2025年中考數(shù)學一輪復習：圓 專項訓練（含答案）

2025年中考數(shù)學一輪復習圓最新模擬題專題訓練

2024年最新模擬題一圓專題訓練

1.如圖，為口。的直徑，半徑口。的切線CE交A8的延長線于點E,口。的弦CD與A8相交于點

F.(1)求證：EB=EC；(2)若OE=10,且3為EE的中點，求□O的半徑長.

BE

2.如圖，AACO內接于口O,C。為直徑，射線OE_LAC于點E,交口。于點尸，過點A作口O的切線交射線。石

于點2.(1)當/8=25。時，求ZD的度數(shù)；(2)當AD=2,——=■!■時，求3尸的長.

EF2

3.如圖，是口。的直徑，C,。是口。上異于A,8的兩點，S.ZABD=2ZBAC,過點C作CEJ.3。交。B的

延長線于點尸，交的延長線于點E,連接BC.

(1)求證：CE是口。的切線；(2)若AB=1。，BF=2,求BE的長.

D

4.已知48為□。的直徑，C為口。上一點，A。和過點C的切線互相垂直，垂足為O,AO交口。于點E.

(1)如圖①，求證：AC平分ND4B；

(2)如圖②，過8作8尸//A￡＞交口0于點F,連接CF,若AC=4括，DC=4,求CE的長.

5.如圖，A8是口。的直徑，C,。都是□。上的點，AO平分NCAB,過點。作AC的垂線交AC的延長線于點

E,交AB的延長線于點尸.

(1)求證：EF是口。的切線；(2)若AB=10,AC=6,求CE的值.

6.如圖，□。是AA8C的外接圓，直徑AB的長為6,過點C的切線交A3的延長線于點。，連接。C.

(1)若/。=30。，求AO的長；(2)若NA=30。，求證：AC=DC.

7.如圖，AB為口。的直徑，弦CA與A8交于點E,連接AC、BD,ZC=75°,ZD=45。.

(1)求/AEC的度數(shù)；(2)若AC=2娓,求CD的長.

D\/E

8.如圖，點8為圓O外一點，過點8作圓。的切線，切點為A,點P為OB上一點，連接AP并延長交圓。于點C,

連接0C,若08與。C垂直.

(1)求證：=；(2)若03=10,圓O的半徑為8,求AP的長.

9.如圖，AABC為口。的內接三角形，且48為□。的直徑，OE與口。相切于點。，交A2的延長線于點連

接。。交3c于點f，連接A。、CD,NE=NADC.

(1)求證：AD平分N8AC；⑵若CF=2DF,AC=8,求口。的半徑r.

E

10.如圖，已知□。是RtAABC的外接圓，點。是RtAABC的內心，8。的延長線與□O相交于點E,過E作直線

1//AC.(1)求證：/是口。的切線；(2)連接CE,若AB=3,AC=4,求CEr的長.

11.如圖，A4BC是□O內接三角形，AC是口。的直徑，點E是弦。8上一點，連接CE,CD.

(1)若NDCA=NECB,求證：CELDB-,(2)在(1)的條件下，若AB=6,DE=5,求sin/DBC.

12.如圖，A8為口。的直徑，點C是口。上一點，過點C的直線交48的延長線于點M.作ADLMC,垂足為點

D,已知AC平分NMAD.(1)求證：MC是口。的切線；(2)若=,MC=4,求口。的半徑.

D

13.如圖，等腰A4BC內接于口0,AC=BC,直徑AB=2血，。是圓上一動點，連接A。，CD,BD,CD交AB

于點G.(1)求證：ADAC=ZAGC；(2)若AD=C。，求AACD的面積.

14.如圖，RtAABC的直角頂點C在口。上，口。與斜邊AB相切于點E,口。交邊AC于點。、交BC于點F,

連接EF,ED,且EF//AC.

(1)求證：四邊形CDE尸為矩形；(2)若CD=2,ABAC=30°,求AE的長.

15.如圖，已知四邊形ABC。內接于口O,直徑AC與8。交于E點，8。平分NADC.

(1)若AD=8O,求證：DC=DE；(2)若處=*,求處的值.

CD2AC

16.如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓上，點。在AB上，且AC=A￡>,0c=8,弧8C的度數(shù)是60。.

(1)求線段OD的長；(2)求圖中陰影部分的面積(結果保留根號和萬).

