2025年中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練：四邊形的證明與計(jì)算（解析版）

專題04四邊形的證明與計(jì)算

目錄

熱點(diǎn)題型歸納.........................................................................................1

題型01四邊形與全等.................................................................................1

題型02四邊形與相似.................................................................................7

題型03四邊形邊角計(jì)算..............................................................................17

中考練場(chǎng)............................................................................................35

熱點(diǎn)題型歸納

題型01四邊形與全等

【解題策略】

六個(gè)全等模型

c

直角一線三等角

兩個(gè)正方形等邊三角形含半角（/8DC-120

手拉手模型

【典例分析】

例1.（2023?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，在菱形/BCD中，對(duì)角線/C,8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)尸，。分別是邊2C,線段OD

上的點(diǎn)，連接/尸,0尸,/尸與相交于點(diǎn)￡.

（1）如圖1,連接。當(dāng)。/=。尸時(shí)，試判斷點(diǎn)。是否在線段尸C的垂直平分線上，并說明理由；

（2）如圖2,若/4PB=90。，且ZBAP=ZADB,

①求證：AE=2EP；

②當(dāng)時(shí)，設(shè)EP=a,求尸。的長(zhǎng)（用含。的代數(shù)式表示）.

【答案】（1）點(diǎn)。在線段尸。的垂直平分線上（2）①證明見解析，②PQ=。

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)及垂直平分線的判定證明即可；

（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)得出再由各角之間的關(guān)系得出NB4P=/AB￡>=/CAD=30。，由含30度

角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；③連接QC.利用等邊三角形的判定和性質(zhì)得出/E=2a,/尸=3°,再由正切函數(shù)及

全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理求解即可.

【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)。在線段尸C的垂直平分線上.

理由如下：連接OC.

?.?四邊形/BCD是菱形，對(duì)角線ZC5D相交于點(diǎn)O,

：.BDLAC,OA=OC

：.QA=QC.

vQA=QP,

:QC=QP,

???點(diǎn)Q在線段PC的垂直平分線上.

(2)①證明：如圖，???四邊形/8CD是菱形,

/.AB=BC=CD=DA,

/./ABD=ZADB,/CBD=ZCDB,

?:BDLAC,

:.ZADO=ZCDOf

ZABD=ZCBD=ZADO.

???/BAP=ZADB,

/./BAP=AABD=ZCBD.

/.AE=BE,

?;N4PB=90。,

.\ZBAP+ZASP=90°,

Z.BAP=ZABD=ZCBD=30°.

在R3BPE中，???/EPB=90°,ZPBE=30°,

:.EP=-BE.

2

???AE=BE.

:.EP=-AE,

2

/.AE=2EP；

A

C

②如圖，連接。c.

???AB=BC,ZABC=60°,

???△/BC是等邊三角形.

/APB=90。，

：.BP=CP,EP=a,

AE=2a,AP=3a

在中，ZAPB=90°f

vtmZABP=—石

BP3

BP=JJQ.

CP=BP=y/3a

?：AO=CO,ZAOE=ZCOQ,OE=OQ,

:20E經(jīng)XCOQ,

/.AE=CQ=2a,ZEA0=ZQCO.

/.AE//CQ,

ZAPB=90°,

ZQCP=90°.

在Rt△尸C0中，ZQCP=90°,

由勾股定理得尸。2=尸。2+。。2,

Pg2=(V3a)2+(2a)2=7a2

PQ=.

【點(diǎn)睛】題目主要考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)及解直角三角形，理解

題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

例2.（2023?黑龍江哈爾濱?中考真題）已知四邊形/8CD是平行四邊形，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，點(diǎn)廠在邊8C上，連接

AE,EF,DE=BF,BE—BC.

（1）如圖①，求證△4ED四ZkEFB;

（2）如圖②，若”AE#ED,過點(diǎn)C作C"〃/￡交BE于點(diǎn)H,在不添加任何軸助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖②

中四個(gè)角（/A4E除外），使寫出的每個(gè)角都與NA4E相等.

【答案】（1）見解析；Q）/BEA=NEFC=/DCH=/DHC=/BAE,理由見解析.

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得==BC//AD,進(jìn)而有乙4?！?NEAF,從而利用“S即可證明結(jié)論

成立；

(2)先證四邊形48。是菱形，得AB=BC=BE=CD=AD,又證絲ACD〃(AAS),得

/BAE=NDCH=/BEA=/DHC,由(1)得A4ED0AEFB(SAS)得NAED=NEFB,根據(jù)等角的補(bǔ)角相等即可證明.

