2025年中考數(shù)學難點突破與訓練：全等三角形中的倍長中線模型（解析版）

專題07全等三角形中的倍長中線模型

【模型展示】

B

\/

\/

7

E

已知：在AABC中，D為AC中點，連接BD并延長到E使得DE=BD,連接AE則：BC平行

且等于AE.

特點

【證明】

延長BD到E,使DE=BD,連接CE,

,：AD是斜邊5c的中線

：.AD=CD

*：ZADE=ZBDC

二△ADE絲△ADC（SAS）

：.AE=BC,ND5C=NAED

：.AE//BC

倍長中線是指加倍延長中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應的頂點，

則對應角對應邊都對應相等。常用于構造全等三角形。中線倍長法多用于構造全等三角形和證

結論

明邊之間的關系（通常用“SAS”證明）（注：一般都是原題已經有中線時用，不太會有自己畫中

線的時候）。

【模型證明】

【證明】

作BFLDE于點F,CGLDE于點G.

D

A

—

、t

F

：.ZF=ZCGE=90°.

義?；NBEF=NCEG,BE=CE,

在ABEF和ACEG中，

[ZF=ZCGE

-ZBEF=ZCEG,

,BE=CE

4BFE出ACGE.

：.BF=CG,

在尸和△DCG中，

，ZF=ZDGC

v<ZBAE=ZCDE,

1BF=CG

AABF烏ADCG.

：,AB=CD.

方法三：

作CF〃AB,交DE的延長線于點F.

【題型演練】

一、解答題

1.如圖，A48C中，4D是2C邊上的中線，E,尸為直線/。上的點，連接BE,CF,且BE〃CF.

⑴求證：ABDE”ACDF；

⑵若/￡=15,/b=8,試求的長.

【答案】（1）見解析；

(2)I；

【分析】（1）根據兩直線平行內錯角相等；全等三角形的判定（角角邊）；即可證明；

（2）由（1）結論計算線段差即可解答；

（1）

證明：\'BE//CF,:.NBED=/CFD,

:NBDE=/CDF,BD=CD,

:.ABDE沿4CDF（AAS）；

（2）

解：由（1）結論可得?！?。尸，

?；EF=AE-AF=15-8=7,

7

【點睛】本題考查了平行線的性質，全等三角形的判定（AAS）和性質；掌握全等三角形的判定和性質是

解題關鍵.

2.如圖，在此△/BC中，/4C3=90。，點。是的中點，小明發(fā)現(xiàn)，用已學過的“倍長中線”加倍構造全

等，就可以測量CO與數(shù)量關系.請根據小明的思路，寫出CD與的數(shù)景關系，并證明這個結論.

【答案】CD=^AB,證明過程詳見解析

【分析】延長CO到點R使ED=CD,連接3E,根據全等三角形的判定和性質即可求解.

【詳解】解：CD=^AB,證明：如圖，延長CD到點E,使瓦”CD,連接BE,

AE

在△ADE和△4DC中,

BD=AD

</BDE=ZADC

ED=CD

：.△AADC(SAS),

；?EB=AC,ZDBE=ZA,

：.BE//AC,

ZACB=90°f

：.ZEBC=180°-CB=90°,

J/EBC=/ACB,

在△￡C5和△ZBC中，

EB=AC

<ZEBC=ZACB

CB=BC

：.△EC5也△45C(SAS),

:.EC=AB,

：.CD=^EC=^AB.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，解決本題的關鍵是正確的作出輔助線.

3.我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補的兩個三角形叫兄弟三角形.如圖，OA=OB,OC=OD,

ZAOB=ZCOD=90°,回答下列問題:

B

P

(1)求證：△CMC和△08。是兄弟三角形.

(2)“取2。的中點尸，連接0P,試說明NC=20P.”聰明的小王同學根據所要求的結論，想起了老師上課講

的“中線倍長”的輔助線構造方法，解決了這個問題，按照這個思路回答下列問題.

①請在圖中通過作輔助線構造△。尸O,并證明BE=OD；

②求證：AC=20P.

【答案】(1)見解析

(2)①見解析；②見解析

【分析】⑴證出乙40C+N80180。，由兄弟三角形的定義可得出結論；

(2)①延長。尸至E,使PE=OP,證明g△OP。(SAS),由全等三角形的性質得出5￡=。。；

②證明△￡30絲△CCU(SAS),由全等三角形的性質得出OE=NC,則可得出結論.

