高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：解析幾何解答壓軸題 （附答案 解析）

解析幾何解答壓軸題

22/T

1.（內(nèi)蒙古赤峰市?三月考（文））已知橢圓石:=+與=1（。＞匕〉0）的離心率空，其左，右點(diǎn)為

ab3

耳，心，過點(diǎn)耳的直線/與橢圓E交于兩點(diǎn)、口MN&的周為4".

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）過E右焦點(diǎn)的直線1，2互相垂直，且分別交橢圓E于，和C,。四點(diǎn)，求恒回+|8|的最小值

22

【答案】（1）—+^=1;（2）最小值為2指.

62

【分析】

（1）利用橢圓離心率e=，，DMN月的周為4a=46

（2）分類討論直線4,4的斜率存在與否，當(dāng)其中一條直線斜率為0.一條直線斜率不存在，可利用橢圓性

質(zhì)求出3用+|。＞|=津；當(dāng)兩條直線斜率均存在，設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，利用弦公式求出

\AB\,\CD\,再利用二次函數(shù)的值域求法與不等式的性質(zhì)求得結(jié)果.

【詳解】

（1）由橢圓的定義知，口跖明的周為4a=4屈，：.a=&

由e=1,即￡=如，得c=2

3a3

b"—cr—c1=2,b=y/2

22

故橢圓的方程為：土+匕=1

62

⑵由（1）得，橢圓右焦點(diǎn)為（2,0）,設(shè)4（%,口）,B（x2,y2）,C（x3,y3）,D（x4,y4）

①當(dāng)直線4的斜率為0,直線，2的斜率不存在時，

直線6：y=0,止匕時|A用=2a=2指；直線6：x=2,止匕時仁力=也=^=孚；

|叫+3|=2幾+孚丹

276876

②當(dāng)直線4的斜率為0，4直線的斜率不存在時，|AB|+|CD|=2j&H---------=--------

33

③當(dāng)直線4，4的斜率都存在，設(shè)直線4的方程為x=my+2（〃zw0）,則直線"的方程為工=—工y+2

m

聯(lián)立《62，整理得(加2+3)丁+4機(jī)y—2=0

x=my+2

4m

%+%=__

m+2

A=16m2+8(m2+3)〉0恒成立，則<

2

--F-

m+

Y加2[(—[_2指(〃72+1)

|AB\=y/l+m21%-%|=Jl+7"2網(wǎng)+城-幻％=Vl+m2j(-

ITT+3lr+3,-m2+3

2A/6(--)2+1

m2而二+1)

同理可得|CD|=

3m2+1

m

8向1+1)2

則仙/+仁。|=2八m+1m+1

^m2+33m2+3,3m4+10m2+3

令療+1=八則g（'）=3『+4/_4=44=2八2.4?〉1）

ttt

2.=irii

當(dāng)/ea,+s）時，-（--I）2+4e（3,4],則以“__（2_02+彳《

所以|AB|+|CD|e2灰，半

L3J

綜上可知，|A@+|CD|e2J&乎一」4同+|0）|的最小值為2#

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合時，要注意：

（1）注意觀察應(yīng)用設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件;

（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之的關(guān)系、弦、斜

率、三角形的積等

2.（河南新鄉(xiāng)市?三二模（理））已知橢圓C:=+與=l（a〉b>0）的左、右點(diǎn)分別為A,B,E為

ab

C上不同于A,B的動點(diǎn)，直線AE,3E的斜率&1E，kBE滿足Mur&E=—；，理?理的最小值為-

4

（1）求C的方程；

（2）。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過。的兩條直線〃滿足4〃AE，且4，4分別交。于M，N和尸，

Q.試判斷四邊形MPNQ的積是否為定值?若是，求出該定值；若不是，說明理由.

22

【答案】（1）—+^=1；（2）是定值，8A/2.

84

【分析】

⑴由A(—a,O),B(a,O),設(shè)現(xiàn)工,%),可得AE-BE=^x^-c1，結(jié)合已知列方

aa

程求參數(shù)。、b、c,寫出橢圓方程即可；

（2）由橢圓對稱性知：SMPNQ=4S-OMP，設(shè)/2的斜率分別為尢，k2，由設(shè)知匕?42=—；，討論直

線MP的斜率，聯(lián)立直線與橢圓方程，應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系確定S"取2是否為定值.

