第04講 簡(jiǎn)單幾何體的表面展開(kāi)圖（9類題型）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步學(xué)與練（浙教版）（解析版）

第04講簡(jiǎn)單幾何體的表面展開(kāi)圖（9類題型）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.已知三視圖求邊長(zhǎng)、側(cè)面積或表面積；2.圓錐的側(cè)面積、底面半徑、圓錐的高和圓錐的實(shí)際問(wèn)題；3.圓錐側(cè)面上的最短路徑問(wèn)題；1.掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積、底面半徑、圓錐的高和圓錐的實(shí)際問(wèn)題等的計(jì)算；2.圓錐側(cè)面上的最短路徑問(wèn)題；【即學(xué)即練1】1．（2023上·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知圓錐的側(cè)面積為，底面半徑為，則圓錐的高是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體，需熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積公式及圓錐的幾何特征，由圓錐的側(cè)面積公式，先求出圓錐的母線長(zhǎng)，進(jìn)而可得圓錐的高．【詳解】解：解：∵圓錐的側(cè)面積為，底面半徑為,∴圓錐的母線長(zhǎng)滿足：，解得：,∴圓錐的高h(yuǎn)＝,故選：B．【即學(xué)即練2】2．（2023上·福建龍巖·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為6，母線長(zhǎng)為8，圓錐的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓錐表面積的計(jì)算：根據(jù)圓錐側(cè)面積加上圓錐的底面面積計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：．故選：B【即學(xué)即練3】3．（2022上·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若一個(gè)圓錐的底面圓半徑為，其側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，則圓錐的母線長(zhǎng)是(

