高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：立體幾何（新高考專用）含答案及解析

專題09立體幾何

題型一：斜二測求算面積及周長義易錯點：對斜二測法規(guī)則掌握不牢

跡二：點、線、面之間的關(guān)系0、易錯點：空間點、線、面位置關(guān)系不清

題型三：異面直線成角問題又易錯點：忽略異面直線的夾角與向量的夾角范圍不同

題型四：求線面角0、易錯點：線面角與向量夾角轉(zhuǎn)化不清等問題

題型五:求二面角白、易錯點：忽略二面角范圍有重新的規(guī)定

易錯點一：對斜二測法規(guī)則掌握不牢(斜二測求算面積及周長)

水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法

用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟

空間幾何體直觀圖的畫法

立體圖形直觀圖的畫法步驟

(1)畫軸：與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個二軸，直觀圖中與之對應(yīng)的是Z軸.

(2)畫底面：平面x'0'y'表示水平平面,平面y'0'z'和V。力表示豎直平面,按照平面圖形的畫法，

畫底面的直觀圖.

(3)畫側(cè)棱：已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變.

(4)成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線.

易錯提醒：①建立坐標(biāo)系；②“位置規(guī)則”一與坐標(biāo)軸的平行的線段平行關(guān)系不變；③“長度規(guī)則”一圖形

中平行于X軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度減為原來的一半.

三9

例.如圖矩形O'ABC是水平放置的一個平面四邊形0A8C的直觀圖，其中。0=3,O'C'=1,

(1)判斷平面四邊形OA8C的形狀并求周長;

(2)若該四邊形0A2C以為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積.

變形1.如圖，梯形是一水平放置的平面圖形ABC。在斜二測畫法下的直觀圖.若平行于y軸,

9

4月〃CXDX,\B}=jGR=2,AR=1,求梯形ABCD的面積.

變形2.如圖所示，正方形ON'3'C'是一個水平放置的平面圖形0A8C的直觀圖，其中O'A'=2.

(1)求原圖形的面積；

⑵將原圖形以0A所在的直線為軸,旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體,求該幾何體的表面積與體積.(注：圖形OABC

與正方形O'AB'C'的各點分別一對應(yīng)，如0B對應(yīng)直觀圖中的0B)

變形3.(1)如圖，夕C是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，將其恢復(fù)成原圖形；

(2)在⑴中若|AC[=2,8T>7/y軸且怛必=1.5,求原平面圖形"BC的面積.

1.如圖，AA'3'C'是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖,

⑵若AC“的面積是冬求原圖形中AC邊上的高和原圖形的面積.

2.畫出圖中水平放置的四邊形ABCD的直觀圖AB'C'O',并求出直觀圖中三角形8也。?的面積.

3.用斜二測畫法畫一個水平放管的平面圖，其直觀圖如圖所示，已知A'3'=3,BC'=1,A'Z)'=3,且

AD'//B'C.

(1)求原平面圖形ABCD的面積；

(2)將原平面圖形ABCD繞BC旋轉(zhuǎn)一周，求所形成的幾何體的表面積和體積.

4.如圖所示，正方形O'A'B'C是一個水平放置的平面圖形Q4BC的直觀圖，其中04=1.

(1)求原圖形的面積；

(2)將原圖形以Q4所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，求該幾何體的表面積與體積.(注：圖形Q4BC

與正方形O'AB'C'的各點分別對應(yīng)，如OB對應(yīng)直觀圖中的O?)

9

5.用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示，已知AB'=5,B'C'=2,AD='且

AD//B'C.

(1)求原平面圖形ABCD的面積；

(2)將原平面圖形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周，求所形成的幾何體的體積.

6.用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖，如圖所示.已知A?=4,==且A。

(1)在平面直角坐標(biāo)系中作出原平面圖形ABCZ)并求面積；

(2)將原平面圖形ABCD繞BC旋轉(zhuǎn)一周，求所形成的幾何體的表面積和體積.

7.如圖，梯形O'AB'C是水平放置的四邊形OABC的斜二測畫法的直觀圖，已知。O'A=2,

(1)在下面給定的表格中畫出四邊形Q4BC(不需寫作圖過程);

(2)若四邊形Q45c以Q4所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個幾何體，說出該幾何體的結(jié)構(gòu)

特征，并求該幾何體的體積.

8.如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖AB'C'D是邊長為2的菱形，且。。=2,求原平面圖形的周

9.如圖所示，O'43'C'為四邊形。12C的斜二測直觀圖，其中O'A'=3,O'C'=1,B'C'=1.