【詳解】

22

（1）設(shè)E（Xo，%）,則與+四=1,故A(—a,0),8(。,0),

a2b12

b21-4

%笫_-ajb2,

L3在XQ—UXQ—4Xn一。2

_一<%2A2

222

又AE-BE=(x0+a)(/o-a)+y；=(x0+a)(x0—a^+b1y=—x^—c>—c，

\a)a

a2=8

由意知：<a22解得

b2=4

—c1=-4

22

橢圓C的方程為土+乙=1.

84

(2)根據(jù)橢圓的對稱性，可知=ON,OP=OQ,

.?.四邊形MPNQ為平行四邊形，所以SMPNQ=4SOMP?

設(shè)乙，4的斜率分別為k2,Af(石,％),2(%,%)，貝IX=左心①，%=42々②-

又1,2,即占42&1E左BE2,

當(dāng)M尸的斜率不存在時，％=-%，占=%2.

122

由①x②，得—y；=匕左2片=一一七,結(jié)合土+江=1，解得㈤=2,聞=也.

284

SMPNQ=4S「OMP=4*5*|2%卜同=80.

當(dāng)MP的斜率存在時，設(shè)直線MP的方程為〉=履+〃2,

y=kx+m

聯(lián)立方程組得%2y2,得（2左之+1）%?++2帆2—8—0,則

T+T-

4km2

A=（4M*2-4（2jt2+l）（2m2-8）=8（8^2+4-m2j>0,即石+%2m-8

2^+1，X1%2-2^+1

22

..‘I%y2kxx+mkx2+mkx1x2+km^+x2）+m1

左］?左2=----------------------------------，

石工22

e^L4km

+km+,m2

2k2+1{2k2+1

----=——,整理得：m2=4A:2+2.

2m2-82

2k2+1

由直線MP過（0,加），SMPNQ=45noMP=4x：x|m\\xi-x^=2\m\-

22m2-84^2Im\-y/sk2+4-m2

=21%一2%I-4x

<2k+12k2+12k2+1

2

將m=4/+2代入，整理得SMPNQ=8^/2.

綜上，四邊形MPNQ的積為定值，且為8啦.

【點(diǎn)睛】

關(guān)點(diǎn)點(diǎn)睛：

（1）應(yīng)用兩點(diǎn)斜率公式、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求心E^BE，理.而關(guān)于橢圓參數(shù)的代數(shù)式，結(jié)合

已知條件列方程求參數(shù)，寫出橢圓方程；

（2）利用橢圓的對稱性，由直線與橢圓的位置關(guān)系，討論直線斜率的存在性，結(jié)合直線與橢圓方程及根

與系數(shù)關(guān)系，求四邊形的積并判斷是否為定值.

22

3.（天津?yàn)I海新區(qū)?三月考）已知橢圓C:=+與=1（?！?>0）過點(diǎn)P（2,l）,耳、工分別為橢圓。的

ab

左、右焦點(diǎn)，且麗?用=-1.

（1）求橢圓c的方程；

（2）過P點(diǎn)的直線乙與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn)，直線乙平行于OP（。為原點(diǎn)），且與橢圓。交于

4、8兩點(diǎn)，與直線x=2交于點(diǎn)M■介于/、8兩點(diǎn)之）.

（z）當(dāng)APAB積最大時，求4的方程；

3）求證：

【答案】（1）土+匕=1；（2）⑴y=-x-y[2-Qi）證明見解析.

822

【分析】

（1）根據(jù)條件求出力，即可寫出橢圓方程；

（2）（/）設(shè)直線4的方程為>=；%+/，聯(lián)立橢圓方程，表示出RPAB，可求出S"AB最大時?的值，即

可得出/2的方程；

\PA\\PB\

（ii）要證明結(jié)論，只證明三￡=片￡，即證直線x=2為NAPB的平分線，轉(zhuǎn)化成證明：

|MA||MB|

kpA+kpB=0.

