多邊形的面積幾何模型篇之等積模型-2024-2025學(xué)年蘇教版五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題（解析版）

2024-2025學(xué)年五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列

第二單元多邊形的面積?幾何模型篇?等積模型【七大考點(diǎn)】

函【第一篇】專題解讀篇

目專題名稱第二單元多邊形的面積幾何模型篇?等積模型

邕專題內(nèi)容本專題以等積模型為主，其中共包括七種常見(jiàn)問(wèn)題。

回總體評(píng)價(jià)★★★★★

京講解建議幾何模型篇是用來(lái)專門總結(jié)小學(xué)數(shù)學(xué)幾何模型的特別篇章，

其中大多數(shù)涉及奧數(shù)思維拓展內(nèi)容，綜合性極強(qiáng)，難度極大，

因此，建議根據(jù)學(xué)生實(shí)際掌握情況和總體水平，選擇性講解

部分考點(diǎn)考題。

品考點(diǎn)數(shù)量七個(gè)考點(diǎn)。

匿匿【【第第二二篇篇】】目目錄錄導(dǎo)導(dǎo)航航篇篇

【考點(diǎn)一】等積模型問(wèn)題一：繪制等積三角形（平行線之間的等積變形問(wèn)題）.....3

30【考點(diǎn)二】等積模型問(wèn)題二：等積模型引申與差不變?cè)?.......................6

30【考點(diǎn)三】等積模型問(wèn)題三：梯形中的等積模型................................9

30【考點(diǎn)四】等積模型問(wèn)題四：連接平行線構(gòu)建等積模型（兩個(gè)正方形的聯(lián)排問(wèn)題）-10

【考點(diǎn)五】等積模型問(wèn)題五：多次連接平行線構(gòu)建等積模型（多個(gè)正方形的聯(lián)排問(wèn)題）

..................................................................................................................................................15

【考點(diǎn)六】等積模型問(wèn)題六：分組平行線構(gòu)建等積模型（多個(gè)正方形的聯(lián)排問(wèn)題）

【考點(diǎn)七】等積模型問(wèn)題七：構(gòu)造平行線構(gòu)建等積模型.........................21

Qj【第三篇】典型例題篇

30【考點(diǎn)一】等積模型問(wèn)題一：繪制等積三角形（平行線之間的等

積變形問(wèn)題）。

，【方法點(diǎn)撥】

1.等積模型。

如圖，三角形ABC和三角形BCD夾在一組平行線之間，兩條平行線之間的距

離處處相等，且有公共底邊BC,那么三角形ABC和三角形BCD面積相等，即

等底等高的三角形的面積相等。

2.解題方法。

（1）等積模型一般用來(lái)解決平行線之間三角形的面積問(wèn)題，首先先找到平行線,

再運(yùn)用等積模型將圖形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后運(yùn)用三角形的面積公式解答。

（2）當(dāng)然，部分復(fù)雜的圖形可能需要我們添加輔助線構(gòu)造平行線，再進(jìn)行轉(zhuǎn)化

計(jì)算。

【典型例題】

如圖，直線7"〃77,AV3為直線"上的兩點(diǎn)，CP為直線加上的兩點(diǎn)，如果A、

B、C三點(diǎn)固定不動(dòng)，點(diǎn)P在加上移動(dòng)，那么無(wú)論P(yáng)點(diǎn)移動(dòng)到何處，則圖中面積

相等的三角形有：（）。

【答案】APAB與AABC、APAC^APBC

【分析】平行線間的距離處處相等，三角形面積=底、高+2,4PAB與AABC

的面積相等，理由是：同底等高；APAC的面積與APBC的面積相等，根據(jù)是

同底等高，據(jù)此解答即可。

【詳解】圖中面積相等的三角形有：4PAB與AABC、APAC^APBCO

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積、平行，解答本題的關(guān)鍵是掌握三角形的面積

計(jì)算公式。

【對(duì)應(yīng)練習(xí)11

本學(xué)期課本的第92頁(yè)有一道題如圖所示（兩條虛線互相平行），你認(rèn)為三角形

ABE和三角形CDE面積是否相等？請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行說(shuō)明。