【詳解】(1)證明：??,四邊形/BCD是平行四邊形，BE=BC

：.AD=BC=BE,BC//AD,

,NADE=NEBF,

'：DE=BF,/LADE=NEBF,AD=BE

：."ED為EFB(SAS)；

(2)解：ZBEA=ZEFC=ZDCH=ZDHC=ZBAE,理由如下：

,/AB=AD,四邊形48co是平行四邊形，

二四邊形ABCD是菱形，BC//AD,AB//CD

AB=BC=BE—CD—AD,Z.ADE=Z.EBF,NABE=/CDH,

/BEA=NBAE,

CH//AE,

:?NBEA=NDHC,

:.八ABE也△CQ〃(AAS),

：.NBAE=NDCH=NBEA=ZDHC,

由(1)得AAED知EFB(SAS),

：.ZAED=/EFB,

?.?ZAED+NBEA=NEFB+ZEFC=180。，

JZBEA=ZEFC=NDCH=NDHC=ZBAE.

AD

He

F

圖②

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、等邊對(duì)等角、全等三角形的判定及性質(zhì)以及等角的補(bǔ)角

相等.熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.(2023?北京海淀?一模)如圖，正方形48co中，點(diǎn)E,尸分別在5C,CD上，BE=CF,AE,2尸交于點(diǎn)G；

(2)在線段NG上截取MG=3G,連接。M,44G尸的角平分線交DM于點(diǎn)N.

①依題意補(bǔ)全圖形；

②用等式表示線段MV與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】⑴90。⑵①見解析；②MN=ND

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定，等腰直角三角形性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基

本知識(shí)，合理作出輔助線.

(1)通過證明,得出NB4E=NCBF,根據(jù)+乙4班=90。，得出NC2B+N/EB=90。，即

可解答；

(2)①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可;②過點(diǎn)/作交GN延長(zhǎng)線于點(diǎn)連接先證明AA4G均D4〃(SAS),

得出BG=DH,ZAHD=ZAGB=90。,則GM=DH,NDHN=NNGM=45：再證明AHVZ汪AGNM(AAS),即可得出

結(jié)論MN=ND.

【詳解】（1）解：,??四邊形45co為正方形,

AB=BC,ZABE=ZBCF=90°,

在△/BE和△5CF中，

AB=BC

<AABE=ZBCF,

BE=CF

；."BE知BCF(SAS),

???/BAE=ZCBF,

ZBAE+ZAEB=90°,

ZCBF+/AEB=90°,

/BGE=90°,

???ZAGF=90°,

故答案為：90°.

(2)解：①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形如圖所示:

②證明：過點(diǎn)4作交GN延長(zhǎng)線于點(diǎn)兄連接

VZAGF=90°fGN平分N4G廠，

AAGN=-ZAGF=45°,

2

AHLAE,

：./GAH=90。，

ZAHG=ZAGH=45°,

JAG=AH,

???四邊形/BQ?為正方形，

ZBAD=90°,AB=AD,

?.?/GAH=90。,

：./BAG=ADAH,

,:AG=AH,ZBAG=ADAH,AB=AD,

：.ABAGADAH(SAS),

：.BG=DH,ZAHD=ZAGB=90。,

?:BG=GM,ZAHG=45°,

GM=DH/DHN=ZNGM=45°,

?.?/DHN=/NGM,/DNH=/MNG,GM=DH,：.^HND^GNM(AAS),

：.MN=ND.

2.（2023?山東泰安?三模）已知如圖1,尸為正方形/BCD的邊上任意一點(diǎn)，BE_LAP于點(diǎn)、E,在ZP的延長(zhǎng)線上

取點(diǎn)/，使EF=4E,連接NC5尸的平分線交,于點(diǎn)G.

(1)求證：BF=BC；

(2)求證：ABEG是等腰直角三角形；

(3)如圖2,若正方形4BCD的邊長(zhǎng)為4,連接CF,當(dāng)尸點(diǎn)為BC的中點(diǎn)時(shí)，求CF的長(zhǎng).

【答案】(1)詳見解析

(2)詳見解析

⑶粵

【分析】(1)利用線段的垂直平分線的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)即可證明；

(2)想辦法證明/尸==由NEBG=NEBP+NPBG,NEGB=NF+NGBF,即可解決問題；

(3)等面積法求出5E,證明ACBG附AEBG(SAS)得到CG=bG,證明AEB尸名△GCP,即可推出CG=8E,

NCGP=NBEP=90°,由此即可解決問題.

【詳解】(1)證明：QBELAF,AE=EF,

.1BE是線段"的垂直平分線，

AB=BF,

四邊形/BCD是正方形，

AB=BC,

BF=BC.