)．A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，由于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，則根據(jù)弧長(zhǎng)公式得到，然后解方程求出即可．【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，根據(jù)題意得，解得，即圓錐的母線長(zhǎng)為．故選：D．【即學(xué)即練4】4．（2023上·山東濟(jì)寧·九年級(jí)校考期中）如圖，圓錐的底面半徑，高則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)后扇形的圓心角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了圓錐的有關(guān)計(jì)算，首先利用勾股定理求出圓錐的母線長(zhǎng)，再利用底面周長(zhǎng)展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)，圓錐的母線長(zhǎng)展開(kāi)圖的扇形的半徑，即可求解．【詳解】解：∵圓錐的底面半徑，高，∴圓錐的母線長(zhǎng)，設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)后扇形的圓心角為，則，解得：，故選：C．題型01已知三視圖求邊長(zhǎng)1．（2023上·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)咸陽(yáng)市秦都中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示是某幾何體的三視圖，已知主視圖和左視圖都是面積為16的正方形，則俯視圖的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查三視圖．根據(jù)三視圖，得到俯視圖的直徑為4，根據(jù)圓的面積公式進(jìn)行進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵主視圖和左視圖都是面積為16的正方形，∴主視圖的長(zhǎng)為4，∵主俯視圖的長(zhǎng)對(duì)正，∴俯視圖的直徑為4，∴俯視圖的面積是；故選D．2．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考一模）如圖所示是三棱柱的三視圖，在中，，，，則的長(zhǎng)為【答案】5【分析】過(guò)E作交于點(diǎn)，根據(jù)，，即可得到，根據(jù)左視圖即可得到；【詳解】解：過(guò)E作交于點(diǎn)，∵，，，∴，由左視圖可得，，故答案為5；【點(diǎn)睛】本題考查正確理解幾何體的三視圖，直角三角形所對(duì)直角邊等于斜邊一半，解題的關(guān)鍵是正確理解三視圖．3．（2023上·山西運(yùn)城·九年級(jí)山西省運(yùn)城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┰谝还?jié)數(shù)學(xué)課上，小紅畫(huà)出了某四棱柱的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖為矩形，俯視圖為等腰梯形，已知該四棱柱的側(cè)面積為．(1)三視圖中，有一圖未畫(huà)完，請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全；(2)根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)，俯視圖中的長(zhǎng)度為_(kāi)_______；(3)左視圖中矩形的面積為_(kāi)_______；(4)這個(gè)四棱柱的體積為_(kāi)_______．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)所在的面在前，所在的面在后，得到主視圖中應(yīng)補(bǔ)充兩條虛線，畫(huà)出圖形即可；（2）由俯視圖為等腰梯形，可得，再根據(jù)四棱柱的側(cè)面積為，計(jì)算即可得出答案；（3）作于，于，則四邊形是矩形，證明得到，由勾股定理計(jì)算出，由此即可得出答案；（4）先由梯形的面積公式計(jì)算出底面積，再乘以高即可得到答案．【詳解】（1）解：所在的面在前，所在的面在后，主視圖中應(yīng)補(bǔ)充兩條虛線，補(bǔ)充完整如圖所示：（2）解：俯視圖為等腰梯形，，該四棱柱的側(cè)面積為，，，故答案為：；（3）解：如圖，作于，于，，俯視圖為等腰梯形，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，左視圖中矩形的面積為：，故答案為：8；（4）解：由題意得：這個(gè)四棱柱的體積為，故答案為：32．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖、矩形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰梯形的性質(zhì)、求幾何體的體積等知識(shí)點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．題型02已知三視圖求側(cè)面積或表面積1．（2023上·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖（圖中尺寸單位：cm），根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)可計(jì)算出該幾何體的全面積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】判斷出幾何體是圓柱，求出圓柱的表面積即可．【詳解】解：由三視圖可知，這個(gè)圓柱的底面直徑為6，高為10，∴圓柱的表面積（）．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了利用幾何體三視圖求原幾何體的表面積，掌握三視圖與原幾何體的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·山東東營(yíng)·九年級(jí)校考期中）如圖是一個(gè)三棱柱的三視圖，其俯視圖為等邊三角形，則其側(cè)面積為．【答案】【分析】根據(jù)主視圖可知等邊三角形的邊長(zhǎng)為，進(jìn)而可得其邊長(zhǎng)即側(cè)面長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，列式計(jì)算可得側(cè)面積．本題主要考查由三視圖確定幾何體和求幾何體的面積等相關(guān)知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力．【詳解】解：根據(jù)主視圖可知等邊三角形的邊長(zhǎng)為，進(jìn)而可得其邊長(zhǎng)即側(cè)面長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，∴該幾何體的側(cè)面面積是：，故答案為：．3．（2023上·陜西榆林·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖（單位：）．(1)這個(gè)幾何體的名稱是；(2)求這個(gè)幾何體的所有側(cè)面的面積之和．【答案】(1)三棱柱(2)這個(gè)幾何體的所有側(cè)面的面積之和為【分析】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，熟練掌握基本幾何體的三視圖及其計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三棱柱的三視圖即可得出答案；（2）根據(jù)側(cè)面積公式進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：由三視圖知該幾何體為三棱柱；故答案為：三棱柱．（2）解：該圓柱體的表面積為：．答：這個(gè)幾何體的所有側(cè)面的面積之和為．題型03求小立方體堆砌圖形的表面積1．（2023上·福建廈門(mén)·七年級(jí)廈門(mén)雙十中學(xué)校考階段練習(xí)）將20個(gè)棱長(zhǎng)為的小正方體擺放成如圖的形狀，則這個(gè)圖形的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了求幾何體的表面積，分別找到該幾何體六個(gè)方向露在外面的面，再根據(jù)每個(gè)面的面積為即可得到答案．【詳解】解：從上面看，露在外面的小正方體的面一共有10個(gè)，從下面看露在外面的小正方體的面一共有10個(gè)，從左面看，露在外面的小正方體的面一共有10個(gè)，從右面看，露在外面的小正方體的面一共有10個(gè)，從正面看，露在外面的小正方體的面一共有10個(gè)，從后面看，露在外面的小正方體的面一共有10個(gè)，∴該幾何體露在外面的面一共有60個(gè)，∵小立方體的棱長(zhǎng)為，∴這個(gè)幾何體的表面積為，故選：B．2．（2023上·廣東廣州·七年級(jí)廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張明用個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方體搭成一個(gè)幾何體，然后他請(qǐng)王亮用其他同樣的小正方體在旁邊再搭一個(gè)幾何體，使王亮所搭幾何體恰好可以和張明所搭幾何體拼成一個(gè)無(wú)縫隙的大長(zhǎng)方體（不改變張明所搭幾何體的形狀），那么王亮至少還需要____個(gè)小正方體，王亮所搭幾何體的表面積為_(kāi)___．

