2025年中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：三角形的證明與計(jì)算（原卷版）

專題03三角形的證明與計(jì)算

目錄

熱點(diǎn)題型歸納.........................................................................................1

題型01三角形與全等.................................................................................1

題型02三角形與相似.................................................................................3

題型03三角形邊角計(jì)算...............................................................................6

中考練場(chǎng)............................................................................................10

熱點(diǎn)題型歸納

題型01三角形與全等

【解題策略】

六個(gè)全等模型

c

直角一線三等角

兩個(gè)正方形等邊三角形含半角（/8DC-120

手拉手模型

【典例分析】

例.（2023?北京?中考真題）在中、Z5-ZC=a（O°<a<45°）,4AUBC于點(diǎn)跖。是線段MC上的動(dòng)點(diǎn)（不

與點(diǎn)M,C重合），將線段DM繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線段DE.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)￡在線段/C上時(shí)，求證：。是MC的中點(diǎn)；

（2）如圖2,若在線段的上存在點(diǎn)尸（不與點(diǎn)3,M重合）滿足。尸=DC,連接/E,EF,直接寫出N/EF的大小,

并證明.

【變式演練】

1.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在“3c和VADE中，延長(zhǎng)3C交DE于足BC=DE,ZBAD=ZCAE,

ZACF+/4ED=18Q°.求證：AB=AD.

2.（2022?安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等腰RtZ\4BC與等腰RtZ^CDE中，NACB=2DCE=90°,連接RD,/E相交于

點(diǎn)F，連接AD，BE,CF.

(1)探究線段/E,2。有何關(guān)系？寫出結(jié)論并說(shuō)明理由.

⑵若BC=3,CD=\,求3E2+/Q2的值.

BF-AF

(3)直接寫出八二的值.

CF

3.(2023?河北石家莊?一模)如圖，在中，AB=AC,ZBAC^9Q°,。為線段8C上一點(diǎn)，連接4D,將線段4D

繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,作射線CE.

⑴求證：ABAD應(yīng)CAE,并求/8CE的度數(shù)；

(2)若尸為中點(diǎn)，連接的，連接CF并延長(zhǎng)，交射線A4于點(diǎn)G,當(dāng)BD=2,DC=1時(shí).

①求*'的長(zhǎng)；

②直接寫出CG的長(zhǎng).

題型02三角形與相似

【解題策略】

【典例分析】

例.（2023?湖南常德?中考真題）如圖，在。8C中，AB=AC,。是3c的中點(diǎn)，延長(zhǎng)D4至￡,連接

（1）求證：ABAE出ACAE；

⑵在如圖1中，若AE=AD,其它條件不變得到圖2,在圖2中過(guò)點(diǎn)。作。尸，于R設(shè)X是EC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)〃

作〃GII/8交陽(yáng)于G,交DE于M.

求證：①AF?MH=AM?AE；

②GF=GD.

【變式演練】

1.（2023九年級(jí)?安徽?專題練習(xí)）如圖，在等腰Rt448C中，ZACB=90。,E為8c邊上一點(diǎn)，。為ZC延長(zhǎng)線上一

點(diǎn)，且CE=CD,連接AD,DE,AE,延長(zhǎng)NE交8。于點(diǎn)G,。為AD的中點(diǎn)，P為射線OE上一點(diǎn)，連接。P,交

/G延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，且PD=BD.

BP

Q

D

(1)求證："CE%ABCD；

AJ7

(2)若G為8。的中點(diǎn)，求若的值；

EG

(3)在(2)的條件下，當(dāng)尸時(shí)，求證：DE?=EG-BD.

2.(2023?上海虹口?一模)如圖，在A4BC中，已知點(diǎn)。、E分別在邊3C,48上，EC和4D相交于點(diǎn)凡ZEDB=ZADC,

DE2=DFDA-

⑴求證：AABDSAECD；

(2)如果44c3=90。，求證：FC=^EC.

3.(2024?上海普陀*一模)已知：如圖，在“3C中，點(diǎn)。在邊8c上，ZADE=ZB,ZEAF=ZFDC,DE與AC交

于點(diǎn)F.

E

B

⑴求證：就=至

(2)連接B尸，如果/爐=/尸./C,求證：ADBC=AEBF.

4.(2023?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè))在“03和△COD中，ZAOB=ZCOD=90°,直線NC與AD交于點(diǎn)M.