(1)畫出四邊形0ABe的平面圖并標(biāo)出邊長，并求平面四邊形0ABe的面積；

(2)若該四邊形048c以0A為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積.

10.如圖，矩形O'AB'C'是用斜二測畫法畫出的水平放置的一個平面四邊形0Ase的直觀圖，其中。4=3,

O'C'=1.

(1)畫出平面四邊形。1SC的平面圖，并計算其面積；

(2)若該四邊形Q4BC以。4為軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積和表面積.

11.在AABC中，角A,B,C所對邊分別為a,6,c,若a?+從+°2=2>/§a6sinC.

(1)證明：AABC為等邊三角形；

(2)若(1)中的等邊AABC邊長為2,試用斜二測法畫出其直觀圖，并求直觀圖面積.

注：只需畫出直觀圖并求面積，不用寫出詳細(xì)的作圖步驟.

易錯點二：空間點、線、面位置關(guān)系不清(點、線、面之間的關(guān)系)

[結(jié)論：）①要證線〃面，條件為3個，其中必有《線?面》

②要證線，面，條件為2個，其中必有《線〃線或面〃面》

③要證線〃線（面〃面），條件為2或3個，其中必有《兩個線，面》

④要證線，線（面，面），條件為2個，其中必有《_!、〃（u）》

⑤要證線，線（面，面），條件為3個，其中必有e〃〃》

線J_面、〃〃

易錯提醒：空間點、線、面位置關(guān)系的組合判斷是考查學(xué)生對空間點、線、面位置關(guān)系判斷和性質(zhì)掌握程

度的重要題型。解決這類問題的基本思路有兩條：一是逐個尋找反例作出否定的判斷，逐個進行邏輯證明

作出肯定的判斷；二是結(jié)合長方體模型或?qū)嶋H空間位置（如教室、課桌、燈管）作出判斷。

三三

例.已知為兩條不同的直線，"為兩個不同的平面，且。，a,bl/3,則下列命題中的假命題是

A.若a1/b,則a〃6B.若。則；J

C.若a,b相交，則a,夕相交D.若a,￡相交，則相交

變式1.在空間中，已知/,加，〃為不同的直線，a,0,/為不同的平面，則下列判斷正確的是（）

A.若m//n,則”//&B.若租_1_<7且加〃分，則

C.若/_1_加，Un,rnua,〃ua,貝D.若。_L〃，,貝!]/?〃/

變式2.已知a,b為兩條不同的直線，a,尸為兩個不同的平面，則（）

①若a_L6Z,bL/3,且a〃4，則a〃匕；

②若a±a,b//P,且a〃/，則._|_6；

③若a//a,b1/3,且則a〃6；

④若a_La,bL/3,且a_L尸，則聯(lián)_L力.

其中真命題的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

變式3.若/，機為兩條不同的直線，a為平面，且〃/c,貝I」a”是（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

三9

1.已知不同直線。，b,不同平面Q,%%下列說法正確的是（）

A.巖aua,bua,a〃B，b〃B,則a〃/?

B.若〃〃〃二/也二，則b尸。

C.若a工/,0工y,ac0=a,貝!Ja_L/

D.若ac]3=a,a1b,bu0,則a_L/7

2.已知6萬為兩個不同的平面，加，2/為三條不同的直線，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）

A.若a工0,1"a,貝心〃尸

B.若/_L〃,/_La,則a//6

C.若/_Lm』_L〃，且/ua,機,〃u/,則a_L4

D,若///根,///〃，且機ua,〃u￡,則a///?

3.設(shè)人〃是兩條不同的直線，①〃是兩個不同的平面，且mua,〃u￡,則下列命題正確的為（）

A.若相〃人〃〃斯則a〃/?；B.若m上0,則。_L/7；

C.若a〃/，則根〃/7,〃〃&；D.若a_L^,則m_L"〃_La.

4.已知/,m,〃為三條不同的直線，。，￡,7為三個不同的平面，則下列說法中正確的有（）

A.若/_La,m±Z,則m//a

B.若二_L7,。工丫,。口尸=/，貝l"，/

C.若a邛，I,加分別與。，，所成的角相等，則〃加

D.若。門夕=/,=/Ia=n,且/口機=「，則/，加，幾交于點P

5.設(shè)/是直線，。，僅是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）

A.若///□,111（3,則a〃/?B.若。，尸，Illa,貝I"，尸

C.若/_La,,則D.若?！??,l_La,則/，分

6.已知專為直線/的方向向量，晨晨分別為平面a,夕的法向量（①〃不重合），那么下列說法中正確的有（）

A.U_L&o///aB.勺_1%0a_L/?