【詳解】

(1)設(shè)耳(—c,0),乙(。,0),則尸耳二(—c—2,—1),PF2=(C-2-1),

■:PF、，PF?=—c2+4+1=—1,/.c-V6,

41

又尸(2,1)在橢圓上，故+=1,

ab

又“2=+6,解得〃2=8,b?=2,

22

故所求橢圓C的方程為—+^=1.

82

(2)(z)由于左OP=L,設(shè)6的方程為丁+Axy

22

1

y=—x+t

-2

由＜消去y整理得/+2a+2產(chǎn)一4=0,

22

%.丁-i

I--8-----1----2---—1

Xj+x2=-It

由達(dá)定理可得:<XjX2=2/-4

△=—蟲―4)〉O=〃<4

則|AB|=

當(dāng)且僅當(dāng)4—/=/，即〃=2時，等號成立.

又M介于A、8兩點(diǎn)之，故/=-J5.

故直線AB的方程為：y=；x—垃.

\PA\\PB\

⑺要證結(jié)論成立,只證明而

\MB\

由角平分線性質(zhì)即證：直線x=2為NAPB的平分線,

轉(zhuǎn)化成證明：kPA+kPB=0.

由于PA

$一2%—2

(%1-2)(x2-2)

_再々+（/-2）（再+%2）—4?-1）_2t2-4-2?（?-2）-4（r-l）_-4+4?-4?+4

（%；-2）（x2-2）（X[-2）（%2-2）（%1-2）（x2-2）

因此結(jié)論成立.

【點(diǎn)睛】

本考查橢圓方程的求法，考查弦公式，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查橢圓中三角形積利用基本不

等式求最值，考查了學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算能力，屬于.

22

4.（山東泰安市?三月考）已知橢圓C：?+g=l（a>b>0）過點(diǎn)P（2,l）,耳,鳥分別為橢圓C的

左、右焦點(diǎn)且兩?理=-1.

（1）求橢圓C的方程;

（2）過尸點(diǎn)的直線4與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn)，直線4平行于OP（。為原點(diǎn)），且與橢圓C交于兩

點(diǎn)/、B,與直線x=2交于點(diǎn)Af（M介于4、B兩點(diǎn)之）.

（力當(dāng)△PA5積最大時，求，2的方程;

5）求證：|「/伙例=|「訓(xùn)肱4|,并判斷/1，/2，PA,P3的斜率是否可以按某種序構(gòu)成等比數(shù)列.

221

【答案】（1）土+匕=1；（2）⑴y=-x+y/2；Qi）證明見解析，不可能構(gòu)成等比數(shù)列.

822

【分析】

（1）設(shè)月（-60）,工（c,0）.求出兩，班的坐標(biāo)，根據(jù)理.可［=—1,求出c.把點(diǎn)P（2,l）代入橢

圓方程，結(jié)合a=b+c，求出。,b,即得橢圓C的方程；

⑵（i）設(shè)4方程為＞=g%+/，A（Xi，%），5（%，%）?把直線4的方程代入橢圓方程，由達(dá)定理、

弦公式求出|AB|.由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)尸到/的距離d,則S=-\AB\d,根據(jù)基本不等

式求積的最大值，即求4的方程；（而）要證結(jié)論成立，只證明三三=三S，即證直線1=2為

ZAPB的平分線，轉(zhuǎn)化成證明kPA+kPB=0.

又4與c有一個公共點(diǎn)，即4為橢圓的切線，可求&=yL=2=—L又見=；.由意—L：，

kpA，-4以四個數(shù)按某種序成等比數(shù)列，推出矛盾，故不可能構(gòu)成等比數(shù)列.

【詳解】

⑴設(shè)耳（-c,0）,工（c,0）,

則麗i=（_c_2,_l）,PF2=（c-2,-l）.

?.?兩尾=-。2+4+1=一1,；.c=娓.

又尸（2,1）在橢圓上，故E+7T=1,

ab

又a?=/+$,解得/=8,b?=2，

22

故所求方程為工+匕=1.

82

（2）（z）由于左op=g,

設(shè)，2方程為y=gx+%，人（％1，，2），區(qū)（%2，%）.