(1)

證明：VZAOB=ZCOD=90°,

：.ZAOC+ZBOD=3600-ZAOB-ZCOD=360°-90o-9Qo=lS00,

又,：AO=OB,OC=OD,

.?.△CMC和△02。是兄弟三角形；

(2)

①證明：延長。尸至E,使PE=OP,

：.BP=PD,

XVZBPE=ZDPO,PE=OP,

:ABPE經ADPO(SAS),

：.BE=OD-,

②證明：?:XBPE空ADPO,

：./E=/DOP,

：.BE//OD,

：.NE8O+/BOD=180。，

又：ZBOD+ZAOC=1SO°,

：.ZEBO=ZAOC,

\'BE=OD,OD=OC,

：.BE=OC,

又；OB=OA,

:.AEBO咨ACOA(SAS),

：.OE=AC,

又；OE=2OP,

：.AC=20P.

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了新定義兄弟三角形，全等三角形的判定與性質，正確作出輔助線是

解題的關鍵.

4.【發(fā)現(xiàn)問題】

小強在一次學習過程中遇到了下面的問題:

如圖1,是△/8C的中線，若/8=8,AC=6,求/D的取值范圍.

【探究方法】

小強所在學習小組探究發(fā)現(xiàn)：延長4D至點E,使ED=">,連接BE.可證出△4DC與△成>3,利用全等

三角形的性質可將已知的邊長與AD轉化到同一個△/BE中，進而求出AD的取值范圍.

方法小結：從上面思路可以看出，解決問題的關鍵是將中線4D延長一倍，構造出全等三角形，我們把這種

方法叫做倍長中線法.

【應用方法】

(1)請你利用上面解答問題的方法思路，寫出求的取值范圍的過程；

【拓展應用】

(2)已知：如圖2,4D是△/BC的中線，BA=BC,點E在2c的延長線上，EC=BC.寫出4D與/E之

間的數(shù)量關系并證明.

圖2

【答案】(1)1<AD<7；(2)2AD=AE.理由見解析

【分析】(1)延長4D至點E,使DE=4D,連接BE,證明四△CZM(SAS),得出/C=8E=6,由三

角形三邊關系可得出答案；

(2)延長至尸，使由&4s證明△2。尸名△CD4,利用已知條件推出NFR4=N/CE,再由S/S

證明CE四/XFBA即可得到2AD=AE.

【詳解】(1)證明：延長ND至E,使DE=AD,

是3c邊上的中線，

：.BD=CD,

在△出羽和中，

BD=CD

<NBDE=ZCDA,

DE=DA

:?△BDE"4CDA(SAS)f

：?AC=BE=6,

在中，AB-BE<AE<AB+BE,

???8-6V2/QV8+6,

A1<^D<7；

(2)2AD=AE.理由如下：

證明：延長4。至尸，使。尸=4。，

E

是5C的中線,

:?BD=CD,

在/和△CD4中，

BD=CD

</BDF=/CDA,

DF=DA

:,△BDF/ACDA(SAS)f

：.AC=BF,NCAD=NF,

J.AC//BF,

：./FBA+NB4c=180。,

?：BA=BC,

：.NBAC=NBCA,

*：NACE+/BCA=180。,

：.ZFBA=ZACE,

*：BA=BC,EC=BC,

；,BA=EC,

在△4CE和△尸8/中,

CE=BA

<ZACE=ZFBA,

AC=BF

:.LACE2MBA（SAS）,

：.AE=AF,

"：2AD=AF,

：.2AD=AE.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形三邊關系，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題

的關鍵.

5.［問題背景］

①如圖1,CD為△ZBC的中線，則有S/CD=Su8CD；

②如圖2,將①中的N/C8特殊化，使NZC8=90。，則可借助“面積法”或“中線倍長法"證明/B=2CD；

［問題應用］如圖3,若點G為的重心（△ABC的三條中線的交點），CG±BG,若/Gx2C=16,貝！I

△BGC面積的最大值是（）

A.2B.8C.4D.6

【答案】［問題背景］①見解析；②見解析；［問題應用］C

【分析】［問題背景］①設邊的高長為〃，可得〃，邑再由即可求證;

②延長CD至點￡,使DE=CD,連接NE,BE,根據可得四邊形NC8E是平行四邊形，再由N/C3

=90。，可得到四邊形/C8E是矩形，即可求證

［問題應用］如圖，過點G作GHLBC于點根據題意可得點〃是8C的中點,NG=2DG,從而得到DG=：BC,

得至|J/G=2C,再由/Gx8C=16,可得至U/G=8C=4,再由G//_L2C,可得GHgDG,從而得到當G8=￡?G

時，△BGC面積的最大，即可求解.

