北京某中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

北師大附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中試卷

高一年級(jí)數(shù)學(xué)

班級(jí)姓名學(xué)號(hào)成績(jī)

1.本試卷共6頁(yè)，共五道大題，25道小題，答題卡共4頁(yè)，滿分150分,

考考試時(shí)間120分鐘.

生2.在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫班級(jí)、姓名、學(xué)號(hào).

須3.試卷答案一律填寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.

知4.在答題卡上，選擇題須用2B鉛筆將選中項(xiàng)涂黑涂滿，其他試題用黑色

字跡簽字筆作答.

第I卷(共100分)

一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分)

1.已知集合4={—3,—1,0,2,4},B={x\~2<x<3],則AB=

A.{-1,0}B.{0,2}C.{-1,0,2}D.{0,2,4)

2.函數(shù)/(%)=31V的定義域?yàn)?/p>

(x-1)

A.[0,+oo)B.(l,+oo)

C.(-a),l)(1,+s)D.[0,1).(1,+s)

3.若a<b,CHO,則下列不等式恒成立的是

.Clb、,22

A.—<—B.ac<bcC.ac~<bc~D.ac3<be

cc

4.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在(0,+oo)上單調(diào)遞增的是

A.y=x-1B.y=l-x2C.y=--D.y=|x|

x

5.已知函數(shù);?(x)=2?-工，在下列區(qū)間中，一定包含零點(diǎn)的區(qū)間是

X

A.3C(1，2)D.(2,4)

1/6

_i

6.設(shè)〃=2-1,b=”,c=H飛,則

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<c<aD.a<b<c

7.“a<0”是“關(guān)于x的不等式。d—x+工〉。的解集為的

a

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知某商品每件的成本為8元，每月銷量y(萬(wàn)件)與每件售價(jià)x(元)的

函數(shù)關(guān)系近似為：丫=更-1,若使每月的凈利潤(rùn)最高，則每件售價(jià)應(yīng)定為

X

(注：凈利潤(rùn)=銷售總額-總成本)

A.10元B.12元

C.15元D.16元

-x2+2x,%W3

9.對(duì)于函數(shù)/(%)=，下列說(shuō)法正確的是

一4,%〉3

A.y(x)存在最大值

B./(乃<0的解集為(-8,0)

C./(x)在［1,+⑹上單調(diào)遞減

D.對(duì)任意xwO,有/(-x)wf(x)

10.已知集合A={(x,y)|x+y=a},B={(x,y)\xy=4,bWxW)+2},若存在

匕>0，使得A'B中恰有2個(gè)元素，則a的取值范圍是

A.(4,275]B.(4,5]

C.[2石,+s)D.[5,+oo)

2/6

二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）

11.命題“mceN,的否定是.

12.計(jì)算：21og26-log29=.

13.設(shè)實(shí)數(shù)滿足：1W%W2,6wyw8,則）的取值范圍是.

X

14.若函數(shù)/（幻=爐—6%+5在［0,詞上的值域?yàn)椋?4,5］,則m的最小值為

最大值為.

15.已知/（x）是R上的奇函數(shù)，記不等式"（x）-幻》0的解集為S.

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①一定有OeS；

②可能存在玉）eS且—x0eS；

k

③若當(dāng)XHO時(shí)，y（x）=K（左HO）,則一定有S#R；

X

④若當(dāng)x〉0時(shí)，f（x）=x2-ax,且［-則。的取值范圍是［0』］.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

3/6

三、解答題(本大題共3小題，共35分)

16.(本小題滿分10分)

設(shè)集合A={X|X2+2X-3^0},B=[x\\x-a\>2].

(I)若〃=0,求AB,A(13)；

(II)若A5=A，求Q的取值范圍.

17.(本小題滿分13分)

已知關(guān)于x的方程爐-(2m+4)x+m2=。有兩個(gè)不相等的或頭梨根石,9?

(I)求用的取值范圍；

(II)若土+迤=7,求相的值；

x2%

(III)若?"+J^~=2,求小的取值范圍.

18.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(X)為R上的偶函數(shù)，且當(dāng)無(wú)。0時(shí)，/(%)=■.

1+x

(I)當(dāng)x<0時(shí)，求/(x)的解析式；

(II)判斷/(X)在[0,+00)上的單調(diào)性，并依據(jù)單調(diào)性的定義證明;

(III)若a+Z?=l,且。<匕，試比較/(a)與/(。)的大小，并說(shuō)明理由.