【答案】相等，說(shuō)明見(jiàn)詳解

【分析】等底等高的三角形面積相等，而平行線之間的距離都相等，因?yàn)槿?/p>

形ABD與三角形ACD是等底等高的三角形，根據(jù)三角形面積公式：面積=底

x高一2,確定三角形面積形ABD與三角形ACD的面積之間的關(guān)系，進(jìn)而求出

三角形ABE與三角形CDE的關(guān)系（答案不唯一）。

【詳解】根據(jù)分析可知，三角形ABD與三角形ACD是等底等高的三角形，

所以三角形ABD面積=三角形ACD面積。

三角形ABE的面積=三角形ABD的面積一三角形ADE的面積；

三角形CDE的面積=三角形ACD的面積一三角形ADE的面積；

三角形ABD的面積=三角形ACD的面積，

兩個(gè)三角形都減去同一個(gè)三角形，所以三角形ABE的面積=三角形CDE的面

積。

【對(duì)應(yīng)練習(xí)2]

下面兩條平行線之間有兩個(gè)三角形（①號(hào)和②號(hào)）。

（1）這兩個(gè)三角形的面積相等嗎？（）（選填“相等”或“不相等”。）

（2）請(qǐng)?jiān)谙旅姹砀裰挟嬕粋€(gè)與②號(hào)三角形面積相等的三角形。

【答案】（1）相等；（2）見(jiàn)詳解

【分析】（1）三角形面積=底義高+2,這兩個(gè)三角形的底均為2,高均為4,

那么這兩個(gè)三角形等底等高、面積相等；

（2）可以畫一個(gè)與②號(hào)三角形等底等高的三角形，使它們的面積相等。

【詳解】（1）這兩個(gè)三角形的面積相等嗎？相等。

（2）如圖：

（答案不唯一）

【對(duì)應(yīng)練習(xí)31

（1）下圖中，兩條虛線互相平行，圖中哪幾對(duì)三角形的面積相等？（至少寫兩

對(duì)）

（2）請(qǐng)你在圖中畫一個(gè)和三角形ABC面積相等的三角形。

（3）在圖中和三角形ABC面積相等的三角形能畫多少個(gè)？你有什么發(fā)現(xiàn)？請(qǐng)

你把你的發(fā)現(xiàn)寫出一條來(lái)。

【答案】（1）三角形ABC和三角形BCD；三角形ABD和三角形ACD；（答

案不唯一）

(2)圖見(jiàn)詳解；

(3)無(wú)數(shù)；見(jiàn)詳解

【分析】(1)等底等高的三角形面積相等，而平行線之間的距離都相等，據(jù)此

在圖中找出等底等高的兩對(duì)三角形即可；

(2)在上面的那條虛線上任選一點(diǎn)F,分別把它和點(diǎn)B、點(diǎn)C連接起來(lái)，所形

成的三角形和三角形ABC等底等高，則面積相等。

(3)因?yàn)樯厦婺翘摼€上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，任意找一個(gè)點(diǎn)，只要把它與點(diǎn)B、點(diǎn)C連

接起來(lái)，那么畫出的三角形就會(huì)和三角形ABC的面積相等，所以通過(guò)畫圖發(fā)

現(xiàn)，只要在兩條平行線之間，并且底相等的情況下，它們的面積就會(huì)相等。

【詳解】(1)根據(jù)三角形的面積公式可知，只要滿足等底等高，兩個(gè)三角形的

面積就會(huì)相等。

答：三角形ABC和三角形BCD面積相等，三角形ABD和三角形ACD面積相

等。

(2)如圖：

(3)答：在圖中和三角形ABC面積相等的三角形能畫無(wú)數(shù)個(gè)，我發(fā)現(xiàn)：兩條

平行線間的底相等的三角形，它們的面積也相等。

【點(diǎn)睛】本題需要熟練掌握等底等高的三角形面積相等的特點(diǎn)，根據(jù)平行線的

特點(diǎn)，明確圖中這些三角形等高是解題的關(guān)鍵。

【考點(diǎn)二】等積模型問(wèn)題二：等積模型引申與差不變?cè)怼?/p>

，【方法點(diǎn)撥】

1.等積模型。

如圖，三角形ABC和三角形BCD夾在一組平行線之間，兩條平行線之間的距

離處處相等，且有公共底邊BC,那么三角形ABC和三角形BCD面積相等，即

等底等高的三角形的面積相等。

D

2.解題方法。

（1）等積模型一般用來(lái)解決平行線之間三角形的面積問(wèn)題，首先先找到平行線,

再運(yùn)用等積模型將圖形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后運(yùn)用三角形的面積公式解答。