【詳解】解：［問題背景］①設N8邊的高長為人

S&ACD=54Dxh,S&BCD=5BDxh,

?.?C。為的中線，即

?C—c

,?24CD~3BCD；

②如圖，延長CD至點￡,使DE=CD,連接/￡,BE,

E

為△4BC的中線，

：.AD=BD,

,:DE=CD,

二四邊形ACBE是平行四邊形，

乙4c3=90。，

四邊形/C2E是矩形，

:.AB=CE,

'：DE=CD,

：.AB=CD+DE=2CD-,

［問題應用］如圖，過點G作8c于點兒

:點G為△N8C的重心（△/8C的三條中線的交點）,

.??點。是2c的中點，AG=2DG,

'：CG±BG,

：.DG=-BC,

2

,*.AG=BC,

?：AGxBC=16,

；?4G=BC=4,

：.DG=2,

■:GHLBC,

：.GH<DG,

：.GH<2,

:.當GH=2,即G/7=OG時，ZXBGC面積的最大，最大值為

-DGx5C=ix2x4=4.

22

【點睛】本題主要考查了矩形的判定和性質，重心的性質，熟練掌握矩形的判定和性質定理，重心的性質

是解題的關鍵.

6.先閱讀，再回答問題：如圖1,已知△N3C中，為中線.延長ND至￡,使DE=4D.在和

△ECD中，AD=DE,ZADB=ZEDC,BD=CD,所以，△48。之△ECD(SAS),進一步可得到4B=CE,

48〃CE等結論.

在已知三角形的中線時，我們經常用“倍長中線”的輔助線來構造全等三角形，并進一步解決一些相關的計算

或證明題.

解決問題：如圖2,在△48C中，/￡>是三角形的中線，尸為/。上一點，且8尸=/。，連結并延長3尸交NC

于點￡,求證：AE=EF.

【答案】證明見試題解析.

【分析】延長4D到G,使。尸=￡>G,連接CG,得到8D=DC,根據&4S推出△8D產名△CAG,根據全等三

角形的性質得出BF=CG,NBFD=/G,求出N4尸￡=/G,CG=AC,推出/G=/C4凡求出N4FE=/C4F

即可.

【詳解】解:延長/。到G,使。尸=￡>G,連接CG,

?.2。是中線，

：.BD=DC,

在△AD/和△CDG中，

'：BD=DC,ZBDF=ZCDG,DF=DG,

叢BDFW叢CDG,

：.BF=CG,NBFD=/G,

NAFE=NBFD,

：.ZAFE=ZG,

,:BF=CG,且已知8/=ZC,

：.CG=AC,

：.ZG=ZCAF,

：.ZAFE=ZCAF,

：.AE=EF.

【點睛】本題考查了倍長中線法、三角形全等的判定、性質及等腰三角形的性質等，本題的關鍵是借助閱

讀材料中提供的方法延長/。到G,使DF=DG,進而構造三角形全等.

7.(1)如圖1,若^ABC是直角三角形，NBAC=90。，點D是BC的中點，延長AD到點E,使DE=AD,

連接CE,可以得到AABD之AECD,這種作輔助線的方法我們通常叫做“倍長中線法”.求證：4ACE是直

角三角形

(2)如圖2,ZXABC是直角三角形，ZBAC=90°,D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點,

且DE_LDF.試說明BE2+CF2=EF2；

(3)如圖3,在(2)的條件下，若AB=AC,BE=：12,CF=5,求4DEF的面積.

S2圖3

169

【答案】⑴證明見解析；⑵證明見解析；⑶

【分析】(1)根據全等三角形的性質和直角三角形的判定解答即可;

(2)延長ED至點G,使得DG=DE,連接FG,CG,根據全等三角形的判定和性質進行解答;

(3)連接AD,根據全等三角形的判定和性質和三角形的面積公式解答即可.

【詳解】(1)VAABD^AECD

.'.ZECD=ZB

ZBAC=90°

ZB+ZBCA=90°

ZBCE+ZBCA=90°,BPZACE=90°

/.△ACE是直角三角形

(2)延長ED至點G,使得DG=DE,連接FG,CG,

VDE=DG,DF±DE,

ADF垂直平分DE,

；.EF=FG,

：D是BC中點,

；.BD=CD,

在4BDE和4CDG中,

BD=CD

<ZBDE=ZCDG,

DE=DG

AABDE^ACDG(SAS),

???BE=CG,ZDCG=ZDBE,

VZACB+ZDBE=90°,

.\ZACB+ZDCG=90o,即NFCG=90。,

VCG2+CF2=FG2,

.\BE2+CF2=EF2；

(3)連接AD,

VAB=AC,D是BC中點，

???NBAD=NC=45。，AD=BD=CD,

VZADE+ZADF=90°,ZADF+ZCDF=90°,

???ZADE=ZCDF,

在AADE和ACDF中，

ZBAD=ZC

<AD=CD,

ZADE=ZCDF

AAADE^ACDF(ASA),

???AE=CF,BE=AF,AB=AC=17,

S四邊形AEDF=5SAABC，

=

??SAAEF-x5x12=30,

,A1169

??ADEF的面積=5SAABC-SAAEF=.