(2)證明：???四邊形48cZ)是正方形，

NABC=90°,

:./ABE+/EBP=9G。，

QBELAF,

ZABE+NBAP=9。。,

/BAP=/EBP,

???AB=BF,

/BAP=/BFP,

/EBP=ABFP,

?//CBF的平分線交北于G,

/CBG=/FBG,

/EBP+ZCBG=ZBFP+ZFBG,

ZEBG=ZEGB,

又QBEtAF,

/.△BEG是等腰直角三角形.

(3)解：連接CG.

D

圖2

???尸是中點(diǎn)，正方形的邊長(zhǎng)為4,

AB=4,BP=CP=2,

在中，AP=ylBP2+AB2=A/22+42=2A/5

???BELAP,

/.SAABP=；x2A/5xBE=；x4x2,

.RF-4出

5

???AB=BC,AB=BF,

:.BC=BF,

ZCBG=ZFBG,BG=BG,

.?.△CBG四△FBG(SAS),

:./BFP=/BCG,CG=FG,

由(2)可知NEBP=NBFP,:"EBP=/BCG,

ZEPB=ZCPG,...△￡8尸也△GC尸(ASA),

CG=FG=BE=,/CGP=/BEP=90。，

5

/.ZCGF=90°,

:.CF=^CG2+FG2=^~.

故答案為：生叵.

5

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?jí)狠S題.

3.(2022?湖南長(zhǎng)沙?三模)如圖，在A/3C和AOCS中，AB=DC,AC=DB,4c與DB交于點(diǎn),M.

(1)求證：AABC為DCB；

(2)將ABMC關(guān)于BC所在直線翻折，得到ABNC,試判斷四邊形3NCM的形狀，并證明你的結(jié)論；

⑶若/C平分/BCD,DM=1,BM=2,求8C的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析

(2)四邊形8NCM的形狀為菱形；理由見解析

(3)8C=2百

【分析】(1)根據(jù)SSS直接證明△/8C絲△/)(加；

(2)根據(jù)LABCdDCB,可得ZACB=ZDBC,進(jìn)而可得BM=CM,根據(jù)翻折的性質(zhì)可得：BM=BN,CM=CN,

即可得出結(jié)論；

(3)連接九W交BC于點(diǎn)O,過點(diǎn)M作MH,CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)利用面積法證明3c=2CD,再利用全等三

角形的性質(zhì)證明NCDM=90。，OM=DM=\,再利用勾股定理求出03即可.

【詳解】(1)證明：如圖，在AABC和△DC8中，

AB=DC

■：<AC=DB,

BC=CB

:.AABC^Z\DCB(SSS)；

(2)四邊形8NCM的形狀為菱形；理由如下：

:"BC均DCB,

NACB=ZDBC,

BM=CM,

根據(jù)翻折的性質(zhì)可得：BM=BN,CM=CN

:.BM=BN=CN=CM,

...四邊形的VCW為菱形

(3)如圖，連接KN交8C于點(diǎn)。，過點(diǎn)M作交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

???四邊形8NCM是菱形，

:.MN1CB,

?.?ZC平分N3CD,MHLCD,

;.MO=MH,

<-CDxMH]

??1\------------=——=-,BC=2CD,

BM2

S-CBM-CBxMO

2

vOB=OC,CO=CD,

■：AMCO=ZMCD,CM=CM,:.^MCO^MCD(SAS),

:.ZMOC=ZCDM=90°,即點(diǎn)。，點(diǎn)H重合，:.MO=MD=\,

OB=^BM1-MO2=V22-l2=V3，

BC=2拒.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法解決問題.

題型02四邊形與相似

【解題策略】

【典例分析】

例.(2023?內(nèi)蒙古?中考真題)已知正方形/BCD,E是對(duì)角線NC上一點(diǎn).

(1)如圖1,連接BE,DE.求證：LABE三AADE；

⑵如圖2,尸是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DF交4B于點(diǎn)、G,BF1BE.判斷△E3G的形狀并說明理由；

AT

⑶在第(2)題的條件下，BE=BF=2.求-工的值.

AB

【答案】(1)見解析

(2)△用G是等腰三角形，理由見解析

(3)血-1

【分析】(1)利用正方形的性質(zhì)得出=ZBAE=ZDAE=45°,進(jìn)而即可得到“的三AM)E(SAS)；

(2)先判斷出N4GD=/FG3,進(jìn)而判斷出NFGB=NFSG,即可得到結(jié)論；

(3)先求出尸G的長(zhǎng)，可證明AFBE是等腰直角三角形.從而得到EF的長(zhǎng),再利用NBEF=ZBAE=45°,ZABE=NEBG,

AFFG

可證得AIBE-ZXEBG,進(jìn)而得到不=受，從而可得到答案.

