2025年中考數(shù)學(xué)大題與幾何壓軸題：四邊形壓軸（解析版）

專題11四邊形壓軸

目錄

題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分

型

題

01與四邊形有關(guān)的多結(jié)論問題（選/填）

型

題

02與四邊形有關(guān)的平移問題

型

題

03與四邊形有關(guān)的翻折問題

型

題

04與四邊形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題

型

題

05與四邊形有關(guān)的最值問題

型

題

06與四邊形有關(guān)的動點問題

型

題

07與四邊形有關(guān)的新定義問題

型

題

與四邊形有關(guān)的存在性問題

型

題08

型

題09四邊形與圓綜合

10四邊形與函數(shù)綜合

?中考逆襲-高效集訓(xùn)

（時間：60分鐘）

題型特訓(xùn)-精準(zhǔn)提分

題型01與四邊形有關(guān)的多結(jié)論問題（選/填）

I.（2023?江蘇鹽城?一模）如圖，在正方形4BCD中，點￡,尸分別是AB,BC上的動點，且4F1DE,垂足

為G,將AABF沿4F翻折，得到△AMF,4M交DE于點尸，對角線BD交4F于點X,連接HM,CM,DM,

BM,下列結(jié)論：?AF=DE；②BMIIDE；③若CM1FM；,則四邊形是菱形；④當(dāng)點￡運動到AB

的中點，tan乙BHF=2五;⑤EP?DH=2AG?BH.正確的是（）

A

E

B

A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤

【答案】B

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得乙4ED=NBF4從而證明三△4ED,即可判斷①；由折疊的性質(zhì)可

得BM1AF,再由平行線的判定即可判斷②；由可得4M,C在同一直線上，從而可得

AMCF=AMFC=45°,再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得NHBF=NHMF=45。，BF=MF,再根據(jù)菱形的判定即可判

斷③;設(shè)正方形4BC。的邊長為2a,則4E=BF=a,利用勾股定理求得DE=8=AF,證明△AHD“△FHB,

可得力”=|4/=苧處從而證得△aGEsaABF,可得。G=好，GH=^-a,即可判斷④；證明

AEAG=APAG,可得EG=:"，從而證明△4H0FHB,可得罌=黑，再證明△E4G“△凡4B,可得

乙bnbr

EGDH^AGBH,進而可得：EP?DH=AG?B”，即可判斷⑤.

【詳解】解：?；四邊形ZBCD是正方形，

???Z.DAE=Z.ABF=90°,DA=AB,

■:AF1DE,

???乙BAF+/-AED=90°,

???2LBAF+/LAFB=90°,

?1.Z.AED=ABFA,

???AABF=△4ED(AAS),

：.AF^DE,故①正確，

?.?將△4BF沿力F翻折，得到△AMF,

：.BMA.AF,

■■■AF1DE,

■■BMWDE,故②正確，

當(dāng)CMJ.FM時，ZCMF=90°,

vZ-AMF=Z.ABF=90°,

/.ZXMF+ZCMF=18O°,即4M,C在同一直線上，

/.ZMCF=45°,

???乙MFC=90°-Z.MCF=45°,

通過翻折的性質(zhì)可得N”BF=N”MF=45。，BF=MF,

.?ZHMF=AMFC,Z-HBC=乙MFC,

BC\\MH,HB^MF,

???四邊形是平行四邊形，

BF=MF,

???平行四邊形是菱形，故③正確，

當(dāng)點E運動到48的中點，如圖，

-------------------------3

設(shè)正方形ZBCD的邊長為2a,貝！JZE=BF=a,

在Rt△AED中，DE=y/AD2+AE2=V5a=AF,

vZ.AHD=乙FHB,乙ADH=乙FBH=45°,

.*.△AHD八FHB,

FHBFa1

,?而-而-2Q-]，

??.AH=^AF=^a,

V^AGE=Z.ABF=90°f

???△/GE?△ZBF,

AE_EG_AG__V5

?.,而=而=布=怎=T'

EG=^-BF=^-a,AG=^-AB=^a,

■■.DG=ED-EG=^a,GH=AH-AG=^-a,

515

???(BHF=乙DHA,

在RtZiDG”中，tan^BHF=tan^DHA=^=3,故④錯誤,

由折疊的性質(zhì)可得，△力BFmZiaMF,

.\Z-EAG=Z.PAG,

在△瓦4G和△P/G中，

(Z.EAG=LPAG

[AG=AG,

V/.EGA=LPGA

???△瓦4G三△P4G(ASA),

.'.EG=PGf

??.EG=*P,

-ADWBC,

???AAHD

PH_AD

??麗—病

'.'AD=AB,

PH_AB

''~BH-~BF9

^^.AGE=^ABF=90°,乙EAG=^FAB,

△EAG?△F/B,

EG_BF

：'~AG~'ABf

BH_EG

：''DH~'AGf

；.EG?DH=AG?BH,

弓EPDH=AG-BH,

EPDH=2AG-BH,故⑤正確；

綜上分析可知，正確的是①②③⑤.