17.如圖，0A和02是口。的半徑，OA_LOB,點尸在OA上，連接8尸并延長交口O于點C,過C作NOCP=NDPC

交。4的延長線于點

(1)求證：DC是口。的切線；(2)若OP=PC,口。的半徑。4=6，求的長.

C

18.如圖，四邊形ABC。內接于□O,AC是□。的直徑，AB=BC,延長到點E,使得BE=BD.

(1)若AF平分NC4。，求證：8A=8尸；(2)試探究線段4。，C。與8。之間的數(shù)量關系.

19.如圖1,4?為口。的直徑，BC為弦,過圓心。作OD1.BC于。，點E為A8延長線上一點，CE1是口。的切

線.(1)求證：ZBCE=ZBOD；

(2)如圖2,取弧AC的中點尸，連接OP,AP,若AB=13,BC=5,求弦PA的長.

圖2

20.如圖，在口O中，直徑為,正方形A8CD的四個頂點分別在半徑OM、OP以及口。上，并且NPOM=45。.

(1)若AB=2,求的長度；(2)若半徑是5,求正方形ABCO的邊長.

22.如圖，AB為口。的直徑，E為的延長線上一點，過點E作口。的切線，切點為點C,連接AC、BC,過

點A作A。_!EC交EC延長線于點D.

(1)求證：ZBCE=ZDAC.(2)若BE=2,CE=4,求的長.

21.【問題提出】如圖1,為口0的一條弦，點C在弦A3所對的優(yōu)弧上運動時，根據(jù)圓周角性質，我們知道NACB

的度數(shù)不變.愛動腦筋的小芳猜想，如果平面內線段A8的長度已知，NACB的大小確定，那么點C是不是在某個

確定的圓上運動呢？

【問題探究】為了解決這個問題，小芳先從一個特殊的例子開始研究.如圖2,若AB=4,線段A8上方一點C滿

足NAC8=45。，為了畫出點C所在的圓，小芳以AB為底邊構造了一個RtAAOB,再以點。為圓心，04為半徑畫

圓，則點C在口。上.后來小芳通過逆向思維及合情推理，得出一個一般性的結論.即:若線段A8的長度已知，NACB

的大小確定，則點C一定在某一個確定的圓上，即定弦定角必定圓，我們把這樣的幾何模型稱之為“定弦定角”模型.

【模型應用】

(1)若AB=6,平面內一點C滿足/AC8=60。，若點C所在圓的圓心為。，則NAO8=_120。劣弧AB的長

為.

(2)如圖3,已知正方形A8C。以為腰向正方形內部作等腰AA8E,其中=,過點E作EF_LAB于點尸，

若點P是AAEP的內心.

①求/BPE的度數(shù)；②連接CP,若正方形ABCZ＞的邊長為4,求C尸的最小值.

c

DC

FB

圖1圖2圖3

23.如圖1,已知A3是半圓。的直徑，BC是半圓。的切線，0C平行于弦AO.

(1)連接8。，若BD=BC,求NC的度數(shù)；

(2)如圖2,過。作于E,連接AC與DE交于點尸，求證：PD=PE.

0

81

24.如圖，四邊形ABC。內接于口。，對角線AC是口。的直徑，CE與口。相切于點C,連接交AC于點尸.

(1)求證：ZDCE=ZDBC；(2)若CE=#,AD=4,求tan/ABZ>的值.

25.如圖，AABC中，NAC2=90。，點O在邊BC上，以點。為圓心，為半徑的口。交AB于。，交BC于E,

若Cr>=CA.（1）求證：CD為口。的切線；（2）若AC=3,BC=6V2,求2。的長.

26.如圖，在AABC中，ZB=60°,以為直徑的圓與8c邊交于點。，過點。作。E_LAC,垂足為點E,且。E

是口。的切線.

（1）求證：AA8C為等邊三角形；（2）過點E作垂足為點F,連接.若48=2,求EF的長.

27.如圖，AA8C內接于半圓O,A8為直徑，NA2C的平分線交AC于點/，交半圓。于點。，?！辏?8于點￡,

且交AC于點P,連接A。，求證：（1）NCAD=NAB。；（2）點尸是線段A尸的中點.

D

A

EOB

28.如圖，已知AB為□。的直徑，過□O上點C的切線交A8的延長線于點E,A3J_EC于點。.且交口O于點

F,連接8C,CF,AC.(1)求證：BC=CF■,(2)若AO=3,DE=4,求BE的長.