【答案】19，48【分析】首先明確張明所搭幾何體所需正方體個(gè)數(shù)，然后確定兩人共同搭建長(zhǎng)方體所需的小正方體個(gè)數(shù)，求差即可；再根據(jù)王亮所搭幾何體的形狀即可求出它的表面積．【詳解】解：張明所搭幾何體所需正方體個(gè)數(shù)是17個(gè)，兩人共同搭建長(zhǎng)方體是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為3、3、4的長(zhǎng)方體，至少要36個(gè)小正方體才能搭成一個(gè)長(zhǎng)方體，王亮所需的小正方體個(gè)數(shù)為（個(gè)）；此時(shí)王亮所搭幾何體的表面積為：．故答案為：19，48．【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的表面積，確定兩人所搭幾何體的形狀是關(guān)鍵．3．（2023上·山東威海·六年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在平整的地面上，用多個(gè)棱長(zhǎng)都為的小正方體堆成一個(gè)幾何體．

(1)共有個(gè)小正方體；(2)求這個(gè)幾何體的表面積，并畫(huà)出從三個(gè)方向看的圖形．(3)如果現(xiàn)在你還有一些棱長(zhǎng)都為的小正方體，要求保持俯視圖和左視圖都不變，最多可以再添加個(gè)小正方體．【答案】(1)10(2)，圖見(jiàn)解析(3)5【分析】本題主要考查了小正方體堆砌成的幾何體的三視圖，熟練掌握三視圖的畫(huà)法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)幾何體的構(gòu)成，即可得到小正方體的個(gè)數(shù)；（2）數(shù)出這個(gè)幾何體露在外面的面，根據(jù)小正方形的面的面積為求出表面積即可，再畫(huà)出主視圖和俯視圖以及左視圖；（3）在保持俯視圖和左視圖都不變的條件下，添加小正方體即可．【詳解】（1）解：根據(jù)拼圖可知，堆成如圖所示的幾何體需要個(gè)小正方體，故答案為：；（2）解：這個(gè)組合體的三視圖如圖所示：

這個(gè)幾何體的表面積為（3）在俯視圖的相應(yīng)位置擺放相應(yīng)數(shù)量的小正方體，使其俯視圖和左視圖都不變，如圖所示，所以最多可以添加5個(gè)，