故選：B.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切的概念，熟練按照要求

做出圖形，利用尋找相似三角形是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD為菱形，BF\\AC,DF交AC的延長線于點E,交BF于點尸,

且CE:2C=1:2.則下列結(jié)論：?/\ABE=AADE；②4CBE=〃CDF；（3）DE=FE；④S^BCE：S四邊形ABFD

=1:10.其中正確結(jié)論是（）

A.①③B,①②④C.②③④D.①②③④

【答案】D

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，通過SAS證明aZBE三△40E即可；通過證明△BCE三△DCE,即可求證

乙CBE=4CDF；通過證明BE=EF,即可求證DE=FE；連接連接BD交2C于。，設(shè)SABCE=M，根據(jù)三角形

面積之間的關(guān)系，即可求證.

【詳解】解：，?,四邊形ABC。為菱形，

??.AB=AD,Z,BAE=Z.DAE,

vAE=AE,

A71B￡aAX￡）￡（SAS）；故①正確；

BE=DE,Z,AEB=Z.AED,

???CE=CE,

:.△BCENADCE,

:.乙CBE=LCDF,故②正確；

-BFWAC,

???Z.FBE=Z.AEB,Z.AED=乙F,

???乙FBE=ZF,

???BE=EF,

DE=FE；故③正確；

連接BD交4c于。，

CE\AC=1:2,

AO—CO—CE,

設(shè)SABCE=

LABE~^^ADE=3??1'

???S^BDE=4m，

S^BEF=S?BDE—4m，

???S四邊形=10m,

???SABCE：S四邊形=LIO,故④正確；

故選：D.

【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)

知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識.

3.（2022?安徽滁州?二模）如圖，在平行四邊形ABC。中，E是80的中點，點M在力。上，連接ME并延長交BC

于點N,連接DN交MC于點F.則下列四個結(jié)論：?AM=CN；②若MO=AM,乙4=90。，貝！=③

若MD=2AM,貝USAMNC=SMNE；④若AB=MN,則△MFN與△DFC全等.其中正確結(jié)論的個數(shù)為

()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】依次分析各選項，進行推理論證即可；其中①可通過證明△DME三△BNE(AAS),進一步轉(zhuǎn)換后

可以得到結(jié)論，②可先得到該平行四邊形是矩形，利用矩形的性質(zhì)等得到MN垂直平分BC,即可完成求證,

③可以先證明兩個三角形的共線邊上的高的關(guān)系，再利用三角形面積公式即可完成證明，④可以先證明

△MND三△DCM(SAS)后可進一步證明△MNF王△DCF(AAS),即可完成求證.

【詳解】解：，??平行四邊形4BCD中，E是8。的中點，

???BE=DE,ADWBC,AD=BC,

乙MDE=LNBE,乙DME=^BNE,

△DME=ABA^E(AAS),

???DM=BN,

???AM=CN,

故①正確；

若乙4=90°,

則平行四邊形力BCD是矩形，

由矩形的對角線相等，而點E是矩形的對角線的交點可知,

E點到B、C兩點的距離相等，

E點在BC的垂直平分線上，

由AM=CN,可得BN=CN,

所以N點是BC的中點，

???MN垂直平分BC,

???BM=CM,

故②正確：

■:MD=2AM,AD=BC,AM=CN,

.-.BN=BC-CN=AD-AM=MD=2AM=2CN,

如圖1,分別過。、E兩點向BC作垂線，垂足分別為Q點和P點,

BPNC

圖1

???E點是BD中點，

：.DQ=2EP,

SAMNC=*N-DQ^CN-2EP=CN-EP,

11

SABNE-BN-EP=-X2CN-EP=CN-EP

S&MNC=S^BNE，

故③正確；

若AB=MN,

因為力B=

所以DC=MN,

分別過N、C兩點向4D作垂線，垂足分別為“、K,

AMHKD

NC

圖2

由平行線間的距離處處相等可知：NH=CK,

???Rt△NHM=Rt△CKD(UV),

???乙NMD=cCDM,

-MD=DM,乙NMD=^CDM,MN=DC,

??.△MND=△0cM(SAS),

???乙MND=^DCM,

又???乙NFM=(CFD,MN=DC,

△MNF三△DCF(AAS),

故④正確；

故選：D.

【點睛】本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)、全等

三角形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與性質(zhì)，能熟練運用全等三角形的判定與性

質(zhì)進行角或邊之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化等.

4.(2023?山東聊城?二模)如圖，以的三邊為邊在BC上方分別作等邊△“￡?、△ABE、ABCF,且

點4在△BCF內(nèi)部.給出以下結(jié)論：

①四邊形力DFE是平行四邊形；

②當(dāng)4840=130。時，四邊形4DFE是矩形；

③當(dāng)4B=4C時，四邊形ADFE是菱形；

④當(dāng)4B=4C,且NB4C=150。時，四邊形4DFE是正方形.

其中正確結(jié)論有(填上所有正確結(jié)論的序號).

