北京市延慶區(qū)2024-2025學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

延慶區(qū)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中試卷

局一數(shù)學(xué)

本試卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘

第I卷(選擇題)

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合"={-1'°'1'2},5={-2,-1,0,1},則A3=()

A{0,1}B.{-1,0}C.{-2,-1,0,1,2}D.{-1,0,1}

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義求解即得.

【詳解】集合A={—1,0,1,2},B={-2,-1,0,1},所以Ac5={—1,0』.

故選：D

2.若集合A=[—3,1],3=(—2,3),則AB=()

A.(—2,1]B.[―2,1)C.(—3,3]D.[―3,3)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)條件，利用集合的運(yùn)算，即可求解.

【詳解】因?yàn)锳=[—3,1],5=(-2,3),所以A_3=[—3,3),

故選：D.

3.己知全集U={無(wú)€M尤<6}且A={xeU|x2<5},則集合心A中元素有()

A.2個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.7個(gè)

【答案】B

【解析】

分析】利用列舉法表示集合U,解不等式化簡(jiǎn)集合A,再求出gA即可得解.

【詳解】依題意，。={0』,2,3,4,5,6},解不等式％2<5,得—<君，則人={0」,2},

所以許A={3,4,5,6},集合gA中的元素有4個(gè).

故選：B

4.己知集合A滿足｛1｝｛1,2,3,4｝,則人有（）

A.2個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.7個(gè)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出集合｛2,3,4｝的真子集個(gè)數(shù)即可得解.

【詳解】集合A滿足｛l｝cAf：｛1,2,3,4｝,則集合A可視為集合｛1｝與集合｛2,3,4｝的每個(gè)真子集的并集,

而集合｛2,3,4｝的真子集個(gè)數(shù)為23—1=7，

所以A有7個(gè).

故選：D

5.若尸=/_2a和。=2?！?,則尸和。的大小關(guān)系為（）

A.P>QB,P<QC.P>QD.P<Q

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)條件，通過(guò)作差法，得到P-Q=（a-2）2,即可求解.

【詳解】因?yàn)镻=2”，Q=2a-4,

所以p—。=片—2a—（2a—4）=4—4a+4=（a—2>20,當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)取等號(hào)，所以P2Q,

故選：C.

6.設(shè)a,4ceR,且a</）,c<d,則（）

A.a<b~B.—>—C.ac<bdD.a3<b

ab

【答案】D

【解析】

【分析】舉例說(shuō)明判斷ABC；利用不等式的性質(zhì)判斷D.

【詳解】對(duì)于A,取a=—2力=2,滿足。<匕，而/=4=/,A錯(cuò)誤；

dc

對(duì)于B,取々=-21=一1,。=1,4=4滿足々〈仇。<1,而—=一2<-1=—,B錯(cuò)誤；

ab

對(duì)于C,取。=一2,/?=—l,c=l,d=4滿足,而ac=—2>-4=bd,C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,由不等式性質(zhì)知，由a<Z?,得/〈尸，D正確.

故選：D

7.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(口,0)上單調(diào)遞增的是()

11

A.y=—B.y=x+l

x

C.j=-x2,xe(^x),0)D.丁=國(guó)

【答案】A

【解析】

【分析】利用奇偶函數(shù)的判斷方法及基本函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可求解.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)閥=±=x-2,定義域?yàn)?-8,0)J(0,+8),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

X

又/?(一幻=7二=二=/(%),所以丫=二是偶函數(shù)，

(-X)XX2

又由暴函數(shù)的性質(zhì)知y=3在區(qū)間(0,+“)上單調(diào)遞減，所以y=3在區(qū)間(F,0)上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)

XX

A正確，

對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)槎?尤+1圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱，即y=x+l不是偶函數(shù)，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)閤e(—8,0)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即>=-小，龍w(-w,0)是非奇非偶函

數(shù)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)xe(—8,0)時(shí)，y=|x|=—%在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞減，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

故選：A.

8.已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)锳,則”/(x)為奇函數(shù)”是“，(0)=0”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【詳解】試題分析：因函數(shù)的定義域是火，故"/(X)是奇函數(shù)”是“/(0)=0”的充分條件；

反之，若/(0)=0,則函數(shù).門門不一定是奇函數(shù)，"於)為奇函數(shù)”不是必要條件.應(yīng)選A.