4/6

第n卷(共50分)

四、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

19.給出能夠說(shuō)明“若a<b,則一一>3”是假命題的一組6的值:

a+1b+1

a=；b=.

20.已知集合。={123,4,5,6,7},=U且滿足：AB={1,4},

A{3,5}=0,Q(A3)={2,7},則4=；B=.

2i.已矢口/(龍)=-2+及+1為奇函數(shù).

X

①t=;

②若|/(X)|W根恰有兩個(gè)整數(shù)解，則加的取值范圍是.

|x+3|-2,xWa,

22.函數(shù)/(x)=?

-x2+ax+f(a),x>a.

①當(dāng)a=-2時(shí)，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

②若/(x)恰有三個(gè)零點(diǎn)，貝Ua的取值范圍是.

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五、解答題(本大題共3小題，共30分)

23.(本小題滿分8分)

已知m>0,n>0.

(I)求駟+K的最小值；

nm

(II)對(duì)于(I)中取得最小值的每組形,〃，都有*2〃+5恒成立,

左+1

求上的取值范圍.

24.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(%)=%2一4以+〃.

(I)當(dāng)〃=1時(shí)，求證：/(x)>-x2-2；

(II)若/(%)在［0,2］上的最小值為-3,求。的值；

(III)若存在xU使得1W￡W2,求。的取值范圍.

［3」%2

25.(本小題滿分10分)

對(duì)于非空有限數(shù)集A,記A*={a|aeA或-aeA},|A|表示A中所有元素

的個(gè)數(shù).

(I)若4={-1,0,2},用列舉法直接寫出A*；

(II)給定上eN"且左>2,設(shè)4={1,2,…,左},對(duì)于1W/nW左且meN",記

Bm={x\x+meA},求|耳：|的最小值(用左表示)；

(III)設(shè)非空有限數(shù)集4,4滿足以下條件：

①44=0；②(A4)*=44；③*用=；

?a??1J

求證：IAI=I41.

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北師大附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中試卷

高一年級(jí)數(shù)學(xué)參考答案

第I卷（共100分）

一、選擇題（每小題4分，共40分）

題號(hào)12345678910

答案CDCDBACBDA

二、填空題（每小題5分，共25分）

題號(hào)1112131415

答案VxeN,x2>22[3,8]3；6①③④

三、解答題

16,解:(I)A=[-3,1]

B=(-00,-2)I(2,+oo)

AB=(-oo,1](2,+oo)

CRB=[-2,2]

A(CRB)=[-2,1]

(II)B=(-oo,a-2)v(a+2,+oo),AB=A^>B

只需：a-2〉1或a+2<—3

解得：a<-5或a〉3

。的取值范圍是(-漢-5)(3,+8)

1/8

17.解:(I)A=(2m+4)2—4m2=16m+16>0m>—1

%i+%2=2m+4>0^>m>—2

2

x1x2=m>0=>mw0

解得：加〉-1且加wO

綜上，加的取值范圍是(-1,0)(0,+8)

(H)再?，=(再+々)2一2七馬

X2再冗1%

(2加+4產(chǎn)一2后

=----------2--------=7

m

整理得5加之一16m-16=0

解得機(jī)=4或-經(jīng)檢驗(yàn)合題

(III)(4"+y/x^)2=玉+9+2dxix2

=2m+4+

=2m+4+2|m|

①當(dāng)一1<加<0時(shí)：(J^"+J^")2=2加+4—2加=4

因此J]+J?！?,合題

②當(dāng)加〉0時(shí)：+=2機(jī)+4+2機(jī)=4加+4>4

因此J]+JE>2,不合題

綜上，用的取值范圍是(-1,0)

2/8

1y

18.解：(I)當(dāng)x<0時(shí)，一%>0,/(—%)二——

1-%

因?yàn)?'(X)為偶函數(shù)，所以7?(x)=f(-x)=l±±

1-x

(II)結(jié)論：/(x)在[0,+00)上單調(diào)遞減

任取x；,x2e[0,+oo),且玉</

]-41一%

/(%2)一/(%)=

1+/1+%

_(1-%2)(1+)-(1-)(1+%2)_2(一一%2)<Q

(1+/)(1+再)(1+%2)(1+玉)

因此/(西)〉/氏)，/(%)在。+8)上單調(diào)遞減

(III)結(jié)論：f(a)>/(/?)