【答案】①③④

【分析】本題考查了平行四邊形及矩形、菱形、正方形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與

性質(zhì)，證明△EF8三和尸三△C4B即可判斷①；當(dāng)4840=130。時，求出/￡;4。=110。即可判

斷②；由4B=4C得到2E=4D即可判斷③；由NB4C=150。得到NE4D=90。，得到4DFE是矩形，再結(jié)合

③即可判斷④；熟練掌握特殊四邊形的判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：①???△AC。、AABE、△CBF是等邊三角形，

：.BE=AB,BF=CB,乙EBA=LFBC,AC=AD,

"EBF=乙ABC=60°-/.ABF,

△EFB=△XCB(SAS),

；.EF=AC,

,-.EF=AC=AD,

同理由△CDFmzXCAB,^DF=AB=AE,

由=4D=EF即可得出四邊形4DFE是平行四邊形，故結(jié)論①正確；

②當(dāng)NB力C=130°時，

/-EAD=360°-ABAE-乙BAC-ACAD=360°-60°-130°-60°=110°,

由①知四邊形4DFE是平行四邊形，

???平行四邊形力DFE不是矩形，故結(jié)論②錯誤；

③由①知4B=4E,AC^AD,四邊形AEFD是平行四邊形，

.?.當(dāng)時，AE=AD,

???平行四邊形力DFE是菱形，故結(jié)論③正確；

④當(dāng)NB4c=150。時,

乙EAD=360°-4BAE-乙BAC-ACAD=360°-60°-150°-60°=90°,

?MDFE是平行四邊形，

.??四邊形4DFE是矩形，

又由③知四邊形4DFE是菱形，

二.四邊形ADFE是正方形，故結(jié)論④正確；

故答案為：①③④.

題型02與四邊形有關(guān)的平移問題

5.(2024?河北石家莊?一模)如圖1,四邊形4BCD中，AB||CD,4BCD=9。。,ABDC=60°,

AB=CD=2,連接BD.將△4BD沿著射線OC的方向平移得到△EFG,繼續(xù)平移使點G始終在DC邊上，當(dāng)

點G到達點C后，△EFG立刻繞點C順時針旋轉(zhuǎn),如圖2,直到邊EG與CD邊共線時停止.

:C/丁.G)C(G)

/AEA

圖1圖2圖3

(1)求證：AD=BC-

(2)從AFFG繞點C旋轉(zhuǎn)開始到最終結(jié)束，求邊FG掃過的面積；

(3)如圖3,在繞點C旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)GE,GF分別交線段8。于點P,Q時，設(shè)BQ=x.

①當(dāng)DP=4—2遮時，求NPCB的度數(shù)；

②直接寫出DP的長(用含x的式子表示).

【答案】(1)見解析

(2)邊FG掃過的面積是4兀；

4A12

⑶①75。；②

x—6

【分析】(1)由4BIICD,AB=CD,證明四邊形4BCD是平行四邊形，則4D=BC；

(2)由平移得EG||4。，EG=AD,當(dāng)點E與點C重合時，線段EG與線段2C重合，由NBCD=90°,乙BDC=60。,

得NCBD=30。，貝|BD=2CD=4,FG=BD=4,因為旋轉(zhuǎn)角為90。，所以邊FG掃過的圖形是半徑為4且圓

心角為90。的扇形，根據(jù)扇形的面積公式求得邊FG掃過的面積是4兀；

(3)①當(dāng)?！?4一2舊時，BP=BD-DP=2后而8)=7BD2一m=2?所以BP=BC,貝lj

乙PCB=4CPB=1x(180°-30°)=75°；

②作CH18。于點H,則NHCO=30。，所以=CH*C=W，貝lJPH=DP—l,所以CP2=。

H2+PH2=3+(L>P-I)2,由BQ=x,得BP=4—DP,QP=4-x-DP,再證明△CPQBPC,得CP2

=BP?QP=(4—DP)(4—x—DP),貝！|(4—DP)(4—X—DP)=3+(DP—1)2,即可求得DP=

【詳解】(1)證明：如圖1,,"1B||CD,AB=CD,

四邊形力BCD是平行四邊形，

AD=BC；

(2)解：如圖2,由平移得EG||4D,EG=AD,

???四邊形力BCD是平行四邊形,

.-.BC||AD,BC^AD,

.-.EG||BC,EG=BC,

當(dāng)點E與點C重合時，則線段EG與線段BC重合,

?-?/.BCD=90°,4BDC=60°,AB=CD=2,

:.乙CBD=90°-乙BDC=30°,

???BD=2CD=4,

由平移得FG=BD=4,

???AEFG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到邊EG與CO邊共線時停止，且NBCD=90°,

