2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)【轉(zhuǎn)化思想】函數(shù)中的轉(zhuǎn)化思想（原卷版）

函數(shù)中的轉(zhuǎn)化思想

知識(shí)方法精講

1.轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思

維方式。所謂的轉(zhuǎn)化思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)

變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法。一般總是將復(fù)雜問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題;

將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題;將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)

題?？傊?，轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)解題中幾乎無(wú)處不在，轉(zhuǎn)化的基本功能是：生疏化成熟悉，復(fù)雜化成

簡(jiǎn)單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。說(shuō)到底，轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)就是以運(yùn)動(dòng)變化發(fā)展的觀點(diǎn)，以

及事物之間相互聯(lián)系，相互制約的觀點(diǎn)看待問(wèn)題，善于對(duì)所要解決的問(wèn)題進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，使

問(wèn)題得以解決。實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法有：待定系數(shù)法，配方法，整體代入法以及化動(dòng)為靜,

由抽象到具體等轉(zhuǎn)化思想。

2.一次函數(shù)綜合題

(1)一次函數(shù)與幾何圖形的面積問(wèn)題

首先要根據(jù)題意畫出草圖，結(jié)合圖形分析其中的幾何圖形，再求出面積.

(2)一次函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題

通常一次函數(shù)的最值問(wèn)題首先由不等式找到x的取值范圍，進(jìn)而利用一次函數(shù)的增減性在前

面范圍內(nèi)的前提下求出最值.

(3)用函數(shù)圖象解決實(shí)際問(wèn)題

從已知函數(shù)圖象中獲取信息，求出函數(shù)值、函數(shù)表達(dá)式，并解答相應(yīng)的問(wèn)題.

3.二次函數(shù)的圖象

(1)二次函數(shù)夕二辦2(aWO)的圖象的畫法：

①列表：先取原點(diǎn)(0,0),然后以原點(diǎn)為中心對(duì)稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表.

②描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出表中的各點(diǎn).

③連線：用平滑的曲線按順序連接各點(diǎn).

④在畫拋物線時(shí)，取的點(diǎn)越密集，描出的圖象就越精確，但取點(diǎn)多計(jì)算量就大，故一般在

頂點(diǎn)的兩側(cè)各取三四個(gè)點(diǎn)即可.連線成圖象時(shí)，要按自變量從小到大(或從大到小)的順序

用平滑的曲線連接起來(lái).畫拋物線》=仆2QW0)的圖象時(shí)，還可以根據(jù)它的對(duì)稱性，先用

描點(diǎn)法描出拋物線的一側(cè)，再利用對(duì)稱性畫另一側(cè).

(2)二次函數(shù)yMqf+bx+c(aWO)的圖象

二次函數(shù)^="2+及+。(QWO)的圖象看作由二次函數(shù)>=辦2的圖象向右或向左平移|互|

2a

個(gè)單位，再向上或向下平移?超」3個(gè)單位得到的.

4.二次函數(shù)的性質(zhì)

2

二次函數(shù)V=ax2+bx+c(QWO)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-一，b),對(duì)稱軸直線'=-q_,

2a4a2a

二次函數(shù)歹=Qf+bx+c(aWO)的圖象具有如下性質(zhì)：

①當(dāng)Q>0時(shí)，拋物線v=Q/+bx+c(QWO)的開口向上，XV--L時(shí)，y隨X的增大而減小;

2a

2

X>--L時(shí)，y隨X的增大而增大；x=--L時(shí)，y取得最小值紇0一,即頂點(diǎn)是拋物線

2a2a4a

的最低點(diǎn).

②當(dāng)a<0時(shí)，拋物線y=a/+6x+c(a￥O)的開口向下，x<-時(shí)，/隨x的增大而增大;

2a

2

x>-旦時(shí)，V隨X的增大而減?。粁=-_k_時(shí)，4取得最大值要0一，即頂點(diǎn)是拋物線

2a2a4a

的最高點(diǎn).

③拋物線yuaf+fcr+cCaWO)的圖象可由拋物線>=辦2的圖象向右或向左平移|--L|個(gè)單

一2a

位，再向上或向下平移|個(gè)單位得到的.

5.二次函數(shù)圖象與幾何變換

由于拋物線平移后的形狀不變，故。不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方

法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮

平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式.

6.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

(1)二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：

①一般式：y—ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，aWO)；②頂點(diǎn)式：y—a(x-/z)~+k(a,h,

左是常數(shù)，aWO),其中(h,k)為頂點(diǎn)坐標(biāo)；③交點(diǎn)式：y=a(x-xi)(x-X2)Ca,b,c

是常數(shù)，aWO)；

(2)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式.

在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系

式，從而代入數(shù)值求解.一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列

三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；

當(dāng)已知拋物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解.

7.拋物線與x軸的交點(diǎn)

求二次函數(shù)y=af+6x+c（°,6,c是常數(shù)，aWO）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=O,即^^+加什。

=0,解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo).