（2）當(dāng)然，部分復(fù)雜的圖形可能需要我們添加輔助線構(gòu)造平行線，再進(jìn)行轉(zhuǎn)化

計(jì)算。

【典型例題】

下圖是由兩個(gè)完全一樣的直角三角形疊在一起而成的，則陰影部分的面積是

解析:

如圖:

[(8-3)+8R5+2

=[5+8]x5-2

=13x5+2

=65+2

=32.5(平方厘米)

【對(duì)應(yīng)練習(xí)11

如圖，兩個(gè)完全一樣的直角三角形重疊一部分，圖中涂色部分的面積是

）平方厘米。

解析：

陰影部分面積：（12—4+12）x3+2

=（8+12）x3+2

=20*3+2

=60-2

=30（平方厘米）

【對(duì)應(yīng)練習(xí)21

兩個(gè)完全相同的直角三角形重疊在一起，如圖所示，陰影部分的面積是

（）（單位：cm）

【答案】27cm2

【分析】紅色部分是個(gè)梯形,

15

根據(jù)梯形面積=（上底+下底）義高+2,計(jì)算即可。

【詳解】(15-3+15)x2-2

=27x1

=27（平方厘米）

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是看懂圖示，掌握梯形面積公式。

【對(duì)應(yīng)練習(xí)31

如圖，兩個(gè)完全一樣的直角三角形重疊一部分，圖中陰影部分面積是

）平方厘米。

18

【答案】75

【分析】這兩個(gè)直角三角形完全一樣，它們的面積相同，所以陰影面積等于下

面梯形的面積，只要求出梯形的面積即可。

【詳解】(18-6+18)X5-2

=30x5+2

=75(平方厘米)

【點(diǎn)睛】此題考查了梯形的面積公式的靈活應(yīng)用，關(guān)鍵是把不能直接計(jì)算的圖

形面積轉(zhuǎn)化為容易計(jì)算的圖形面積。

【考點(diǎn)三】等積模型問(wèn)題三：梯形中的等積模型。

A【方法點(diǎn)撥】

1.等積模型。

如圖，三角形ABC和三角形BCD夾在一組平行線之間，兩條平行線之間的距

離處處相等，且有公共底邊BC,那么三角形ABC和三角形BCD面積相等，即

等底等高的三角形的面積相等。

2.解題方法。

(1)等積模型一般用來(lái)解決平行線之間三角形的面積問(wèn)題，首先先找到平行線,

再運(yùn)用等積模型將圖形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后運(yùn)用三角形的面積公式解答。

(2)當(dāng)然，部分復(fù)雜的圖形可能需要我們添加輔助線構(gòu)造平行線，再進(jìn)行轉(zhuǎn)化

計(jì)算。

【典型例題】

如右圖，在梯形ABCD中，AC與BD是對(duì)角線，其交點(diǎn)0,求證：AAOD與

△BOC面積相等。

解析：

由等積模型可知，三角形ADC與三角形BDC面積相等，它們都減去重疊部分,

剩下的部分面積仍相等。

【對(duì)應(yīng)練習(xí)】

如右圖，在梯形ABCD中，共有八個(gè)三角形，其中面積相等的三角形共有哪幾

解析：根據(jù)同底等高三角形面積相等，梯形左右對(duì)角三角形面積相等可得。

答：共有3對(duì)，分別為：SAAOD=SABOC；SAABD=SAABC；SAADC

=SABCDo

30【考點(diǎn)四】等積模型問(wèn)題四：連接平行線構(gòu)建等積模型（兩個(gè)正

方形的聯(lián)排問(wèn)題）。

■【方法點(diǎn)撥】

1.等積模型。

如圖，三角形ABC和三角形BCD夾在一組平行線之間，兩條平行線之間的距

離處處相等，且有公共底邊BC,那么三角形ABC和三角形BCD面積相等，即

等底等高的三角形的面積相等。

D

2.解題方法。

（1）等積模型一般用來(lái)解決平行線之間三角形的面積問(wèn)題，首先先找到平行線,

再運(yùn)用等積模型將圖形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后運(yùn)用三角形的面積公式解答。