旋轉(zhuǎn)角等于90。,

???邊FG繞點C旋轉(zhuǎn)90。，邊FG掃過的圖形是半徑為4且圓心角為90。的扇形,

邊FG掃過的面積是4兀；

(3)解：①當(dāng)。P=4—2V^時，BP=BD—DP=4—(4-2呵=2日

?；BC='BD2一CD2=-22=2收

???BP=BC,

1

???Z.PCB=乙CPB=5x(180°-30°)=75°,

二"CB的度數(shù)是75°；

②DP的長是胃堂，

理由：如圖3,作于點則4DHC=NCH8=90。，

C(G)

圖3

；.￡HCD=90°-乙BDC=30°,

■.DH=^CD=1,CH=^BC=V3,

：.PH=DP-1,

2

CP2=CH2+PH2=(V3)+(DP-l)2=3+(DP-I)2,

vBD=4,BQ=x,

.?.BP=4—DP,QP=4—x—DP,

-BC||AD,

??.Z.ADB=Z.CBD=30°,

由平移和旋轉(zhuǎn)得乙HCF=乙4OB=30°,

??.ZPCQ=ZPBC=3O°,

vZ-CPQ=乙BPC,

.*.△CPQ~ABPC,

.CPQP

"'BP^'CP'

???CP2=BP.QP=(4—DP)(4-x-DP),

???(4-DP)(4-x—DP)=3+(DP—l)2,

整理得0P="一,

X—O

??.DP的長是

【點睛】此題重點考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形中30。角所對的直

角邊等于斜邊的一半、扇形的面積公式、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，此題綜合性強，難

度較大.

6.(2023?四川成都?模擬預(yù)測)綜合與實踐

問題情境：

在數(shù)學(xué)活動課上，老師給出這樣一個問題：如圖①，矩形紙片力BCD的邊力B=6cm,BC=8cm,沿對角線AC

剪開，得到兩個直角三角形紙片，分別為和將△4BC固定不動，平移△ADC.

操作探究：

(1)如圖②，把△4DC沿射線CB平移得到△4。。，當(dāng)4。=)0,請直接寫出平移的距離；

探究發(fā)現(xiàn)：

(2)如圖③，把△力DC射線C4平移?cm得到△4DC,連接判斷四邊形4BCD的形狀，并證明;

(3)記△ACD為△4CT>,將其拼接到如圖④的位置，并使。與N重合，4與C重合，然后把△4。。沿射

線CA方向平移，平移的距離是?0</<10),使點4,D,。中的某一點與點8和C構(gòu)成的三角形是等腰三

角形，在圖⑤中補全圖形，求出你探究的等腰三角形和平移的距離/(寫出一種即可)

D

/(C)A

【答案】⑴2cm或14cm；⑵四邊形/BCD是菱形，證明見解析；(3)作圖見解析，/=裝51、裝cm、

5cm或8cm

【分析】(1)先證明28=CD=6cm,A0=BC=8cm,結(jié)合平移的性質(zhì)分兩種情況討論：當(dāng)點/在邊4。

上時，AD'=D'C=6cm,A'D'=AD=8cm,當(dāng)點/在線段4。的延長線上時，AD'=D'C=6cm,從而可

得答案；

(2)如圖，連接BZ7交47于點O.先證明四邊形4BC7T是平行四邊形.再證明△AB。，△4CB,可得

^AOB=^ABC=90°,從而可得結(jié)論；

(3)如圖②，當(dāng)△BCO是等腰三角形，BC=BC.如圖④，當(dāng)△BCD是等腰三角形，BD=CD.如圖⑥,

當(dāng)△4BC是等腰三角形，A'B=A'C,當(dāng)如圖⑦，△4BC是等腰三角形，4C=CB=8cm,再進一步解答

即可.

【詳解】解：(1)???矩形紙片4BCD的邊4B=6cm,BC=8cm,

■,.AB=CD=6cm,AD=BC=8cm,

當(dāng)點/在邊4。上時，AD'=D'C=6cm,AD'=AD=8cm,

.■.AA,=2cm,即平移的距離為2cm；

當(dāng)點/在線段4D的延長線上時，AD'=D'C=6cm,

：.AA1-14cm,即平移的距離為14cm.

故平移的距離為2cm或14cm.

(2)四邊形48。。是菱形.

證明：如圖，連接8。交4c于點。

?.?四邊形ABC。是矩形,

.-.AB=CD,ABWCD.

由平移的性質(zhì)可知CD=CD,CDWC'D'.

.-.AB=CD',ABWCD',

???四邊形力是平行四邊形.

在Rt△4BC中，由勾股定理可得467=AC=y/AB2+BC2=V62+82=10

14

AA'=CC=—cm,

-I1o

???AO=OC=-(ArC—A'A)=ycm,

3

?，AO，53AB6—

''AB5fAC-10-5，

AO_AB

'''AB~~AC'

?：/-BA0=4CAB,

??.乙4。8=乙48。=90。，

；.BD'1AC,

???四邊形480。是菱形；

(3)補全圖形如圖②，ABC。是等腰三角形，BC=BC.

如圖③，過點5作于點H

-.?Zi4BC=90°,

HCBC

???cosC=——=——

HC_8

可一而

32

-HC=—

323214

??.C4=C'C-A'C=CH+HC-A'C=y+y-10=y

J14

=—cm.