1

y=—x+t

2

由＜消整理得必+

22y2a+2/—4=0,

%J-1

[82

芯+%2=-2%

再%2=2/一4

A=—4（2_4）〉0n2<4

當(dāng)且僅當(dāng)4—/=/，2/=4,即/=2時，等號成立.

故直線月8的方程為：y=-x±V2.

2

\PA\\PB\_

（ii）要證結(jié)論成立，只證明：而

\MB\

由角平分線性質(zhì)即證：直線x=2為NAPB的平分線,

轉(zhuǎn)化成證明：kPA+kPB=0.

71Vl—1必一1

因?yàn)樽?+kpB——~

再_2x2-2

[]尤1+,_1（尤2-2）+Qx2+^-1（尤1-2）

（%1-2）（々-2）

玉，2+('—2)(玉+%2)—4(，-1)

(x；-2)(x2-2)

_2t2-4-2f?-2)-4(/-1)——4+4/-由+4

(%-2)(%-2)(%1—2)(%2-2)

因此結(jié)論成立.

又/與。有一個公共點(diǎn)，即/為橢圓的切線，

221

由工+匕=1得/=2-工/

824

令x>0,y>0,

_￡

Ii,-2%~x

則y=2'/,y=/=

V42^17J32.4-

所以了壺=—g，所以勺=—]

故所研究的4條直線的斜率分別為-工，kpA，-kPA,

若這四個數(shù)成等比數(shù)列，且其公比記為q,

則應(yīng)有q=T或/=—1,或/=—i.

因?yàn)?=一1不成立，所以q=T,

而當(dāng)q=-1時，左PA=；，kPB=>

此時直線P8與4重合，不合意，

故/-4,PA,P8的斜率無論怎樣排序都不可能構(gòu)成等比數(shù)列.

【點(diǎn)睛】

本考查橢圓的方程，考查弦公式、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式和等比數(shù)列等知識，考查學(xué)生的

邏輯推理能力和運(yùn)算能力，綜合性強(qiáng)，屬于.

22

5.（浙江紹興市?三一模）已知拋物線6：必=4'和橢圓。2：、+（=1如圖，經(jīng)過拋物線G焦點(diǎn)產(chǎn)

的直線/分別交拋物線G和橢圓于/,B,C,。四點(diǎn)，拋物線G在點(diǎn)/，8處的切線交于點(diǎn)尸.

y

(i)求點(diǎn)P的縱坐標(biāo);

(2)設(shè)M為線段A3的中點(diǎn)，PM交G于點(diǎn)。，3。交AP于點(diǎn)？.記口TC。仙Q3P的積分別為

品52.

(i)求證：。為線段的中點(diǎn);

S.8

(ii)若寸=7，求直線/的方程.

)2'

【答案】(1)-1；(2)(i)證明見解析；(ii)y=x+l或y=—x+1.

【分析】

(1)假設(shè)點(diǎn)A3坐標(biāo)并得到直線/的方程，同時得到點(diǎn)2處的切線方程，然后得到點(diǎn)尸的坐標(biāo)，根據(jù)

直線/與拋物線聯(lián)立方程，使用達(dá)定理可知結(jié)果.

2

(2)(i)得到的坐標(biāo)，然后根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得結(jié)果；(ii)依據(jù)S/AB=§SRB，得到

8\CD\....

A了扃，然后利用弦公式計(jì)算最后根據(jù)等式進(jìn)行計(jì)算即可.

S?

【詳解】

(Qc

(1)解:設(shè)點(diǎn)A再，才,Bx2，直線/的方程為丁=履+1.

(4J

2

x2=4y=>y=—=>yr=—>可知拋物線在點(diǎn)8處的切線的斜率分別為‘■，土

4222

22

拋物線。在點(diǎn)/,8處的切線方程分別為y=2x-2產(chǎn)=迤％-

2424

聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

y~kX+i,得7-4區(qū)-4=0,A,=16(Zr2+l)>0,

由＜

[x=4y

所以西+々=4瓦=-4,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2左，一1）,

即點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為1

（2）（i）證明：由⑴得P（2h—1）,M（2左,2左2+1）,。（2人/2）,

因?yàn)?2左2+1)+(—1)=2左2,

所以，點(diǎn)。是線段RW的中點(diǎn).