29.如圖，在A4BC中，AB=AC,以AB為直徑作□。交2C于點。.過點。作DE_LAC,垂足為E,延長C4

交口。于點尸.(1)求證：DE是□。的切線；(2)若tanB=，,□。的半徑為5,求線段CB的長.

2

30.如圖，A8是口。的直徑，C是耳。的中點，。￡_148于點￡,BD交CE于點F.

(1)求證：CF=BF；⑵若BE=OE=2,求弧AO的長度.

31.如圖，在口。中，點C是直徑AB延長線上的一點，點D是直徑AB上方圓上的一點，連接CD，使得ZA=NBDC.

(1)求證：CD是口。的切線；

(2)若CE平分,且分別交A。，BD于點、E,F,當。E=2時，求所的長;

(3)若BD=2,AD=4,求8c的長.

33.如圖，點。在的平分線上，口O與尸4相切于點C.

(1)判斷尸8與口。的位置關系，并說明理由；

(2)尸。的延長線與□O交于點E.若口。的半徑為3,PC=4.求弦CE的長.

34.如圖，□。的直徑AB垂直于弦C。，垂足為E,AE=2,CD=8.

(1)求口。的半徑長；(2)連接BC,作。P_LBC于點B,求。尸的長.

D

35.已知口O中，AB是直徑，AC是弦，ABAC=32°.

（1）如圖1,連接BC,求NABC的度數(shù)；（2）如圖2,過點C作弦CD_LAB,X為垂足，求480。的度數(shù).

36.如圖，點。在□O的直徑A8的延長線上，點C在□O上，AC平分ND4E,4片_18于點￡：.

（1）求證：C。是口。的切線.（2）是口。的切線，尸為切點，若80=2,ZADE=30°,求以尸的長.

37.如圖，AB是圓。的直徑，C,。是圓上的點（在A3同側），過點D的圓的切線交直線A2于點E.

（1）若A8=2,BC=1,求AC的長；（2）若四邊形ACDE是平行四邊形，證明：8。平分/A8C.

38.如圖，在口。中，點C是直徑AB延長線上的一點，點D是直徑AB上方圓上的一點，連接CD，使得ZA=NBDC.

(1)求證：C￡＞是口。的切線；(2)若CE平分ZACD,且分別交AD,8。于點E,F,當。E=2時，求EF的

長.

39.如圖，為口。的直徑，AC是口。的一條弦，。為弧8c的中點，過點。作。ELAC,垂足為AC的延長

線上的點E.連接ZM、DB.

(/)求證：OE是口。的切線；(2)延長即交的延長線于尸，若=DE=6,求口。的半徑.

40.如圖，AB是□O的直徑，點C為口。上一點，連接AC,CN與口。相切，OM±AB,分別交AC,CN于

點。，M.(1)試猜想線段與MC的數(shù)量關系，并說明理由；(2)連接8C,若AC=6,ZB=60°,求弧AC

的長.

41.如圖，AABC內接于口。，AB,C￡＞是口。的直徑，E是。3延長線上一點，1.ZDEC=ZABC.

(1)求證：CE是口。的切線；(2)若OE=4括，AC=2BC,求線段CE的長.

42.如圖，以BC為底的等腰AA8C的三個頂點都在口。上，過點A作AO//8C交20的反向延長線于點。.

(1)求證：AO是口。的切線.(2)若四邊形ADBC是平行四邊形，且BC=12,求□。的半徑.

43.如圖，點E是AA8C的內心，AE的延長線和AA2C的外接圓口。相交于點。，與弦BC交于點尸.

(1)求證：DB=DE.⑵若DF=3,AF=5,求AE的長.

A

0-

'B

44.RtAABC中，ZC=90°,。為AB上一點，以O為□心，OA為半徑的口與8c相切于點。.

(1)求證：AD平分/BAC；(2)連接。E,若AB=2BD,求cos/CDE的值.

45.如圖，AB是口。的直徑.四邊形ABCO內接于□。，AD=CD,對角線AC與8。交于點E,在BD的延長

線上取一點F,使DF=DE,連接AF.

(1)求證：AF是口。的切線.(2)若AD=5,AC=8,求口。的半徑.

