切圓的性質，根據已知條件利用三角形面積相等推出關系式是解題關鍵．2．（2022上·湖北襄陽·九年級襄陽四中校聯(lián)考自主招生）圓內切于正三角形，半徑為R，圓與圓及，均相切，圓的半徑為r，則等于（

）A．4 B．2 C．3 D．5【答案】C【分析】設圓、圓分別與相切于點，圓與相切于點，連接，，，，，，求出，根據三角形內切圓的性質可得，，且點在一條直線上，從而可得，由此即可得．【詳解】解：如圖，設圓、圓分別與相切于點，圓與相切于點，連接，，，，，，

∵圓與圓相切，圓的半徑為，圓的半徑為，，圓內切于正三角形，，，，平分，，，∵圓與，均相切，，，是的角平分線，，且點在一條直線上，，即，解得，則，故選：C．【點睛】本題考查了三角形內切圓的性質、角平分線的判定定理、等邊三角形的性質、圓與圓的位置關系，熟練掌握三角形內切圓的性質是解題關鍵．3．（2022上·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，若的內切圓與分別相切于點，且，則的半徑．【答案】【分析】利用勾股定理求出，再利用切線的性質得到，，所以四邊形為正方形，設，利用切線長定理得到，，所以，然后求出,即可求解．【詳解】解：如圖，連接，，，，，、與分別相切于點、，，，四邊形為正方形，設，則，的內切圓與、、分別相切于點、、，，，，，即．故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的內切圓和內心：三角形的內心到三角形三邊的距離相等；三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角．也考查了勾股定理和切線的性質．解決本題的關鍵是掌握三角形的內切圓和內心．考查題型五三角形內切圓與外接圓綜合1．（2023下·河北承德·九年級校聯(lián)考階段練習）兩直角邊的長分別為和，則其內心與外心的距離為（）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】先根據題意畫出圖形，的內心是三角形角平分線的交點，外心是斜邊的中點，求出，根據面積法求出，進而得出，可得，根據勾股定理即可得出答案．【詳解】解：如圖所示：的內心是三角形角平分線的交點，外心是斜邊的中點，

設，，∴，∵的內心是三角形角平分線的交點，外心是斜邊的中點，∴，，根據三角形的面積可得：，∴，即，∴，∴，∴，∴，∴內心與外心的距離為，故選：D．【點睛】本題考查三角形的內心與外心，勾股定理，得出三角形的內心與外心的位置是解題的關鍵．2．（2022上·黑龍江綏化·九年級?？计谀┱切蔚倪呴L為，那么該正三角形的內切圓半徑為（

）A．2 B．1 C． D．3【答案】B【分析】根據題意畫出圖形，利用等邊三角形的性質和三角形的內切圓性質求解即可．【詳解】解：如圖，是等邊三角形，，，

由題意，平分，平分，∴，，，∴為內切圓的半徑，∴，故選：B．【點睛】本題考查等邊三角形的性質、三角形的內切圓性質、銳角三角函數，熟練掌握等邊三角形的性質和三角形內切圓性質，利用數形結合思想求解是解答的關鍵．3．（2022上·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，I是的內心，的延長線交的外接圓于點D．(1)求證：；(2)求證：；(3)連接、，求證：點D是的外心．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據三角形內心的定義得，再由圓周角與弧之間的關系即可得證；（2）連接，證出即可得證；（3）連接，，，證出即可得證．【詳解】（1）證明：點I是的內心，平分，，，，．（2）證明：如圖，連接，點I是的內心，平分，平分，，又，，，，，．（3）證明：如圖，連接，，，，．，∴點D是的外心．【點睛】本題考查了三角形內心和外心的定義，圓的基本性質中圓周角與弧之間的關系等，理解定義，掌握圓的基本性質，根據題意作出輔助線是解題的關鍵.考查題型六圓的綜合問題1．（2022上·河北邯鄲·九年級?？计谀┤鐖D，是的直徑，，點在上，，為弧的中點，是直徑上一動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖所示，作點關于的對稱點，連接，交于于點，此時的值最小，即，連接，根據點在上，，為弧的中點，可得，根據圓周角定理可得，可得是等腰直角三角形，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，作點關于的對稱點，連接，交于于點，此時的值最小，即，連接，∵點在上，，為弧的中點，∴，，∴，∴，∵是的半徑，即，∴是等腰直角三角形，∴，∴的最小值為，故選：．【點睛】本題主要考查圓的基礎知識，對稱圖形求對短路徑，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質，含特殊角的直角三角形的性質等知識的綜合，掌握以上知識是解題的關鍵．2．（2022上·河南南陽·九年級?？茧A段練習）如圖，四邊形是的內接四邊形，若，則的大小為．