（ii）解：因?yàn)?。分別為線段ABPM的中點(diǎn)，所以

2113

所以STAB=]S—PAB，所以邑=QBP=5SQMBP=ZS|3PAB=&^UTAB，

Si_STD_8S^TCD_8CD\

所以S23s3S/AB3AB\

8

設(shè)點(diǎn)C。的橫坐標(biāo)分別為W，所，

\y=kx,+\

由〈得(4左2+3)x?+8H—8=0,42=96(2左2+1)>0,

崗1+■)廳―012=0

b?8k8

所以『"一EX"E'

所以?再0F=4指?巨膽曰

由⑴得|A@=J1+左2.,(再+%)2_4再尤2=4('+11

S]_8CD\_876以2+1

所以，同=§.布=亍.(4公+3)病+]

2x+l-16f—20x-5

設(shè)/(%)=(SO),則/'(%)=<0,

(4x+3)2(x+1)(4x+3)3(x+1)2

所以/(%)在［0,+8)上單調(diào)遞減.

因?yàn)橹?⑹斗所以/(X)=5占，所以左2=1,即八±1,

經(jīng)檢，符合條件，所以直線/的方程為＞=x+l或y=-x+1.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：第(1)，①假設(shè)直線/的方程并與拋物線方程聯(lián)立，使用達(dá)定理；②得到在A,B處切線

S8CD\

方程并聯(lián)立得到點(diǎn)P坐標(biāo)；③計(jì)算即可.第(2),①得到積的比值”=三丹；②利用弦公式

S23AB\

得到③計(jì)算得到女.

6.(江蘇鹽城市?三二模)已知直線/：y=x+加交拋物線

(1)設(shè)直線/與x軸的交點(diǎn)為T.若有=2歷，求實(shí)數(shù)小的值;

(2)若點(diǎn)M,N在拋物線C上，且關(guān)于直線/對稱，求證：四點(diǎn)共圓.

【答案】(1)機(jī)=一8；(2)證明見解析.

【分析】

(1)設(shè)A(XI，%),B(X2，%)，直線方程代入拋物線方程后由判別式得根的范圍，由達(dá)定理得

再由向量的數(shù)乘可得%+2%=0,結(jié)合達(dá)定理可得%,%,機(jī)值;

(2)設(shè)/(%,%)，"(5,%)，由對稱性得”=一4-%,x4=-4-2m-x3.再由M,N在拋物線上，代入

變形得力與機(jī)的關(guān)系，然后計(jì)算應(yīng)5.麗，得

同理NALNB,得證四點(diǎn)共圓.

【詳解】

y=x+m。

解：由＜得y—4y+4m=0.

[y?=4%

設(shè)Aa，%),*%,%)，

則%+%=4,%%=4加.

因?yàn)橹本€/與C相交,

所以A=16-16加>0,

得m<1.

（1）由才了=2TB，得X+2%=0，

所以4+%=0,解得％=一4,

從而％=8,

因?yàn)楸貫?4加，

所以4m=-32,解得機(jī)=-8.

（2）設(shè)〃（七,丁3）川（》4。4），

因?yàn)镸,N兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x+m對稱，

=4=1

22

則迎一退y4y3%+為

44

解得乂二-4-%.

又&±%=皿+加

22

于是土&±叢=土乜+機(jī)

22

解得》4=-4-2"-%3.

又點(diǎn)N在拋物線上，

于是（-4-%）2=4（-4-2加-%）.

2

因?yàn)閥3=4x3,

2

所以y3+4y3+16+47n=0,

于是庇?礪=（再-退）（馬-九3計(jì)（X-%）（%一%）

2222

=%-?（牛-%）（%-%）

="%處F[（x-%）（%-%）+16]

"%）[弘＞2+%（乂+%）+^+16]

lo

因此

同理M41,NB

于是點(diǎn)M,N在以AB為直徑的圓上，

即A,5,M,N四點(diǎn)共圓.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本考查直線與拋物線相交，解方法是設(shè)而不求的思想方法，如設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為

4（和乂）,8（%,%）,直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用達(dá)定理可得%+%,%%，再利用向量的線性運(yùn)

算求得M，%關(guān)系，從而可求得%，為，機(jī)值.