ABBE

【詳解】(1)解：,??四邊形力85是正方形，4C是對(duì)角線，

AB=AD,/BAE=ZDAE=45°,

在和VADE中

AB=AD

</BAE=/DAE

AE=AE

：.ADE(SAS).

(2)解：△用G是等腰三角形，理由如下:

???4ABE=LADE,

J/ABE=ZADE,

???四邊形48CD是正方形，

???NDAG=90。,

???ZADE+ZAGD=90°,

*.?ZAGD=ZFGB,

JZADE+ZFGB=90°f

'：FBLBE9

：.ZEBF=90°,

：./ABE+/FBG=90。,

：.ZFGB=ZFBG,

BF=FG,

JAFBG是等腰三角形.

(3)解：,:BE=BF=2,BF=FG,

BE=BF=FG=2,

又,：FB1BE,

...AFBE是等腰直角三角形.

AZBEF=ZBAE=45°,BF?+BE。=EF?，

，￡產(chǎn)=22+22=8，

EF=20，

GE=241-2，

,：NBEF=NBAE=45°，ZABE=NEBG，

AABE~4EBG，

.AEEG

"AB~BE

?AEEF—FG2血-2

=V2—1.

"AB~~BE~-2~

【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形，等腰三角形以及相似三角形，熟練掌握等

腰三角形以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.(22-23浙江?模擬預(yù)測(cè))在AABC中，D,E分別是NB,/C的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)R使得DF=DE,連接3F.

(1)求證：四邊形3CEb是平行四邊形.

(2)2G，CE于點(diǎn)G,連接CF,若G是CE的中點(diǎn)，CF=6,tan/3CG=3,

①求CG的長(zhǎng).

②求平行四邊形BCEF的周長(zhǎng).

【答案】⑴見解析；（2）①&；②4石+4行.

【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理證明即〃BC,跖=3。，進(jìn)而可以解決問題；

（2）①設(shè)8G與FC交于點(diǎn)“，設(shè)EG=CG=x,則EB=EC=2x,證明,^―=-=—=-,所

CGHCGH1

以萬9=4,HC=2,由tan/8CG=gg=3,得8G=3CG=3x；證明AGHC是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出

X的值，進(jìn)而可以解決問題；

②利用①中的結(jié)論，求出昉、BG,再利用勾股定理求出BC,最后利用平行四邊形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】（1）證明：..㈤，E分別是/B,/C的中點(diǎn)，

DE//BC,DE=-BC,

2

DF=DE=-EF,

2

EF//BC,EF=BC,

...四邊形BCEF是平行四邊形；

（2）解：①設(shè)8G與尸C交于點(diǎn)H,

是CE的中點(diǎn)，

EC=2EG=2CG,

V四邊形8CE尸是平行四邊形,

:,FB=EC,EF=BC,FB//EC,

設(shè)EG=CG=x,則必=￡C=2x,

,.?FB//EC,

ZFBH=ZCGH,￡BFH=BGCH

：.AFBHSKGH,

.FB_FH_BH_2

*'CG-HC-GH-T，

,?FH+HC=CF=6,

:?FH=4,HC=2,

?.?tan/5CG=—=3,

CG

：.BG=3CG=3x,

BH=2GH,BG=BH+GH,

BH—2x,GH=x,

JGH=CG=x,

BGLCE,

/.AG〃C是等腰直角三角形，

HC=2,

；?GH=CG=x=—HC=也，

2

②由①知，EG=CG=x=g，

:?BG=3x=3叵，F(xiàn)B=EC=2X=26

在RtvBCG中，根據(jù)勾股定理得：

BC=^BG2+CG2=小行『+（逝）2=2#

平行四邊形BCEF的周長(zhǎng)=2(8C+必)=2(275+272)=475+472.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判

定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到AFBHSACGH.

2.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))如圖，在矩形/8CD中，點(diǎn)E在5C上，S.ZAED=ZDEC,延長(zhǎng)8C至點(diǎn)R使CF=8E,

連接的，交DE、DC分別于M、N.

(1)求證：四邊形NEED為菱形；

(2)若3￡:EC=4:1且〃N=2,求/W的長(zhǎng)度.

【答案】(1)見解析(2)2加

【分析】(1)先證明四邊形/EED是平行四邊形，再證明=即可由菱形的判定得出結(jié)論；

(2)設(shè)EC=k,則BE=4左，AD=BC=5k,再由菱形的性質(zhì)得/E=4D=54，然后根據(jù)勾股定理求得CD=NB=3萬,

由勾股定理，得DE=Mk,最后證明△DAWsaocE,得空=咚,即黑=3，即可求解.