考點(diǎn)：充分必要條件.

9.已知函數(shù)/(x)=f+辦+2有兩個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間(-1,2)上是單調(diào)的，且在該區(qū)間中有且只有一個(gè)零

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-00,-2A/2)O(2A/2,+oo)B.(-00,-3)o(3,+oo)

C.(-<?,-4](3,+00)D.(-ooT][2,+00)

【答案】C

【解析】

【分析】求出函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合集合的包含關(guān)系及零點(diǎn)存在性定理列式求解即得.

【詳解】函數(shù)/(%)=爐+辦+2在(一夕-號(hào)上單調(diào)遞減，在號(hào),+8)上單調(diào)遞增，

由在區(qū)間(-1,2)上是單調(diào)的，且在該區(qū)間中有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

af/(-l)>0f/(-I)<0

得(—l,2)u(—00,—且八或(—l,2)u[—1a,+oo)且，，

2[〃2)<02]〃2)>0

-->2[--<1

22

則<3—a〉0或<3—。<0,解得。<一4或。>3,

6+2。<06+2?！?

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(―,-4](3,+8).

故選：C

10.VxeR,設(shè)/(x)取y=4x+l,y^x+1,y=-2%+4三個(gè)函數(shù)值中的最小值，則/(%)的最大值

為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】作出函數(shù)/(%)的圖象，利用圖象求出其最大值.

【詳解】在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線y=4x+l,y^x+1,y=—2x+4,

由/(%)取y=4x+l,y=x+l,y=-2》+4三個(gè)函數(shù)值中的最小值，

得了(%)的圖象為下圖中實(shí)線構(gòu)成的折線圖,

則f(x)的最大值即為了(幻的圖象最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)值，

觀察圖象知，/(%)圖象最高點(diǎn)是直線y=x+l與y=-2x+4的交點(diǎn)，

y=x+1fx=l

由，c,,得《C，因此/(%)的圖象最高點(diǎn)是(1,2),

y=-2%+4[y=2

所以/(%)的最大值為2.

故選：B

第II卷(非選擇題)

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)=二的定義域是.

【答案】(—2,+8)

【解析】

【分析】利用函數(shù)有意義列式求出定義域.

【詳解】依題意，2x+4>0,解得x>—2,

所以函數(shù)〃司=尋工的定義域是(—2,+s).

故答案為：(-2,+co)

12.已知奇函數(shù)八%)滿足/(一5)</(—3),則“5)/(3).

【答案】大于

【解析】

【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)求解即得.

【詳解】由奇函數(shù)/(%)滿足/(一5)</(—3),得—〃5)<—/(3),所以〃5)>/(3).

故答案為：大于

13.已知A=(-8,a],B=(^?,3),且xeA是xe3的必要不充分條件，則。的取值范圍是

【答案】a>3

【解析】

【分析】根據(jù)條件得到3A,再利用集合間的關(guān)系，即可求解.

【詳解】因?yàn)閤eA是xeB的必要不充分條件，則8A,

又A=(-oo,a],B=(^x),3),所以a?3,

故答案為：a>3.

Q

14.已知尤<0,則y=l+2x+—的最大值是,當(dāng)且僅當(dāng)％=時(shí)，等號(hào)成立.

x

【答案】①.-7②.-2

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，借助配湊的方法，利用基本不等式求出最大值及對(duì)應(yīng)了的值.

【詳解】由％<0,得-x>0,則y=l-(-2x+§)VI-2)-=-7,

-xV-x

Q

當(dāng)且僅當(dāng)—2x=—,即無(wú)=一2時(shí)取等號(hào)，

—X

Q

所以當(dāng)x=—2時(shí)，y=l+2x+—取得最大值—7.

x

故答案為：-7；-2

15.己知函數(shù)/(x)=f—2|x|—1,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①函數(shù)/(幻是偶函數(shù)；

②函數(shù)/(%)的增區(qū)間為[1,+8)；

③不等式/(X)<X—1的解集是(-1,3)；

④當(dāng)%>—3時(shí)，令g(x)=d2，貝|]8(%)的最小值為2正_4.

x+3

其中所有正確結(jié)論序號(hào)是.