【點睛】考查全等三角形的判定與性質，通過證明三角形全等得出對應邊相等、對應角相等是解題基礎，

將待求線段轉化成求等長線段是解題的關鍵.

8.(1)閱讀理解：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

在△ABC中，AB=9,AC=5,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法(如圖1)：

①延長AD到Q,使得DQ=AD；

②再連接BQ,把AB、AC、2AD集中在AABQ中；

③利用三角形的三邊關系可得4<AQ<14,則AD的取值范圍是.

感悟：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”等條件，可以考慮倍長中線，構造全等三角形，把分散的已知條

件和所求證的結論集中到同一個三角形中.

(2)請你寫出圖1中AC與BQ的位置關系并證明.

(3)思考：己知，如圖2,AD是AABC的中線，AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZFAC=90°.試探究線段

AD與EF的數(shù)量和位置關系并加以證明.

圖I圖2

【答案】(1)2<AD<7；(2)AC//BQ,理由見解析；(3)EF=2AD,ADLEF,理由見解析

【分析】(1)先判斷出8O=CD,進而得出△以>5之△4DC(SAS),得出2。=/。=5,最后用三角形三邊

關系即可得出結論；

(2)由(1)知，AQDB”AADC(SAS),得出即可得出結論；

(3)同(1)的方法得出△3D0絲△CZM(SAS),則BQ=AC,進而判斷出NENE

進而判斷出△AB。/△瓦4尸，得出力。=即，/BAQ=NAEF,即可得出結論.

【詳解】解：⑴延長ND到。使得連接3。，

'：AD是△48C的中線，

:.BD=CD,

BD=CD

在△QQ5和△ADC中，=

DQ=DA

:?△QDBQAADC(SAS),

.\BQ=AC=59

在△450中，AB-BQ<AQ<AB+BQ,

???4V4QV14,

：.2<AD<lf

故答案為2V/OV7；

(2)AC//BQ,理由：由(1)知，△QDBQdADC,

：.NBQD=NCAD,

：.AC//BQ；

(3)EF=2AD,ADA.EF,

理由：如圖2,延長/。到。使得8。=/。，連接BQ,

由(1)知，XBDQWXCDA(S/S),

AZDBQ=ZACD,BQ=AC,

*：AC=AF,

：.BQ=AF,

在△42C中，ABAC+ZABC+ZACB=1SO°,

：./BAC+NABC+/DBQ=180°,

???ZBAC+ABQ=ISO°,

ZBAE=ZE4C=90°f

：.ZBAC+ZEAF=1SO°,

：.ZABQ=ZEAF,

AB=EA

在△/BQ和△口/中，<ZABQ=ZEAF,

BQ=AF

：.4ABQ咨LEAF,

：.AQ=EF,NBAQ=NAEF,

延長D4交M于尸，

ZBAE=90°,

：.ZBAQ+ZEAP=90°,

：.NAEF+/EAP=90。,

：.ZAPE=90°,

：.ADLEF,

?；4D=DQ,

.\AQ=2ADf

?:AQ=EF,

：.EF=2AD,

即：EF=2AD,ADLEF,

Q

【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查全等三角形的判定和性質，倍長中線法，構造全等三角形是解題

的關鍵.

9.在利用構造全等三角形來解決的問題中，有一種典型的利用倍延中線的方法，例如：在中，AB

=8,力。=6,點。是邊上的中點，怎樣求4。的取值范圍呢？我們可以延長4。到點E,使4。=。。

AD=DE

然后連接5E（如圖①），這樣，在△4。。和△￡/必中，由于＜/ADC=/EDB,:.△ADC^^EDB,：.AC

BD=CD

=EB,接下來，在△48E中通過/E的長可求出4。的取值范圍.

請你回答:

(1)在圖①中，中線的取值范圍是.

(2)應用上述方法，解決下面問題

①如圖②，在△NBC中，點。是8C邊上的中點，點￡是邊上的一點，作交NC邊于點巴連

接所，若BE=4,CF=2,請直接寫出￡尸的取值范圍.

