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文檔簡介
專題02不等式與復(fù)數(shù)
目錄
01基本不等式二元式................................................................1
02和式與積式......................................................................3
03柯西不等式二元式.................................................................7
04齊次化與不等式最值.............................................................10
題型05復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算..................................................................13
06復(fù)數(shù)的幾何意義..................................................................14
一題型01基本不等式二元式
.._41
1.(2023?山東青島?圖一青島大學(xué)附屬中學(xué)??茧A段練習(xí))若無>0,y>0且x+y=l,則一+一的最小值
為()
A.7B.8C.9D.16
【答案】C
【解析】由題設(shè),-+-=f-+l|j+y)=5+^+->5+2
xy\xy)xy
當(dāng)且僅當(dāng)-^=一,即元=彳,丁二彳時(shí)等號成立.
Xy33
故選:c
2.(2023?江蘇鹽城?高三統(tǒng)考期中)若x>0,y>l,則空+J的最小值為()
xy-1
A.1B.4C.8D.12
【答案】C
【解析】設(shè)曳+二=乙貝Ij4y2—(4+枕)、+7+打=0,
Xy-1
由△?(),得(4+比丫—16(/+比)之0,即(比—4『216/,
則比一424/,r>4x+—>2=8,當(dāng)且僅當(dāng)4無=3,即元=1時(shí),等號成立,
x\xx
故選:C.
3.(2023?江蘇鎮(zhèn)江?高三統(tǒng)考期中)已知正實(shí)數(shù)X、y滿足工-y+5二孫,則工+y的最小值為()
A.5B.4C.3D.2
【答案】B
x+5
【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)X、y滿足~+5=孫,則孫+尸川,可得W一
所以XIV-XI%+5―兀|(%+1)+4=(x+l)+,-之+4
//1KAf%十y—%十—%十=4,
x+1x+1(7x+1Vx+1
4
當(dāng)且僅當(dāng)1+1=——a>o)時(shí),即當(dāng)元=1時(shí),等號成立,此時(shí),y=3,
X+1
故工+y的最小值為4.
故選:B.
0A
4.(2023?浙江金華?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知。>0力>0,2。+6=。"則上+——的最小值為(
a-1b-2
A.4B.6C.472D.3+20
【答案】D
u
【解析】由。>0,Z?>0,2a+/?=ab,a=--—>o即方>2,易知〃>1,
b—2f
所以2-+〃-=烏-+a=3+:-+0-123+2、/二-<a-1)=3+2&,
ci—1b—2a—1a—1yci—1
當(dāng)且僅當(dāng)。=&+l時(shí)等號成立,此時(shí)6=2+0,
所以-+-―-的最小值為3+20.
a-1b-2
故選:D
5.(2023?廣東廣州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y=孫,貝1|2盯-2x-y的最小值為
A.2B.4C.8D.9
【答案】C
12
【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x,y滿足2兄+〉=孫,所以一+一=1,
%y
貝U2孫一21一》=2x+y=(2x+y)—+—=4+—+—>4+2I---=8,
y)y'%y
當(dāng)且僅當(dāng)y=2元且L+2=i,即%=2,y=4時(shí)取等號.
%y
故選:C.
6.(2023?廣西玉林?高三博白縣中學(xué)??奸_學(xué)考試)若正數(shù)x,y滿足,+工=1,貝口+2〉的最小值是
xy
A.6B.2+3應(yīng)C.3+20D.2+2石
【答案】C
【解析】由題意,x+2y=(x+2y)3n=3+0+33+2,匡2=3+2也,
vy)xy\xy
當(dāng)且僅當(dāng)殳=土,即工=夜+1,>=出2時(shí)取等號.
兀y2
故選:c
題型02和式與積式
7.(多選題)(2023?山東濰坊?高三統(tǒng)考期中)已知。,b為方程舐?-x^tn=0^>的兩個(gè)實(shí)根,則
)
A.4Z2+/?2>8B.ab>4
113+272
C.yfa+yfb<2^2D.--------------1---------之-----------
a+22b12
【答案】ACD
【解析】由題意得:a+》=4,ab^-,a>0,b>0;
2
22
對于A項(xiàng):a+b=(a+b^-lab-lab,
27、2
a+ba+b].
