2025年新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題講義：線性代數(shù)背景下的新定義（三大題型）（學(xué)生版）

專題07線性代數(shù)背景下的新定義

【題型歸納目錄】

題型一：行列式背景

題型二：矩陣背景

題型三：向量組背景

【典型例題】

題型一：行列式背景

【典例1-1】（2024.高三.云南曲靖.階段練習(xí)）定義行列式運(yùn)算：%士=%匕一尤/3,若函數(shù)

X

尤34

sin（a＞x+＜p）cos6yx、、兀n

〃尤）=0］（。＞0,冏＜￡）的最小正周期是萬(wàn)，將其圖象向右平移!■個(gè)單位后得到的圖象

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

（1）求函數(shù)/（無(wú)）的單調(diào)增區(qū)間；

（2）數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和S"=4/,^A=fA,求證：數(shù)列［一一］的前〃項(xiàng)和（＜L

12l?A+iJ

【典例1-2］（2024?高一.北京?期末）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,c,d,表達(dá)式次7-歷稱為二階行列式

b

(determinant),t己作

Cd

⑴求下列行列式的值：

_10_13_-25

①；②；③；

012610-25

（2）求證：向量萬(wàn)=（。,6）與向量］=（G〃）共線的充要條件是;）=0；

\a,x+b,y=G

（3）討論關(guān)于尤，y的二元一次方程組'（?1a力也W0）有唯一解的條件，并求出解.（結(jié)果用二階行

［a2x+b2y=c2

列式的記號(hào)表示）.

【變式1-1]（2024.高二.全國(guó)?單元測(cè)試）我們用劭1W/W、i、j、〃「逝*）表示矩陣4*,的第1

行第j列元素.已知該矩陣的每一行每一列都是等差數(shù)列，并且0n=1,al2=a2i=2,a22=4.

⑴求為4；

⑵求與關(guān)于i,7的關(guān)系式；

23。24〃25

(3)設(shè)行列式/344%=D,求證：對(duì)任意j<n-2,i,j、〃eN*時(shí)，都有

。43。44。45

a4（）+2）

ij4(j+l)

a=D

（/+l）（7-+2）-

a(i+l)j”(i+l)(j+l)

a.八.a-、%+2）（j+2）

題型二：矩陣背景

【典例2?1】（2024.廣東.一模）數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計(jì)算，是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其主要研究對(duì)象

包括向量和矩陣.對(duì)于平面向量1=（無(wú),y）,其模定義為+,.類似地,對(duì)于〃行〃列的矩陣

/、

aa

41012\3…\n]_

4=%%為…%,其模可由向量模拓展為4」寸寸/丫（其中因?yàn)榫仃囍械趇行第7列的數(shù),

a

〃31。32〃33…3n\\"

...."1片17

：：：

\?）

X為求和符號(hào)），記作4,我們稱這樣的矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數(shù)，例如對(duì)于矩陣

「許的）/24、（nn^2-----------------------------------

42='，其矩陣模=歷不存77=3痣?弗羅貝尼烏斯范數(shù)在機(jī)器學(xué)

aii）Un（占M\

習(xí)等前沿領(lǐng)域有重要的應(yīng)用.

'100

0V200

（DWzeN*,n>3,矩陣紇”00730,求使厚>3石的”的最小值.

、oooG,

(2)VMeN*,n>3,,矩陣C,“=

’1cos。cos。cos6??cos。cos6、

0一sin8-sin。cos。-sinSeos。?--sin。cos。一sin。cos。

00sin26>sin26cos6??sin28cos8sin28cos6

求G

0000..(-I)-2sin"-2g(-1)7sin〃一2。cos。

000.?0(-l)〃Tsin"Te,

i〃+2

In--0-0----0

n+1

也立

"ln|2

In—O-O

nn

n

(3)矩陣。.，證明：￡N*,n>3,DF>

A/^1'3n+9

"Fin4Fin

In-…0

3j.3)

品4n

3Fin333|n

InFin「'??In

2222

【典例2-2】(2024?高三?海南省直轄縣級(jí)單位?開(kāi)學(xué)考試)由nxn個(gè)數(shù)排列成〃行n列的數(shù)表稱為〃行〃列的

〃12013,

a21〃22^^23°?a2n

矩陣，簡(jiǎn)稱"X"矩陣，也稱為“階方陣，記作：A(n,n)=

。31。32“33??。3n其中

4an2an3-,ann)