(1)如圖1,若NO48=/OCZ)=45。，求證：AC=BD；

(2)如圖2,^ZOAB=ZOCD=30°,寫出8D與/C的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)如圖2,若NOAB=NOCD=a,請(qǐng)直接寫出8。與/C的數(shù)量關(guān)系(用含。的式子表示).

題型03三角形邊角計(jì)算

【解題策略】

勾股定理常見(jiàn)折疊模型:

例:

A

【典例分析】

例.（2022?四川資陽(yáng)?中考真題）如圖，在。8c中（，8<5C）,過(guò)點(diǎn)C作CZ）〃/8,在。。上截取CD=C8,上截

取CE=/8,連接DE、DB.

D

AC

⑴求證：/XABC咨AECD；

(2)若NA=90。,48=3,BD=2卡，求ABCD的面積.

【變式演練】

1.（2023?湖北黃岡?一模）如圖，在中，//8。=90。,/。=30。，點(diǎn)￡）在8c上，且AD=/B,E為/。的中

點(diǎn)，連接3E并延長(zhǎng)，交NC于點(diǎn)足

A

F

E

BD

(1)求//FE的度數(shù);

(2)若ZC=4,求的長(zhǎng).

2.(2023?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè))如圖，在RtZ"3C中，ZACB=90°,AE平分NCAB交CB于點(diǎn)E,CZ)_L/3于點(diǎn)D,

交/E于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作G/〃3c交于尸，連接E尸.

⑴求證：CG=CE；

(2)若NC=3cm,BC=4cm,求線段。G的長(zhǎng)度.

3.(2023?安徽?模擬預(yù)測(cè))某校數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)四邊形進(jìn)行了如下探究：在四邊形Z8CD中，對(duì)角線相交于點(diǎn)

O.

圖2

(1)如圖1,若AC,BD,求證：AD1+BC2=AB1+CD\

(2)如圖2,^AC=a,BD=b,ZAOB=a為銳角），求四邊形/3CD的面積；（用含風(fēng)瓦。的代數(shù)式表示）

(3)如圖3,若=ZB+CD,ZABC=NBCD=60°,AC=2,求四邊形ABCD的面積.

4.（2024?山西朔州?一模）綜合與實(shí)踐

在AABC中，=/C,。為邊8c的中點(diǎn)，以。為頂點(diǎn)作/MW=48.

（1）如圖1,當(dāng)射線OV經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，交邊NC于點(diǎn)E,不添加輔助線，則圖①中與V4DE相似的三角形有.（填

序號(hào)）

①AABD②△ZDC③“BC④ADCE

（2）如圖2,將NMLW繞點(diǎn)。沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，0MDN分別交線段于點(diǎn)￡,（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），求證:

/\BDFs/\DEF.

（3）在圖2中，若4B=AC=5,BC=6,當(dāng)皿戶的面積等于AABC的面積的;時(shí)，求線段Eb的長(zhǎng).

中考練場(chǎng)

1.(2023?青海西寧?中考真題)如圖，在Y48co中，點(diǎn)E,尸分別在C。的延長(zhǎng)線上，且BE=DF,連接E尸與

/C交于點(diǎn)連接的，CE.

⑴求證：AAEM%ACFM；

(2)若/CLEF,AF=38，求四邊形/ECF的周長(zhǎng).

2.(2023?四川甘孜?中考真題)如圖，在RtA/BC中，AC=BC=3也，點(diǎn)、D在4B邊上,連接CD,將CA繞點(diǎn)C逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到CE,連接BE,DE.

⑴求證：ACAD③CBE；

(2)若/。=2時(shí)，求CE的長(zhǎng)；

(3)點(diǎn)。在N8上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究/。2+3￡)2的值是否存在最小值，如果存在，求出這個(gè)最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

3.(2023?山東濰坊?中考真題)如圖，在。BC中，CD平分/ACB,AE1CD,重足為點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作E產(chǎn)〃8C、

交AC于點(diǎn)、F,G為BC的中點(diǎn)，連接FG.求證：FG=-AB.

2

4.(2023?山東聊城?中考真題)如圖，在四邊形/BCD中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且BE=CD,NB=NAED=NC.

(1)求證：ZEAD=ZEDA；

⑵若NC=60。，DE=4時(shí)，求的面積.

5.(2023?廣西?中考真題)如圖，AABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)。，E,尸分別在邊AS,BC,G4上運(yùn)動(dòng)，滿

定AD