【答案】【分析】根據圓內接四邊形的性質求出的度數，根據圓周角定理計算即可．【詳解】解：∵四邊形是的內接四邊形，，∴，由圓周角定理得，，故答案為：．【點睛】本題考查的是圓內接四邊形的性質、圓周角定理，掌握圓內接四邊形的對角互補、同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關鍵．3．（2022上·遼寧葫蘆島·九年級校考階段練習）如圖，中，，，，以上的一點O為圓心為半徑作，若與邊始終有交點（包括B、C兩點），則線段的取值范圍是．【答案】【分析】分情況討論，當經過點C時，則是直徑，根據銳角三角形函數即可得，當圓O經過B點時，作于點D，根據和直角三角形的性質得，根據銳角三角形函數得，即與邊始終有交點（包括B、C兩點），即可得線段的取值范圍．【詳解】解：如圖所示，當經過點C時，則是直徑，∵中，，，，∴，∴，當圓O經過B點時，如圖所示，作于點D，∵，∴，∴，∴，∴與邊始終有交點（包括B、C兩點），則線段的取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查了直角三角形的性質，銳角三角函數，圓的性質，解題的關鍵是理解題意，掌握這些知識點，分情況的討論．A夯實基礎1．（2023上·江蘇南京·九年級南京民辦實驗學校?？茧A段練習）三角形的內心是三角形的（

）A．三條角平分線的交點 B．三條中線的交點C．三條高的交點 D．三邊垂直平分線的交點【答案】A【分析】根據三角形的內心的概念進行判斷即可．【詳解】根據定義得：三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點．故選：．【點睛】本題考查了三角形的內切圓與內心，與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點．記住三角形的內心到三角形三邊的距離相等，三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角是解題的關鍵．2．（2023下·甘肅張掖·九年級?？计谥校┫铝姓f法錯誤的是(

)A．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形B．已知的半徑為，點到直線的距離為，則直線與有兩個交點C．如果一個三角形的外心在三角形的外部，則這個三角形是鈍角三角形D．三角形的內心到三角形的三邊的距離相等【答案】A【分析】根據正方形的判定定理、圓與直線位置關系的判定方法、三角形外心的定義、三角形內心的定義逐項判斷即可．【詳解】A、對角線互相垂直、平分且相等的四邊形是正方形，說法錯誤，該選項符合題意；B、圓心到直線的距離為，小于的半徑長度，所以直線和相交，有兩個交點，說法正確，該選項不符合題意；C、三角形的外心是三角形外接圓的圓心，若外心在三角形的外部，則三角形內必有一角所對應的外接圓上的弧為優(yōu)弧，則該角為鈍角，該三角形為鈍角三角形，說法正確，該選項不符合題意；D、三角形的內心是三角形的內切圓的圓心，內心到三角形的三邊的距離都等于三角形內切圓的半徑，說法正確，該選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題主要考查正方形的判定定理、圓與直線位置關系的判定方法、三角形外心的定義、三角形內心的定義，牢記正方形的判定定理、圓與直線位置關系的判定方法、三角形外心的定義、三角形內心的定義是解題的關鍵．3．（2021上·河北唐山·九年級唐山市第九中學校考階段練習）如圖，，是的直徑，弦與交于點F，下列三角形，，，中，外心不是點O的是．