7.（內(nèi)蒙古赤峰市?三月考（理））已知橢圓￡:[+，=l（a〉b〉0）的離心率為半，且過點(diǎn)

（V3,l）.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過橢圓E右焦點(diǎn)的直線h4相互垂直，且分別交橢圓E于48和C、。四點(diǎn)，求|4卻+|。。|的最

小值.

22

【答案】（1）土+匕=1；（2）276.

62

【分析】

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為W+/=l,將點(diǎn)（6,1）代入方程，由5=9,結(jié)合a2=〃+c2即可求解.

（2）當(dāng)直線4的斜率為0時，分別求出|A創(chuàng)，|8|,可得|AB|+|CZ）|；當(dāng)直線4的斜率不存在時，求出

\AB\+\CD\；當(dāng)直線4的斜率存在且不為。時，直線4的方程可設(shè)為％=切+2（m。0）,可得直線4的方

程為工=-1丁+2,分別將直線與橢圓聯(lián)立，利用弦公式求出|。必，可得

m

2

8mlm2+1,2

\AB\+\CD\=，令加？+1=八構(gòu)造函數(shù)g（f）=3/；由4即可求解.

3m+10m2+3

【詳解】

解：（1）由意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+二1

a

V6cV6

由e即

再由/=/+，

可得a=6b①

將點(diǎn)（G』）代入橢圓方程，可得/+3=i②

由①②可解得=J5

故橢圓的方程為三+上=1

62

（2）由（2）知，橢圓右焦點(diǎn)為（2,0）,

設(shè)A（%，%）,8（%2，%），。（%3，%），。（X4，%）

當(dāng)直線4的斜率為。時，|A用=2。=2指，直線，2：X=2,可得g力=平

876

所以|AB|+|CD|=2#+=

亍

當(dāng)直線4的斜率不存在時，直線人的斜率為o,|A@+|cq=乎

當(dāng)直線人的斜率存在且不為0時，直線k的方程可設(shè)為x=my+2（m^0）,

則直線，2的方程為工=—，y+2

m

[22

二+匕=]

?.<62整理得（加2+3）y2+4m>-2=0

x=my+2

A=16加2+8（加之+3）>0恒成立,

4m

%+%=_

m2+3

則＜

2

%%=一

m~+3

而=Vl+m2=Vl+m2+%『—4%%

2

/—f7M2+1療+1'8V6(m+l

則|AB|十|CD|=^m2+3+3m2+l

73m4+10m2+3

令療+i=f

d_1_1

令gU尸3r+4"4=44=~(2~V~

V+7+3-H+4

所以|AB|+|CD|e276,—,

L3,

綜上"AB|+|CD|e2瓜崢

當(dāng)相2=1時，|AB|+|CD|的最小值為2的.

【點(diǎn)睛】

關(guān)點(diǎn)點(diǎn)睛：本考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，弦公式，解的關(guān)是利用弦公式以及達(dá)定理得

中86(療+1)一老杳了物-—管”后辦.H?八咕田相

出|八§||1。刈=、______-_,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算以及分類討論的思想.

11113m4+10/7?2+3

8.(全國大聯(lián)考(理))已知拋物線C：/=2px(p〉0)的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)歹且垂直于X軸的直線與C交

于A,3兩點(diǎn)，[]A03(點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn))的積為2.

(1)求拋物線C的方程；

()()的傾斜角互補(bǔ)，直線4與拋物線C交于”,N兩點(diǎn)，直線4與

拋物線C交于P,Q兩點(diǎn)，口FMN與△尸尸。的積相等，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)/=4%；(2)(0,l)U(l,V2).

【分析】

(1)由焦點(diǎn)/1?l，。],求得點(diǎn)A3的坐標(biāo)，然后根據(jù)DAOB的積為2求解；

(2)設(shè)直線/]：x=/(y-a),聯(lián)立方程可得「結(jié)合達(dá)定理，利用弦公式求得MN,以

x=tyy-a)

及焦點(diǎn)/到直線4的距離，求得S：FMN，將f用T替換，得到S：FP2，由力,=SAFP。，可得f與。的關(guān)

系，然后再結(jié)合判別式大于求解.