②如圖③，在四邊形48CD中，NBCD=150。,N4DC=30。，點E是N2中點，點尸在DC上，且滿足3c

=CF,DF=AD,連接CE、ED,請判斷CE與的位置關系，并證明你的結論.

【答案】(1)1<AD<1；(2)①2<所<6；②CELED,理由見解析

【分析】(1)在AABE中，根據三角形的三邊關系定理即可得出結果；

(2)①延長ED到點N,使ED=DN,連接CN、FN,由SAS證得AA?C三AEDB,得出BE=CN=4,

由等腰三角形的性質得出斯=沖，在4CFN中，根據三角形的三邊關系定理即可得出結果；

②延長CE與DA的延長線交于點G,易證DG〃BC,得出/G/E=/CSE,由ASA證得AG/E=AC3E,

得出GE=CE,/G=3C,即可證得CD=G。，由GE=CE,根據等腰三角形的性質可得出CE，ED.

【詳解】(1)在^ABE中，由三角形的三邊關系定理得：AB-BE<AE<AB+BE

8—6<AE<8+6,即2<AE<14

:.2<2AD<14,即1<4D<7

故答案為：1<ND<7；

(2)①如圖②，延長ED到點N,使即=?？桑B接CN、FN

?.,點D是BC邊上的中點

BD=CD

CD=BD

在4NDC和4EDB中，■ZCDN=ZBDE

DN=ED

ANDC三^EDB(SAS)

,-.BE=CN=4

■：DFVDE,ED=DN

是等腰三角形，EF=FN

在ACFN中，由三角形的三邊關系定理得：CN-CF<FN<CN+CF

:.4-2<FN<4+2,即2cm<6

/.2<EF<6；

@CE1ED-,理由如下：

如圖③，延長CE與DA的延長線交于點G

??,點E是AB中點

/.BE=AE

???/BCD=150。,ZADC=30°

/.DGHBC

ZGAE=ZCBE

ZGAE=ZCBE

在AGAE和aCBE中，|AE=BE

ZAEG=ZBEC

/.bGAE=ACBE(ASA)

:.GE=CE,AG=BC

???BC=CF,DF=AD

:.CF+DF=BC+AD=AG+AD.^CD=GD

???GE=CE

；.CE人ED.(等腰三角形的三線合一)

【點睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質、三角形的三邊關系定理、等腰三角形的判定與性質等

知識點，較難的是題（2）②，通過作輔助線，構造全等三角形是解題關鍵.

10.閱讀材料，解答下列問題.

如圖1,已知△48C中，AD為中線.延長/。至點E,使DE=AD.在△NDC和△￡￡>8中，AD=DE,

ZADC=ZEDB,BD=CD,所以，△/CO之△EAD,進一步可得到NC=3￡,/C7/AE'等結論.

在已知三角形的中線時，我們經常用“倍長中線”的輔助線來構造全等三角形，并進一步解決一些相關的計算

或證明題.

解決問題：如圖2,在△NBC中，是三角形的中線，點尸為上一點，且8產=/C,連結并延長8/交

/C于點E,求證：AE=EF.

【答案】詳見解析

【分析】延長AD到M,使DM=AD,連接BM,根據SAS推出△BDM名ACDA,根據全等三角形的性質

得出BM=AC,ZCAD=ZM,根據BF=AC可得BF=BM,推出/BFM=/M,求出NAFE=/EAF即可.

【詳解】如圖，延長4。至點〃，使得并連結9,

BD=CD,

在AMDB和AADC中,

BD=CD,

<ZBDM=ZCDA,

DM=DA,

：.AMDB%AADC,

:.AC=MB,NBMD=NCAD,

'：BF=AC,

：.BF=BM,

：.ZBMD=ZBFD,

'：ZBFD=ZEFA,ZBMD=ACAD,

ZEFA=NEAF,即4E=E尸.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的運用性

質進行推理的能力，關鍵是能根據“倍長中線”法作出輔助線來構造全等三角形.

11.(1)如圖1所示，在A/BC中，。為3C的中點，求證：AB+AO2AD

甲說：不可能出現(xiàn)△48。絲△/CD,所以此題無法解決；

乙說：根據倍長中線法，結合我們新學的平行四邊形的性質和判定，我們可延長4。至點E,使得/)￡=">,

連接BE、CE,由于BD=DC,所以可得四邊形N8EC是平行四邊形，請寫出此處的依據

_________________________________________(平行四邊形判定的文字描述)

所以=△A8E中，AB+BE>AE,

即AB+AC>2AD

請根據乙提供的思路解決下列問題：

(2)如圖2,在A48c中，。為8C的中點，AB=5,AC=3,AD=2,求ANBC的面積；

(3)如圖3,在A48c中，。為8C的中點，〃■為ZC的中點，連接AW?交4D于尸，若AM=MF.求證：

BF=AC.