C.nJIn10aliBD.e_L"=/_La

7.已知平面afl平面尸=根，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.存在直線〃u平面。，使得直線“，平面夕

B.存在直線〃u平面a,使得直線Q〃平面夕

C.存在直線。u平面a,直線平面夕，使得直線。，直線〃

D.存在直線〃u平面。，直線bu平面使得直線〃〃直線5

8.設(shè)機，〃是兩條不同的直線，。，夕是兩個不同的平面，則下列說法中正確的有（）

A.若a_L尸，。口尸=加，nLm,則〃_L4

B.若mlla,mlIn,nu0,則a〃尸

C.若m/M,nl/3,mua,則a_L4

D.若m_La,RU0,allp,則相_L〃

9.若機，〃為空間中兩條不同的直線，a,B，/為空間三個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若a_Ly,B]丫，則。〃尸B.若m_La,機///7,則。，尸

C.若mlla,〃_La,則加_L〃D.若all。，mlla,nu/3,則加〃幾

10.加、〃是兩條不同的直線，。、夕是兩個不重合的平面，下列說法正確的是（）

A.加、〃是異面直線，若加//a,mlIp,nila,nllp,則?！ǚ?/p>

B.若a1/3,mlla,則機/〃？

C.若機_L〃，mua,nu0,則a_L尸

D.若加_La,mlIn,nil[3,則a_L4

11.已知孤〃為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列說法中正確的是（）

A.若m/la,nua,貝lj加〃〃B.若mLa,n〃a,則m_L〃

C.若mLa,nLB，al/B,則刃//〃D.若機_L〃,〃_L尸,a_L尸，則m_La

易錯點三：忽略異面直線的夾角與向量的夾角范圍不同（異面直線成角問

題）

避規(guī)方法:）

第一步：將所求直線中的一條用刻度尺進行平移然后與另一條直線銜接出現(xiàn)三角形

第二步：將三角形畫到草稿紙上并利用空間圖求出各邊的長

第三步：利用余弦定理求出待求角

第四步：檢查若求出的角為銳角或直角則即為所求，若求出的角為鈍角則補角即為所求

秒殺：

四面體的任何一組對棱都是異面直線，因此以四面體為載體，把異面直線放在四面體對棱所在的位置,

利用四面體對棱夾角公式處理異面直線角度問題

結(jié)論：（在四中體A—BCD中,若AC與所成的角為。

四面體對棱夾角公式：cose=卜加+3-吐+研

2ACDB

ACDB2ACDB

證明如下:costAC,DB)=產(chǎn)=[

,1MAQDB2AC-DB

=ACDA+ACAB+CABC+CACD=ACAB-ACBC+CACD-CADA

=AC(AB-BC)+G4-^5-ZM)=(AB+BC)(AB-BC)+^5+ZM)-^5-DA)

|(AB2+CD2)-(BC2+ZM2]

所以cos（正函=

2ACDB

易錯提醒：兩異面直線所成角的范圍是（o,g］。兩向量的夾角的范圍是［0,萬］,需要注意兩者的區(qū)別與聯(lián)系.

例.已知正四面體ABC。，M為A3中點，則直線CM與直線8。所成角的余弦值為（）

A2

c?粵D,坦

■321

變式1.如圖，正方形ABCRABM的邊長均為2,動點N在線段43上移動，M,。分別為線段AC中

點，且A/OL平面ABCQ,則當(dāng)NMM9取最大值時，異面直線與尸C所成角的余弦值為（）

AV2A/2n石

A.DR.C.Lf.

4223

變式2.已知三棱錐P—ABC中，PA_L平面A3C,AB=2,AC=2,BC=2肥,PA=3,。為依的中點,

則異面直線AD與尸C所成角的余弦值為（）

變式3.在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD,四邊形ABCD為菱形，PD=AB,ZZMS=600,點E為