【答案】【分析】利用外心的定義，外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，進而判斷得出即可．【詳解】解：只有的三個頂點不都在圓上，故外心不是點O的是．故答案為：．【點睛】此題主要考查了三角形外心的定義，正確掌握外心的定義是解題關鍵．4．（2023下·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點I是的內心．若，，則的度數是°．

【答案】【分析】根據三角形內心的性質求出和的度數，再由三角形的內角和求出的度數，即可得出結論．【詳解】∵點I是的內心，，，∴，∴，∴，故答案是【點睛】本題主要考查了三角形的內心的性質和三角形的內角和，正確掌握三角形的內心是三條角平分線的交點是解題的關鍵．5．（2022上·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）已知，為的弦，且．(1)如圖1，若，求陰影部分的面積；(2)如圖2，若點為的中點，點為的中點．請僅用無刻度的直尺過點作的的切線．【答案】(1)(2)作圖見詳解【分析】（1）陰影部分的面積是圓的面積減去三角形的面積，由此即可求解；（2），點在圓上，連接并延長交于點，連接，并延長交于點，由此即可求解．【詳解】（1）解：半徑，，∴，，∴陰影部分的面積為：．（2）解：如圖所示，連接并延長交于點，連接，并延長交于點，作直線，則為所求作的切線．【點睛】本題主要考查圓的幾何變換，切線的尺規(guī)作圖，掌握圓的基本知識，切線的性質是解題的關鍵．6．（2023上·河北廊坊·九年級校聯(lián)考期末）如圖，以為直徑作半圓，過點作的切線，連接，交于點，點是邊的中點，連接．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)證明過程見詳解(2)的長為【分析】（1）以為直徑作半圓，過點作的切線，可明是直角三角形，，點是邊的中點，可知是等腰三角形，根據三角形的外角性質即可求解；（2）在中，，可求出，如圖所示（見詳解），連接，在中，可求出的長度，根據即可求解．【詳解】（1）證明：∵以為直徑作半圓，過點作的切線，∴，垂足為點，即是直角三角形，，∵點是邊的中點，∴，∴是等腰三角形，則，∴．（2）解：在中，，∴，即，∴，則，∵，∴，如圖所示，連接，∵是直徑，點在上，∴，在中，，即，∴，則，∴，∴的長為．【點睛】本題主要考查圓與直角三角形的綜合，掌握圓的切線，直角三角形的性質，三角形函數的計算方法是解題的關鍵．B能力提升1．（2023上·福建廈門·九年級廈門雙十中學思明分校校聯(lián)考階段練習）已知：如圖，點是的內心，連接并延長交于點，則下列命題中正確的（

）A．是的平分線 B．是邊上的高C．是邊上的中線 D．是邊上的中垂線【答案】A【分析】本題考查了三角形的內心的定義，根據三角形內心的定義直接判斷即可；解答此題的關鍵是掌握內心的定義．【詳解】解：∵點是的內心，連接并延長交于點，是的角平分線．故選：．2．（2023上·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在一張紙片中，，，，是它的內切圓．小明用剪刀沿著的切線剪下一塊三角形，則的周長為（

）

A．19 B．17 C．22 D．20【答案】D【分析】本題考查了三角形的內切圓與內心，勾股定理，切線的性質，解決本題的關鍵是掌握切線的性質．設的內切圓切三邊于點，連接，得四邊形是正方形，由切線長定理可知，根據是的切線，可得，，根據勾股定理可得，再求出內切圓的半徑，進而可得的周長．【詳解】解：如圖，設的內切圓切三邊于點、、，連接、、，∴四邊形是正方形，

