黑龍江省哈爾濱第九中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)考前最后一卷預(yù)測卷含解析

黑龍江省哈爾濱第九中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)考前最后一卷預(yù)測卷注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，(為常數(shù))，則不等式的解集為（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B．2 C．4 D．33．設(shè)直線過點，且與圓：相切于點，那么（）A． B．3 C． D．14．第七屆世界軍人運動會于2019年10月18日至27日在中國武漢舉行，中國隊以133金64銀42銅位居金牌榜和獎牌榜的首位.運動會期間有甲、乙等五名志愿者被分配到射擊、田徑、籃球、游泳四個運動場地提供服務(wù)，要求每個人都要被派出去提供服務(wù)，且每個場地都要有志愿者服務(wù)，則甲和乙恰好在同一組的概率是（）A． B． C． D．5．一個正三棱柱的正（主）視圖如圖，則該正三棱柱的側(cè)面積是（）A．16 B．12 C．8 D．66．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的體積與圓錐的體積的比值為()A． B． C． D．7．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，.設(shè)在上的最大值為（），且數(shù)列的前項的和為.若對于任意正整數(shù)不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．在中，為邊上的中線，為的中點，且，，則（）A． B． C． D．9．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A．－1 B． C．1 D．10．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．11．2019年某校迎國慶70周年歌詠比賽中，甲乙兩個合唱隊每場比賽得分的莖葉圖如圖所示（以十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉）.若甲隊得分的中位數(shù)是86，乙隊得分的平均數(shù)是88，則（）A．170 B．10 C．172 D．1212．已知，滿足，且的最大值是最小值的4倍，則的值是（）A．4 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)P為有公共焦點的橢圓與雙曲線的一個交點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則______________.14．某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫（單位：℃）依次為8，，，0，2，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_______.15．為了了解一批產(chǎn)品的長度（單位：毫米）情況，現(xiàn)抽取容量為400的樣本進行檢測，如圖是檢測結(jié)果的頻率分布直方圖，根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)，單件產(chǎn)品長度在區(qū)間的一等品，在區(qū)間和的為二等品，其余均為三等品，則樣本中三等品的件數(shù)為__________．16．一次考試后，某班全班50個人數(shù)學(xué)成績的平均分為正數(shù)，若把當(dāng)成一個同學(xué)的分?jǐn)?shù)，與原來的50個分?jǐn)?shù)一起，算出這51個分?jǐn)?shù)的平均值為，則_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，，，，，是棱中點.（1）已知點在棱上，且平面平面，試確定點的位置并說明理由；（2）設(shè)點是線段上的動點，當(dāng)點在何處時，直線與平面所成角最大？并求最大角的正弦值.18．（12分）已知數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．19．（12分）傳染病的流行必須具備的三個基本環(huán)節(jié)是：傳染源、傳播途徑和人群易感性.三個環(huán)節(jié)必須同時存在，方能構(gòu)成傳染病流行.呼吸道飛沫和密切接觸傳播是新冠狀病毒的主要傳播途徑，為了有效防控新冠狀病毒的流行，人們出行都應(yīng)該佩戴口罩.某地區(qū)已經(jīng)出現(xiàn)了新冠狀病毒的感染病人，為了掌握該地區(qū)居民的防控意識和防控情況，用分層抽樣的方法從全體居民中抽出一個容量為100的樣本，統(tǒng)計樣本中每個人出行是否會佩戴口罩的情況，得到下面列聯(lián)表：戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020（1）能否有的把握認(rèn)為是否會佩戴口罩出行的行為與年齡有關(guān)？（2）用樣本估計總體，若從該地區(qū)出行不戴口罩的居民中隨機抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82820．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，判斷在上的單調(diào)性并加以證明；（2）若，，求的取值范圍.21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，點為線段上的點，過三點的平面與交于點.將①，②，③中的兩個補充到已知條件中，解答下列問題：（1）求平面將四棱錐分成兩部分的體積比；（2）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）市民小張計劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.①等額本金：每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；②等額本息：每個月的還款額均相同.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當(dāng)天開始首次還款（若2019年7月7日貸款到賬，則2019年8月7日首次還款）.已知小張該筆貸款年限為20年，月利率為0.004.（1）若小張采取等額本金的還款方式，現(xiàn)已得知第一個還款月應(yīng)還4900元，最后一個還款月應(yīng)還2510元，試計算小張該筆貸款的總利息；（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規(guī)定，每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半，已知小張家庭平均月收入為1萬元，判斷小張該筆貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）；（3）對比兩種還款方式，從經(jīng)濟利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇哪種還款方式.參考數(shù)據(jù)：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由可得，所以，由為定義在上的奇函數(shù)結(jié)合增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，可知在上單調(diào)遞增，注意到，再利用函數(shù)單調(diào)性即可解決.【詳解】因為在上是奇函數(shù).所以，解得，所以當(dāng)時，，且時，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因為，故有，解得.故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的靈活運用能力，是一道中檔題.2、A【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出，再由模的定義計算出模．【詳解】．故選：A．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法法則，考查復(fù)數(shù)模的運算，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解析】