46.如圖，AB為口。的直徑，C為BA延長線上一點，C。是口。的切線，。為切點，。尸，A。于點E,交CD于

點尸.(1)求證：ZADC=ZAOF；(2)若sin。=一，BD=8,求EF的長.

3

CA\~0JB

47.如圖，在AABC中，。是內心，點E,歹都在大邊上，已知3/=氏4,CE=CA.

(1)求證：。是AAEF的外心；(2)若NB=40。，ZC=30°,求:NEOE的大小.

BEr。

48.問題提出：如圖1,在RtAABC中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,口C半徑為2,尸為圓上一動點，連接AP、

BP,求的最小值.

2

(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖2,,連接CP,在C8上取點。，使CD=1,則

CDCP1PD1

有——=——二—,又/PCD=/BCP,APCD^ABCP.——=—,:.PD=-BP,AP+-BP=AP+PD.

CPCB2BP222

請你完成余下的思考，并直接寫出答案：尸的最小值為百

AP+1B7_.

2一

(2)自主探索：在“問題提出”的條件不變的情況下,—AP+B尸的最小值為.

3

(3)拓展延伸：已知扇形CO。中，ZCOD=90°,OC=6,OA=3,03=5,點尸是加上一點，求2PA+P5的

最小值.

餐基捻

圖1圖2圖3

2024年最新模擬題一圓專題訓練

1.如圖，A8為口。的直徑，半徑OD_LAB,□O的切線CE1交AB的延長線于點E,口O的弦。與A8相交于點

F.(1)求證：￡F=EC；(2)若OE=10,且2為斯的中點，求口。的半徑長.

【解答】(1)證明：連接。C,^.?口O的切線CE交A8的延長線于點E,.^.OCJ.CE,.^.N。CE=90。，即

NOCF+ZECF=90°,OC=OD,ZOCF=ZODF,OD±AB,ZDOF=90°,ZODF+ZOFD=90°,

ZECF=ZOFD,???ZOFD=ZEFC,ZECF=ZEFC,EF=EC；(2)解：設□O的半徑為r,貝!JOB=OC=r,

OE=10,2為E尸的中點，:.BE=BF=lQ-r,EC=EF=2Q-2r,在RtAOCE中，OC2+CE2=OE2,

：.r2+(20-2r)2-102,解得r=6或r=10(舍去)，.①。的半徑長為6.

2.如圖，AACD內接于口0,C。為直徑，射線OELAC于點E,交口0于點F,過點A作口O的切線交射線OE

CF1

于點3.(1)當48=25。時，求/D的度數(shù)；(2)當A0=2,——=—時，求8廠的長.

EF2

【解答】解：(1)連接。A,如圖，?.?。。為直徑，「./。4。=90。..?./。+/。=90。，:A5為口O的切線，。4_LA5,

...ZAOB+N5=90°,???ZB=25°，.二ZAOB=65°.丁OE1AC,ZOAC+ZAOB=90°,/.ZOAC=25°,OA=OC,

OF1

ZC=ZOAC=25°.ZD=90°-ZC=65°；(2)?.-—=-,.?.設OE=a,貝ijE尸=2a,OF=OE+EF=3a.

EF2

?.?OE_LOC,—EC.?.?OD=OC,.1OE為ACZM的中位線，.?.A￡)=2OE=2a,AD=2,:.a=l.OE=1,

OA=OF=3.OALAB,AELOB,/.AOAE^AOBA,,/.-=—,

OEOA13

OB=9.BF=OB-OF=9-3=6.

3.如圖，AB是口。的直徑，C,。是口。上異于A,2的兩點，MZABD=2ZBAC,過點C作CE_L8D交DB的

延長線于點/，交A8的延長線于點E,連接3c.

(1)求證：CE是口O的切線；(2)若AB=10,BF=2,求BE的長.

F

［解答］(1W：連接OC,如圖，???OA=OC,ZOAC=ZOCA,ZBOC=ZA+ZOCA=2ZOAC，:ZABD=2.ZBAC,

ZABD=ZBOC,OC//BD,"CE1BD,OC±CE,CE■為□O的切線；(2)解：vAB=10,BF=2,

.-.OB=OC=5,■：BE//OC,A-=BE,:.BE=—,故BE的長為W.

OCOE5BE+533

4.已知AB為口。的直徑，C為口。上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為。，AO交口。于點E.

(1)如圖①，求證：AC平分ND4B；

(2)如圖②，過3作B尸//AD交口。于點尸，連接C尸，若AC=4百，DC=4,求CE的長.