【答案】(1)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；(2)6；(3)見解析.

【分析】(1)根據題意，DE=AD，BD=OC即可得四邊形的對角線相等，根據平行四邊形的判定定理即可

寫出；

(2)根據倍長中線法，延長4。至點G,使得DG=/D,可以求得/G,/C,GC,再根據勾股定理的逆定理

可知A/GC為五/A,繼而即可求得面積

(3)根據倍長中線法，延長4D至點N,證明四邊形48NC是平行四邊形，由4M'=旅即可證明族=NC.

【詳解】解：(1)DE=AD,BD=DC

四邊形/8EC是平行四邊形

依據是：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

故答案為：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

(2)如圖，根據倍長中線法，延長4。至點G,使得。G=4D,

由(1)可知，四邊形/3GC是平行四邊形

\GC=AB,AC//BG

'''AB=5,AC=3,AD=2

:.AG=4,GC=5

AC2+AG2=32+42=25

CG2=52=25

：.AC2+AG2^CG2

:.A4GC是MA

■：ACHBG

.■.SZ.\/1.￡K>CC=S./\./I(rTIr.=-2AC-AG=-2x3x4=6

(3)如圖，根據倍長中線法，延長4。至點N,使4D=￡W,

N

由（1）可知：四邊形/3NC是平行四邊形,

:.ACHBN,AC=BN

ZMAF=NBNF

■：AM=MF

NMAF=ZMFA

又?；NMF4=NBFN

NBNF=NBFN

BF=BN

BF=AC

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質與判定，勾股定理的逆定理，等角對等邊，運用倍長中線法是解題

的關鍵.

12.（1）方法學習：數(shù)學興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1,在△NBC中，AB=8,AC=6,

求3c邊上的中線的取值范圍.小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2）,

圖1圖2圖3

①延長4。到使得。A/=/D；

②連接通過三角形全等把/8、AC,2/。轉化在■中；

③利用三角形的三邊關系可得的取值范圍為48-BM<AM<AB+BM,從而得到AD的取值范圍

是;

方法總結：上述方法我們稱為“倍長中線法”.“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系.

（2）請你寫出圖2中NC與的數(shù)量關系和位置關系，并加以證明.

（3）深入思考：如圖3,/￡>是△48C的中線，AB=AE,AC=AF,NBAE=NCAF=90°,請直接利用（2）

的結論，試判斷線段4D與即的數(shù)量關系，并加以證明.

【答案】（1）1VNDV7；（2）AC//BM,MAC=BM,證明見解析；（3）EF=2AD,證明見解析.

【分析】（1）延長/。到使得DM=4D,連接根據題意證明g△NDC,可知在

△ABM中，AB-BM<AM<AB+BM,即可；

(2)由(1)知，LMDBq4ADC,可知NM=/C/D,AC=BM,進而可知NC〃3M；

(3)延長40到“，使得。連接由(1)(2)的結論以及已知條件證明進

而可得由即可求得/。與防的數(shù)量關系.

【詳解】(1)如圖2,延長/D到“，使得ZW=/。，連接

；AD是△/8C的中線，

:.BD=CD,

在AMDB和△4DC中，

BD=CD

<ZBDM=ZCDA,

DM=AD

?MMDB出AADCCSAS),

：.BM=AC=6,

在A4BMAB-BM<AM<AB+BM,

A8-6<AM<?,+6,2<AM<14,

：.\<AD<1,

故答案為：

(2)AC//BM,MAC=BM,

理由是：由(1)知，△MOB烏△4DC,

AZM^ZCAD,AC=BM,

：.AC//BM；

(3)EF=2AD,

理由：如圖2,延長/。到M,使得。連接

由(1)知，4BDM咨ACDA(S4S),

:.BM=AC,

"：AC=AF,

:.BM=AF,

由(2)知：AC//BM,

ZBAC+ZABM=1SO°,

*.*/BAE=/E4c=90。,

：.ZBAC+ZEAF=1SO°,

：.NABM=/EAF,

在和△口/中，

AB=EA

</ABM=ZEAF,

BM=AF

:?△ABMmAEAF(SAS)f

：.AM=EF,

U：AD=DM,

：?AM=2AD,

■:AM=EF,

：.EF=2ADf

即：EF=2AD.