PO的中點，則異面直線CE與PB所成角的余弦值為（）

1.在正方體ABC。-中，若點N是棱B⑸上的動點，點M是線段AC（不含線段的端點）上的動

點，則下列說法正確的是（）

A.存在直線MN,使MNHB\CB.異面直線CM與AB所成的角可能為三

JT

C.直線CAf與平面&VD所成的角為HD.平面BMC〃平面C]M4

2.棱長為1的正方體ABCD-4B1CQ1中，若點P為線段A/上的動點（不含端點），則下列結(jié)論錯誤的是

A.平面AQjP，平面A43PB.四面體DL&CP的體積是定值

C.△APR可能是鈍角三角形D.直線D?與所成的角可能為￡

6

如圖在長方體。-。中,

3.ABCA4GAB=AAi=2,AD=4,X是下底面矩形4qGR的中心，設(shè)異面直

線47與。G所成的角為貝盼=（）

4.在正四面體尸-ABC中，棱長為2,且E是棱A3中點，則異面直線PE與3c夾角的余弦值為（）

A.—BB.在C.BD.-且

6633

5.已知正方體A3CO-A耳G2的棱長為1,P是空間中任意一點，則下列說法中錯誤的是（）

A.該正方體外接球的體積為必兀

2

B.若M是棱G2中點，則異面直線AM與cq夾角的余弦值為耳

C.若點尸在線段AQ上運動，則始終有瓦

D.若點尸在線段AQ上運動，則三棱錐。-BPG體積為定值L

6.在直三棱柱ABC-A瓦G中，/8。1=90。，2，￡分別是的中點，BC=CA=CClt則22與A耳所

成角的余弦值是（)

「叵

BA/30D.

-I1510

7.把邊長為應(yīng)的正方形ABCD對角線折起，使得平面與平面C8D所成二面角的大小為120。，則

異面直線與3C所成角的余弦值為（)

11

A.-B.——cD

44-4-1

8.如圖，在棱長為1的正方體中，下列結(jié)論不正確的是（）

A.異面直線AC與BG所成的角為60。

B.直線AB】與平面ABC?所成角為45。

C.二面角A-8的正切值為血

D.四面體R-AB。的外接球的體積為迫兀

2

9.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD,PA=2,底面A3C。為邊長為2的正方形，￡為PO的

中點，則異面直線3。與AE所成的角的余弦值為（）

10.如圖，在正三棱柱ABC-ABC中，若AB=2,34=0,則AG與所成角的大小為（）

11.棱長為2的正方體ABC。-4462中，P是5G中點，則異面直線尸￡＞與A8所成角的余弦值是（）

A.3B.克C.昱D.立

6633

易錯點四：線面角與向量夾角轉(zhuǎn)化不清等問題（求線面角）

線與面的夾角

①定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角.

②范圍：[0,g]

2

③求法：

常規(guī)法：過平面外一點3做8B'_L平面"，交平面。于點3';連接A5',則ZB4笈即為直線鉆與平

RR，h

面。的夾角.接下來在中解三角形.即sinZBABf=—(其中//即點5到面a的距離,

斜線長

可以采用等體積法求〃，斜線長即為線段4?的長度);

.°ABn.<*

向量法：線面角?°$&=51118=何回]8610,51

提示：a是線AB與平面法向量的夾角，。是線AB與平面的夾角

易錯提醒：若直線與平面所成的角為。，直線的方向向量為％,平面的法向量為貝i]sine=|cos<[)>|。

容易出錯的是①誤以為直線的方向向量與平面的法向量所成角就是線面角；②誤以為直線的方向向量與平

面的法向量所成角的余弦就是線面角的正弦，而忘了加絕對值.

三

例.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PZU底面ABCD,￡,尸分別是的

中點.

(1)求證：DE〃平面PFB；

(2)若尸8與平面PCD所成角為30。，PB=2,求二面角P-P3-C的正弦值.

變式L如圖，在四棱錐P-A3CD中，底面A8CD為直角梯形，AD//BC,AD1DC,PA=PD=PB,

BC=DC=^AD=2,E為A￡>的中點，且PE=4.記PE的中點為N,若M在線段8C上(異于5、C兩

點).

⑴若點M是8c中點，證明：〃平面PCD；

⑵若直線MN與平面所成角的正弦值為且，求線段的長.

9

4

變式2.如圖，三棱柱中，M=,AC_L底面ABC,ZACB=90°,AC=AXC.

⑴求點A到平面BCQBi的距離;

⑵若直線AA,與BB｝距離為4,求AB與平面BCCR所成角的正弦值.

變式3.如圖，在四棱錐尸-"CD中，底面ABC。為矩形，ADL平面ABP,AD=2AB=2BP=4,E為

8C的中點.

(1)證明：平面PED_L平面E4D

(2)若點A到平面PED的距離為孚，求直線PA與平面PCD所成角的正弦值.