DECE712k左

【詳解】(1)證明：??,矩形/5CZ),

AAD=BC,AB=CD,AD//BC,

???AD〃EF,

°：BE=CF,BC=BE+EC,EF=EC+CF,

BC=EF,

：.AD=EF,

???四邊形/EQ是平行四邊形，

,：AD//EF,

：.ZADE=/DEC,

ZAED=/DEC,

：.ZADE=ZAED,

AE=AD,

???四邊形4￡五。是菱形.

(2)解：?：BE:EC=4:1f

，設(shè)EC=k,則5￡=4左，AD=BC=5k,

??,四邊形4瓦切是菱形，

???AE=AD=5k,

???矩形力灰刀，

JZBCD=ZB=90°f

由勾股定理，得AB7AE2-BE?=3k，

：.CD=AB=3k,

由勾股定理，得DE=NEC?+CD?=5k，

???四邊形4￡戶。是菱形，

JAF1DE,

：.ZDMN=90°9

：.ZDMN=ZECD,

?.*ZMDN=ZCDE,

???ADMNS/\DCE,

,DN_MN

??而一花‘

?DN_2

一歷「工’

：.DN=2而.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì).（1）

證明四邊形/EFD是平行四邊形，（2）證明是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1,四邊形48co中，NBAC=NACD,ZB=ZD,求證：四

邊形/BCD是平行四邊形.

【靈活運(yùn)用】（2）如圖2,YABCD中，點(diǎn)、E,尸分別在邊NB,上，ZEDF=ABAC,EF〃AC,E尸的延長(zhǎng)線交

DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若所=3,DE=4,求/C的長(zhǎng).

【拓展提高】（3）如圖3,矩形/BCD中，48=2,8C=4,點(diǎn)￡,歹分別在邊NB,BC上，tanNEDF=2,EF〃AC,

求/E的長(zhǎng)度.

【答案】（1）見解析；（2）/C=§；（3）/E的長(zhǎng)度為亞-5

【分析】（1）易得ABHCD,再證明△/BC0△CD4（AAS）,得4B=CD,即可作答；

（2）易得四邊形/EGC是平行四邊形，再證明AE。下SA￡G。，得EG=0"=電，即可作答；

EF3

（3）如圖，延長(zhǎng)EF,DC相交于點(diǎn)P,易得四邊形/￡尸。是平行四邊形，然后在中，AB=2,BC=4,得

tanZBAC=—=2結(jié)合tan/ED尸=2,所以NEDF=/BAC=NP,證明尸則DE2=EF?EP，根據(jù)勾

ABf

股定理，即可作答.

【詳解】（1）證明：VABAC=AACD,

/.ABHCD.

在AABC和AC。/中，NBAC=NACD,NB=ZD,AC=CA,

：.AABC^ACDA（AAS）

：.AB=CD,

：.四邊形N3CD是平行四邊形.

(2)解：,??四邊形45co是平行四邊形，

JAE//CG.

???EF//AC,

???四邊形AEGC是平行四邊形，

：?/BAC=ZG,EG=AC.

?：ZEDF=/BAC,:./EDF=/G.

DEEF

.ZDEF=AGED,：,AEDFS^EGD,：.——二——，

EGDE

(3)如圖，延長(zhǎng)E尸，。。相交于點(diǎn)尸,

??,四邊形45s是矩形，

???AB//CD,/BAD=/ABC=/BCD=90°.

VEF//AC,???四邊形尸C是平行四邊形，:?/BAC=/P,EP=AC,AE=CP.

在Rt△力中，AB=2,BC=4,：.tanABAC=—=2.

AB

?.,tan/￡Q尸=2,AZEDF=ABAC=ZP.

DEEF

**ZDEF=ZPED,：.AEDFS^EPD,——-——,「?f)E2—EF-EP-

EPDE

?.?tanNP=41=2,...設(shè)CP=尤，則尸C=2x,FP=&.

?：AC=LB2+BC?=26，:.DE'=EF-EP=2垂義［1垂-垂x)=2Q-\Qx.

:在RtZUED中，DE2=AD2+AE2=16+X2,，16+/=20-lOx,

Z.%）=V29-5,x2=-V29-5<0（舍去），:?x=標(biāo)-5,

/E的長(zhǎng)度為a-5.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、矩形性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形以及勾股定理等

知識(shí)內(nèi)容，難度適中，綜合性較強(qiáng)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,E是正方形/8CD的邊3c上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接。的平分線EW交。C于點(diǎn)”,

直線MNLDE于點(diǎn)、N,交AB于點(diǎn)G,交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，連接EG,CN.