%(ieN*,jeN*,i,j<n)表示矩陣A中第i行第，列的數(shù).已知三個(gè)〃階方陣分別為

b<c

a*qJ，1213?-?GcC

n413,nn13.,

b

〃21〃22a23,?a2n“21822“23°■■2nC2\C22C23,,C2n

，32“33,

A(n,ri)-〃“32〃33,?a,B{n,ri)=??b31tCCC

313n,C(/J,n)=31。3233，,3n,其

bn2bq??.b

U〃1an2an3.?ann,也1n3nn/1%Cn253.,Cnn,

中旬,如今(仃小*工”〃)分別表示4〃,〃),3(九,初。5,“)中第1行第1/列的數(shù).若

%=(1-〃)％+叫(〃eR),則稱C(n,n)是A(n,ri),B(n,〃)生成的線性矩陣.

(24、--1

⑴已知42,2)=I1向2,2)=4,若C(2,2)是A(2,2),3(2,2)生成的線性矩陣，且@=3,求

112)

。(2,2)；

/pn

42,,,b1n'

3323〃12…n

(2)已知V〃wN*,〃23,矩陣A(〃,〃)=...,B(n,n)=...,矩陣。(小九)是

annJ14〃b2n…2〃/

。2n

A(〃.),3(〃〃)生成的線性矩陣,且4=2.

⑴求。23，。2/人￡N*,左<〃)；

(ii)已知數(shù)歹1也｝滿足％="，數(shù)列｛4｝滿足％=丁丁，數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和記為1,是否存在正整數(shù)

“2〃~n

b

肛"，使T,,=蠟成立?若存在，求出所有的正整數(shù)對(duì)(九〃)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4

a21

【變式2-1](2024?高二?北京豐臺(tái)?期末)已知數(shù)表"〃,")=〃31

anlan2an3…%

4142"13…"1〃'

CnC12C13…Cln

b?lb?2b23…b2nCCC

212223…C2rl

B(n,n)=Al”3243…b3nn)=,其中a,.,i,j<n)

,C(n,C3\032。33…。3n%,c..(z,jeN*,

〃

也ib〃2…bn〃)C2Cfin>

分別表示人(〃,"),B(凡n),C(n,")中第i行第/列的數(shù).若Cy=%幻+ai2b2j+???+ainbnj,則稱C(n,n)是

A(n,n),8(〃,〃)的生成數(shù)表.

o

(81]5~20

(1)若數(shù)表A(2,2)=(43)8(2,2)=,且C(2,2)是A(2,2),8(2,2)的生成數(shù)表，求C(2,2)

26

U5j

(2)對(duì)Vn￡N*,n>3,

z1

A4'-142-143-1?.4〃-1、“12

3

23〃

2]222]_

b

21+222+223+22〃+2"210222n

數(shù)表A(〃,w)=,B(n,n)=5

a

〃32〃33,.3nb

〃31“31032匕33，''3?

aaaa

knln2n3-.nn)bn223?…b

也1nn/

3(〃-滿足第力行第j列的數(shù)對(duì)應(yīng)相同(i,jeN*,i,j至是4(〃,〃),8(〃,〃)的生成數(shù)表,

且％=2用_”2.

(i)求怎，43(左€可\上4〃)；

(ii)若C23V4恒成立，求2的最小值.

&b、Cjd〕

【變式2-2](2024?高二.北京?學(xué)業(yè)考試)已知%=(4,%,%,⑷和數(shù)表A=/&c2d2,其中

、“3。3。34,

區(qū),如如4eN*(i=0,l,2,3).若數(shù)表A滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)表A由g生成.

①任意)e{0,l,2},q+i-4，%-%G+「C”4+I—4中有三個(gè)-1,一個(gè)3；

②存在此{(lán)1,2,3},使％也/4中恰有三個(gè)數(shù)相等.

’5666、

(1)判斷數(shù)表4=4559是否由4=(6,7,7,3)生成；(結(jié)論無(wú)需證明)

、3848,

⑵是否存在數(shù)表A由4=(6,7,7,4)生成？說(shuō)明理由；

(3)若存在數(shù)表A由4=(7,12,3,d°)生成，寫(xiě)出d0所有可能的值.

題型三：向量組背景

【典例3-1】(2024.高一.上海.階段練習(xí))對(duì)于一組向量■，石，工，…,可，OeN且"23),令

r=]+Z+Z…如果存在小(pe{1,2,3,…，叫,使得同上瓦一可,那么稱可是該向量組的“長(zhǎng)向

里.