【答案】①④

【解析】

【分析】利用偶函數(shù)的定義判斷①；求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間判斷②；分段求出不等式的解集判斷③；利用

基本不等式分段求出最小值判斷④.

【詳解】函數(shù)/(幻=爐-2|x|-1的定義域?yàn)镽,

對(duì)于①，/(-%)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|A-|-1=/(%),函數(shù)/(%)是偶函數(shù)，①正確;

_|_2%_］尤<0

對(duì)于②，/(%)=,一'—,函數(shù)/(幻的增區(qū)間為［―1,0］,工+8),②錯(cuò)誤;

x—2%—1,x〉0

x<0fx>0

對(duì)于③，不等式/(%)<%—1,或〈2

了2+2%一1<x—1x—2x—1<x—1

解得—1<%<0或Ovxv3,所以不等式/(%)<%—1的解集是(—1,0)(0,3),③錯(cuò)誤;

f+2x-1

,—3<冗V0

x+3

對(duì)于④，依題意,g(x)=<

x2-2x-l

,x>0

x+3

當(dāng)—3<xW0時(shí)，g(x)=(x+3)+---4>2J(X+3)-^--4=2A/2-4,

x+3Vx+3

9

當(dāng)且僅當(dāng)X+3=一即％=&—3時(shí)取等號(hào);

x+3

1414/—

當(dāng)%>0時(shí)，g(x)=(x+3)+------8>2J(x+3)--------8=2714-8,

x+3Vx+3

14

當(dāng)且僅當(dāng)x+3=——，即％=舊―3時(shí)取等號(hào),

x+3

而2&7-8-(2&_4)=2［皿_(0'+2)］=2(而_,6+4夜)〉0,

即2，1^-8>2及—4，所以g。)的最小值為20—4，④正確.

故所有正確結(jié)論的序號(hào)是①④.

故答案為：①④

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及分段函數(shù)解不等式問(wèn)題，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.

三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

16.求下列方程(組)的解集：

(1)x~+5x-6—0

(2)ax=3

(3)x+2五-1=0

X22,

——+y=1

4-

(4)<

1,

y=-x+1

-2

【答案】（1）{-6,1}

(2)當(dāng)a=0時(shí)，解集為0；當(dāng)awO時(shí)，方程解集為

(3){3-2立}

(4){(0,1),(-2,0)}

【解析】

【分析】（1）解一元二次方程即可得解集.

（2）對(duì)。分類討論即可得方程的解集.

（3）利用換元法令五=20）,把原方程化為一元二次方程，結(jié)合?的取值范圍即可得到原方程的解集.

（4）利用代入消元法即可得到方程組的解集.

【小問(wèn)1詳解】

由％?+5%—6=0得，(尤+6)(x-l)=。，

解得石=-6,々=1，故方程的解集為{-6,1}.

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)a=0時(shí)，方程無(wú)解，解集為0,

當(dāng)awO時(shí)，解方程得x=3,方程解集為，

aLaJ

【小問(wèn)3詳解】

令G=t（tNO）,則方程可化為〃+2f—1=0，

解方程得，r1=-i+V2,r2=-l-V2（舍），

%=/=（-1+0）2=3-2后，故方程解集為{3-20}.

【小問(wèn)4詳解】

X22」

~r+y=1

由<1得，2f+4x=0，解得石=0,々=一2,

y=-x+1

/2

X.--0x,——2

方程組的解為《，，〈一c

〔x=l［為=0

故方程組解集為{(0,1),(-2,0)}.

17.求下列不等式(組)的解集:

(1)X2-4X+3>0

(2)-3X2+2X+1>0

(3)

2x+l1

-----<1

(4)<3

2x2-3x+4>0

【答案】(1){x\x<l^x>3}

(2)yX|——<x<1J

(3){龍|%<-2或x>1]

(4)[x]-2<x<l]

【解析】

【分析】(1)根據(jù)條件，因式分解得到(x-3)(x-1)20,再利用一元二次不等式的解法，即可求解;

(2)根據(jù)條件，變形得到3/—2x—1<0,再因式分解得(3x+l)(x—1)<0,即可求解；

(3)先變形成土工20,再等價(jià)于(x—1)(%+2)20且xw—2,即可求解；

x+2

2x+l

(4)先利用絕對(duì)值不等式的解法，求一^―<1的解，再求2/—3%+4>0的解，再求交集，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

由工2一4%+320,得至i](x—3)(x—1)2。，所以xWl或

故不等式V—4x+320的解集為{MxWl或龍23}.