【解答】(1)證明：連接。C,如圖①，?.?(?￡)是口O的切線，.?.OCLCD,AD±CD,:.OC//AD,ZDAC=ZACO,

■：OA=OC,ZOAC=ZOCA,ZDAC=ZCAO,ACZDAB；(2)解：連接CE,CB,如圖②，在RtAACD

中，AC=445,DC=4,：.AD-sjAC2-CD2=8,?.?四邊形ABCE1是口。的內接四邊形，NABC+NAEC=180。，

又/DEC+NAEC=180。，ZDEC=ZABC,「AB為口。的直徑，ZACB=90°,ZCAB+ZABC=90°,

5LAD1CD,NADC=90°,ZDAC+ZACD=90。，又ZDAC=ZCAO,ZACD=ZABC,ZDEC=ZACD,

ACAD4，/52—

XZADC=ZCDE,\ACD^\CED,—=—,即^-=一，解得CE=2遙.

CECDCE4

5.如圖，AB是□。的直徑，C,。都是口。上的點，平分NCA8,過點。作AC的垂線交AC的延長線于點

E,交的延長線于點

【解答】（1）證明：如圖1,連接。D,?.,AD平分NCAB,ZOAD=ZEAD,/OD=OA,ZODA=ZOAD,

.?.NODA=NEAD,OO//AE,=/=90。且。在□O上，.IEF是□O的切線；（2）連接BC,交OD

于H,?.?AB是口。的直徑，:.ZACB=90°,-：AB=IQ,AC=6,BC^ylAB2-AC2=A/102-62-8,

???ZE=ZACB=90°,BC//EF,ZOHB=ZODF=90°,:.OD1BC,:.CH=-BC=4,CH=BH,OA=OB,

2

:.OH=-AC=3,:.DH=5-3=2,?.-ZE=ZHCE=ZEDH=90°,，四邊形ECffl）是矩形，:.ED=CH=4,

2

CE=DH=2.

6.如圖，□。是AABC的外接圓，直徑A8的長為6,過點C的切線交A8的延長線于點。，連接OC.

（1）若/D=30。，求的長；（2）若/A=30。，求證：AC=DC.

【解答】（1）解：：直徑AB的長為6,。4=OC=3,C￡>為□O的切線，OCVCD,ZOCD=90°,:ND=30°,

OD=2OC=6,r.AO=OA+OD=3+6=9；（2）證明：:OA=OC,ZOCA=ZA=30°,

ZACD=ZOCA+ZOCD=120°,-.?ZD=1800-ZA-ZACD=180°-30°-120°=30°,ZA=Z￡>,AC=DC.

1.如圖，AB為口。的直徑，弦CD與AB交于點E,連接AC、BD,ZC=75°,40=45。.

(1)求NAEC的度數(shù)；(2)若AC=2a,求CO的長.

【解答】解：（1）???ZD=45°,ZA=ZD=45°,?rNC=75。，在\AEC中，

ZAEC=180°-ZA-ZC=180°-45°-75°=60°.（2）過點O作。尸_LCD于點B,連接OC,?.?44=45。，

ZBOC=2ZA=90°,ZAEC=60°,.?.在AOEC中，ZOCE=180°-ZBOC-ZAEC=30°,;NACE=75°,

r.NACO=75。-30。=45。，-.OA=OC,ZAOC=90°,-.-AC=2屈，/.在RtAAOC中

OC=AC-cosZACO=276COS45°=273,.?.在RtAOFC中，CF=OC-cosZOCF=273cos30°=3,/OFLCD,

:.CD=2CF=6.

8.如圖，點8為圓O外一點，過點8作圓。的切線，切點為A,點P為OB上一點，連接AP并延長交圓。于點C,

連接OC,若與。C垂直.

(1)求證：=；(2)若08=10,圓。的半徑為8,求AP的長.

【解答】(1)證明：-：OBX.OC,ZPOC=90°,AZC+NCPO=90°,-.?OC=OA,ZC=ZOAC,

:.ZOAC+ZCPO=9Q0,ZBPA=ZCPO,ZOAC+ZBPA=9Q°,:BA與圓切于A,r.半徑OA_LAB,

ZOAC+ZBAP=90°,ZBAP=ZBPA,AB=PB；(2)解：作尸于H,/AB=PB,AP=2PH,

?.?08=10,圓O的半徑為8,AB=yiOB--O^=A/102-82=6,/.BP=AB=6,OP=OB-PB=10-6=4,

PC=yJOP2+CO2=V42+82=475,vZBHP=ZCOP,ZBPH=ZCPO,NBPH^\CPO,PH:PO=BP:CP,

PH:4=6:475,PH=—,:.AP=2.PH=^^,尸的長是05.