圖2

【點睛】本題考查了三角形三邊關系，三角形全等的性質與判定，利用倍長中線輔助線方法是解題的關鍵.

13.【閱讀理解】倍長中線是初中數(shù)學一種重要的數(shù)學思想，如圖①，在△ZBC中，4。是邊上的中線,

若延長4。至￡,使DE=AD,連接CE,可根據"S證明△力助，則力5=￡C.

AAA

D

E

圖①圖②圖③

(1)【類比探究】如圖②，在AOEF中，DE=3,。尸=7,點G是EF的中點，求中線。G的取值范圍；

(2)【拓展應用】如圖③，在四邊形4BCD中，48〃CD,點E是3C的中點.若NE是ZR4D的平分線.試

探究48,AD,。。之間的等量關系，并證明你的結論.

【答案】(1)2<OG<5

(2)AD=DC+AB

【分析】(1)延長。G至使GM=DG,連接反凡根據SAS可證△DEGg△MRG,得出MG3,然后根

據三角形三邊不等關系定理求出。”取值范圍，最后把DM=2DG代入即可求解；

(2)延長NE,DC相交于點F,根據ASA可證△/8￡烏△尸CE,則AB=FC,然后由NE平分N8/。，AB//CD

可證/Q/D4R由等角對等邊可得尸，最后由線段的和差關系即可求解.

(1)

解：延長。G至使GM=Z)G,連接MF,

D

EG\/F

\/

\/

\/

\/

\/

\/

\/

，M

又EG=FG,NEGD=/FGM,

：./XDEGqAMFG,

：.DE=MF,

又DE=3,

：.MF=3f

又DF=1,

,/DF-MF<DM<DF+MF,

：.7-3<DM<7+3,即4<DM<10,

.\4<2￡>G<10,

：.2<DG<5；

(2)

延長。。相交于點后

'：AB//CD.

：./BAE=/F,

又BE=CE,NAEB=/FEC,

：.4ABE學AFCE,

：.AB=CF,

VZBAE=ZF,NDAF=NBAE,

：./F=/DAF,

:?AD=FD,

又FD=CD+DF,CF=AB,

：.AD=CD+AB.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的性質，三角形三邊關系定理等知識，讀懂題意，

添加“倍長中線”的輔助線是解題的關鍵.

14.閱讀下面材料：小軍遇到這樣一個問題：如圖1,AABC中，AB=6,AC=4,點D為BC的中點，求

AD的取值范圍.

Cl)小軍發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題.他的做法是：如圖2,延長AD到E,使DE=

AD,連接BE,構造ABED咨ZXCAD,經過推理和計算使問題得到解決.

請回答：AD的取值范圍是.

(2)參考小軍思考問題的方法，解決問題：如圖3,AABC中，E為AB中點，P是CA延長線上一點，

連接PE并延長交BC于點D.求證：PA-CD=PC?BD.

【答案】(1)1<AD<5；(2)證明見試題解析.

【詳解】試題分析：(1)由△BEDgACAD,得至!!BE=AC,在4ABE中，由三角形三邊關系即可得到結

論；

(2)延長PD至點F,使EF=PE,連接BF.得至U/XBEFg/XAEP,從而NAPE=/F,BF=PA,又由/BDF

BF豳

=NCDP,得至l]Z\BDFs/^CDP,故尸。=，磁:，即可得到結論.

試題解析：(1)1<AD<5；

(2)證明:延長PD至點F,使EF=PE,連接BF.：BE=AE,ZBEF=ZAEP,AABEF^AAEP,AZAPE

BFPa蹈

=ZF,BF=PA,又；/BDF=/CDP,AABDF^ACDP,APC='C?:,/.PC,即PACD=

PCBD.

考點：相似三角形的判定與性質.

15.在通過構造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線法.

A

A

(1)如圖1,40是A/3C的中線，AB=1,NC=5求4D的取值范圍.我們可以延長40到點使DM=月。,

連接收，易證△4DC也所以的W=/C.接下來，在“8/中利用三角形的三邊關系可求得力/

的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是.

⑵如圖2,4。是A/3C的中線，點E在邊NC上，BE交AD于點、F,且/￡=成，求證：AC=BF；

【答案】

(2)見解析

【分析】(1)如圖1,延長/。到點使。M=4D,連接8",證明△/￡>(?烏△MDB(SAS),推出/C=3〃=5,

再根據AB-BMWAM?AB+BM,可得結論；

(2)如圖2,延長4D到T,使得。7=40,連接27,由△4DC烏△ZD2,推出/C=8T,NC=N7KD,推出87IMC,

再證明2尸=87,可得結論.