故答案為：5．題型04求圓錐側(cè)面積1．（2023上·福建莆田·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，用一個(gè)圓心角為的扇形紙片圍成一個(gè)底面半徑為2，側(cè)面積為的圓錐體，則該扇形的母線的長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本題考查了圓錐側(cè)面積的計(jì)算，根據(jù)圓錐側(cè)面積的計(jì)算公式進(jìn)行求解即可，熟練掌握?qǐng)A錐側(cè)面積公式是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，由題意得：，解得：，故選：D．2．（2023上·山東淄博·九年級(jí)期末）已知圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為．【答案】【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算，根據(jù)圓錐的側(cè)面積底面周長(zhǎng)母線長(zhǎng)，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．【詳解】解：圓錐的側(cè)面積．故答案為：．3．（2023上·陜西延安·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，冰激凌的外殼（不計(jì)厚度）可近似的看作圓錐，其母線長(zhǎng)為12cm，底面圓直徑長(zhǎng)為8cm，當(dāng)冰激凌被吃掉一部分后，其外殼仍可近似的看作圓錐，如圖2，此時(shí)其母線長(zhǎng)為9cm，求此時(shí)冰激凌外殼的側(cè)面積（結(jié)果保留）【答案】【分析】本題考查的是求解圓錐的側(cè)面積，展開(kāi)圖的圓心角的大小，熟記公式是解本題的關(guān)鍵；本題先求解展開(kāi)圖的圓心角，再求解扇形的面積即可．【詳解】解：設(shè)該圓錐展開(kāi)后所得扇形的圓心的度數(shù)為，由題意得，冰激凌的底面圓的周長(zhǎng)為：．∵母線長(zhǎng)為12cm，∴，解得，即展開(kāi)后所得扇形的圓心角的度數(shù)是．∵吃掉一部分后母線長(zhǎng)為9cm，∴此時(shí)冰激凌外殼的側(cè)面積為：．題型05求圓錐底面半徑1．（2023上·山東德州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知扇形的半徑為，圓心角的度數(shù)為，若將此扇形圍成一個(gè)圓錐，則圍成的圓錐的底面半徑為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查求圓錐的底面半徑，根據(jù)扇形的半徑是圓錐的母線長(zhǎng)，扇形的弧長(zhǎng)是圓錐底面圓的周長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：依題意，，解得故選：A．2．（2023上·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中）用一個(gè)半徑為，面積為的扇形鐵皮，制作一個(gè)無(wú)底的圓錐（不計(jì)損耗），則圓錐的底面半徑r為．【答案】15【分析】本題主要考查了扇形的面積公式和弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形的面積公式．先求出扇形的弧長(zhǎng)，然后再根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式求出圓錐的底面半徑即可．【詳解】解：∵扇形的半徑為，面積為，∴扇形的弧長(zhǎng)為：，∴圓錐的底面半徑，故答案為：15．3．（2023上·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一段圓弧經(jīng)過(guò)格點(diǎn)A、B、C．（網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1）．

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出圓心P點(diǎn)位置，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)__________；的半徑為_(kāi)__________；(2)判斷點(diǎn)與的位置關(guān)系；(3)若扇形是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，求該圓錐底面半徑．【答案】(1)，；(2)圓內(nèi)；(3)．【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)和垂徑定理．（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)畫(huà)出和的垂直平分線，它們的交點(diǎn)為P點(diǎn)，再寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后計(jì)算長(zhǎng)得到的半徑；（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出，然后根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法求解；（3）先利用勾股定理的逆定理證明為直角三角形，，設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為r，由于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，則利用弧長(zhǎng)公式得到，求出r即可．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)P為所作，P點(diǎn)坐標(biāo)為，，即的半徑為；故答案為：，；（2）解：∵P，，∴，∵，∴的長(zhǎng)小于圓的半徑，∴點(diǎn)在內(nèi)；（3）解：∵，，∴，∴為直角三角形，，設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意得，解得．題型06求圓錐的高1．（2023下·山東德州·九年級(jí)德州市第十中學(xué)校考階段練習(xí)）用圓心角為，半徑為的扇形紙片卷成一個(gè)圓錐形無(wú)底紙帽（如圖所示），則這個(gè)紙帽的高是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)，得到，即可求出底面半徑，設(shè)紙帽的高為，利用勾股定理求出紙帽的高即可．【詳解】解：由題意可知，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)，又扇形的圓心角為，半徑為，設(shè)底面半徑為，，解得：，設(shè)紙帽的高為，則，解得：或（舍去），故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面圓的周長(zhǎng)，扇形的半徑等干圓錐的母線長(zhǎng)，也考查了弧長(zhǎng)公式和勾股定理，求出底面半徑是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023上·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，有一塊半徑為，圓心角為的扇形鐵皮，要把它圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（接縫處忽略不計(jì)），那么這個(gè)圓錐的高為m．

【答案】【分析】根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)求出扇形的弧長(zhǎng)，根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐地面的周長(zhǎng)求出圓錐的半徑，然后在圓錐的高，母線和底面半徑構(gòu)造的直角三角形中求圓錐的高．【詳解】扇形的弧長(zhǎng)為：，∵扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則，解得，∴圓錐的高為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)扇形的弧長(zhǎng)．3．（2023上·河北邢臺(tái)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，圓錐側(cè)面展開(kāi)得到扇形，此扇形的半徑，圓心角，求此圓錐的高的長(zhǎng)．