過點的直線與圓：相切于點，可得.因此，即可得出.【詳解】由圓：配方為，，半徑.∵過點的直線與圓：相切于點，∴；∴；故選：B.【點睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的計算，考查圓的方程，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

根據(jù)題意，五人分成四組，先求出兩人組成一組的所有可能的分組種數(shù)，再將甲乙組成一組的情況，即可求出概率.【詳解】五人分成四組，先選出兩人組成一組，剩下的人各自成一組，所有可能的分組共有種，甲和乙分在同一組，則其余三人各自成一組，只有一種分法，與場地?zé)o關(guān)，故甲和乙恰好在同一組的概率是.故選：A.【點睛】本題考查組合的應(yīng)用和概率的計算，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

根據(jù)正三棱柱的主視圖，以及長度，可知該幾何體的底面正三角形的邊長，然后根據(jù)矩形的面積公式，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：該幾何體的底面正三角形的邊長為2所以該正三棱柱的三個側(cè)面均為邊長為2的正方形，所以該正三棱柱的側(cè)面積為故選：B【點睛】本題考查正三棱柱側(cè)面積的計算以及三視圖的認(rèn)識，關(guān)鍵在于求得底面正三角形的邊長，掌握一些常見的幾何體的三視圖，比如：三棱錐，圓錐，圓柱等，屬基礎(chǔ)題.6、B【解析】

計算求半徑為，再計算球體積和圓錐體積，計算得到答案.【詳解】如圖所示：設(shè)球半徑為，則，解得.故求體積為：，圓錐的體積：，故.故選：.【點睛】本題考查了圓錐，球體積，圓錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.7、C【解析】

由已知先求出，即，進一步可得，再將所求問題轉(zhuǎn)化為對于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，只需找到數(shù)列的最大值即可.【詳解】當(dāng)時，則，，所以，，顯然當(dāng)時，，故，，若對于任意正整數(shù)不等式恒成立，即對于任意正整數(shù)恒成立，即對于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，，令，解得，令，解得，考慮到，故有當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，有單調(diào)遞減，故數(shù)列的最大值為，所以.故選：C.【點睛】本題考查數(shù)列中的不等式恒成立問題，涉及到求函數(shù)解析、等比數(shù)列前n項和、數(shù)列單調(diào)性的判斷等知識，是一道較為綜合的數(shù)列題.8、A【解析】

根據(jù)向量的線性運算可得,利用及，計算即可.【詳解】因為,所以，所以，故選：A【點睛】本題主要考查了向量的線性運算，向量數(shù)量積的運算，向量數(shù)量積的性質(zhì)，屬于中檔題.9、A【解析】

分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】，故的虛部為.故選：A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查學(xué)生運算能力，是一道容易題.10、B【解析】

由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，由此求出四棱錐的體積．【詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示：則該四棱錐的體積為.故選：B.【點睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問題，是基礎(chǔ)題．11、D【解析】

中位數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)按從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┡帕泻?，處在最中間的那個數(shù)，平均數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).【詳解】由莖葉圖知，甲的中位數(shù)為，故；乙的平均數(shù)為，解得，所以.故選：D.【點睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用，涉及到中位數(shù)、平均數(shù)的知識，是一道容易題.12、D【解析】試題分析：先畫出可行域如圖：由，得，由，得，當(dāng)直線過點時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，最大值為3；當(dāng)直線過點時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，最小值為3a；由條件得，所以，故選D.考點：線性規(guī)劃.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得,根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得，,即故答案為14、【解析】

先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求出這組數(shù)據(jù)的方差，由此能求出該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差．【詳解】解：某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫（單位：依次為8，，，0，2，平均數(shù)為：，該組數(shù)據(jù)的方差為：，該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1．故答案為：1．【點睛】本題考查一組數(shù)據(jù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的求法，考查平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．15、100.【解析】分析：根據(jù)頻率分布直方圖得到三等品的頻率，然后可求得樣本中三等品的件數(shù)．詳解：由題意得，三等品的長度在區(qū)間，和內(nèi)，根據(jù)頻率分布直方圖可得三等品的頻率為，∴樣本中三等品的件數(shù)為.點睛：頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為，因此每一個小矩形的面積表示樣本個體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率，把小矩形的高視為頻率時常犯的錯誤．16、1【解析】