情況二：補全圖形如圖④，△BCD是等腰三角形，BD=CD.

如圖⑤，過點。作DE1BC于點E,交4c于點O,過點。作DF_LCC于點尸.

???由圖③可得，A'F=HC=^>

3218

CF=10---=y

?：BD=CD,DE1BC,

；,BE=EC,

?:乙ABC=LDEC=9U。，

：.ABWE,BE=CE,

?里=絲=1

?'BEAO'

；.OE是△ABC的中位線，

二點。為AC的中點,

：.0A=^AC=5

-MB||DE,

:，DOC=Z.BAC.

..23/C=4C',

：.Z.DOC=ZC,

：.D0=DC,

-DFICC,

:CO=2CF=Y，

3611

AC'A=CO-AO=---5=Y

j11

=-cm.

情況三：補全圖形如圖⑥，△4BC是等腰三角形，A'B=A'C,

???AB=AC,

：.Z-A'BC=zC.

???乙4BC=90。，

.??484。+4。=90。，/LABA+Z.A'BC=90O,

.'.ABAC=Z.ABA,,

：.A'B=A'A,

???點4是4c的中點

：,A'C=5,即/=5cm.

情況四：補全圖形如圖⑦，△4BC是等腰三角形，A'C=CB=Qcm,

D

c，

圖⑦

■,■I=8cm.

【點睛】本題考查的是平移的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)

的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵.

7.（2024?河南駐馬店?一模）綜合與實踐

綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們次兩個相似矩形的平移”為主題探究線段之間的數(shù)量關(guān)系：如圖，矩形4BCD

與矩形EFGH相似，其中壽=.=k,AD>EH,點E、下在直線力B上，且點C、D、G、H在直線的同

側(cè)，矩形EFG”沿直線左右平移，。為EF的中點，直線?！迸c直線AD相交于點P（點尸、D不重合），直

線OG與直線BC相交于點0（點。、C不重合），試探究DP與CQ之間的數(shù)量關(guān)系.

【操作判斷】

（1）如圖1,平移矩形EFGH,當(dāng)k=2,點4、￡重合時,線段DP與CQ之間的數(shù)量關(guān)系是二

【遷移探究】

（2）繼續(xù)平移矩形EFGH,對任意正數(shù)左，（1）中的判斷是否都成立，請就圖2的情形說明理由;

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖3,若k=l,AD=8,EH=4,平移矩形EFG”，連接PQ交CD于點當(dāng)△OPQ是直角三角形

時，請直接寫出04的長.

【答案】（1）相等，（2）成立，見解析；（3）。4=5或。4=3

【分析】

（1）設(shè)EP=a/。=6,根據(jù)中點列出比例式，表示出DP與CQ的長度即可，

(2)設(shè)4D=m,EH=n，根據(jù)相似列出比例式，表示出DP與CQ的長度即可，

(3)證△DMPwaCMQ,得出DM=CM=4,再根據(jù)△OPQ是直角三角形，分類討論，利用相似三角形

的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：(1)設(shè)EP=a/D=b,則EF=2a/B=2瓦

???。為EF的中點，

1.EP=0E=a,OF=FG=a,

??.“OB=45。，

：.0B=BQ=2b—a,

DP—b—a,CQ—2b—a—b=b—a,

：.DP=CQ,

故答案為：相等；

(2)成立.

設(shè)AO=m,EH=幾則48=km,EF=kn,

???。為E尸的中點，

.,.OF=OE—扣i,

-EH\\APf

△OEHOAP,

OE_EH

?宏一Q

則等若，

同理黑號，

2比

設(shè)4。=%,則BO=k7n—%,AP=—

2x

DP=m——

k

km-xk

VBQ=2

2x

.歐=2用一下

2Y2.x

:.DP=CQ；

(3)vfc=1,AD=8fEH=4,

,-.AD=AB=CD=BC=8,EH=EF=FG=GH=4,EO=0F=2,

由(2)得DP=CQ,W=需何

vzZ)=zQCM=90°,乙DMP=^CMQ,

:,ADMP三ACMQ,

：.DM=CM=49

如圖，當(dāng)4QPO=90。時，

?.?Z￡)MP+ZPPM=9O°,^APO+Z.DPM=90°,

：.Z.APO=Z.DMP,

?:(D=Z-A=90°,

:.XAPO?△DMP,

DP_DM

：''OA~~AP9

E18-2CM4

z貝！J---O-A----=20A，

解得，。4=3或。4=0(舍去)

Q

如圖，當(dāng)NPQO=90。時，

同理可得△BQO-△CMQ,

CQCM

'"OB~麗’

解得，。3=3或。3=0（舍去）,

OA—5,

綜上，。4=5或。4=3.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確證明三角形相

似，利用相似三角形的性質(zhì)進行推理證明.