【答案】【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算，設(shè)這個(gè)圓錐的底面半徑為，利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，由弧長(zhǎng)公式得到方程，解方程求出，然后利用勾股定理即可計(jì)算出正確理解圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)與其底面圓的周長(zhǎng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：設(shè)這個(gè)圓錐的底面半徑為，根據(jù)題意得，，解得，∴，答：此圓錐高的的長(zhǎng)為．題型07求圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角1．（2023上·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，要用一個(gè)扇形紙片圍成一個(gè)無(wú)底蓋的圓錐（接縫處忽略不計(jì)），若該圓錐的底面圓周長(zhǎng)為，側(cè)面積為，則這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了扇形面積公式，根據(jù)題意得出圓錐的底面圓周長(zhǎng)即為側(cè)面展開(kāi)圖弧長(zhǎng)，再根據(jù)，求出扇形半徑，最后根據(jù)，即可求出圓心角度數(shù)．【詳解】解：∵該圓錐的底面圓周長(zhǎng)為，∴側(cè)面展開(kāi)圖弧長(zhǎng)，∵側(cè)面積為，，∴，解得：，∵，∴，解得：，∴這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是，故選：D．2．（2023上·廣東廣州·九年級(jí)廣州六中校考階段練習(xí)）一個(gè)圓錐的底面半徑是2，母線長(zhǎng)是6，若將該圓錐側(cè)面沿著母線剪開(kāi)得到一個(gè)扇形，則該扇形的圓心角的度數(shù)是．【答案】/120度【分析】本題考查了圓錐的有關(guān)計(jì)算；設(shè)該圓錐展開(kāi)后所得到的扇形的圓心角的度數(shù)是，由于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，則根據(jù)弧長(zhǎng)公式得到方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)該圓錐展開(kāi)后所得到的扇形的圓心角的度數(shù)是，根據(jù)題意得：，解得：，即該扇形的圓心角的度數(shù)是．故答案為：．3．（2023上·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖．(1)寫(xiě)出這個(gè)幾何體的名稱；(2)求這個(gè)幾何體側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角；(3)求這個(gè)幾何體的全面積．【答案】(1)圓錐(2)(3)【分析】（1）由常見(jiàn)幾何體的三視圖可得該幾何體為圓錐；（2）由三視圖數(shù)據(jù)知圓錐的底面圓的直徑為4、半徑為2，母線長(zhǎng)為6，再根據(jù)展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)公式得到圓心角的度數(shù)；（3）根據(jù)三視圖知圓錐的底面圓的直徑為4、半徑為2，母線長(zhǎng)為6，再根據(jù)面積公式可得答案．【詳解】（1）解：由三視圖可知，該幾何體為圓錐；（2）解：由三視圖數(shù)據(jù)知圓錐的底面圓的直徑為4、半徑為2，母線長(zhǎng)為6，則展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)為，又弧長(zhǎng)為，，解得展開(kāi)圖扇形的圓心角度數(shù)為；（3）解：由三視圖數(shù)據(jù)知圓錐的底面圓的直徑為4、半徑為2，母線長(zhǎng)為6，展開(kāi)圖扇形的面積為，底面面積為，圓錐的全面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是掌握常見(jiàn)幾何體的三視圖及扇形的弧長(zhǎng)、面積計(jì)算．題型08圓錐的實(shí)際問(wèn)題1．（2023上·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，要用一個(gè)扇形紙片圍成一個(gè)無(wú)底蓋的圓錐（接縫處忽略不計(jì)），若該圓錐的底面圓周長(zhǎng)為，側(cè)面積為，則這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了扇形面積公式，根據(jù)題意得出圓錐的底面圓周長(zhǎng)即為側(cè)面展開(kāi)圖弧長(zhǎng)，再根據(jù)，求出扇形半徑，最后根據(jù)，即可求出圓心角度數(shù)．【詳解】解：∵該圓錐的底面圓周長(zhǎng)為，∴側(cè)面展開(kāi)圖弧長(zhǎng)，∵側(cè)面積為，，∴，解得：，∵，∴，解得：，∴這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是，故選：D．2．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆高5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有斛．