1.已知三棱錐尸-ABC中，AB，AC,PA，平面ABC,PA=45=3,AC=4,M為JBC中點，過點M分別作平行于

平面的的直線交AC、PC于點E、F.

(1)求直線PM與平面ABC所成的角的正切值;

(2)證明：平面MEF〃平面X4B,并求直線Affi■到平面上鉆的距離.

2.如圖，在體積為26的四棱柱ABCO-A耳GR中，底面A8CD是正方形，^AAC是邊長為2的正三角

⑴求證：平面ACGA，平面2口〃4.

(2)求AC與平面BDDA所成角的正弦值.

3.如圖，已知四棱錐P-ABCD中，B4_L平面ABC。，AB±AD,AD!IBC,PA=AB=AD=2BC=2,E

為PO中點.

(2)求直線CE與平面PAC所成角的正弦值.

4.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD為正方形，PE1,AB,PA±PD,PA=PD,E為AD的中點.

(2)求直線PE和平面PBC所成角的正弦值.

5.如圖，在四棱柱A8CZ)—中，AB=BC=CA=>/3,AD=CD=1,平面A4CU_L平面ABC。,

A4]±AB.

D}

B

(1)求證：A41平面ABC。；

(2)若E為線段BC的中點，直線AE與平面A3CD所成角為45。，求平面也再與平面A4G的夾角的余弦值.

6.如圖，已知&4垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形&WE的對角線交于點EG為S3的中點，

711

ZABC=ZBAD=-,SA=AB=BC=-AD=1.

22

(1)求證：8￡>〃平面AEG；

(2)在線段EG上是否存在一點使得3〃與平面SCD所成角的大小為9■7T?若存在，求出GH的長；若不

6

存在，說明理由.

7.如圖，P是矩形45co所在平面外一點，且P4_L平面ABCD.已知上4=AB=2,3C=1.

(1)求二面角P-3C-O的大?。?/p>

(2)求直線尸8與平面PAC所成角的大小.

8.如圖，在四棱錐尸―ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，^ADC=45°,AD=AC=1,。為AC中點，POL

平面ABC。，PO=2,M為尸。中點.

(1)證明：尸3//平面ACM；

(2)證明：平面尸AC；

(3)求直線AM與平面ABCD所成角的余弦值.

9.如圖，在四棱錐尸一ABCD中，PA±nABCD,ADLCD,AB//CD,PA=AD=CD^1,A5=2,點M

是PB的中點.

(1)證明：PB=2CM；

(2)求直線DM與平面ACM所成的角的正弦值.

10.如圖，在正二棱柱ABC-A耳G中，A4,=3,此二棱柱的體積為66，P為側(cè)棱441上點，且AP=1,

H、G分別為A3、AG的中點.

(1)求此三棱柱的表面積；

(2)求異面直線GH與Pg所成角的大小;

(3)求PC,與平面4414g所成角的大小.

（了解一下）11.如圖，在長方體ABCD-ABiGA中，己知AS=5C=2,M=3.

（1）若點P是棱DA上的中點，求證：AC與3P垂直;

（2）求直線A為與平面ACCW的夾角大小.

易錯點五：忽略二面角范圍有重新的規(guī)定（求二面角）

二面角的求法

法一：定義法

在棱上取點，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，

如圖在二面角夕-/-6的棱上任取一點O,以。為垂足，分別在半平面口和月內(nèi)作垂直于棱的射線。4和

OB,則射線。4和OB所成的角稱為二面角的平面角（當(dāng)然兩條垂線的垂足點可以不相同，那求二面角就

相當(dāng)于求兩條異面直線的夾角即可）.

在面e或面￡內(nèi)找一合適的點A,作于O,過A作于3,則30為斜線的在面尸內(nèi)的

射影，/ABO為二面角a-c-6的平面角.如圖1,具體步驟：

①找點做面的垂線；即過點A,作于O；

②過點（與①中是同一個點）做交線的垂線；即過A作于3,連接30；

③計算：NABO為二面角。-。一夕的平面角，在HA4BO中解三角形.

圖1圖2圖3

法三：射影面積法

凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公

式（cosd=*、^,

如圖2)求出二面角的大小;

3斜3AAsc

法四：向量法二面角的平面角cos3=W帝?e(O，》))

可?性

提示：a是二面角的夾角，具體cos。取正取負(fù)完全用眼神法觀察，二面角不存在鈍角之說.