（2）當(dāng)然，部分復(fù)雜的圖形可能需要我們添加輔助線構(gòu)造平行線，再進(jìn)行轉(zhuǎn)化

計(jì)算。

【典型例題】

已知圖中大正方形和小正方形的邊長(zhǎng)分別是4厘米和6厘米，陰影部分的面積

是多少平方厘米？

【答案】18平方厘米

【分析】如下圖所示，連接FD,三角形AFD的面積是（6x4+2）平方厘米，

三角形FDC的面積是（6x4+2）平方厘米，則三角形AFD的面積等于三角形

FDC的面積。假設(shè)AD與FC相交于點(diǎn)0,則三角形AF0的面積等于三角形

0DC的面積。陰影部分三角形的面積就等于大正方形內(nèi)三角形ADC的面積。

根據(jù)三角形的面積=底、高+2,求出陰影部分三角形的面積。

=36+2

=18（平方厘米）

答：陰影部分的面積是18平方厘米。

【對(duì)應(yīng)練習(xí)11

兩個(gè)正方形如圖放置，其中D、C、G在同一條直線上，小正方形ECGF的邊

長(zhǎng)為6,連AE、EG、AG,求圖中陰影部分的面積。

【答案】18

【詳解】連接AC,

貝USAAEC=SAACG)

SAAEC-SAAHC=SAACG-S^AHC,

即SAAEH=SAHCG,

所以陰影部分的面積=；x6x6,

=3x6,

=18；

答：圖中陰影部分的面積是18。

【對(duì)應(yīng)練習(xí)2]

如圖所示，正方形ABCD邊長(zhǎng)為10,正方BEFG形邊長(zhǎng)為6,正方形JIHC面

溫馨小提示：連接IC構(gòu)建平行線IC與DF,5A_=5ADFrO

【答案】20

【分析】連接CI,CF,如下圖所示：如果注意到DF為正方形ABCD的對(duì)角線

（或者說(shuō)一個(gè)等腰直角三角形的斜邊）的一部分，那么容易想到DF與CI是平

行的。所以可以連接CI,CFo由于DF與CI互相平行，兩條平行線之間的距

離相等，也就是三角形DFI與三角形DFC的高相等，所以三角形DFI的面積

等于三角形DFC的面積。三角形DFC中，底邊DC長(zhǎng)10,高長(zhǎng)(10—6),根

據(jù)三角形的面積=底義高+2,求得三角形DFC的面積，即三角形DFI的面積。

【詳解】10x(10-6)+2

=10x4+2

=20

答：陰影部分的面積是20。

【點(diǎn)睛】連接CI、CF,找到平行線間的兩個(gè)面積相等的三角形是解決此題的關(guān)

鍵。

【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】

如圖，是長(zhǎng)方形ADEF和直角梯形ABCD組成的組合圖形，已知長(zhǎng)方形AFED

的面積是90平方厘米，求陰影部分面積。

【答案】45平方厘米

【分析】利用等積變換思想，將所求陰影部分面積轉(zhuǎn)化成一個(gè)規(guī)則的易求的幾

何圖形的面積。首先，4GCD的面積等于AGDB的面積，而ABDE的面積等于

ADEF的面積。

【詳解】如圖，連接BD,FDo

F

A

B

因?yàn)锳DIIBC

所以SAGCD=SAGDB

因?yàn)镕E||AD,

所以SABDE=SADEF=gx90=45（平方厘米）

答：陰影部分面積是45平方厘米。

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形面積的等積變換，難度不大，但卻是一道經(jīng)典

好題。巧妙地將所求陰影部分的面積轉(zhuǎn)化成4EFD的面積是解決本題的關(guān)鍵。

【對(duì)應(yīng)練習(xí)41

如圖，大正方形的邊長(zhǎng)是5厘米，陰影部分的面積是（）平方厘米。

【答案】12.5

【詳解】試題分析：如圖所示，因?yàn)槿切蜠HG和三角形DHF等底等高，則

二者的面積相等，于是可知：陰影部分的面積就等于三角形AGD的面積，利

于三角形的面積公式即可求解.