【答案】22【分析】根據(jù)米堆的底部的弧度即底面圓周的四分之一為8尺，可求出圓錐的底面半徑，從而計(jì)算出米堆的體積，用體積除以每斛的體積即可求得斛數(shù)．【詳解】解：設(shè)米堆所在圓錐的底面半徑為尺，由題意，得：，∴，∴米堆的體積為：，∴米堆的斛數(shù)為：；故答案為：22．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算及弧長(zhǎng)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出圓錐的知識(shí)，難度不大．3．（2023上·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)圓錐的底面周長(zhǎng)是18.84厘米，高是4厘米．從圓錐的頂點(diǎn)沿著高將它切成兩半后，表面積比原來(lái)的圓錐增加了多少平方厘米？【答案】表面積之和比原來(lái)圓錐表面積增加24平方厘米【分析】根據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)求出地面直徑，再利用三角形面積公式即可求解．【詳解】解：圓錐的底面直徑為：（厘米），則切割后表面積增加了：（平方厘米），答：表面積之和比原來(lái)圓錐表面積增加24平方厘米．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的實(shí)際問(wèn)題，理解從圓錐的頂點(diǎn)沿著高將它切成兩半后的切面是兩個(gè)三角形是解題的關(guān)鍵．題型09圓錐側(cè)面上最短路徑問(wèn)題1．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點(diǎn)C為圓錐母線的中點(diǎn)，為底面圓的直徑，，，一只螞蟻沿著圓錐的側(cè)面從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路程為（

）

A．5 B． C． D．【答案】B【分析】連接，先根據(jù)直徑求出底面周長(zhǎng)，根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開(kāi)后扇形的弧長(zhǎng)可求出圓錐的側(cè)面展開(kāi)后的圓心角，可得是等邊三角形，即可求解．【詳解】解：連接，如圖所示，

∵為底面圓的直徑，，設(shè)半徑為r,∴底面周長(zhǎng)，設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)后的圓心角為，∵圓錐母線，根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開(kāi)后扇形的弧長(zhǎng)可得：，解得：，∴，∵半徑，∴是等邊三角形，在中，，∴螞蟻爬行的最短路程為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開(kāi)—最短路徑問(wèn)題，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，本題就是把圓錐的側(cè)面展開(kāi)成扇形，化曲面為平面，用三角函數(shù)求解．2．（2023上·山東東營(yíng)·九年級(jí)東營(yíng)市勝利第一初級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為，一只螞蟻從處出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周（回到原來(lái)的位置）所爬行的最短路徑為．（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】【分析】把圓錐的側(cè)面展開(kāi)得到圓心角為120°，半徑為60的扇形，求出扇形中120°的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)即為最短路徑．【詳解】解：圓錐的側(cè)面展開(kāi)如圖：過(guò)作,∴

設(shè)∠ASB＝n°，即：，得：，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角，特殊角的銳角三角函數(shù)值，將圓錐中的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)到展開(kāi)圖中是解題的關(guān)鍵．3．（2022上·江蘇泰州·九年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y(cè)）如圖所示，已知圓錐底面半徑，母線長(zhǎng)為．(1)求它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角；(2)若一甲蟲(chóng)從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓錐側(cè)面繞行到母線的中點(diǎn)B，請(qǐng)你動(dòng)腦筋想一想它所走的最短路線是多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)就是側(cè)面展開(kāi)圖（扇形）的弧長(zhǎng)求解即可；（2）畫(huà)出展開(kāi)圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，根據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)就是側(cè)面展開(kāi)圖（扇形）的弧長(zhǎng)得：，又∵．，解得：．∴它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是90°；（2）根據(jù)側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是90°，畫(huà)出展開(kāi)圖如下：根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短可知AB為最短路徑，，B為的中點(diǎn)，由（1）知∴∴它所走的最短路線長(zhǎng)是．【點(diǎn)睛】本題考查求圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角，圓錐側(cè)面上最短路徑問(wèn)題，涉及弧長(zhǎng)公式，圓的周長(zhǎng)公式，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，掌握?qǐng)A錐的底面周長(zhǎng)就是側(cè)面展開(kāi)圖（扇形）的弧長(zhǎng)和兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2023上·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）圓錐底面圓的半徑為3，母線長(zhǎng)為4，則圓錐的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求得圓錐的底面周長(zhǎng)，即展開(kāi)圖中的扇形的弧長(zhǎng)，根據(jù)扇形的面積公式，即可求解．【詳解】解：圓錐的底面周長(zhǎng)是．則圓錐的側(cè)面積是：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐的計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面積的計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為扇形的面積的計(jì)算，理解圓錐與展開(kāi)圖之間的關(guān)系．2．（2022上·河北邯鄲·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，用圖中所示的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐，已知扇形的半徑為5，弧長(zhǎng)是，那么圍成的圓錐的高度是（