理由如下：a<b-1-a^a<—

2

①當(dāng)0Wo<g時(shí)：a/e[0,+oo)且a<b,/(x)在[0,+oo)上單調(diào)遞減,

所以/⑷>/3)

②當(dāng)。<0時(shí)：-。,》€(wěn)(0,+00)且—。<6,/(x)在(0,+00)上單調(diào)遞減，

所以/(—a)>〃b)

因?yàn)?Xx)為偶函數(shù)，故/(a)=/(-a)〉/(b)

綜上：f(a)>f(b).

3/8

第n卷（共50分）

四、填空題（每小題5分，共20分）

19如：-2；-1（答案不唯一）

20(1,4,6}；{1,3,4,5)

0;[2,|)

21

22(-3,-1)；(-5,-2)一(-2,+8)

注：第22題第一空，兩端開(kāi)閉均可.

五、解答題（共30分）

23.解：（I）因?yàn)閦n〉0,n>0,所以一^〉0,—>0

nm

4mn八4mn

——+—22--------=4A

nm\nm

當(dāng)且僅當(dāng)〃=2相時(shí)，等號(hào)成立

因此，他+己的最小值為4

nm

（II）由題知：當(dāng)九=2〃z時(shí)，只需」W（療_2〃+5）1nhi

k+1

即：三7忘（加2—4租+5焉

K+1

m2—4m+5=（m—2）2+1三1

當(dāng)且僅當(dāng)根=2時(shí)，等號(hào)成立，因此（加2—4加+5）1nhi=1

只需：絲wl,整理得：Two,

左+1左+1

等價(jià)于：（左一1）（左+l）WO且左+1H0

解得，-1〈左W1

綜上，上的取值范圍是

4/8

24.解：(I)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=x2-4x+l

/(X)+X2+2=2X2-4X+3=2(^-1)2+1>0

所以/(x)〉—x?-2

(II)①當(dāng)aWO(2aW0)時(shí)，/(x)min=J(O)=a

令/(x)mm=-3na=-3,合題

2

②當(dāng)0<a<l(0<2?<2)時(shí)，f(x)min=f(2a)=a-4a

令/(x)min=—3na=—a或1，均不合題

③當(dāng)a與l(2。22)時(shí)，/(x)min=/(2)=4-7tz

令/(x)min=-3na=l，合題

綜上，a=-3或1

(III)解法1：由題知：存在使得X2W/(X)W2X2

-1一,「a(4x—1)WO(1)

即：存在xeR,l],使得

3[%2+4ax-a0(2)

對(duì)于⑴，由于元W4%-1>0,故〃>0不合題

即必有QW0

對(duì)于(2),記g(%)=f+4a%—a,只需：在[g,l]上g(九)max》。

1?

當(dāng)—(―時(shí)，有g(shù)(%)111ax=葭1)=3。+120,合題

當(dāng)a<—g(―2a〉()時(shí)，有g(shù)(x)1mx=g(g)=^y^<0,不合題

綜上，。的取值范圍是[-g,0]

5/8

解法2：由題知：存在xeg,l],使得Yw/OOwZV

〃(4元—1)W0r+人口工

等價(jià)于p：“存在xcg,l],使得＜”為真命題

x+4ax-a0

考慮："任意xG[j,l],。(4九一1)〉0或%?+4ax-a<0

“任意九￡[；/],。（4九一1）〉0"=〃＞0

t己g(x)=d+4〃%—。，“任意%,x2+4ax-a<0”

13a+1

g(一)=----<01

0《390Q<——

3

[g⑴=3〃+l<0

因此，若F?為真命題，則a＜-g或a〉0

回到原題，若。為真命題，則。的取值范圍是[-；,0]

f(x)_4aa

解法3：令/」

XxxX

記^^=//?)=a(〃—4f)+l=a("21+1—4a

x~

由題知：存在刈工3],使得1W/2⑺W2

當(dāng)a=0時(shí),合題

當(dāng)。〉0時(shí),/2?)max=人(1)=1—3。<1，不合題

網(wǎng)”0⑵W,解得」w"o

當(dāng)。＜0時(shí),只需＜

[2）皿=/瑁）=1-3423

綜上，。的取值范圍是[-50]

6/8

25.解:(I)A*={-2,-1,0,1,2}

(II)當(dāng)1W〃?W誓時(shí)：||=2(左一m)+1=2左一2/篦+1

若左為偶數(shù)，I瓦后左+1，當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)時(shí)取等

若左為奇數(shù)，I或后3當(dāng)且僅