555

9.如圖，AABC為口。的內接三角形，且為口。的直徑，OE與口O相切于點。，交A8的延長線于點E,連

接。。交BC于點/，連接A。、CD,NE=NADC.

(1)求證：AD平分/BAC；⑵若CF=2DF,AC=8,求口。的半徑r.

【解答】(1)證明：由圓周角定理得：ZABC=ZADC,:NE=NADC,ZABC=ZADC,BC//DE,

■：OE與口O相切于點D,ODLDE,ODVBC,耳。=①，/.ABAD=ACAD,AD平分ABAC；

(2)解：ODA.BC,BF=FC,-：BO=OA,OF=1AC=4,:.DF=r-4,BF=CF=2DF=2(r-4),

在RtABOF中，OB?=OF?+BF?,即/=4?+(2廠_8>,解得：r{=y,r2=4(舍去)，答：口。的半徑r為弓.

10.如圖，已知□。是RtAABC的外接圓，點。是RtAABC的內心，2。的延長線與口。相交于點E,過E作直線

1//AC.

(1)求證：/是口。的切線；(2)連接CE,若AB=3,AC=4,求CE的長.

【解答】（1）證明：連接。E,?.?點。是RtAABC的內心,ZABE=NCBE,OB=OE,NEBC=ZOEB,

:.NABE=NOEB,AB//OE,ABAC=ZOGC=90°,-：l//AC,OE11,為半徑，是口0的切線；

（2）解：在RtAABC中，由勾股定理得，BC=732+42=5,OC=-,-.-OGLAC,:.CG=-AC=2,OG=-AB=~,

2222

:.EG=---=1,在RtACEG中，由勾股定理得，CE=〈EG，+CG，=正+2?=后.

22

11.如圖，AABC是□O內接三角形，AC是□O的直徑，點E是弦。2上一點，連接CE,CD.

（1）若NDCA=NECB,求證：CEX.DB-,（2）在（1）的條件下，若AB=6,DE=5,求sinNDBC.

【解答】（1）證明：連接A。，TAC是口。的直徑，ZADC=90°,ZDAC+ZACD=90°,:/DCA=NECB,

NC4O=NC2。，.?.NBCE+NCBE=90°,.?.NBEC=90。，.?.CEJ.BDNZ）解：?.?AC是口。的直徑，.?.NA3C=90。,

DFCF

???CE工BD,NCED=90。，：.NCED=/ABC,=:.\ABC^\DEC,——=——,?/AB=6,DE=5,

ABBC

sinZDBC=—DE5

BCAB6

12.如圖，A2為口。的直徑，點C是口。上一點，過點C的直線交A8的延長線于點作ADLMC,垂足為點

D,已知AC平分NK4O.

（1）求證：A/C是口O的切線；（2）若A8=8M,MC=4,求口。的半徑.

【解答】（1）證明：:AD1MC,ZD=90°,???OA=OC,/OCA=ZOAC，丁AC平分NMAD，.二ZDAC=ZOAC,

AZOCA=ZDAC,/.OC//DA,ZD=ZOCM=90°,TOC是□。的半徑，廠.MC是□。的切線；（2）解：設

OA=OB=OC=r.-：BM=AB=2r,OM=3r,■：ZMCO=90°,CM2+OC2=OM2,:A6+r2=9r2,

:.r=41(負根已經(jīng)舍去)，二口。的半徑為力.

13.如圖，等腰AABC內接于口0,AC=BC,直徑AB=2&,。是圓上一動點，連接A。，CD,BD,CD交AB

于點G.(1)求證：ZDAC=ZAGC；(2)若AD=C。，求AACO的面積.