⑴求證：FN=AB.

（2）如圖2,若NC〃GE,連接3N并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)尸.

①求證：BE=CE；

②求注的值.

【答案】（1）見解析（2）①見解析；②由二1

2

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定

與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得△/沖絲△EMC和

ADEC四八/即即可求證網(wǎng)=48；（2）①利用（1）的結(jié)論和NC〃GE,可證明△GSV四AGES進(jìn)而得證；②延

長(zhǎng)CN交/。于點(diǎn)0.利用①的結(jié)論和ZPBC+NBPC=90°可得ZPBC=NPCN=4BNE進(jìn)而證明ABCP公△CDQ,

△ECNs&DQN和ADNPsADCN,從而得出。N?=尸，設(shè)CD=l,CP=x,根據(jù)等量關(guān)系建立方程即可求解.

【詳解】（1）（1）如圖1,,??四邊形A8C。是正方形.

VMN±DE,ZENF=ZDCE=90°.

EM平分/DEC,:.ADEM=/CEM,

???EM=EM,叢EMN”叢EMC,：.EN=CE,

又?；/DEC=NFEN,

ADEC^AFEN,；.CD=FN,FN=AB.

(2)解：由(1)知EN=CE,："ENC=/ECN.

???NC//GE,:./GEN=4ENC/GEB=ZECN,,AGEN=ZGEB.

ZABE=ZGNE=90°,GE=GE,:.AGEN會(huì)AGEB,

：.BE=EN,：.BE=CE.

②延長(zhǎng)CN交/。于點(diǎn)。，

由①知5￡=EN=CE,

/.ZEBN=/BNE/ENC=ZECN,

ZBNC=NBNE+ZENC=90°,

ZPCN+Z.BPC=90°.

???ZPBC+ZBPC=90°f

/.ZPBC=ZPCN=NBNE.

又???/BCD=ZCDA=90°,BC=CD,

/.ABCP^ACDQ,：.CP=DQ,

??.AD//BC,

DNEN

/.AECNs4DQN,—=1,/.DN=DQ=CP.

???ZPCN=ZBNE,ZDNP=/BNE,

ZDNP=ZPCN,ADNPsADCN,DN2^CD-DP.

DPDN

設(shè)CD=l,B=x,即/=i一x,解得不（舍去），.CP=^hl.

222CD2

題型03四邊形邊角計(jì)算

【解題策略】

勾股定理常見折疊模型:

【典例分析】

例1.（2023?湖南?中考真題）如圖，在Y/BCD中，D尸平分N4DC,交BC于點(diǎn)、E,交48的延長(zhǎng)線于點(diǎn)足

AD

(1)求證：AD=AF；

(2)若/。=6,AB=3,ZA=120°,求3月的長(zhǎng)和廠的面積.

【答案】(1)見解析(2)3/=3；廠的面積為9百

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/CDE=N尸，根據(jù)角平分線的定義得到乙=求得“=N4DF,根

據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到AD=AF；

(2)根據(jù)線段的和差得到加'="-/3=3；過。作尸交E4的延長(zhǎng)線于乜根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到

47=；㈤=3,根據(jù)三角形的面積公式即可得到才的面積.

【詳解】(1)證明：在Y48C。中，AB//CD,：.ZCDE=ZF,

,：DF平分ZADC,；.AADE=Z.CDE,：.NF=ZADF,AD=AF.

(2)解：?：4D=4F=6,AB=3,:.BF=AF-AB=3；

過D作。H_L4F交E4的延長(zhǎng)線于H,

VZBAD=nO°,：.ADAH=60°,/.AADH=30°,

AH=^-AD=3,:.DH=J/〃2_/〃2=3m,△/。尸的面積=(/尸.=(x6x30=9百.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助

線是解題的關(guān)鍵.

例2.(2023?湖北?中考真題)如圖，將邊長(zhǎng)為3的正方形48co沿直線E尸折疊，使點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M落在邊上(點(diǎn)

M不與點(diǎn)4。重合)，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于■點(diǎn)、P,折痕分別與邊AS,CD交于點(diǎn)E,尸，連接3M.

⑴求證：AAMB^ZBMP-

(2)若。P=l,求MD的長(zhǎng).