【小問(wèn)2詳解】

由一3V+2x+l>0，即3/—2x—1<0，得到（3x+l）（x—1）<。，所以—g<x<l,

故不等式-3x2+2%+1>0的解集為|x|-1<x<lj.

【小問(wèn)3詳解】

由----->1,得到-^20,等價(jià)于（x—1）（X+2）2。且工。一2,所以尤V—2或

x+2x+2

2y+1

故不等式三一21的解集為{x|尤<-2或x?l}.

x~l~2

【小問(wèn)4詳解】

2x+l

由二一<1,得至］J—3<2x+l<3,即—24<1,

對(duì)2/—3%+4>0，因?yàn)锳=9—4x4x2=—23<0,所以2/—3x+4>0的解集為R，

'2x+l,

--<1,、

故不等式組J3的解集為{x|—2<%<1}.

2x2-3x+4>0

18.已知關(guān)于x的方程/+2%—7%=。，meR.

（1）當(dāng)m=1時(shí)，若方程的兩根為巧與馬,求下列各式的值：

22

①X；+X；;②I尤］一尤2I；③31；

（2）若該方程的兩根同號(hào)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】（1）①6；②2、5；③4；

（2）—l<m<0.

【解析】

【分析】（1）把相=1代入，利用韋達(dá)定理列式，再逐一變形計(jì)算各個(gè)式子的值.

（2）利用判別式及韋達(dá)定理列出不等式組求解.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，方程/+2%—1=0，A=22—4x（—1）=8>0,則為+々=—2,石々=—1,

2

①x；+x；=(再+x2)-lxxx2=6；

2

②|%一91=—%2)2=d(%+x2)-4X,X2=20；

222(x+x).

@—+—=—9-=4.

%x2玉％2

【小問(wèn)2詳解】

A=4+4m＞0

由方程的兩根同號(hào)，得＜%+/=—2＜0,解得一1＜相＜0,

xxx2=-m＞0

所以實(shí)數(shù)加的取值范圍是一1＜相＜0.

19.已知函數(shù)〃%)=4+加過(guò)點(diǎn)

x

⑴求函數(shù)“X)的解析式及定義域；

(2)判斷函數(shù)了(%)的奇偶性并證明；

(3)令g(x)=〃x-l),求g(x)的解析式,并證明g(尤)的圖像關(guān)于x=l對(duì)稱.

【答案】⑴f(x)=~+l,定義域?yàn)?|"0}

X

(2)偶函數(shù)，證明見解析

1

(3)g(x)=+l(xwl),證明見解析

(If

【解析】

【分析】(1)根據(jù)條件可得加=1，即可得/(x)=±+L由解析式可直接求出定義域，即可求解;

X

(2)利用奇偶函數(shù)的判斷方法，即可求解；

(3)利用〃x)=《+l,即可得g(x)=-▼+l(xwl),再任取一點(diǎn)P(x,y),通過(guò)證明其關(guān)于

X(九一1)

x=l對(duì)稱的點(diǎn)也在g(x)的圖象上，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/(力=二+加過(guò)點(diǎn)(—1,2),則2=1+加，得到m=1,

X

所以/(x)=±+l,定義域?yàn)閧xlx/0}.

X

【小問(wèn)2詳解】

函數(shù)/(%)為偶函數(shù)，證明如下，

因?yàn)?(x)=9+1的定義域?yàn)椋鹸lXW0｝，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

又=T1+l=4+l=/(x),所以"%)為偶函數(shù).

X)X

【小問(wèn)3詳解】

1

因?yàn)間(x)=/(x—l)=+1("1),

(IP

設(shè)尸(x,V)是g(尤)圖象上任意一點(diǎn)，P(x,y)關(guān)于x=1的對(duì)稱點(diǎn)為P'(2—尤,y),

因?yàn)間(x)=*+i(x#D'所以一x)=」i7+i=S￥+i=/￥+i=g3'

即點(diǎn)玖2-x,y)也在g(x)圖象上,所以g(x)的圖像關(guān)于x=l對(duì)稱.