）

A． B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】設(shè)底面圓的半徑為r，根據(jù)弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)可求得底面圓的半徑，在利用勾股定理即可求解．【詳解】解：設(shè)底面圓的半徑為r，則，解得：，圓錐的高為：，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的高及勾股定理，熟練掌握?qǐng)A錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若圓錐的底面半徑為5，母線為12，則圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積是．【答案】【分析】本題考查了求圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積公式即可求解，熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積公式：“”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積是：，故答案為：．4．（2023上·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校聯(lián)考期中）用一個(gè)半徑為10cm半圓紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則該圓錐的底面圓半徑為．【答案】【分析】本題考查圓錐的展開(kāi)問(wèn)題，利用半圓的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)即可求得底面圓的半徑．【詳解】解：設(shè)圓錐的底面圓半徑為，則，解得：，即圓錐的底面圓半徑為；故答案為：．5．（2022·河南鄭州·九年級(jí)校考期中）如圖，下面的幾何體是由若干棱長(zhǎng)為1cm的小立方塊搭成．(1)觀察該幾何體，畫(huà)出你所看到的幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖．(2)求這個(gè)幾何體的表面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】由圖可知，從正面看有3列，從左往右正方形的數(shù)目為3、1、2；從左面看有3列，從左往右正方形的數(shù)目為3、2、1；從上面看有3列，從上往下正方形的數(shù)目為3、2、1；依次畫(huà)出即可．由圖觀察可知，組合幾何圖形六個(gè)面的面積均為,將六個(gè)面相加即可求解．【詳解】（1）（2）由圖觀察可知，組合幾何圖形六個(gè)面的面積均為，即這個(gè)組合幾何體的表面積為()，故這個(gè)組合幾何體的表面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三視圖的作法，熟練掌握其畫(huà)法以及計(jì)算表面積的方法是解題的關(guān)鍵．6．（2022上·江西九江·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示的是一個(gè)包裝盒的表面展開(kāi)圖，其底面為正六邊形．(1)請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)包裝盒的幾何體的名稱(2)請(qǐng)根據(jù)圖中所標(biāo)的尺寸計(jì)算這個(gè)幾何體的側(cè)面積【答案】(1)正六棱柱(2)【分析】（1）由平面圖形的折疊及常見(jiàn)立體圖形的展開(kāi)圖，即可解答；（2）側(cè)面積為6個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和，即可解答．【詳解】（1）這個(gè)包裝盒為正六棱柱．（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的展開(kāi)圖，解決本題的關(guān)鍵是熟悉由平面圖形的折疊及常見(jiàn)立體圖形的展開(kāi)圖．B能力提升1．（2023上·四川德陽(yáng)·九年級(jí)四川省德陽(yáng)中學(xué)校校考期中）如圖，已知圓錐的母線，底面半徑，則該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的圓心角為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了求圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角．先求得圓錐底面周長(zhǎng)，再根據(jù)此周長(zhǎng)即為圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求得結(jié)果．【詳解】解：由題意得，解得．故選：B．2．（2023上·四川達(dá)州·九年級(jí)?？计谀┮粋€(gè)長(zhǎng)方體的三視圖如圖所示，若其俯視圖為正方形，則這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查三視圖，正方形的性質(zhì)，長(zhǎng)方體的表面積，根據(jù)主視圖中的數(shù)據(jù)可得長(zhǎng)方體的高和底邊正方形的對(duì)角線長(zhǎng)，進(jìn)而求出正方形的邊長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：由圖可知，俯視圖中正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，長(zhǎng)方體的高為，正方形的邊長(zhǎng)為，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積為，故選D．