（1）二次函數(shù)y=ox2+6x+c（a,b,c是常數(shù)，aWO）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+6x+c=0

根之間的關(guān)系.

△=啟-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

△=y-4℃>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；

△=房-4℃=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；

△=廬-4℃<0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn).

（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y=a（x-xi）（x-X2）（a,b,c是常數(shù)，aWO）,可直接得到拋

物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（XI,0）,（X2,0）.

8.圖象法求一元二次方程的近似根

利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根的步驟是：

（1）作出函數(shù)的圖象，并由圖象確定方程的解的個(gè)數(shù)；

（2）由圖象與夕=〃的交點(diǎn)位置確定交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍；

（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）.

9.二次函數(shù)與不等式（組）

二次函數(shù)y=ax2+6x+c（a、b、c是常數(shù)，aWO）與不等式的關(guān)系

①函數(shù)值〉與某個(gè)數(shù)值加之間的不等關(guān)系，一般要轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的不等式，解不等式求得

自變量x的取值范圍.

②利用兩個(gè)函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交

點(diǎn)直觀求解，也可把兩個(gè)函數(shù)解析式列成不等式求解.

10.二次函數(shù)綜合題

（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問(wèn)題

解決此類問(wèn)題時(shí)，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號(hào)，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系

式中系數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即

為正確選項(xiàng).

（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用

將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起.這類試題一般難度較大.解這類問(wèn)題關(guān)鍵

是善于將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí),

并注意挖掘題目中的一些隱含條件.

（3）二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用題

從實(shí)際問(wèn)題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型.關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立

直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的

取值范圍要使實(shí)際問(wèn)題有意義.

選擇題（共12小題）

1.（2021秋?余杭區(qū)月考）某二次函數(shù)的圖象與函數(shù)>=；/-4》+3的圖象形狀相同、開口

方向一致，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,1）,則該二次函數(shù)表達(dá)式為（）

A.y=-（x-2）2+1B.y=-（x-2）2-1

11,

C.y=-（x+2）2+1D.y=--（x+2）2+1

2.（2021?市中區(qū)三模）拋物線y=x2+bx+3的對(duì)稱軸為直線x=l.若關(guān)于x的一元二次方

程/+（6+2江+3-=0（/為實(shí)數(shù)）在-l<x<4的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則/的取值范圍是（）

A.3-#<19B.2C.6</<11D.2-#<6

3.（2021?榆陽(yáng)區(qū)模擬）拋物線y=f+bx+2的對(duì)稱軸為直線x=l.若關(guān)于x的一元二次方

程/+酗+2-=0”為實(shí)數(shù)）在-l<x<4的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則/的取值范圍是（）

A.1~^<5B.C.5<Z<10D.1~#<10

4.（2020秋?鄭城縣期末）拋物線了=尤2+法+2的對(duì)稱軸為直線x=l.若關(guān)于x的一元二

次方程+2-=0（l為實(shí)數(shù)）在T<x<5的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，貝I"的取值范圍是（）

A.t^=QB.<17C.<17D.<19

5.（2021?尋烏縣模擬）拋物線y=f+亦+3的對(duì)稱軸為直線x=l.若關(guān)于x的方程

/+如+3-=0。為實(shí)數(shù)）在-2Vx<3的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，貝h的取值范圍是（）

A.6<Z<11B.心里C.2~#<11D.2~#<6

6.（2021?啟東市模擬）拋物線了=-x2+bx+3的對(duì)稱軸為直線x=-l,若關(guān)于尤的一元二次

方程*+8+3-=0（/為實(shí)數(shù)）在_2<x<3的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，貝!k的取值范圍是（）

A.-12<TB.-12<Z<4C.-12<pD.-12<;<3

7.二次函數(shù)>=/+反的對(duì)稱軸為直線x=2,若關(guān)于x的一元二次方程/+區(qū)-/=0（/為

實(shí)數(shù)）在-l<x<4的范圍內(nèi)有解，貝卜的取值范圍是（）

A.0</<5B.-4-^<5C.—<0D.4

8.二次函數(shù)>=X2+版一方的對(duì)稱軸為％=2.若關(guān)于x的一元二次方程X2+樂(lè)—=0在

-1<x<3的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)解，貝Ik的取值范圍是（）

A.—■4'^^<5B.—4^-^<—3C.I、、—4D.—3<，<5

9.二次函數(shù)了=/+云-1的圖象如圖，對(duì)稱軸為直線x=l,若關(guān)于x的一元二次方程

丁-2》-1-/=0?為實(shí)數(shù)）在-l<x<4的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)解，貝心的取值范圍是（）

A.B.—<7C.—2-^f<2D.2</<7

10.（2020?日照二模）拋物線了=苫2+法+3的對(duì)稱軸為直線工=2.若關(guān)于X的一元二次方

程尤?+6尤+3-=0”為實(shí)數(shù)）在l<x<5的范圍內(nèi)只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，貝心的取值范圍是（

）

A.（M<8或f=-lB.t^QC.0<?<8D.