20.已知函數(shù)/(x)=*+2陽(yáng)+3.

(1)當(dāng)機(jī)=1，］4—2,2］時(shí)，求函數(shù)/(%)的值域；

(2)若函數(shù)/(九)在卜2,2］上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

(3)當(dāng)m=2時(shí)，比較/⑼與/(-a2+2a-6)(aeR)的次小.

【答案】⑴［2,11］

(2)(-co,-2］t，［2,+co)

(3)/(0)</(-?2+2?-6)

【解析】

【分析】(1)利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸可求函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值和最小值即可得到函數(shù)的值域.

(2)討論函數(shù)的單調(diào)性，利用定義域和對(duì)稱軸的關(guān)系可求得參數(shù)的取值范圍.

(3)計(jì)算-/+2?！?的取值范圍，利用二次函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱軸可比較大小.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)初=1時(shí)，/(%)=X2+2X+3,對(duì)稱軸為直線為=-1,

/(%)在(—2,—1)上為減函數(shù)，在(—1,2)上為增函數(shù)，

/(XU=/(-1)=1-2+3=2"(X)3y(2)=4+4+3=ll,

故函數(shù)〃尤)的值域?yàn)棰?1］.

【小問(wèn)2詳解】

函數(shù)=+2m+3,對(duì)稱軸為直線％=一m，

當(dāng)函數(shù)在［—2,2］上是單調(diào)增函數(shù)時(shí)，—mW—2,m>2,

當(dāng)函數(shù)〃龍)在［—2,2］上是單調(diào)減函數(shù)時(shí)，—m22,mW—2,

綜上得，實(shí)數(shù)加的取值范圍為(-8,-2］42,+8).

【小問(wèn)3詳解】

當(dāng)加=2時(shí)，/(%)=X2+4%+3,對(duì)稱軸為直線X=—2,

/(%)在(―右—2)上為減函數(shù)，在(—2,+8)上為增函數(shù)，且〃0)=/(T),

—<2+2a—6——(a—1)~—5K—5,

Af(-a2+2a-6)>f(-5)>/(-4)=/(O),故〃O)</(一/+2a-6).

21.設(shè)集合4={4,=(%1，%2，電),4eR,左=1,2,3卜對(duì)于集合A中的任意元素a=(%,天，演)和

?=(X，%，%)及實(shí)數(shù)2，定義：當(dāng)且僅當(dāng)七=%(，=L2,3)時(shí)a=匕a+Z?=(石+%,/+%，七+%)；

2。=(>1%4%2,4%3)?若A的子集3={%,。2，4}滿足：當(dāng)且僅當(dāng)4=%=4=0時(shí)，

44+44+4%=(°，°，°)，則稱5為A的完美子集.

(1)集合4={(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)},B2={(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)},分別判斷這兩個(gè)集合是否

為A的完美子集，并說(shuō)明理由；

⑵集合5={(2辦辦機(jī)一2),(辦2辦加一2),(辦加一22")},若8不是A的完美子集，求掰的值.

【答案】(1)用是A的完美子集，且不是A的完美子集，理由見解析；

(2)m=—.

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)完美子集定義去計(jì)算驗(yàn)證是否當(dāng)且僅當(dāng)4=%2=4=。時(shí)，為+4/=(o,o,o)

即可得解；

(2)先計(jì)算+丸2。2+4。3

=(2m/il+加4+加4，M4+2加2+(根—2)4,(加—2)4+(加—2)4+2咸3),接著由

4%+4%+4%=(。,。,。)得方程(4加一2)(4+4+4)=0,解該方程得用=g或4+4+4=。,

再結(jié)合元素互異性分類討論機(jī)=；和4+%+4=0這兩種情況即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

凡是A的完美子集，當(dāng)不是A的完美子集，理由如下：

對(duì)于4={(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)}，因?yàn)?=(l,0,0),a2=(0,2,0),^=(0,0,3).

所以4%+%%+4%=(4,°,o)+(o,2%,o)+(o,0,34)=(4,24,34),

所以當(dāng)且僅當(dāng)4=4=4=。時(shí)，4%+44+4/=(o,o,o),

所以片是A的完美子集；

對(duì)于與={(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)},因?yàn)閝=(1,