因?yàn)椋篴b<I,所以:—ab>—----二-4,
22
所以得:/+〃=16—2^216-8=8,當(dāng)且僅當(dāng)〃二人=2時(shí)取等號,故A項(xiàng)正確;
對于3項(xiàng):由。+人=43所以得:ab<4,故3項(xiàng)錯(cuò)誤;
對于C項(xiàng):+=a+b+2y[ab=4+2yfab<4+(tz+Z?)=8,
所以得:4a+4b<2y/2,故。項(xiàng)正確;
對于。項(xiàng):
111111ba+2b〃+23+2立
---------1-----=—H---J----3+2.x-----
a+22b6a+22b62。+22b62〃+22b)12
當(dāng)小r.時(shí)取等號’故0項(xiàng)正確.
故選:ACD.
8.(多選題)(2023?湖北武漢?高三華中師大一附中??计谥校┮阎?gt;0力>0,〃4,且a+b=2,則
11「11
A.-+->2B.>2
ab/+廬
C.2〃+2)>2D.log2^+log2Z?>2
【答案】ABC
【解析】-+7=^-|-+y+=2+—+y2+2J-y=2,當(dāng)且僅當(dāng)“=g即a二8時(shí)取等號,
ab21ab)2(ab)2(\ab)ab
由于a】b,所以—1-->2,A正確,
ab
由于旌d=l,'+*2舊京=六2,當(dāng)且僅當(dāng),二,且〃“時(shí),即〃4時(shí)取等號,由于
U1b,所以w+yy>2,3正確,
ab
由〃+/?-2以及a>0力>0,〃wZ?可得2"+2。之2:2“2,=2-20+"=4,
當(dāng)且僅當(dāng)2"=2",即〃二方時(shí)取等號,由于b,所以2"+2'〉4>2,故C正確,
log^z+logZ?=logab<log1=0,當(dāng)且僅當(dāng)幺=£即〃二方時(shí)取等號,由于相b,1(^2。+log?)<。所以
2222ab
。錯(cuò)誤,
故選:ABC
9.(多選題)(2023?云南迪慶?高一統(tǒng)考期末)設(shè)正實(shí)數(shù)%,〉滿足x+2y=3,則下列說法正確的是
9
A.,的最小值為4B.孫的最大值為z
人y8
C.6+必的最大值為2D./+4y2的最小值為,
【答案】ABD
【解析】對于A,?.?x>0,y>0,x+2y=3,.?.1+』=』+^^=』+2+2?2匣+2=4,
xyxyxyyxy
vx
當(dāng)且僅當(dāng)2=一,即%=y=i時(shí)等號成立,故A正確;
%y
,___Q33
對于5,3=x+2y>2y]2xy,/.xy<-,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即%=—,y=—時(shí)等號成立,
824
9
所以孫的最大值為二,故3正確;
8
對于C,因?yàn)?=x+2y+2y/2xy=3+2^j2xy<3+2^2=6,
所以?+后的最大值為新,故C錯(cuò)誤;
對于因?yàn)?+4/=(1+2?。?-4xy=9-4xy>9-4x—=—,故£)正確.
82
故選:ABD.
10.(多選題)(2023?全國?高三校聯(lián)考階段練習(xí))若。>0,b>0,且2〃+b=l,則下列說法正確的是
()
A.而有最大值:B.瘍+加有最大值2
C.工+:有最小值4D.4/+片有最小值正
ab2
【答案】AC
【解析】對于A,ab=-^ab<-^a+b^
2248
當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=工時(shí)取等號,
2
所以就有最大值:,故A正確;
0
又寸B,因?yàn)椋?a+Z?之2T2ab,^fr以2(2a+0)22a+Z?+2j2aZ?=(JZa+,
所以缶+限J2(2a+b)=0,
當(dāng)且僅當(dāng)2〃二8=,時(shí)取等號,
2
所以病+"有最大值拉,故8錯(cuò)誤;
TT-la2a+babalba
對于C,-+-=------+-=2+-+->2+2J------=4A,
ababab\ab
當(dāng)且僅當(dāng)2=即a=b=g時(shí)取等號,
ab3
所以工+f有最小值4,故C正確;
ab
對于。,因?yàn)?/+〃22x2ab,所以2(4a?+/)24/+/+2x2a匕=(2。+/?)?,
所以4a2+〃。+")-=J_,當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=工時(shí)取等號,
—222
所以4后+廿有最小值;,故。錯(cuò)誤.
故選:AC.