3．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，則它的側(cè)面展開(kāi)扇形的面積為．【答案】【分析】本題考查了圓錐側(cè)面積公式，根據(jù)圓錐側(cè)面積公式進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握?qǐng)A錐側(cè)面積公式是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，它的側(cè)面展開(kāi)扇形的面積為，故答案為：．4．（2024上·福建莆田·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開(kāi)并展平，得到一個(gè)扇形，若圓錐的母線長(zhǎng)為，扇形的圓心角，則該圓錐的底面圓的半徑長(zhǎng)為．【答案】/【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算，利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，列出方程計(jì)算即可，熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得；，解得：，該圓錐的底面圓的半徑長(zhǎng)為，故答案為：．5．（2023上·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，用一個(gè)半徑為，面積為的扇形鐵皮，制作一個(gè)無(wú)底的圓錐（不計(jì)損耗）．(1)求扇形的圓心角的度數(shù)；(2)求圓錐的底面半徑．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．（1）先求出半徑為的圓面積，結(jié)合面積為的扇形，即可作答．（2）利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，結(jié)合弧長(zhǎng)公式：，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和扇形的面積公式得到，然后解方程求出r即可．【詳解】（1）解：∵一個(gè)半徑為，面積為的扇形鐵皮∴∴扇形的圓心角的度數(shù)為；（2）解：根據(jù)題意得解得．所以圓錐的底面半徑r為6．（2023上·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在平整的地面上，有若干個(gè)完全相同的棱長(zhǎng)為的小正方體堆成一個(gè)幾何體，如圖所示：(1)請(qǐng)畫(huà)出這個(gè)幾何體從正面、左面、上面看到的幾何體的形狀圖；(2)如果在這個(gè)幾何體露在外面的表面噴上黃色的漆，每平方厘米用2克，則共需______克漆；(3)若現(xiàn)在你手頭還有一些相同的小正方體，如果保持從上面看和從左邊看不變，最多可以再添加______個(gè)小正方體．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)64(3)4【分析】本題考查作圖三視圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)正確作出三視圖．（1）根據(jù)三視圖的畫(huà)法，畫(huà)出從正面、左面、上面看到的形狀即可；（2）求出表面積，不含底面，即可求出需要漆的質(zhì)量；（3）從俯視圖上相應(yīng)位置增加小立方體，使左視圖不變，確定添加的數(shù)量．【詳解】（1）解：這個(gè)幾何體從正面、左面、上面看到的幾何體的形狀圖：（2）解：（克），故答案為：64；（3）解：在俯視圖的相應(yīng)位置上，添加小正方體，使左視圖不變，添加的位置和最多的數(shù)量如圖所示：其中紅色的數(shù)字是相應(yīng)位置添加的最多數(shù)量，因此最多可添加4塊．故答案為：4．C綜合素養(yǎng)1．如圖，將半徑為的圓形紙片沿折疊后，圓弧恰好能經(jīng)過(guò)圓心，用圖中陰影部分的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了垂徑定理，折疊的性質(zhì)，特殊直角三角形的判斷。關(guān)鍵是由折疊的性質(zhì)得出含的直角三角形；過(guò)點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)可知為半徑的一半，而為半徑，可求，同理可得，在中，由內(nèi)角和定理求，然后求得弧的長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式求得圍成的圓錐的底面半徑，最后利用勾股定理求得其高即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)可知，，由此可得，在中，，則同理可得，在中，由內(nèi)角和定理，得，∴弧的長(zhǎng)為，設(shè)圍成的圓錐的底面半徑為，則，∴，∴圓錐的高為．故選：A．2．（2023上·江蘇連云港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形紙片中，，把它分割成正方形紙片和矩形紙片后，分別裁出扇形和半徑最大的圓，恰好能作為一個(gè)圓錐的底面和側(cè)面，則圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算．解題思路：解決此類問(wèn)題時(shí)要緊緊抓住兩者之間的兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：（1）