12

【答案】(1)證明見解析(2)30=不

【分析】(1)由折疊和正方形的性質(zhì)得到N￡MP=NE3C=90。，EM=EB,則NEMS=NE2N,進(jìn)而證明

NBMP=ZMBC,再由平行線的性質(zhì)證明ZAMB=AMBC即可證明ZAMB=ZBMP；

(2)如圖，延長(zhǎng)MV,3C交于點(diǎn)。.證明△DMPsaco尸得到。C=2MD,QP=2MP,

設(shè)MD=x,則0c=2x,BQ=3+2x.由NBA①=得到=80=3+2x.則加？=：苗。=之『.由勾股

定理建立方程/+/=］主手；，解方程即可得到MD*.

【詳解】(1)證明：由翻折和正方形的性質(zhì)可得，ZEMP=ZEBC=90°,EM=EB.

：.AEMB=NEBM.

：.ZEMP-NEMB=NEBC-NEBM,即/BMP=4MBe,

:四邊形43CD是正方形，

AD//BC.

：.ZAMB=NMBC.

ZAMB=ZBMP.

(2)解：如圖，延長(zhǎng)兒W,BC交于點(diǎn)。.

VAD//BC,：.ADMPsACQP.

又,：DP=1,正方形/BCD邊長(zhǎng)為3,

?「p_7?—MD=—MP=—DP二—1

**99QCQPCP2'

AQC=2MDfQP=2MP,

^MD=x,則。。=2x,/.BQ=3+2x.

?；/BMP=/MBC,IPZBMQ=ZMBQ,

:.MQ=BQ=3+2x.：.MP=^MQ^^^.

在RADMP中，MD2+DP2=MP2，

x2+P=f2±^Y.得：x1=0（舍）,x2=y.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形與折疊問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等,

正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2024?貴州貴陽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形/BCD中，AB<BC,將矩形沿EF折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)A重合.

⑴若ZBAF=20。,求NG/E的度數(shù)；

（2）求證：AAGE/AABF；

（3）若48=6cm,BC=8cm,求3尸的長(zhǎng).

7

【答案】（1）20。；（2）證明見解析；（3）8尸=）.

【分析】（1）根據(jù)矩形和翻折的性質(zhì)即可解決問題；

（2）根據(jù)矩形和翻折的性質(zhì)可得/G=/B=90。，AG=AB,即可解決問題；

（3）設(shè)BF=xcm,則CF=8C-B尸=（8-x）cm,根據(jù)勾股定理列出方程求解即可；

本題考查了翻折變換的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作利用勾股定

理列方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：：四邊形疝?。。是矩形，

ZBAD=ZC=ZD=90°,

由翻折可知：ZFAG=ZC=90°,

：.ZGAE=90°-NEAF=NBAF=20°,

/G4E度數(shù)為20。；

（2）證明：?.?四邊形/8CD是矩形，

AZBAD=ZC=ZD=90°,AB=CD

由翻折可知：NG=ND=90。，AG=CD,

/G=4=90。，AG=AB,

在A/GE和尸中，

NG=4=90。

<AG=AB,:.AAGE知ABF（ASA）；

NGAE=NBAF

(3)解：設(shè)5F=xcm,則C尸=8C-5F=(8-x)cm,

■:沿EF翻折后點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，

/.AF=CF=（8-x）cm,

,77

在RM4B尸中，由勾股定理得4笈+8/產(chǎn)，即62+x2=（8-x）,解得尤=:，，3尸=：.

2.（2023?廣東廣州?一模）如圖，在菱形N8CL1中，對(duì)角線ZC,8。相交于點(diǎn)O.

（1）尺規(guī)作圖：過點(diǎn)。作的垂線，垂足為E;（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）若/C=4,BD=2,求cos/BCE的值.

4

【答案】⑴見解析⑵二

【分析】（1）以點(diǎn)C為圓心，大于C到NB的距離為半徑，畫弧交NB的延長(zhǎng)線于兩點(diǎn)，再分別以這兩點(diǎn)為圓心，大于

兩點(diǎn)距離的一半為半徑畫弧，相交于一點(diǎn)，連接該點(diǎn)與點(diǎn)C所在的直線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E即可；

（2）根據(jù)已知條件及菱形的對(duì)角線互相垂直平分性質(zhì)，得到04OB的值，再利用勾股定理求得AB=^O^+OB1=6，

再利用等角的正弦值相等5吊/以。=包=且=\"，即可求出CE的值，由菱形的四邊相等可得3c的值，然后根據(jù)

AB5AC

余弦公式求解即可.