13
11.(多選題)(2023?江蘇無錫?高三統(tǒng)考期中)已知a>0,b>Q,一+丁=1,則下列說法正確的是
ab
()
A.曲的最小值為12
B.〃+/?的最小值為48
C./+/的最小值為24
13
D.—-+-~^的最小值為2
a-1b-3
【答案】AD
【解析】A選項(xiàng):-+1>2./4,即2啟Ml,解得次?》12,當(dāng)且僅當(dāng)工=g,即4=2,8=6時(shí)等號成
立,A選項(xiàng)正確;
3選項(xiàng):a+b-(a+b)(-+^-\=\+^-+—+3>4+=4+2\/3,當(dāng)且僅當(dāng)細(xì)=2,gpa=~~,b=-~—
\ab)ba\baba22
時(shí)等號成立,2選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C選項(xiàng):由工+3=1,得°=上,.1>3,貝|/+廿=(占]+/,
abb-3
令八上I」他解得彳=3+竽,
所以函數(shù)/■(*)在(3,3+3]上單調(diào)遞減,在[3+3:,+/上單調(diào)遞增,
所以〃蟲"=/13+3"N24,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;
_L+J_-_^+J_-^2+J_>2b-33
〃選項(xiàng):a-1b-3-b.b-3-3b-3~,當(dāng)且僅當(dāng)k=:,即8=6,。=2時(shí)等號成
…3人3
立,。選項(xiàng)正確;
故選:AD.
一題型03柯西不等式二元式
12.(2023?浙江湖州?高三統(tǒng)考期末)已知心yeR,且x+y=3,則&7I+23rz的最小值
是.
【答案】3垂
【解析】湊配口+2次百二底Q+.亞亞=亞牙g+尸w7百
,進(jìn)而根據(jù)
有V5
柯西不等式結(jié)合已知求解即可.根據(jù)柯西不等式得:(22+12)卜2+1)“2%+1)2,
(y2+22)(22+42)>(2y+8)2,
當(dāng)且僅當(dāng)x=2,y=l時(shí),上述兩不等式取等號,
所以7?77777132工+1,也2+42廳+22.2y+8
因?yàn)閤+V=3,
所以內(nèi)+2戶=回五笆四
_也2+12+打+42Q『+2?〉2x+l+2y+8_2(x+y)+9_
—A/5一小一小一
當(dāng)且僅當(dāng)x=2,y=l時(shí),等號成立.
故答案為:375.
13.(2023?浙江溫州?統(tǒng)考二模)已知實(shí)數(shù)九,丁滿足(2%-))2+今2=1,則2彳+);的最大值為
【答案】亞
【解析】直接利用柯西不等式得到答案.根據(jù)柯西不等式:⑶—4+中玲叱:+2才,故
2x+y<V2,
當(dāng)2x—y=2y,即I=述,,=正時(shí)等號成立.
84
故答案為:也.
14.(2023?湖北武漢?統(tǒng)考一模)已知M=xjl-y2+八/1-爐,則M的最大值為
【答案】L
【解析】利用柯西不等式求解.由柯西不等式得:
卜J]_y2+yVl-^2|4X2+^J1-X2j)+y2=1,
當(dāng)且僅當(dāng)業(yè)二d即Y+y2=i取等號.
X
故M的最大值為1
故答案為:1
is.(2023?浙江金華?高三校聯(lián)考期末)已知實(shí)數(shù)%,y滿足ja+iy+y.一ly+y=4,則產(chǎn)十產(chǎn)的
取值范圍為.
【答案】[3,5]
【解析】由柯西不等式可得,
『1)+y*而方7.而干7=44心31^±£,
所以44+1)2+q(1)"、/+9+1,即3CW5
所以Y+y2e[3,5].
故答案為:[3,5]
16.(2023?浙江?高三校聯(lián)考階段練習(xí))己知實(shí)數(shù)。力滿足:2b—,則|。-2闿的最小值為.
【答案】2
【解析】方法一:距離問題
問題理解為:由對稱性,我們研究“雙曲線上的點(diǎn)(?;ǎ┑街本€"2。=0的距離的6倍”問題
若相切,貝IJ2/—(2方+z『二4有唯一解
2b2+4zb+z2+4=0,△=16z之-8(z?+4)=0=z?=4=忖=2
兩平彳亍線a-2b=0與a-26-z=0的星巨離d且=2
A/5V5
所以-2耳=A/5x—j==2
方法二:柯西不等式法
補(bǔ)充知識:二元柯西不等式
已知兩組數(shù)。力;則(/+/)卜2+力2(狽+加2
+b1^(x2+y~^>^ax+by^<^a2x2+a2y2+&2x2+b2y2>a2x2+b2y~+2abxy
ocry1+Z?2x2>2abxyo(ay->0
已知兩組數(shù)a』;%,y,則(/一句⑺一力《(辦一辦)2
(/-匕2)(%2-y2)4(歐-0y)2o/f-a2y2-廿彳2+^2y2?+/卜2一?"孫
oa2y+加工2>2abxy臺(ay-ferf>0
所以4=(2/-/)(2-1)久4-292,所以|0—羽W2.