11.（2020春?越秀區(qū)校級(jí)月考）拋物線了=/+及+3的對(duì)稱軸為直線x=2.若關(guān)于x的一

元二次方程x2+bx+3-=0（，為實(shí)數(shù)）在-l<x<4的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則/的取值范圍是（

）

A.-1-#<3B.3</<8C.-1-#<8D.—1<Z<4

12.（2020?泉州模擬）二次函數(shù)y=Y+bx的對(duì)稱軸為直線x=l,若關(guān)于x的一元二次方程

尤2+法一=0（，為實(shí)數(shù)）在-3<x<4的范圍內(nèi)有解，則/的取值范圍是（）

A.0<Z<8B.—<15C.—<8D.8</<15

二.填空題（共6小題）

13.如圖是，二次函數(shù)了=-/+4x的圖象，若關(guān)于x的一元二次方程-尤2+4尤T=0（/為實(shí)

數(shù)）在l<x<5的范圍內(nèi)有解，貝！U的取值范圍是

14.（2021?南關(guān)區(qū)校級(jí)二模）如圖，二次函數(shù)夕=-/+機(jī)x的圖象與x軸交于坐標(biāo)原點(diǎn)和（4,0）,

若關(guān)于x的方程--如+/=0（/為實(shí)數(shù)）在l<x<4的范圍內(nèi)有解，貝卜的取值范圍是—.

15.（2020秋?長(zhǎng)春期末）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線了=/+樂(lè)+5的對(duì)稱軸為直線

x=1.若關(guān)于x的一元二次方程/+加+5-/=0。為實(shí)數(shù)）在-1<工<4的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根,

則I的取值范圍為一.

16.（2020?立山區(qū)二模）拋物線了=Y+6x+3的對(duì)稱軸為直線x=l,若關(guān)于x的一元二次

方程尤2+樂(lè)+3-/=0。為實(shí)數(shù)）在-l<x<4的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則/的取值范圍是.

17.（2020?浙江自主招生）已知了=》2+必-6,當(dāng)時(shí)，><0恒成立，那么實(shí)數(shù)x的

取值范圍是.

18.二次函數(shù)夕=/+云的圖象如圖，對(duì)稱軸為直線x=l.若關(guān)于x的一元二次方程

f+bx-=0(，為實(shí)數(shù))在-1<X<4的范圍內(nèi)有解，貝1"的取值范圍是

19.(2021秋?槐蔭區(qū)期末)請(qǐng)閱讀下列解題過(guò)程：

解一元二次不等式：X2-5X>0.

解：設(shè)/_5x=0,解得：西=0,%=5,則拋物線y=--5x與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和

(5,0).畫出二次函數(shù)y=f-5x的大致圖象(如圖所示).由圖象可知：當(dāng)x<0,或當(dāng)x>5

時(shí)函數(shù)圖象位于x軸上方，止匕時(shí)y>0,即--5x>0.

所以一元二次不等式x?-5x>0的解集為：x<0,或x>5.

通過(guò)對(duì)上述解題過(guò)程的學(xué)習(xí)，按其解題的思路和方法解答下列問(wèn)題：

(1)上述解題過(guò)程中，滲透了下列數(shù)學(xué)思想中的—和—.(只填序號(hào))

①轉(zhuǎn)化思想；②分類討論思想；③數(shù)形結(jié)合思想.

(2)用類似的方法解一元二次不等式：X2-2X-3<0.

20.(2020秋?歷下區(qū)期末)如圖，直線乙：y=fcc+6與y軸交于點(diǎn)8(0,3),直線:y=-2x-l

交y軸于點(diǎn)N,交直線4于點(diǎn)尸(-1,。.

(1)求左、b和t的值;

(2)求A4Ap的面積；

(3)過(guò)動(dòng)點(diǎn)D(a,O)作x軸的垂線與直線4、12,分別交于“、N兩點(diǎn)，且血W<4.

①求°的取值范圍；

②當(dāng)A4Mp的面積是的面積的！時(shí)，求的長(zhǎng)度.

2

21.(2021秋?惠民縣月考)小剛在用描點(diǎn)法畫拋物線了="+8+c時(shí)，列出了下面的表格:

X-2-101234

y-3023320

(1)請(qǐng)根據(jù)表格中的信息，寫出拋物線的一條性質(zhì):

(2)求拋物線的解析式；

(3)拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為/、B(/在2的左側(cè))與y軸的交點(diǎn)為C,其對(duì)稱軸與x軸

的交點(diǎn)為。，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)尸，使APCD是以CD為腰的等腰三角形，求出尸

點(diǎn)的坐標(biāo)；

(4)在(3)的條件下，拋物線上有一點(diǎn)。，使ASC。的內(nèi)心在x軸上，直接寫出點(diǎn)0的坐

標(biāo).