8.（2023?江蘇宿遷?三模）綜合與實踐

問題情境：如圖L在矩形4BCD中，AB=6,BC=8,將矩形4BCD繞點4順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形.使

得點。落在力D的延長線上，分別交AC,CD于點E和點F.

初步探究：（1）△4E。的形狀是.

深入探究：（2）如圖2,延長C0交BC于點G,延長49交BC于點H,請判斷GH與。F的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由.

拓展延伸：（3）如圖3,將矩形ABO沿射線4。方向平移得到矩形4BC7T,當(dāng)點夕落在4c上時，延長FD

【答案】（1）△AE。是等腰三角形，理由見解析；（2）GH=CF,理由見解析；（3）等.

【分析】（1）證明=即可解決問題；

（2）證明△C1DF=△GB，H（ASA）,可得結(jié)論；

（3）如圖3中，過點所作夕H1力。于點H,連接C'N根據(jù)S四邊形加℃，=5口隧+5.006求解即可；

本題考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直

角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握知識點的應(yīng)用及正確尋找全等三角形.

【詳解】（1）結(jié)論：是等腰三角形，理由：

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，^CAD^^C'AD',

-AD'^B'C,

：./-AC'E=ACAD',

：.Z.CAD=Z-EC'A,

：.EA=EC,

??.△AE。是等腰三角形，

故答案為：等腰三角形；

(2)結(jié)論：GH=CF,

理由：如圖2中，

■.■ADWCB,

.,.Z-EGC=Z-EC'A,Z.CGE=Z-ACE,

yZ-EAC=Z-EC'A,

"EGC=Z.ECG,

??.BG=EC,

-BA=EC,

?.AC=C'G=AC'f

vAD=BC=B'C'f

???DC=GB't

vBC\\AC,

：zDCF=乙BHH,

???乙CDF=Z.GB'H=90。,

???△C/DF=△G3'”(ASA),

.-.GH=CF；

(3)如圖3中，過點B作用Hl4。于點H,連接CW,

圖3

在Rt2\A夕C中，AA'B'C=90°,A'B'=6,B'C=8,A'C=y/A'B'2+B'C'2=V62+82=10,

11

???SABC，=-xA'B'xB'C=-x4C'xB'H,

AH

~AD~CD

24

8一6'

AH=-

14

,,

AA=AH-AH=—f

26

:.AD=AD—AA'=,

2624

DC=A'C-A'D=10---,

339513

???DN=A'D-=—,ArN=A'DX-=

4104T

3

??.ND=AD-AN=5,

_1243913_693

3四邊形ONOC='△DNC+b^NCP=2XTX10+2X2X6=~50~

題型03與四邊形有關(guān)的翻折問題

9.(2024?安徽?一模)在正方形力BCD中，E、F分別為4B、BC上兩點，連接DE、AF,將aABF沿力F翻折,

得至5MAGF,連接BG,S.BG||DE.

AEBAEB

圖1圖3

(1)如圖1,求證：AE=BF；

(2)如圖2,對角線BD交”于點H,連接AC、GH,若點G落在北上，求證：四邊形GHB尸為菱形;

(3)如圖3,若點E為4B的中點，連接BD交AF于點“，連接CG、GH,求tan/HBG.