由切線長定理可知，∵是的切線，∴，，∵，，，∴，∵是的內切圓，∴內切圓的半徑，∴，∴，∴，∴的周長為：．故選：D．3．（2023上·廣東珠海·九年級珠海市文園中學?？计谥校┤鐖D，中，，，點是的內心，則的度數為．【答案】【分析】此題考查了三角形內心的性質．此題難度不大，解題的關鍵是掌握三角形的內心是三角形三條角平分線的交點．由點是的內心，，，根據三角形的內心是三角形三條角平分線的交點，即可求得與的度數，又由三角形內角和定理，即可求得的度數．【詳解】解：點是的內心，，，，，．故答案為：4．（2023上·福建福州·九年級?？计谥校┤鐖D，，，，若、分別是的內心和外心，則的長為．【答案】【分析】作于點D，作于點F，連接和，可得平分，且垂直平分，及和，點A、點P、點Q、和點共線，進一步求得、和，由，得，利用勾股定理求得即可求得答案．【詳解】解：作于點D，作于點F，連接和，如圖，則，∵，∴平分，且垂直平分，∵，∴，∴，∵、分別是的內心和外心，∴點P、點Q、線段都在線段上，則，，，在中，，得，解得，在和中∴，∴，則，∵，∴，解得，則．故答案為∶．【點睛】此題重點考查等腰三角形的“三線合一”、勾股定理、三角形的內心、三角形的外心和全等三角形的判定和性質，結合性質作出所需要的輔助線是解題的關鍵．5．（2023上·全國·九年級專題練習）如圖，過的頂點O作，與，邊分別交于點C，D，與邊交于M，N兩點，且，已知，．

(1)求的長；(2)若，求的長．【答案】(1)(2)MN＝【分析】（1）根據得，根據得，，可得，即可得；（2）過點O作于點E，連接，根據得，在中，根據勾股定理得，即可得．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，，∴，∴；（2）解：如圖所示，過點O作于點E，連接，

∵，∴，∴在中，，∴．【點睛】本題考查了等邊對等角，平行線的判定，直角三角形的性質，勾股定理，解題的關鍵是掌握這些知識點．6．（2021·廣東廣州·二模）如圖，是的弦，C是外一點，，交于點P，交于點D，且．

(1)判斷直線與的位置關系，并說明理由；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)與相切，理由見解析(2)【分析】（1）連接，根據得，根據得，根據得，在中，根據得，即，，根據是半徑，即可得；（2）根據得，則，根據得是等邊三角形，則，，可得，則，即可得，根據勾股定理得，用三角形的面積減去扇形的面積即可得．【詳解】（1）與相切，理由：解：如圖所示，連接，

∵，∴，∵，∴，∵，∴在中，∵，∴，即，∴又∵是半徑，∴與相切，；（2）解：如圖所示，連接，

∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴圖中陰影部分的面積：．【點睛】本題考查了圓的性質，解題的關鍵是掌握切線的判定與性質，勾股定理，等腰三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，扇形的面積．C綜合素養(yǎng)1．（2023上·江蘇常州·九年級常州實驗初中?？计谥校┤鐖D，在中，，，以斜邊上的一點O為圓心所作的圓分別與、相切于點D、E，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，得正方形，利用三角形相似計算即可，本題考查了切線長定理，正方形的判定和性質，三角形相似的判定和性質，熟練掌握性質是解題的關鍵．【詳解】連接，∵，，以斜邊上的一點O為圓心所作的圓分別與、相切于點D、E，∴正方形，∴，∴，∴，∴，解得，∴，故選C．2．（2023上·陜西西安·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知中，，為的內切圓，若，且的面積為24，則的周長為（）A．48 B． C．24 D．【答案】C【分析】本題考查了三角形內切圓的性質及正方形的判定和性質．設的半徑為r，與的三邊、、的切點分別為D、E、F，連接、、．先證四邊形是正方形，則，根據勾股定理求出r．又由的周長內切圓半徑，即可求出的周長．熟練掌握“三角形內切圓的圓心是三條角平分線的交點，它到三角形三條邊的距離相等”這一性質，并且能求出內切圓的半徑是解題的關鍵．【詳解】解：如圖