易錯提醒：若兩個平面的法向量分別為5,b,若兩個平面所成的銳二面角為。，則cose=gs<Z,B〉b

規(guī)定兩個平面所成二面角范圍[o,9O°],則cos。=-|cos<?J>|o

三

例.如圖(1),六邊形ABCDEF是由等腰梯形ADEF和直角梯形A5CD拼接而成，且/BAD=ZADC=90°,

AB=AF=EF=ED=2,AD=CD=4,沿A。進行翻折，得到的圖形如圖(2)所示，且/AEC=90°.

(1)求證：CD_L平面

(2)求二面角C-AE-O的余弦值;

變式1.如圖，在三棱錐尸―ABC中，PAL平面ABC,PA=BC=2,AB=PC=5

(1)求點B到平面PAC的距離；

(2)設(shè)點E為線段尸3的中點，求二面角A-CE-3的正弦值.

變式2.在正方體ABC。-44GA中，設(shè)N分別為棱GA，AA的中點.

(1)證明：CM7/平面比VD；

(2)求二面角A-8D-N的余弦值.

變式3.如圖1,AABC為等邊三角形，邊長為4,區(qū)。分別為8C,AC的中點，以DE為折痕，將△￡>(?_￡折

⑴設(shè)平面的>G與平面2EG的交線為/,證明：平面ABC；

(2)求二面角Q-DE-A的余弦值.

1.如圖所示，在三棱柱ABC-A4G中，側(cè)棱AA1底面ABCABLBC,。為AC的中點.

(1)證明：A用〃平面BCQ；

(2)求二面角Q-BD-C的余弦值.

2.如圖，在四棱錐尸―ABCD中，底面ABC。是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2應(yīng)，ZPAB=60°.

P

⑴證明AD_L平面PAB；

(2)求異面直線PC與AD所成的角的正切值;

(3)求二面角P-BD-A的正切值.

3.如圖，三棱柱ABC-A4G的底面是等邊三角形，AB=AAt=6,ZABBt=60°,D,E,尸分別為2片，

CG,BC的中點.

(1)在線段AA上找一點G,使產(chǎn)G〃平面AQE,并說明理由;

(2)若平面A\BXB±平面ABC,求平面\DE與平面ABC所成二面角的正弦值.

4.如圖，在四棱錐PABCD中，PAJL平面ABCD,四邊形ABCD為菱形，NADC=60。，PA=AD^4,E

為AD的中點.

(1)求證：平面PCE_L平面PAD；

(2)求二面角4-尸。-。的平面角的正弦值.

5.如圖，在圓錐尸。中，48是底面的直徑，且PO=3,AB=4,ZBAC=3(f,■是BC的中點.

p

(1)求證：平面BBC」平面尸ON；

(2)求二面角O-PB-C的余弦值.

6.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為梯形，CD//AB,AB±BC,PA^PD,

BC=CD=PA=PD=1,AB=2,平面PA。J_平面尸3c.

P

-------------

(1)若尸8的中點為N,求證：CN〃平面PAD；

(2)求二面角P-AD-B的正弦值.

7.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,NABC=三,AB=BC=a,/ADC=arccos撞，PAL平面ABCD

25

且24=。.

(1)求直線AD到平面PBC的距離；

(2)求二面角P-CD-A的大?。?/p>

(3)在線段A。上是否存在一點F,使點A到平面PC尸的距離為"a?

3

8.如圖，已知是圓柱下底面圓的直徑，點C是下底面圓周上異于A3的動點，CD,仍是圓柱的兩條

母線.

D

E

⑴求證：ACD_L平面BCZ5E；

(2)若AB=6,3c=3,圓柱的母線長為26，求平面3與平面A3c所成的銳二面角的余弦值.

9.如圖，正方體A8CD-中.

(1)求證：8Q和為異面直線；

(2)求二面角4。-A的大小.

10.如圖,正方形ABCO所在平面與平面四邊形A8EF所在平面互相垂直，A/WE是等腰直角三角形，AB^AE,

FA=FE,NAEF=45°.

(1)求證：￡F工平面BCE；

(2)求二面角尸—3D—A的正切值.

11.如圖，在三棱柱ABC-ABC中，8與，平面ABC,△ABC為正三角形，側(cè)面488出是邊長為2的正方

形，。為BC的中點.

⑴求證：平面A〃G，平面BCC4；

(2)取AB的中點E,連接CE，GE,求二面角C-AB-G的余弦值.