【解答】(1)證明：由圖可得：ZAGC=ZABC+ZBCD,ZDAC=ZCAB+ZBAD,-：AC=BC,ZCAB=ZABC,

ZBCD=ZBAD,ZDAC=ZAGC.(2)解：如圖，連接OD并延長交AC于點E,直徑AB=272,在RtAACB

中由勾股定理得：AC'+BC1=(2V2)2,AC=2,AD=CD,Ho=fe,z.DE1AC,AE^l,vAC=BC,

AACB是等腰直角三角形，ZCAB=45°,OE=AE=1,-.?OD=OA=42,DE=OE+OD=1+41，

s=-xACxD￡=-x2x(l+V2)=l+V2,即AACD的面積是1+0.

22'，

14.如圖，RtAABC的直角頂點C在口。上，口O與斜邊AB相切于點E,口。交邊AC于點。、交BC于點F,

連接所，ED,且斯//AC.

(1)求證：四邊形CDEF為矩形；(2)若CO=2,ABAC=30°,求AE的長.

【解答】(1)證明：如圖，連接CE,???NAC8=90。，EF//AC,ZCFE=90°,:.CE^UO/.ZCDE=90°,

四邊形C￡>EP為矩形.(2)解：；AB是口O的切線，CE是口O的直徑，；.CEJ.AB,即NAEC=90。，又；NA=30。，

rr\CD

NACE=90°-NA=6。°,在RtACDE中，ZACE=6?！?CO=2,:cosNACE=—，:.CE=---------=4,在RtAAEC

CEcos60°

中，vtanZACE=—,AE=CE-tan60°=4V3.

CE

15.如圖，已知四邊形A8CD內接于□O,直徑AC與3。交于E點，8。平分NADC.

(1)若AD=BD,求證：DC=DE；(2)若迎=3,求四的值.

CD2AC

BB

/DAE=ZDBC

【解答】(1)證明：???3。平分ZADCZADB=ZCDB,在MED和\BCD中，\AD=BD

/ADE=ZBDC

\AEDABCD(ASA),:.DE=DC；(2)解：過5點作5尸_L30交D4的延長線于點尸.如圖，:AC為口。的

直徑，:.ZADC=ZBAC=90°,?/BDZADC,ZADB=ZACB=45°,AA5C和AB/Z)都為等腰直角三角

BF=BD

形，BD=BF,AB=BC,?/ZFBD=ZABC=90°,/.ZFBA=ZDBC,在AA8尸和AC3。中，JZFBA=ZDBC,

BA=BC

4ns

AABF=ACBD(SAS),CD=AF,v—=—,設CD=2k,AD=5k,DF=Ik,在RtAADC中，

CD2

772

AC=Jen?+AD?=J(2女尸+(5%)2=犧k,在RtABDF中，BD=—DF=,...處=_^=拽1.

、22AC區(qū)k58

16.如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓上，點。在AB上，且AC=AZ>,0c=8,弧8C的度數(shù)是60。.

(1)求線段OD的長；(2)求圖中陰影部分的面積(結果保留根號和萬).

【解答】解：(1)過C作CE_LAD于E,?.?弧BC的度數(shù)是60。，ZBOC=60°,XOA=OC,/.ZOAC=ZOCA=30°,

OC=8,OE=4CE=782-42=4A/3,AC=86,-：AD=AC=873,OA=OC=8,

60

OD=AD-OA=S43-S；(2)=S^BOC-SWCD=-1x(873-8)x473=^-48+1673.

17.如圖，OA和OB是口。的半徑，OALOB,點尸在OA上，連接8尸并延長交口O于點C,過C作NOCP=NDPC

交OA的延長線于點D.

(1)求證：DC是口。的切線；(2)若。尸=PC,口。的半徑。4=6，求8P的長.

［解答］(1)證明：連接0C,貝1JOC=OB,ZOCB=ZB,vZDCP=ZDPC,ZBPO=ZDPC,ZDCP=ZBPO,

OA1OB,ZBOA=90°,ZOCD=ZOCB+ZDCP=ZB+ZBPO=90°,;OC是口O的半徑，且DC_LOC,

.1?DC是口。的切線.(2)解：:OP=PC,:.NPOC=NOCB=NB,ZBPO=ZPOC+ZOCB=2ZB,

■：ZBPO+ZB=90°,2NB+ZB=90°，,ZB=30°,—=cosB=cos30°=—,:.OB=OA=yf3,

BP2BP2

.-.BP=2,.1B尸的長是2.

18.如圖，四邊形ABC。內接于口。，AC是口。的直徑，AB=BC,延長ZM到點E,使得BE=2。.

(1)若AF平分NCAO,求證：8A=8