方法三:判別式法
設(shè)a-2b=tna=2b+t,將其代入2/_/=4,下面仿照方法一即可.
方法四:整體換元
根據(jù)對稱性,不妨設(shè)岳-a>0,>/2b+a>0
x=42b-a、
設(shè)《L,則◎=4(x>0,y>0),且
y=yJ2b+a
方法五:三角換元
Z?=A/2sec0
由對稱性,不妨設(shè)<(。為銳角)
。=2tan。
所以卜-2耳=歷2110-2&$6(:0|=2任紀(jì)旦=2叵*^225^=2
11cos0cos3cos0
所以|。-2闿的最小值為2
17.(2023?河北衡水?高三河北安平中學(xué)??计谀┮阎?x+3y+z=8,則>+于+z?取得最小值時(shí),
%,y,z形成的點(diǎn)(%,y,z)=.
【-答3案】(匕81,2川4、
【解析】由于(22+32+儼)卜2+y2+z2)“2x+3y+z)2=64,ax2+y2+z2=y.當(dāng)且僅當(dāng)
812…、「8124、
x==3,z=,時(shí)等節(jié)成乂,故(x,y,z)=Iy,—I.
故答案為[于7,亍J
04齊次化與不等式最值
18.(2023?山東日照?高一??计谥校┮阎?xT+y4=l(x,yeR),則無?+2y2的最小值是.
【答案】g
【解析】根據(jù)題設(shè)條件可得可得/+2丁=口+2y2=白+”,利用基本不等式即可求解.;
5y5y5y5
5x2y2+y4=1
6
-
5-
當(dāng)且僅當(dāng)上=號,即y=微,產(chǎn)=;時(shí)取等號.
5y5153
二f+J的最小值為,
故答案為:y.
19.(2023?浙江?高二校聯(lián)考階段練習(xí))若實(shí)數(shù)。,方滿足/一4廿=4,則/+他的最小值
為.
【答案】V3+2/2+V3
2
【解析】因02_止=4,則幺-〃=1,
4
即加"=1,
令@+b=x(xwO),貝,
2v72x
所以〃=x+Lb=g
X,
所以/+而=[3+,
14X
-X2+-^V+2>2.3,/+2=員2,
22x222x2
當(dāng)且僅當(dāng)3犬2=工,即彳2=逅時(shí),等號成立.
2lx13
故/+疑的最小值為6+2.
故答案為:V3+2
20.(2023?寧夏銀川?高二寧夏育才中學(xué)校考期中)若N-孫+尸=l(x,yeR),則爐+2y的最小值
為.
【答案]2友
3
,2_x2+2y2
【解析】設(shè)%二rCOS。,y=—rsinO,所以爐+2丁2=/,所以—+2y
2X1—xy+y2
,2
1
r2cos2x-r2sin0cos0+—r2sin20cos2x-sin0cos6,+—sin20
2222
11
;(I+c°s2e)/sinec°se+;(lY°s2e):+*2"fsin2。
1
3石3in(28獷其中。滿足tan0=血,所以—lWsin(2<9—0)K1,所以
41
士衛(wèi)立sin(2j)〈方衛(wèi)-----<------
,所以3+后3_71
444v74sin(2。-0)"S.
44
即晨3Vx?+2/三六^,所以Y+2出^1=2(3J)=6不,所以Y+2/的最小值為
6-2百
3*
故答案為:"8
3
21.(2023?天津?yàn)I海新?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知x>0,y>0,則3表/+不會的最大值
是.