【答案】(1)證明見解析

⑵證明見解析

(3)1

【分析】(1)由折疊的性質(zhì)可得BG14F,進而推出AF1DE,證明N4DE=NB4F,進而證明

△ADE^△BAF(ASA),即可證明4E=BF；

(2)由折疊的性質(zhì)可得4G=4B,GF=BF,乙4GF=乙48尸=90。，A.GAH=^BAH,證明

△力GH三△ABH(SAS),得到GH=B"；再證明GF||BD,得至Ij/BHF=NGFH,進而得至Ij/BHF=NBFH,

即可推出BH=BF=GH=GF,則四邊形GHBF為菱形；

(3)設(shè)力F,BG交于J,正方形4BCD的邊長為2巾，則4E=BF==6，由勾股定理得到力F=遙??；證

明得到FH=%F=§n；證明△ABFTB/F,得到/=黑，卷=黑=；,推出"=若

33DrArDJ/itSZ5

m,BJ=2JF=^m；求出H/=F"—/F=答小，則tanNHBG=tan/HB/=胃=

【詳解】(1)證明：設(shè)4F,DE交于O,

由折疊的性質(zhì)可得BG1AF,

-：BG||DE,

：.AF1DE,

.?200=90。，

：.Z.OAD+4ODA=90°,

???四邊形是正方形，

：.AD=BA,^LDAE=/.ABF=90°,

...4。4。+48/尸=90。，

：.Z-ADE=Z-BAF,

??.△ADE=△BAF(ASA),

：.AE=BF；

圖1

(2)證明：由折疊的性質(zhì)可得4G=GF=BF,乙4GF=乙48尸=90。，乙GAH=4BAH,

又???/"=/”,

??.△AGH=△ZB”(SAS),

；.GH=BH；

設(shè)ZC、BD交于。，

由正方形的性質(zhì)可得AC1BD,

：.Z.A0B=Z.AGF=SGo,

.-.GF||BD,

???乙BHF=^GFH,

???乙BHF=^BFH,

；.BH=BF,

；,BH=BF=GH=GF,

???四邊形GHBF為菱形；

DC

AEB

圖2

(3)解：設(shè)4F,BG交于J,正方形ZBCO的邊長為2血,

???點E為ZB的中點，

.,.AE=BF=^AB=m,

-AF=7AB2+BF2=V5m；

,：BF||AD,

AAHD~AFHB,

FH_BF_1

'''AH~~AD~29

：.FH=^AF=苧n；

由折疊的性質(zhì)可得BG14F,

:/BJF=乙AJB=Z.ABF=90°,

:⑷BF=Z.BAF=90°-乙ABJ,

IAABFFBJF,

JF_BF坦_BF_1

"'~BF~~AF9

jpm

''mV5m，

：JF=￡m,

：.BJ=2JF=嚕2

又“H]=FH—JF=/n,

.?.tanZ-HBG=tan乙HBJ=』=：.

oj3

DC

圖3

【點睛】本題主要考查了正方形與折疊問題，勾股定理，相似二角形的性質(zhì)與判定，解直角二角形，菱形

的判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，等角對等邊等等，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

10.（2024?山西晉城?二模）綜合與實踐

問題情境：

在矩形紙片48CD中，￡是BC邊上一動點，尸是4。邊上一動點，將矩形紙片沿EF所在直線翻折，點/的對

應(yīng)點為點〃，點2的對應(yīng)點為點G.

猜想證明：

（1）當(dāng)E是BC邊的中點時.

①如圖1,連接CG,試猜想EF與CG的位置關(guān)系，并加以證明；

②如圖2,連接8D.若點8的對應(yīng)點G恰好落在對角線BD上，延長HG與CD邊交于點尸.求證：P是CD邊

的中點.

問題解決：

（2）如圖3,當(dāng)點B的對應(yīng)點G落在CD邊上時，"G與4D邊交于點0,連接BG.若力B=3,BC=9,

CG=1,請直接寫出DQ的長.

HH

D

B、Ee°EEE,C

圖1圖2圖3

【答案】⑴①EFIICG,②見解析；（2）DQ=^.

【分析】（1）連接BG交EF于點S,由折疊可得：BS=SG.,進而得到SE是ABCG的中位線，即可求解；連接

EP,根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可證RSEGP三RtAECP（HL）,即可得到BD||EP,從而得到答案；

（2）設(shè)EF交BG于過點尸作FN1BC,先根據(jù)題意證明四邊形FNCD是矩形，進而根據(jù)折疊的性質(zhì)證明

1

XBCGsXFNE,求得EN=1,-ACFG,即可求解.

【詳解】（1）證明：①EFIICG；

連接BG交EF于點S,如圖，

H

由折疊可得：BS=SG.

■■S是BG的中點，

■■E是BC邊的中點

.?.SE是ABCG的中位線，

：.EF||CG；

②連接EP,

?.?四邊形ABCD是矩形,

??.乙48c=乙BCD=90°

由折疊得：乙EGH=^ABC=900,BE=EG,

:ZEGP=gV/EBG=(EGB

?:E是BC邊的中點

.,.BE=CE=EG.

,：EP=EP

.??RtAEGPwRtAECP(HL)

.?ZGEP=乙CEP

?"EG=乙EBG+Z,EGB=(GEP+乙CEP

:/EGB=Z.GEP.

???BD||EP

???EP是ABC。的中位線

:.P是CO邊的中點；

(2)解：設(shè)E尸交BG于河，過點尸作FN1BC

???四邊形ZBCD是矩形，

.?24=^ABC=^C=^D=90。,。。=AB=3

???四邊形FNCD是矩形，

乙。,

由折疊可得：EMB=9U°/EGH=LABE=90￡.H=￡.A=90°fBE=EGfHG=AB=3.

?.2EFN+乙FEN=乙BEM+乙EBM=90°,

"EFN=乙EBM

.?.△BCG?NFNE

BC_GC

'''FN~~EN'

1

-EN=-.

設(shè)CE=居則BE=GE=9-x.

在RtACGE中，12+X2=(9-%)2,解得％=弓，即CE=9

-Z.QGD+乙DQG=乙QGD+(EGC=90°

"DQG=Z-CGE

.?.△OGQ?ACEG

DQ_DG

'''CG~~CE

???OG=CD-CG=2f

9

???DQ-

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形中位線的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判

定與性質(zhì)，直角三角形全等的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，梯形面積的計算，正確作出輔助線

是關(guān)鍵.

11.（2024?福建漳州?一模）在數(shù)學(xué)活動課中，老師組織學(xué)生開展“如何通過折紙的方法，確定矩形紙片長邊

上的一個三等分點”的探究活動.

【操作探究】

“求知”小組經(jīng)過一番思考和討論交流后，進行了如下操作，如圖1.