【詳解】

(1)因?yàn)榻裹c(diǎn)歹已o],所以點(diǎn)43的坐標(biāo)分別為，,“，，，-p)

所以S^°B=：2P￡=2,故°=2.

故拋物線C的方程為：/=4x.

(2)由意可知直線4的斜率存在，且不為o,設(shè)直線乙：x=/(y-。).

點(diǎn)Ng%).

y2=4x,

聯(lián)立方程可得</消去了,可得好―4k+4G=0.

x=tyy-av)

則A[=16t2-16at>0.

因?yàn)镸+%=4,X%=4G,

所以|=Jl+/卜i—=Jl+/J16(/2—=4，1+1?~~at,

11+^1

焦點(diǎn)尸到直線k的距離d=，

2

所以S^FMN=7x4，1+/J/一或xI!=2yJt—at11+以|.

2，1+產(chǎn)

A=16t+16at>0,

將，用T替換，可得S“p0=2獷嬴憶―1|

由S△尸皿=§△尸PQ可得2-at|1+tc^—2J/+at^tci—1|，

即上g=絲乙，兩邊平方并化簡可得/=」^,

\t-ata-12-a

所以2—〃〉0，解得0＜q＜血.

又由4＞。且4＞。得，＜一?；?＞。，可知產(chǎn)〉片，

所以」方＞/,即/I）所以awl,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（O」）U（1,0）.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：（1）解決直線與曲線的位置關(guān)系的相關(guān)，往往先把直線方程與曲線方程聯(lián)立，消元、化

簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān).涉及弦中點(diǎn)的常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會

更簡單.

（2）解決直線與曲線的弦時，往往設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為N（xi,刃），8（X2,y2）,

則\AB\=J（l+左2）［包+々）2-=J（1+：T）］（X+—4%.為］也為直線斜率）.

注意：利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式大于.

22

9.（江西八校4月聯(lián)考（理））已知橢圓E：0+方=1（。＞/,〉0）.左焦點(diǎn)E（TO）,點(diǎn)"（0,2）在

橢圓E外部，點(diǎn)N為橢圓E上一動點(diǎn)，且口凡〃尸的周最大值為2百+4.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)點(diǎn)8、C為橢圓E上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，A為左點(diǎn)，若直線A3、AC分別與》軸交于尸、。

兩點(diǎn)，試判斷以PQ為直徑的圓是否過定點(diǎn).如果是請求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不過定點(diǎn)，請說明理由.

22

【答案】(1)3+專=1；(2)是，定點(diǎn)為(6,0)和卜6,0).

【分析】

(1)口尸的三邊有一邊已經(jīng)確定，轉(zhuǎn)化為，何時另外兩邊之和最大，結(jié)合橢圓的定義，以及三角

形兩邊之差小于第三邊即可確定思路；

(2)分直線3c斜率存在與不存在分別研究，不存在容易得出定點(diǎn)，存在時，可以設(shè)出斜率左，再聯(lián)立橢

圓方程，求出P,Q坐標(biāo)，最后求出以尸。為直徑的圓的方程，方程里含有3再令0即可.

【詳解】

(1)設(shè)右焦點(diǎn)為耳，則閨+2?=百=產(chǎn)町|

.■.(|W|+|A^F|)max=4+275-75=4+V5

xv|2VF|=2。-四|

\MN\+1N用=|MNI-1Nf；I+2a<\MFt\+2a

即N點(diǎn)為“可與橢圓的交點(diǎn)時，周最大

,/\MF^=A/5,所以2a+A/5=4+y[5=>a=2,c=1

b=y/a2—c2=A/3

22

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+匕=1

43

⑵由⑴知A(-2,0),設(shè)8(%,%),則C(-%,-%)

當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)其方程為丁=履

y=kx

12

聯(lián)立口匚戶9;MF

[43

設(shè)尸。中點(diǎn)為S,則s

所以以PQ為直徑的圓得方程為

即尤2+y2+_y_3=0

k

令y=o,得了=土也

所以過點(diǎn)(6,0)和卜6,0),且為定點(diǎn).