【答案】羋
2?1x3Q+2)2
【解析】先化簡原式為二上空再換元設(shè)"一。>。)得原式——%,再換元設(shè)"二1+—("0)得
I'V254/
yxyxt+5+3
32xyxy_21
原式可化為一r,再利用函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的最大值.X2+4/+X2+/=X4J+777,設(shè)
u+——+——+—
uyXyX
x
r=-(r>0),
y
2
j212tt3(f+203Q+])
所以原式=-v+一f=蕓一T+——7=7—乙一7二------T
彳+^t+-'+4r+1r+5r+4產(chǎn)+5+巧
2
令〃=r+—Q>0),〃22A/2.
t
3〃_3/33_2A/2
所以原式=k=7-亳。=際=丁?
u2V24
(函數(shù)y=W+—it[2A/2,+OO)上單調(diào)遞增)
U
故答案為:還
3
22.(2023?全國?高一專題練習(xí))已知正數(shù)名"。滿足"=廿+,,且/—3//—4/=0,求工的值.
a
【解析】???a4-3aV-4^=0,
二兩邊同時(shí)除以"得1一3(£|14(£|4=0,
設(shè)x=得4了2+3%一1=0,解得x=;或%=—1(舍去),
Va2=b2+c2,
a2
?題型05復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
23.(2023?上海?高三上海市宜川中學(xué)??计谥校┮阎獜?fù)數(shù)z滿足z2=Z,則復(fù)數(shù)z的個(gè)數(shù)為()
【答案】D
【解析】設(shè)z=a+bi(4力eR),
??,復(fù)數(shù)z滿足z2=J
,(〃+折『=a-bi,
化為a2-b1+2abi=a-bi,
6Z2—Z?2=a.fb=O
/J,7解得?_八十[,
2ab=—b-0或1
.,.2=0,或1,或」土立i.
故選:D.
24.(2023?江西?高三鷹潭一中校聯(lián)考期中)已知復(fù)數(shù)z滿足z(3+4i)=|2#-i|,貝氏=()
【答案】A
J(2?y+(-_5(3-4i)
【解析】由z(3+4i)=|2#-i|,得2=
------1,
(3+4i)(3-4i)5
所以-z3=4+.i,
故選:A.
25.(2023?廣西南寧?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)z滿足(4+3i)z=-i,貝卜的虛部為()
【答案】A
-i-i(4-3i)34
[解析]因?yàn)椋?+3i)z=—i,所以z=------=-~7=-----------i,
4+3i(4+3i)(4-3i)2525
4
所以z的虛部為-二.
故選:A.
26.(2023?四川成都?校聯(lián)考一模)已知i為復(fù)數(shù)單位,過9=2+i,貝|z=l+tri的模為()
1-1
A.6B.1C.2D.4
【答案】A
【解析】由苧%=2+i可得3+〃i=(2+i)(l—i)=3-i,所以q=-l,
1-1
所以Z=l—i,則上|=J12+(_1)2=叵.
故選:A.
27.(2023?湖南郴州?統(tǒng)考一模)已知復(fù)數(shù)-3+2i是方程2/+12x+4=0的一個(gè)根,則實(shí)數(shù)Q的值是
()
A.0B.8C.24D.26
【答案】D
【解析】由復(fù)數(shù)-3+2i是方程2/+12x+g=0的一個(gè)根,
得2(-3+2i『+12(-3+2i)+q=0,
解得=26,
故選:D.
?題型06復(fù)數(shù)的幾何意義
28.(2023?江西贛州?統(tǒng)考二模)已知復(fù)數(shù)z滿足|z+i|=l(i為虛數(shù)單位),則|z-i|的最大值為()
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】設(shè)復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)為Z,
由題意可得:|z+i|=|z-(-i)|=l,表示復(fù)平面中點(diǎn)z到定點(diǎn)c(o,T)的距離為1,
所以點(diǎn)Z的軌跡為以c(o,-0為圓心,半徑r=l的圓,
因?yàn)閨z-i|表示表示復(fù)平面中點(diǎn)Z到定點(diǎn)8(0,1)的距離,
所以伊Cj+r=2+l=3,即|z—i|的最大值為3.
故選:C.
29.(2023?湖南郴州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限,且目=2,卜+目=2,
則]的值為()
A.1-亞B.1+瘋
C.V2-V2iD.V2+V2i
【答案】A
【解析】由題意設(shè)z=a+bi(a>0,3>0),
由|z+三|=|2。|=2,
得a=1,
因?yàn)殁?2,
所以J/+〃=6+k=2O>o),
解得b=>13,
所以z=1+A/3?,
所以三=1一行.
故選:A.
?2023
30.(2023?江蘇常州?常州市第三中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)2=2泮2+=,,為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z
1+i
在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
【答案】C
【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)z=2i?022+土=-2--—=-2-z=-2-—=
kg",一々軍以i+il+i(l+i)(l-i)222
所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為(-*-:,該點(diǎn)位于第三象限.
故選:C.
31.(2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考二模)棣莫弗公式[r(cos9+isin初"=r〃(cos〃仇isii)M,(i是虛數(shù)單
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