專題09立體幾何

題型一：斜二測求算面積及周長義易錯點：對斜二測法規(guī)則掌握不牢

跡二：點、線、面之間的關(guān)系0、易錯點：空間點、線、面位置關(guān)系不清

題型三：異面直線成角問題又易錯點：忽略異面直線的夾角與向量的夾角范圍不同

題型四：求線面角0、易錯點：線面角與向量夾角轉(zhuǎn)化不清等問題

題型五:求二面角白、易錯點：忽略二面角范圍有重新的規(guī)定

易錯點一：對斜二測法規(guī)則掌握不牢(斜二測求算面積及周長)

水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法

用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟

空間幾何體直觀圖的畫法

立體圖形直觀圖的畫法步驟

(1)畫軸：與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個二軸，直觀圖中與之對應(yīng)的是Z軸.

(2)畫底面：平面x'0'y'表示水平平面,平面y'0'z'和V。力表示豎直平面,按照平面圖形的畫法，

畫底面的直觀圖.

(3)畫側(cè)棱：已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變.

(4)成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線.

易錯提醒：①建立坐標(biāo)系；②“位置規(guī)則”一與坐標(biāo)軸的平行的線段平行關(guān)系不變；③“長度規(guī)則”一圖形

中平行于X軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度減為原來的一半.

例.如圖矩形O'ABC是水平放置的一個平面四邊形0A8C的直觀圖，其中。0=3,O,C=\,

(D判斷平面四邊形OA8C的形狀并求周長;

(2)若該四邊形。42c以為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積.

【解析】(1)將直觀圖還原得口0ABC,如下圖,

A

X

所以0A=3,CC=jF+(20)2=3,

所以平面四邊形。4SC為菱形，其周長為3x43

(2)四邊形Q4BC以Q4為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，得到一個圓柱和兩個一樣的圓錐，M=4”="(20)2-3=24%

="+(2揚2=3

S圓錐惻,S圓柱惻=2%77?=2萬—20?3=12夜;小

所以5表=S圓柱惻+2s圓錐惻=24垃兀.

變形I.如圖，梯形A4GR是一水平放置的平面圖形A3CD在斜二測畫法下的直觀圖.若AA平行于y軸,

2

A用〃GA，A4=]GA=2,42=晨求梯形ABCD的面積.

DxG

【解析】如圖，根據(jù)直觀圖畫法的規(guī)貝人

直觀圖中4。平行于y軸，AR=i，n原圖中AO〃OV,

從而得出ADJ_OC,且AD=2AR=2,

22

直觀圖中44//C|R,4用=§G2=2,今原圖中AB//CD,AB=-CD=2,

即四邊形ABC。上底和下底邊長分別為2,3,高為2,如圖.

故其面積S=gx（2+3）x2=5.

變形2.如圖所示，正方形O'AB'C'是一個水平放置的平面圖形042c的直觀圖，其中O'A=2.

（D求原圖形的面積；

（2）將原圖形以0A所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，求該幾何體的表面積與體積.（注：圖形OABC

與正方形O'AB'C的各點分別一對應(yīng)，如0B對應(yīng)直觀圖中的O'B'）

【解析】（1）原圖形0ABe是個平行四邊形，如下圖所示

底為。4=2,高為03=209=2x2后=4及，

?**S0ABe~OB=8^2；

(2)得到的幾何體是一個組合體，其形狀是圓柱一側(cè)挖去一個圓錐，另一側(cè)有多出一個相同的圓錐,

?；幾彳可體體積V=x2=64萬

,幾何體表面積S=2%x472x2+2x%x4&x44歷+2?=64日

變形3.(1)如圖，AA0。是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，將其恢復(fù)成原圖形；

(2)在⑴中若|AC[=2,8T?7/y軸且忸M=1.5,求原平面圖形及48。的面積.

【解析】(1)畫法：①畫直角坐標(biāo)系尤Oy,在無軸上取。4=(7A,即C4=CA.

②在題圖中，過"作3'O7/y軸，交丁軸于D,在x軸上取0。=。。，過。作軸，并使DB=2DB.

③連接AB,BC,則AABC即為△49。原來的圖形，如圖.

(2)B'Df/ly',：.BD±AC.

又忸m=1.5且HC[=2,

...即=3,|AC|=2.AS^ABC=^\BD\-\AC\=3.

1.如圖，AAB'C是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖,

⑴畫出它的原圖形，

(2)若AC'=2qAaC'的面積是且，求原圖形中AC邊上的高和原圖形的面積.