根據(jù)均值的定義計算．【詳解】由題意，∴．故答案為：1．【點睛】本題考查均值的概念，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）為中點，理由見解析；（2）當(dāng)點在線段靠近的三等分點時，直線與平面所成角最大，最大角的正弦值.【解析】

(1)為中點,可利用中位線與平行四邊形性質(zhì)證明，，從而證明平面平面；（2）以A為原點，分別以，，所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出當(dāng)點在線段靠近的三等分點時，直線與平面所成角最大，并可求出最大角的正弦值.【詳解】（1）為中點，證明如下：分別為中點，又平面平面平面又，且四邊形為平行四邊形，同理，平面，又平面平面（2）以A為原點，分別以，，所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系則，設(shè)直線與平面所成角為，則取平面的法向量為則令，則所以當(dāng)時，等號成立即當(dāng)點在線段靠近的三等分點時，直線與平面所成角最大，最大角的正弦值.【點睛】本題主要考查了平面與平面的平行，直線與平面所成角的求解，考查了學(xué)生的直觀想象與運算求解能力.18、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)遞推公式，用配湊法構(gòu)造等比數(shù)列，求其通項公式，進而求出的通項公式；（2）求出數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求數(shù)列的前項和.【詳解】解：（1），，是首項為，公比為的等比數(shù)列．所以，．（2）.【點睛】本題考查了由數(shù)列的遞推公式求通項公式，錯位相減法求數(shù)列的前n項和的問題，屬于中檔題.19、（1）有的把握認(rèn)為是否戴口罩出行的行為與年齡有關(guān).（2）【解析】

(1)根據(jù)列聯(lián)表和獨立性檢驗的公式計算出觀測值,從而由參考數(shù)據(jù)作出判斷.(2)因為樣本中出行不戴口罩的居民有30人,其中年輕人有10人,用樣本估計總體,則出行不戴口罩的年輕人的概率為，是老年人的概率為.根據(jù)獨立重復(fù)事件的概率公式即可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可知，有的把握認(rèn)為是否戴口罩出行的行為與年齡有關(guān).（2）由樣本估計總體，出行不戴口罩的年輕人的概率為，是老年人的概率為.人未戴口罩，恰有2人是青年人的概率.【點睛】本題主要考查獨立性檢驗及獨立重復(fù)事件的概率求法,難度一般.20、（1）在為增函數(shù)；證明見解析（2）【解析】

（1）令，求出，可推得，故在為增函數(shù)；（2）令，則，由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，.記，則，當(dāng)時，，.所以，所以在單調(diào)遞增，所以.因為，所以，所以在為增函數(shù).（2）由題意，得，記，則，令，則，當(dāng)時，，，所以，所以在為增函數(shù)，即在單調(diào)遞增，所以.①當(dāng)，，恒成立，所以為增函數(shù)，即在單調(diào)遞增，又，所以，所以在為增函數(shù)，所以所以滿足題意.②當(dāng)，，令，，因為，所以，故在單調(diào)遞增，故，即.故，又在單調(diào)遞增，由零點存在性定理知，存在唯一實數(shù)，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，所以，此時在為減函數(shù)，所以，不合題意，應(yīng)舍去.綜上所述，的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值和零點及不等式恒成立等問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想，考查了學(xué)生的邏輯推理和運算求解能力，屬于難題.21、（1）；（2）.【解析】

若補充②③根據(jù)已知可得平面，從而有，結(jié)合，可得平面，故有，而，得到，②③成立與①②相同，①③成立，可得，所以任意補充兩個條件，結(jié)果都一樣，以①②作為條件分析;（1）設(shè)，可得，進而求出梯形的面積，可求出，即可求出結(jié)論；（2），以為坐標(biāo)原點，建立空間坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)，由（1）得為平面的法向量，根據(jù)空間向量的線面角公式即可求解.【詳解】第一種情況：若將①，②作為已知條件，解答如下：（1）設(shè)平面為平面.∵，∴平面，而平面平面，∴，又為中點.設(shè)，則.在三角形中，，由知平面，∴，∴梯形的面積，，，平面，，，∴，故，.（2）如