(1)

解：如圖1中，延長40到點使D〃=4D,連接

,：AD是△XBC的中線,

：.BD=CD,

在△/￡>(?和△MOB中,

DA=DM

<ZADC=/MDB,

DC=DB

：.△ZQC/△M)5(SAS),

：.AC=BM=5,

■;AB=7,

：.AB-BM<AM<AB+BM,

：.2<AM<n,

：.2<2AD<12,

：.\<AD<6,

故答案為：1V4K6；

(2)

證明：如圖2中，延長/。到T,使得。7=/。，連接5T,

9：AD是△/BC的中線，

：.BD=CD,

在△4DC和中，

DA=DT

<ZADC=ZTDBf

DC=DB

：./△TDB(SAS),

:?AC=BT,ZC=ZTBD,

：.BT\\AC,

：.ZT=ZDAC,

'：EA=EF,

：.ZEAF=ZEFA,

ZEFA=ZBFT,

：.ZT=ZBFT,

：.BF=BT,

：.AC=BF

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了三角形的三邊關系，全等三角形的判定和性質，三角形的中線的

性質，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，倍長中線構造全等三角形解

決問題.

16.在通過構造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線.

(1)如圖1,4D是A4BC的中線，4B=7,/C=5,求40的取值范圍.我們可以延長40到點M，使DM=40,

連接易證=所以=接下來，在中利用三角形的三邊關系可求得的

取值范圍，從而得到中線的取值范圍是;

(2)如圖2,4。是的中線，點￡在邊NC上，8E交于點尸，且/￡=跖，求證：AC=BF；

(3)如圖3,在四邊形N3CZ)中，AD//BC,點E是48的中點，連接CE,ED且CELDE,試猜想線段

8C,CD,/。之間滿足的數(shù)量關系，并予以證明.

A

E

CD

圖3

【答案】（1）\<AD<6,（2）見解析；⑶CD=BC+AD,證明見解析

【分析】（1）延長40到點M,使DW=，連接9,即可證明=AMDS,則可得8M=/C,在

中，根據三角形三邊關系即可得到的取值范圍，進而得到中線的取值范圍；

（2）延長/。到點使。，連接卸/,由（1）知A/DC三,則可得/M=NC4O,BM=AC,

由/E=EF可知，ACAD=AAFE,由角度關系即可推出/即。=/9次，故BM=3尸，即可得到ZC=89；

（3）延長CE到尸，使EF=EC,連接/月，即可證明AAEFMASEC,則可得/胡尸=/A4F=3G由

ADIIBC,以及角度關系即可證明點尸,4。在一條直線上，通過證明放ADEF之RtADEC,即可得到

FD=CD,進而通過線段的和差關系得到5=BC+ND.

【詳解】（1）延長到點M,使DM=40,連接BM,

是AA8C的中線，

DC=DB,

在M.DC和AMDB中，

AD=MD,ZADC=ZMDB,DC=DB,

：.NADC=\MDB,

BM=AC,

在\ABM中,

AB-BM<AM<AB+BM,

7-5</河<7+5,BP2<AM<\2,

：.\<AD<6；

（2）證明:延長/。到點M,使。M=4。,連接四，

由（1）知AADC沁MDB,

A

AE=EF,

ACAD=ZAFE,

???ZMFB=ZAFE,

:./MFB=/CAD,

ZBMF=ZBFM,

:.BM=BF,

:,AC=BF,

(3)CD=BC+AD,

延長CE到尸，使EF=EC,連接Zb,

F

/.\AEF=ABEC,

/.ZEAF=ZB,AF=BC,

vADIIBC,

:.NBAD+NB=T8。。,

.?./EAF+/BAD=18V,

.?.點￡4。在一條直線上,

???CE1ED,

：./DEF=/DEC=9。。，

在RtADEF和RtdDEC中，

EF=EC,ZDEF=ZDEC,DE=DE,

：.RtADEF也RtADEC,

FD=CD,

FD=AD+AF=AD+BC,

CD=BC+AD.

【點睛】本題考查了三角形中線、全等三角形的證明和性質、三角形的三邊關系、等腰三角形的性質、平

行線的性質、平角的概念、線段的和差關系等，正確的作出輔助線以及綜合運用以上知識是解答本題的關

鍵.

17.問題探究：數(shù)學課上老師讓同學們解決這樣的一個問題：如圖①，已知E是3C的中點，點/在。E上,

且NBAE=