2025年中考數(shù)學熱點題型專項訓練：圓的證明與計算（原卷版）

專題05圓的證明與計算

目錄

熱點題型歸納.........................................................................................1

題型01隱圓模型......................................................................................1

題型02圓與相似.....................................................................................3

題型03圓與全等.....................................................................................5

題型04圓的計算.....................................................................................6

中考練場.............................................................................................9

熱點題型歸納

題型01隱圓模型

【解題策略】

定點定長的隱圓定弦定角的隱圓對角互補的隱圓

點A為定點，點B為動點，且AB若線段AB的長度及其所對的N

若四邊形ABCD對角互補則A、B、C、

長度固定則點B的軌跡是以點AACB的大小不變，則點C的運動軌

D四點共圓。

為圓心，AB長為半徑的圓。跡是以AB為弦的圓。

【典例分析】

例1.（2023?浙江?中考真題）如圖，在四邊形/BCD中，AD//BC,ZC=45°,以NB為腰作等腰直角三角形A4E,頂

點E恰好落在CD邊上，若AD=1,則CE的長是（）

A.J2B.—C.2D.1

2

例2.（2023?山東泰安?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，RtZik/08的一條直角邊08在x軸上，點N的坐標為

（-6,4）；RtACO。中，ZCOD=90°,OD=473,ZD=30°,連接3C,點M是2C中點，連接將RMC。。以點。

為旋轉中心按順時針方向旋轉，在旋轉過程中，線段的最小值是（）

A.3B.6后-4C.2713-2D.2

【變式演練】

1.（23-24九年級上?湖北武漢?模擬訓練）如圖，已知等邊的邊長為10,點P是43邊上的一個動點（與點/、

8不重合）.直線/是經(jīng)過點尸的一條直線，把。8C沿直線/折疊，點8的對應點是點".當P8=8時，在直線/變

化過程中，則△NCQ面積的最大值為.

2.（2022?湖北武漢?三模）在AABC中，ABAC=60°,BC=26，點D為AC上一動點、,AB=2CD,則的最小值

是.

3.（2023?陜西咸陽?一模）如圖，在Y43CD中，=/。=6,點尸在YN8CO內運動，連接P4PB,PC,若

AAPB=ZABC=60°,則PA+PC的最大值為.

4.（2023?廣東深圳?模擬預測）如圖，在矩形48co中，4B=3,BC=4,E為邊BC上一動點，F(xiàn)為4E中點、,G為

DE上一點、,BF=FG,則CG的最小值為.

題型02圓與相似

【解題策略】

對于面寫i似植緒書的藤杳詞函「廨蔻軒荽汪熹豌察丁芬橋面形「把復系的畫形芬廨成冗不算床1形廠通過添加

輔助線補全或構造基本圖形

i麗芬而

例.（2023?湖北黃石?中考真題）如圖，48為OO的直徑，D4和OO相交于點尸，ZC平分ND48,點C在。。上，

且CD_LZM,4c交BF于點、P.

D

⑴求證：co是。。的切線;

⑵求證：ACPC=BC2;

AF

(3)已知BO?=3尸PDC,求——的值.

AB

【變式演練】

1.(2023?湖南湘西?二模)如圖，是。。的直徑，點C,。在。。上，4D平分NC4B,交BC于點E,連接50.

(1)求證：△BED~AABD.

3

(2)當tanN/3C=w，且/3=10時，求線段的長.

(3)點G為線段/E上一點，且3G平分/ABC,若GE=母,BG=3,求CE的長.

2.(2024?陜西西安?一模)如圖，是。。的直徑，點。在直徑48上(。與42不重合)，CD_LN3且CD=,

連接C5,與。。交于點尸，在CD上取一點E,使E尸與O。相切.

(1)求證：EF=EC；

⑵若。是CM的中點，AB=4,求3尸的長.

題型03圓與全等

【解題策略】

對于圓與全等相結合的綜合問題，解題時要注意觀察、分析圖形，把復雜的圖形分解成幾個基本圖形，通過添加

輔助線補全或構造基本圖形

【典例分析】

例.(2023?湖北襄陽?中考真題)如圖，在中，AB=AC,。是8C的中點，。。與N2相切于點。，與8C交于

點、E,F,DG是。。的直徑，弦GF的延長線交/C于點且GC.