(1)設(shè)4=(〃,x+2〃)，〃EN且〃>0,若％是向量組I，7,瓦的“長(zhǎng)向量”，求實(shí)數(shù)％的取值范圍；

⑵若用=1in拳cos修],且〃>0,向量組言,%是否存在“長(zhǎng)向量”?給出你的結(jié)論

并說(shuō)明理由；

(3)已知，，%,乙均是向量組1，Z，工的“長(zhǎng)向量"，其中％=(sin%,cos%),a2=(2cosx,2sinx).設(shè)

在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)列4，6，A，…，A滿足，《為坐標(biāo)原點(diǎn)，g為2的位置向量的終點(diǎn)，且

與多關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，P2k+2與2皿（％eN且人＞0）關(guān)于點(diǎn)尸2對(duì)稱，求|耳濡詞的最小值.

【典例3-2］（2024.高一.上海奉賢.期末）對(duì)于一個(gè)向量組4，%%…，a”（心3,nwN"）,令

￡=%+2+???+%,如果存在磯rwN*）,使得同25-胃，那么稱這是該向量組的“好向量”

⑴若力是向量組Z，Z，Z的“好向量”，且a“=（w,x+n）,求實(shí)數(shù)X的取值范圍；

⑵已知I，%,乙均是向量組吊2,%的“好向量”，試探究不4的等量關(guān)系并加以證明.

【變式3-1］（2024.高三.上海寶山?期末）對(duì)于一組向量4，a2,兀（〃eN*,心3）,令

同=，+石+,+…+點(diǎn),,如果存在＞（pe{l,2,3…，叫,使得同平那么稱可是該向量組的“向量

⑴設(shè)點(diǎn)=小"+小卜蚱"），若%是向量組4，42，4的向量”，求實(shí)數(shù)》的取值范圍；

⑵若Z=,（T）［（〃eN*,在3）,向量組4,a2,?3,力是否存在“向量”？給出你的結(jié)論并說(shuō)明

理由；

⑶已知4、2、4均是向量組4，?2＞G的"http://向量”，其中可=（sinx,cosx）,Z=（2cosx,2sinx）.設(shè)在平面直角

坐標(biāo)系中有一點(diǎn)列0］，。2，&…?！皾M足：01為坐標(biāo)原點(diǎn)，2為Z的位置向量的終點(diǎn)，且。2口與&K關(guān)于

點(diǎn)。1對(duì)稱，。2&+2與處+1（旌”）關(guān)于點(diǎn)&對(duì)稱，求?21Q2022］的最小值.

【過(guò)關(guān)測(cè)試】

./TC、

xxsin（@x---）c（

1.（2024?高一?四川成都?期中）定義行列式運(yùn)算：20=玉匕一無(wú)2%，若函數(shù)/（》）=3，

X30］

（刃＞0）的最小正周期是萬(wàn).

⑴求函數(shù)/⑺的單調(diào)增區(qū)間;

S7T2

（2）數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S“=A",且4=求證：數(shù)列的前〃項(xiàng)和1<L

44+1

2.（2024?高二?上海寶山?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝和｛，｝滿足：4=4=1,且％,22,4%成等比數(shù)列，

他,2&也成等差數(shù)列.

-234

⑴行列式4+2??+14=_2M|+3叫2+4陷3（〃eN*）,且加“=根3,求證：數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列；

111

（2）在（1）的條件下，若｛%｝不是常數(shù)列，｛"｝是等比數(shù)列，

①求｛%｝和｛，｝的通項(xiàng)公式；

②設(shè)私〃是正整數(shù)，若存在正整數(shù)仃水品</<朽，使得%,%，%,?%?〃，氏。成等差數(shù)列，求m+〃的最小

值.

3.（2024?高一?吉林延邊?期中）已知定義在（-8,。）口（。,+?0上的奇函數(shù)/（x）滿足/（2）=0,且在（3,0）上是

增函數(shù);又定義行列式％的函數(shù)g（e）=sm"3一個(gè)"（其中ov”g）

（1）證明：函數(shù)/（X）在（0,+8）上也是增函數(shù)；

⑵若函數(shù)g（。）的最大值為4,求機(jī)的值；

⑶若記集合M=｛同恒有g(shù)⑻>0｝,N=側(cè)恒有/[g⑻]<0｝,求滿足MCN的垃的取值范圍.

4.（2024?湖北孝感?模擬預(yù)測(cè)）定義矩陣運(yùn)算：已知數(shù)列｛%｝，色｝滿足%=1，且

（n1Y（"+2”、

uR匕廠[〃（2"+1廠

⑴證明：｛%｝,也J分別為等差數(shù)列，等比數(shù)列.