當(dāng)直線BC斜率不存在時，容易知道5(0,5,C(o,-V3)

此時P(0,石),Q(0,—石)

所以以PQ為直徑的圓是以原點(diǎn)為圓心，石為半徑的圓，顯然也過定點(diǎn)(6,0)和卜6,0)

綜上，此圓過定點(diǎn)（G,o）和卜6,0）

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：對于過定點(diǎn)的，可以先通過特殊情況得到定點(diǎn)，再去證明一般得情況.

22

10.（天津南開區(qū)?三一模）已知橢圓T+與=l（a〉b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,右點(diǎn)為點(diǎn)

ab~

A,點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,4），延線段1交橢圓于點(diǎn)M,MB，》軸.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)拋物線丁=彳笈的焦點(diǎn)為b，8為拋物線上一點(diǎn)，忸同=《。，直線W交橢圓于尸，。兩

42

點(diǎn)，若|AP「9+|AQ『9=歹，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

22

n%?y7

【答案】（1）（2）504126

2-----------

3131

【分析】

⑴由意可得E為耳M的中點(diǎn)，從而有閨閭=2|OE|=g,則有之=《，得：=（，進(jìn)而可求出橢

圓的離心率；

（2）由拋物線的定義可得/=?人，從而可求得點(diǎn)3（亞b,四或3（亞瓦-約5與，當(dāng)

8（孝5,苧時，可得直線3斤的方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去％,再利用根與系數(shù)的關(guān)系得

y+%=—X5瓦%為=—§/，從而把|AP「+|AQ「表示出來，列方程得求出

515133

b-=—,進(jìn)而可求出橢圓的方程

31

【詳解】

解：（1）由意得在△耳8M中有4耳心,OE，耳耳，

因?yàn)椤槠闹悬c(diǎn)，則E為耳”的中點(diǎn),

（hh

因?yàn)镋的坐標(biāo)為Oq,所以|。目="寓M|=2|O同=5,

b2

令兀=。，得y=±_,

a

h1bh1

則意得y”〉o,所以幺=2,得一=:

設(shè)2（國,％）,。（尤2，%），

因?yàn)殁疃跃?=1~人，代入中得，y=±12后8,

3335

12小匕

當(dāng)3（亞瓦坦6。）時，kBF—=與,則直線8斤的方程為x=^y+［。,

55——萬一

5

A1丫22

因?yàn)橐?=，所以。=26，則橢圓方程為二+與=1,即/+4丫2=4〃，

a24/72h2

x2+4/=4b-

-2424,64"c

由＜26，得彳y2+-=by--b-=O,

x=-j=y-\--b55,7525

貝UM+%=-豐"，

212212412368,

所以尤1+%=而（/+%）+二匕=一1＞+二》=2。,再々=1%%+法（%+%））+石9＞，

所以|AP「+|AQ-=（七一2?2+y：+（9—26）2+

二/2+yj+X，+y2_4Z?（X1+x0）+Sb

22-2

=（玉+x2）+（%+y2）-2xrx2-2%%4b（x1+x2）+8b

1,16,16,3142

=4b92+-b2——b2+—b2-4b-2b+Sb92=—b92=—,

5515155

得八M

當(dāng)3（日瓦—今5。）時，同理可得從=號,

…,21262504

綜上，b=---，a=4b=----,

3131

3131

【點(diǎn)睛】關(guān)點(diǎn)點(diǎn)睛：此考查拋物線的定義的應(yīng)用，考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)

系，解的關(guān)是由已知條件求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出直線BF的方程，再與橢圓方程聯(lián)立方程組，然后利

用根與系數(shù)的關(guān)系，再由+|AQ『=日列方程求出126

力，屬于較

22

11.（四川成都市?三二模（文））已知橢圓C：.+%=i（a>b>0）經(jīng)過點(diǎn),其半軸

為2.

（1）求橢圓。的方程;

（II）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)8（-1,0）的直線/與橢圓C相交于。，E兩點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于％軸的對稱點(diǎn)為歹，直線。尸與

x軸相交于點(diǎn)G,求DBEG與DBDG的積分別為加，邑，求應(yīng)-S?1的最大值.

r23

【答案】(I)---1-2=1;(II)—.

44

【分析】

（I）由軸知〃=2,結(jié)合橢圓過/點(diǎn)，求