(1)求證：/C是。。的切線；

(2)若。石=2,GH=3,求5R的長/.

【變式演練】

1.(2023?廣東汕頭?一模)如圖，內接于OO.48是直徑，過點A作直線血W,且是。。的切線.

(1)求證：ZMAC=ZABC.

(2)設。是弧/C的中點，連接8。交/C于點G,過點、D作DEJ./B于點、E,交4c于點F.

①求證：FD=FG.

②若BC=3,48=5,試求NE的長.

2.(2022?安徽?模擬預測)如圖，。。中兩條弦NO,BC互相垂直，垂足為H,M為的中點，連接W并延長交

CD于點N.

⑴求證：MNLCD；

⑵連接OM,求察的值.

題型04圓的計算

【解題策略】

對于圓的計算的綜合問題，解題時要注意觀察、分析圖形，把復雜的圖形分解成幾個基本圖形，通過添加輔助線

補全或構造基本圖形

【典例分析】

例.（2023?遼寧丹東?中考真題）如圖，已知48是。。的直徑，8。是。。的弦，點P是。。外的一點，PC,垂

足為點C,尸C與2D相交于點E,連接尸且PD=PE,延長尸。交8/的延長線于點尸.

（1）求證：尸。是。。的切線;

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(2)若。尸=4,PE、,COSZPFC=-,求成的長.

【變式演練】

1.（2023?天津河東?一模）如圖，48為OO的切線，C為切點，。是O。上一點,過點。作。尸_L48,垂足為尸，DF

交。。于點E.

圖（2

（1）如圖①，若/。=34。，求/DE。的度數(shù);

（2）如圖②，連接并延長交G。于點G,連接CG,OD,若NDOE=2NCGE,的半徑為5,求CG的長.

2.（2024?陜西西安?模擬預測）如圖，48為。。的直徑，點。為。。上一點，過點8作。O切線交4D延長線于

點C,CE平分2/C3,CE,BD交于F.

A

(1)求證：BE=BF■,

(2)若。。半徑為2,sin,求。尸的長度.

3.(2024?陜西西安?一模)如圖，/￡是。。的直徑，弦CB與AE交于■點、F,過點/的切線交C5的延長線于點。，點

3是。尸的中點.

(1)求證：AAFB=ZC；

(2)若OO的半徑為4,48=5,求上\

4.(2024?陜西西安?模擬預測)如圖，在。中，AB=AC,以48為直徑的交2c于點。，過點。作。。的切

線DE,交ZC于點￡,NC的反向延長線交。。于點廠.

F

（1）求證：DEIAC,

（2）若N￡+D￡=12,。。的半徑為10,求"的長度.

中考練場

3

1.（2023?湖北鄂州?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，。為原點，OA=OB=3y/5,點C為平面內一動點，BC=-,

連接ZC,點M是線段/C上的一點，且滿足CM:九伍=1:2.當線段（W取最大值時，點"的坐標是（）

2.（2023?四川宜賓?中考真題）如圖，A/BC和是以點A為直角頂點的等腰直角三角形，把“DE以A為中心

順時針旋轉，點〃為射線BD、CE的交點.若AB=6AD=1.以下結論：

①BD=CE；②BDLCE；

③當點E在加的延長線上時，兒幻=三心；

2

④在旋轉過程中，當線段也最短時，AAEC的面積為;.

其中正確結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.（2023?內蒙古?中考真題）如圖，是。。的直徑，￡為。。上的一點，點C是淞的中點，連接5C,過點C的

直線垂直于5E的延長線于點。，交加的延長線于點P.

⑴求證：尸C為。。的切線；

（2）若尸C=2岳O，PB=10,求BE的長.

4.（2023?內蒙古通遼?中考真題）如圖，AB為OO的直徑,，E是。。上的兩點，延長N8至點C,連接CO,ZBDC=ZA.

(1)求證：AACDSADCB；

⑵求證：co是。。的切線；

3

(3)若tan￡=g,ZC=10,求。。的半徑.

5.(2023?內蒙古赤峰?中考真題)如圖，是。。的直徑，C是O。上一點過點。作