(2)求數(shù)列｛%+3偽z+1｝的前n項(xiàng)和S?.

/、

4142…

_、0)［…CL

5.(2024?高二.陜西西安?期中)有力2(z〃24)個(gè)正數(shù)，排成"X〃矩陣(〃行”列的數(shù)表)：；'「.:0：

4%”…ami>

劭表示位于第i行，第/列的數(shù).其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有的公比都

13

相等"，已知。24—1，“42=77，。43=1力.

816

⑴求公比.

(2)用左表示％我.

(3)求知+。22+…+4〃的值.

\ab\

6.(2024.高二.江蘇蘇州?期中)設(shè)2階方矩陣加=4，則矩陣A所對(duì)應(yīng)的矩陣變換為：

a)

［；［=［；H'其中X=+y=cx'+dy',其意義是把點(diǎn)P(x,y)變換為點(diǎn)如［y),矩陣M叫做

變換矩陣.

⑴當(dāng)變換矩陣/=［；"時(shí)，點(diǎn)3(-1/)，C(-3,1)經(jīng)矩陣變換后得到點(diǎn)分別是C,求經(jīng)過(guò)。的

直線的方程；

(2)當(dāng)變換矩陣M=［；；］,點(diǎn)以孫〃)經(jīng)矩陣加的作用變換后得到點(diǎn)。(1,2),求實(shí)數(shù)加〃的值.

7.(2024.上海.模擬預(yù)測(cè))設(shè)A是由2x〃(〃eN*)個(gè)實(shí)數(shù)組成的2行“列的矩陣，滿足：每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不大

于1,且所有數(shù)的和為零.記5(”)為所有這樣的矩陣構(gòu)成的集合.記4(A)為A的第一行各數(shù)之和，4(A)

為A的第二行各數(shù)之和，q(A)為A的第i列各數(shù)之和(W。).記依A)為|石(凰、忸(闔、付⑷/

|C2(A)|....除⑷|中的最小值.

⑴若矩陣A=([1°2,13—/0.9、，求破；

⑵對(duì)所有的矩陣Ae5(3),求MA)的最大值；

(3)給定/N*,對(duì)所有的矩陣AeS(2r+l),求人(A)的最大值.

8.(2024?高三?河南?期末)三階行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的算法，其運(yùn)算法則如下:

axa2a3ijk

4b2瓦=2c3+a2b3%+。3ble2—。3b2S—02ble3—3c2?若2義B=%%4，則稱ZxB為空間向量Z與石

qc2c3x2y2z2

的叉乘，其中a=%i+y"+Z]網(wǎng)占,％,Z]eR),a=x2i+y2j+z2k(x2,y2,z2eR),f，7,可為單位正交基底.

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)、分別以7，7.無(wú)的方向?yàn)殛P(guān)軸、,軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，已知

A,3是空間直角坐標(biāo)系中異于。的不同兩點(diǎn)

⑴①若A(l,2,l),3(0,-1,1),求況x漏；

②證明函x礪+礪=

(2)記”108的面積為Se，證明：S^AOB=^\dAxO^

(3)證明：(函x而『的幾何意義表示以“03為底面、|礪x西為高的三棱錐體積的6倍.

9.(2024?高一?貴州?期末)如圖一，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，人(外,乂)，/超,%),請(qǐng)根

據(jù)以下信息，處理問(wèn)題⑴和(2).信息一：。為坐標(biāo)原點(diǎn)，礪=(%,%)，若將麗順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到向量

0B'，則兩=(%，f)，且|麗|=|西；信息二：屈=(%，％)與況=&，%)的夾角記為，，

訪=(%,-%)與礪=(為,%)的夾角記為a,貝人也夕=「0$/；信息三：入0.)，礪卜in。；信息

XV,

四：二%%—%%,叫二階行列式.

%2%一一

y

⑴求證一.q;夕卜層“II”表示取絕對(duì)值）；

⑵如圖二，已知三點(diǎn)M（2,l）,N（3,4）,2（1,6）,試用⑴中的結(jié)論求△MN。的面積.

10.（2024?高二?上海浦東新?期中）對(duì)于一組向量Z，…N*）,令￡=7+Z+Z+…如果存

在用（pe{1,2,3,…，叫,使得同2瓦-肅,那么稱藍(lán)是該向量組的“〃向量”；

⑴設(shè)4=（","+力（〃eN*）,若可是向量組7