解：5x5-2=12.5（平方厘米），

答：陰影部分的面積是12.5平方厘米.

故答案為12.5.

點(diǎn)評(píng)：由題意得出：陰影部分的面積就等于三角形AGD的面積，是解答本題

的關(guān)鍵.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)51

如圖，已知正方形ABCD和正方形CEFG的邊長(zhǎng)分別是8厘米和6厘米，那

么陰影部分的面積是()平方厘米。

【答案】18

【詳解】試題分析：根據(jù)題意，陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形的面積減去三

角形ABE的面積減去三角形EFH的面積再減去三角形ADG的面積，可根據(jù)正

方形的面積公式和三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

解：(8X8+6X6)-(8+6)*8+2-6x6-2-(8-6)x8+2,

=(64+36)-14x8-2-18-2x8+2,

=100-56-18-8,

=44-18-8,

=26-8,

=18(平方厘米)；

答：陰影部分的面積為18平方厘米.

故答案為18.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是三角形的面積公式和長(zhǎng)方形的面積公式的應(yīng)用.

【考點(diǎn)五】等積模型問(wèn)題五：多次連接平行線構(gòu)建等積模型(多

個(gè)正方形的聯(lián)排問(wèn)題)。

A【方法點(diǎn)撥】

1.等積模型。

如圖，三角形ABC和三角形BCD夾在一組平行線之間，兩條平行線之間的距

離處處相等，且有公共底邊BC,那么三角形ABC和三角形BCD面積相等，即

等底等高的三角形的面積相等。

D

2.解題方法。

(1)等積模型一般用來(lái)解決平行線之間三角形的面積問(wèn)題，首先先找到平行線,

再運(yùn)用等積模型將圖形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后運(yùn)用三角形的面積公式解答。

(2)當(dāng)然，部分復(fù)雜的圖形可能需要我們添加輔助線構(gòu)造平行線，再進(jìn)行轉(zhuǎn)化

計(jì)算。

如圖所示，分兩次連接對(duì)角線，構(gòu)建不同的等積模型，最終得到紅色陰影部分

與所求陰影部分面積相等。

2x2=4(cm)

S=4x4+2=8(cm2)

【對(duì)應(yīng)練習(xí)11

如圖，大小三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是6cm、4cmv2cm,求S陰影部分。

解析:

如圖所示，連接對(duì)角線，構(gòu)建等積模型。

S=6x(6-4)+2=6(cm2)

【對(duì)應(yīng)練習(xí)21

如圖，大小兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是6cm、4cm,求S陰影部分。

解析：

如圖所示，連接對(duì)角線，構(gòu)建等積模型。

【對(duì)應(yīng)練習(xí)31

如圖，大小三個(gè)正方形如下排列，其邊長(zhǎng)分別是3cm、4cm\2cm,求S陰影部分。

【考點(diǎn)六】等積模型問(wèn)題六：分組平行線構(gòu)建等積模型（多個(gè)正

方形的聯(lián)排問(wèn)題）。

A【方法點(diǎn)撥】

1.等積模型。

如圖，三角形ABC和三角形BCD夾在一組平行線之間，兩條平行線之間的距

離處處相等，且有公共底邊BC,那么三角形ABC和三角形BCD面積相等，即

等底等高的三角形的面積相等。

2.解題方法。

（1）等積模型一般用來(lái)解決平行線之間三角形的面積問(wèn)題，首先先找到平行線,

再運(yùn)用等積模型將圖形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后運(yùn)用三角形的面積公式解答。

（2）當(dāng)然，部分復(fù)雜的圖形可能需要我們添加輔助線構(gòu)造平行線，再進(jìn)行轉(zhuǎn)