2

【解析】⑴畫出平面直角坐標(biāo)系彳分，在無軸上取04=0,A',即CA=C'A'，

在圖①中，過作軸，交V軸于DC,在X軸上取0D=0力'，

過點。作Z>3//y軸，并使￡>8=2￡)'3'，

連接AB,BC,則AABC即為AAB'C'原來的圖形，如圖②所示:

(2)由(1)知，原圖形中,比)_LAC于點。，則為原圖形中AC邊上的高，且或)=2377,

在直觀圖中作B'E」A'C于點E',

則AAB'C'的面積S^B.C.=gAC'xB'E'=B'E'=與,

在直角三角形8'E'D中，B'D'=s/2B'E'=—,所以BD=2B，D=&,

2

所以S“ABc=gACx2O=#-

故原圖形中AC邊上的高為后，原圖形的面積為后.

2.畫出圖中水平放置的四邊形ABC。的直觀圖A'B'C'O',并求出直觀圖中三角形8號。?的面積.

【解析】根據(jù)題意，結(jié)合斜二測畫法的規(guī)則，可得水平放置的四邊形ABCD的直觀圖AB'C'D,

如圖所示，則Vf的面積為,…融小常坐

3.用斜二測畫法畫一個水平放管的平面圖，其直觀圖如圖所示，已知A?=3,BC=1,A'D'=3,且

AD'//B'C.

(1)求原平面圖形ABC。的面積；

(2)將原平面圖形ABCD繞BC旋轉(zhuǎn)一周，求所形成的幾何體的表面積和體積.

【解析】(1)還原平面圖形ABCQ,如圖，

因為A'B'=3,BC'=1，AD'=3,且為

所以AB=3,BC=2,AD=6,U.AD//BC,ABJ_AD,

原平面圖形A3。為直角梯形,故“CL四*=⑵

(2)將原平面圖形ABC。繞8c旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是一個圓柱挖去一個圓錐，如圖,

其中圓柱的底面半徑為3,高為6,圓錐的底面半徑為3,高為4,母線長為5,

所以幾何體的表面積為S=7IX3X5+27tx3x6+7rx32=60兀，

幾何體的體積為丫=7IX32X6--TIX32X4=42TL

3

4.如圖所示，正方形O'A'B'C'是一個水平放置的平面圖形OLBC的直觀圖，其中OA=1.

(2)將原圖形以Q4所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，求該幾何體的表面積與體積.(注：圖形。4BC

與正方形O'AZC'的各點分別對應(yīng)，如對應(yīng)直觀圖中的0E)

【解析】(1)原圖形。4fiC是個平行四邊形，如下圖所示，底為。4=1,高為OB=2O'B'=2拒.

S0ABe-OA-OB=lx2\/2=2-\/2.

(2)得到的幾何體是一個組合體，其形狀是圓柱一側(cè)挖去一個圓錐，

另一側(cè)有多出一個相同的圓錐.

,幾何體表面積S=2兀X2夜X1+2無x2夜xJ(2應(yīng)尸+1=16叵it?

幾何體體積V=7ix(20)2x1=8兀.

9

5.用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示，已知A'?=5,B'C'=2,AD=，且

AEf//B'C.

(1)求原平面圖形43a＞的面積；

(2)將原平面圖形ABCD繞AQ旋轉(zhuǎn)一周，求所形成的幾何體的體積.

【解析】(1)將直觀圖復(fù)原為原圖，如圖，作ECLAD,

則NDAB=ZABC=90°,AB=5AD=9,BC=4,

貝[]DE=EC=5,AE=4,

即原圖形ABCD為直角梯形，

故原平面圖形ABCD的面積為S=—4+9x5=6?5.

22

(2)將原平面圖形ABC。繞AD旋轉(zhuǎn)一周，

所形成的幾何體是一個以EC為底面半徑的圓錐和一個以A5為底面半徑的圓柱組成的組合體，

其體積為丫=除錐+%柱=|x7tx52x5+7ix52x4=^y^.

6.用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖，如圖所示.已知AB=4,EC=1,AD=3,且AD

2

//BC.

(1)在平面直角坐標(biāo)系中作出原平面圖形ABCZ)并求面積；

(2)將原平面圖形ABC。繞2C旋轉(zhuǎn)一周，求所形成的幾何體的表面積和體積.

【解析】(1)如圖所示：梯形ABC。為還原的平面圖形，作CELAD交4。于點,

因為AD=5,AB