【詳解】（1）解：如圖，CE為所作;

（2）解：???四邊形/BCD為菱形，AC=4,BD=2,

11

OA=OC=—AC=2,OB=OD=—BD=1,AB±BD,AB二BC,

22

在RtACMB中，AB^OA2+OB?=B

sin4/0=竺J5__CE_

AB~T~AC

:.CE=AC-sinZBAO=迪

5

BC=AB=5

CE4

cos/BCE=-尸5

BC舊5

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，菱形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，掌握垂線的尺規(guī)作圖法，“菱形的對(duì)角線互

相垂直平分且平分每一組對(duì)角”等菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)公式是解本題關(guān)鍵.

3.(2023?廣東深圳?一模)綜合與探究

在矩形48CD的CD邊上取一點(diǎn)E,將沿翻折，使點(diǎn)C恰好落在邊上的點(diǎn)尸處.

(1)如圖①，若BC=2BA,求/C8E的度數(shù);

(2)如圖②，當(dāng)/3=5,且/戶也=10時(shí)，求昉的長(zhǎng)；

(3)如圖③，延長(zhǎng)斯，與NA8尸的角平分線交于點(diǎn)M,BM交AD于點(diǎn)、N,當(dāng)NF=/N+FD時(shí)，請(qǐng)直接寫出力的值.

3

【答案】(l)/CBE=15o(2)EF=3(3)y

【分析】(1)由折疊的性質(zhì)可推出B尸=2/8,再由含30。的直角三角形的特征即可求解;

(2)證即可求解;

NGFGMF1

(3)過點(diǎn)N作NG_L5/于點(diǎn)G,證△NFGs\BE4可得——=——=——=一，設(shè)ZN=,設(shè)尸G=y,由

/ABFABF2

AB2+AF2=BF2即可求解.

【詳解】(1)解：,??四邊形45CZ?是矩形，

???ZC=90°,

,/將ABCE沿BE翻折，使點(diǎn)。恰好落在4。邊上的點(diǎn)尸處

:.BC=BF,/FBE=/EBC,/C=/BFE=90。,

BC=2AB,

：.BF=2AB,

ZAFB=30°,

???四邊形48C。是矩形，

AD//BC,

：./AFB=/CBF=3G0,

：./CBE=；/FBC=15。；

(2)解：???將△△五沿翻折，使點(diǎn)。恰好落在4。邊上的點(diǎn)尸處

AZBFE=ZC=90°,CE=EF,

又??,矩形中，44=/。=90。，

ZAFB+ZDFE=90°,ZDEF+ZDFE=90°,

/AFB=/DEF,

/\FABs/^EDF,

.AF_AB

…法―BF'

AFDF=ABDE,

VAFDF=10,4B=5,

DE=2,

：.CE=DC—DE=5—2=3,

：.EF=3；

（3）解：過點(diǎn)N作方于點(diǎn)G,

?：NF=AN+FD,：.NF=AD=；BC,

■:BC=BF,：.NF=BF,

■:/NFG=4FB,ZNGF=ZBAF=90°,

：.4NFGs^BFA,

.NGFGMF

??萬—77一/-2'

設(shè)ZN=x,?:BN平分/ABF,AN1AB,NG1BF,

AN=NG=x,AB=BG=2x,

設(shè)下G=y,則Zb=2y,

AB1+AF2=BF2，（2X）2+（2J）2=（2X+J）2,解得y=gx.

.410.3

.,*BF-BG+GF—2xH—x=—x.BCBF10——.

33丁5

【點(diǎn)睛】本題以矩形中的折疊問題為背景，考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等.熟記相關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論是解題

關(guān)鍵.

中考練場(chǎng)

1.（2023?山東?中考真題）（1）如圖1,在矩形48co中，點(diǎn)E,尸分別在邊。C,BC上，AELDF,垂足為點(diǎn)G.求

證：AADEsADCF.

圖1圖2圖3

【問題解決】

（2）如圖2,在正方形48co中，點(diǎn)￡,尸分別在邊。C,BC上，NE=。尸，延長(zhǎng)8c到點(diǎn)"，使CH,連接.求

證：ZADF=ZH.

【類比遷移】

（3）如圖3,在菱形48co中，點(diǎn)E,廠分別在邊。C,8C上，AE=DF=ll,DE=8,N4ED=60°,求CF的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）3

【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得/ADE=/OCF=90。，則NC￡＞尸+廠C=90。，再由/E_L￡＞尸，可得/DGE=90。，

則ZCDF+ZAED=90°,根據(jù)等角的余角相等得ZAED=ZDFC,即可得證；

（2）利用“HL"證明"DE絲ADCF,可得DE=CF,由C〃=DE,可得CF=C",利用“SAS”證明ADC戶包。CH,

則=尸C,由正方形的性質(zhì)可得根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得證；

（3）延長(zhǎng)