第1步：先將矩形紙片4BCD沿對角線BD對折，展開鋪平，折痕為BD；

第2步：將邊4。以某一合適長度向右翻折3次，折痕〃與8。交于點K；

第3步：過點K折疊矩形紙片，使折痕LM交EF干點、N；

第4步：延長DN交邊AB于點尸，則點P為邊48的三等分點.

證明過程如下：

由題意，得LN=?K.

■:LM\\AB,:./.DLN=/-A,乙DNL=LDPA.

.吐=曳同理徨竺=竺

''DAAP'"里'^DAAB'

.?嘉=3=今則點尸為邊48的三等分點.

ADLK3

“勵志”小組的操作如下，如圖2.

第1步：先將矩形紙片4BCD沿對角線BD對折，展開鋪平，折痕為BD；

第2步：再將矩形紙片對折，使點/和點8重合，展開鋪平，折痕為EF；

第3步：沿CE折疊矩形紙片，折痕CE交BD于點G；

第4步：過點G折疊矩形紙片，使折痕MNI3D.

【過程思考】

(1)補全“求知”小組證明過程中①②所缺的內(nèi)容；

(2)“勵志”小組經(jīng)過上述操作，認(rèn)為點M為邊4B的三等分點.請你判斷，勵志”小組的結(jié)論是否正確，并說

明理由.

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖3,將矩形紙片ABC。對折，使點力和點3重合，展開鋪平，折痕為EF,將邊BC沿CE翻折到GC

的位置，過點G折疊矩形紙片，使折痕MNII4D,若點M為邊4B的三等分點，求受的值.

.MEB

EMBI，|、

：/*'G

;:''

II\;\、；1N

DFJCDFNCDNFC

圖1圖2圖3

【答案】⑴①△DLNMDAP；第=條⑵正確，理由見解析⑶V2

【分析】(1)根據(jù)題意即可填空；

(2)證明△EBGMCDG得募=穿=],證明得器=案=]可得結(jié)論;

LUU(JZADDU3

Q

(3)設(shè)力M=a,貝i]4B=3a,BE=5a,MB=2a.證明四邊形MBCN是矩形，得MN=BC,MB=CN=2a,由

勾股定理得MG=?a,設(shè)BC=x,貝UGN=x-?a,證明△EMGGNC得等=黑，代入可求出刀=平

(JC(JN2

a,進一步可求出霽=四.

DC

【詳解】解：(1)LN4K.

-LMWAB,

???乙DLN=^A,乙DNL=^DPA.

??.△DLNDAP.

DL_LN

"'~DA~'AP

同理，得為=繇

LN_LK

：'~AP-~AB'

.?嘉=岑=*則點尸為邊力B的三等分點.

/\DLt\o

故答案為①△DLN7ZMP.②果=繇

(2)“勵志”小組的結(jié)論正確，理由如下：

在矩形4BCD中，AB||CD,AB=CD.

由折疊，得點￡是邊4B的中點，點尸是邊CD的中點,

EB=^AB=^DC.

-：AB||CD,

:.乙EBG=乙CDG,乙BEG=Z-DCG

EBGFCDG,

EB_BG_1

：'~CD=~DG^2

???MN||AD,

Z-BMG=乙BAD,乙BGM=Z-BDA,

.*.△BMG-ABAD,

MB_BG_1_1

：'~AB=~BD=2+1=3

???點”是邊48的三等分點.

(3)由折疊，得AE=BE.

?.?點M為邊4B的三等分點，

：.AM=^AB.

,2

設(shè)AM=a,則AB=3a,BE=飄MB=2a.

由折疊性質(zhì)，得ACBE三ACGE.

3

??.EB=EG=-afCB=CG.

???MN||AD,

???乙BMG=^A=AB=90°.

/.^BMG=AB=乙BCN=90°.

???四邊形MBCN是矩形.

???MN=BC,MB=CN=2a.

由勾股定理，得MG='EG2—ME2=J(|a)一(g。)=V2a

設(shè)BC=%,貝(JGN=久一或a.

,?,乙MGE+Z.MEG=90°,ZMGE+乙CGN=90°,

???AMEG=乙CGN

???乙EMG=^GNC=9。。,

EMGFGNC,

.EG_EM

'''GC~'GNf

31解得乂=^a

xX-V2a2

AB3a「

-a

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，折疊的性質(zhì)，全等

三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理與矩形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

12.(2023?寧夏?二模)問題提出

(1)如圖①，在矩形ABCD的邊BC上找一點E,將矩形沿直線DE折疊，點C的對應(yīng)點為。，再在4B上找一

點F,將矩形沿直線DF折疊，使點力的對應(yīng)點4落在。C，上，則N￡DF=.

圖①

問題探究

(2)如圖②在矩形48CD中，點P是矩形力8邊上一點，連接。P,PC,將△2DP、aBPC分別沿DP,PC

翻折，得到△4DP、△夕PC,當(dāng)尸、4、夕三點共線時，則稱尸為邊4B上“優(yōu)疊點”，當(dāng)4。=4,AB=10,

求此時4P的長度.