2024-2025學年高一上學期期末復習【第五章 三角函數】十一大題型歸納（拔尖篇）（含答案）

2024-2025學年高一上學期期末復習【第五章三角函數】十一大題型歸納（拔尖篇）（含答案）高一上學期期末復習第五章十一大題型歸納（拔尖篇）【人教A版（2019）】題型1題型1弧長公式與扇形面積公式的應用1．（2023下·湖南長沙·高一統(tǒng)考期末）某圓臺的側面展開圖為如圖所示的扇環(huán)（實線部分），已知該扇環(huán)的面積為π，兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2，則扇環(huán)的圓心角α的大小為（

）

A．π2 B．3π4 C．52．（2023上·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）中國的扇文化有著極其深厚的人文底蘊，折扇從明代開始流行，扇面書畫、扇骨雕琢，深得文人雅士的喜愛（如圖1）.制作折扇的扇面時，先從一個圓面中剪下扇形OBD，再從扇形OBD中剪去扇形OAC（如圖2）.記圓面面積為S1，扇形OBD的面積為S2，把滿足S2S1-S2=5-1A．20(5+1)π B．20(3-5)π3．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一?？茧A段練習）已知扇形的圓心角為α，所在圓的半徑為r．(1)若α=150°,r=9，求扇形的弧長：(2)若扇形的周長為12，當α為多少弧度時，該扇形面積S最大？并求出最大面積．4．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）某企業(yè)欲做一個介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)面（由扇形OAD挖去扇形OBC后構成的）.已知OA=10，OB=x0<x<10，線段BA，CD與BC，AD?的長度之和為30，圓心角為(1)求θ關于x的函數表達式；(2)記銘牌的截面面積為y，試問x取何值時，y的值最大？并求出最大值.題型2題型2三角函數的化簡、求值——同角三角函數的基本關系1．（2023上·重慶銅梁·高一校聯考期末）計算1-2sin10°A．-1 B．1C．sin10° D．2．（2023下·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）已知sinα+cosα=35A．-25 B．52 C．-3．（2023下·四川樂山·高一期末）已知tanα=2(1)2sin(2)sinα4．（2023上·四川綿陽·高一統(tǒng)考期末）已知1-2sin(1)求tanα(2)求sinα+題型3題型3誘導公式的綜合應用1．（2023上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知π2<α<π，則1-2A．sinα-cosα B．sinα+cosα2．（2023上·浙江杭州·高二?？计谀┮阎猼ana=12，則sinA．-13 B．13 C．3．（2023上·北京·高一?？计谀┮阎猚osα=13，且-4．（2023上·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系xOy中，銳角α的頂點是坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊交單位圓于點A13,y0．將角α(1)求tanβ(2)求sinα-題型4題型4由三角函數的值域（最值）求參數1．（2023·高一課時練習）若函數y=tanωx+π6在-π3,A．-12 B．12 C．2．（2023上·黑龍江大慶·高三大慶實驗中學階段練習）已知函數fx=sinωx+π3-3cosωx+πA．0,23 B．14,233．（2023下·湖北恩施·高一?？计谀┮阎瘮礷x(1)若f5π6(2)若fx在區(qū)間0,π3上的值域為1,24．（2023上·浙江杭州·高一?？茧A段練習）已知函數fx(1)求函數的最小正周期、對稱中心、單調減區(qū)間；(2)若定義在區(qū)間-π6,π4上的函數h題型5題型5三角函數的奇偶性與對稱性問題1．（2023上·河北唐山·高一?？计谀┖瘮礷xA．fxgx是偶函數 C．fxgx是奇函數 2．（2023下·寧夏中衛(wèi)·高一?？计谀┫铝嘘P于函數y=tan-2x+πA．最小正周期為πB．圖像關于點5π12C．在區(qū)間-πD．圖像關于直線x=-π3．（2023上·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）已知函數fx(1)求函數fx的最大值與最小值，并分別寫出取最大值與最小值時相應x(2)求函數gx4．（2023上·江蘇淮安·高一淮陰中學?？计谀┮阎瘮礷x=sinωx+π(1)求ω，θ的值；(2)若函數gx在0,π6題型6題型6三角函數的圖象與性質的綜合應用1．（2022上·上海寶山·高三?？奸_學考試）已知f(x)=sin①y=f(x)是偶函數;

②y=f(x)在π2③y=f(x)在(π,2π)上為增函數;④y=f(x)的最大值為22其中所有正確結論的編號是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④2．（2023上·江蘇無錫·高一?？计谀┖瘮礷x=2sinωx+φω>0圖像上一點Ps,t-2<t<2向右平移2π個單位，得到的點Q也在fx圖像上，線段PQ與函數fx的圖像有5個交點，且滿足fπ4-x=fA．-2,-2 B．-2,-2 C．2,23．（2023下·黑龍江大慶·高一?？茧A段練習）已知函數f(x)=4sin（1）求f(x)的對稱中心；（2）設常數ω>0，若函數f(ωx)在區(qū)間-π2,（3）若函數g(x)=12f(2x)+af(x)-afπ24．（2022下·安徽宿州·高一碭山中學校聯考期中）已知函數fx=2sinωx+φ（ω>0，①函數fx向左平移π6個單位得到的圖象關于y軸對稱且②函數fx的一條對稱軸為x=-π3(1)求函數fx(2)若x∈π2,17π題型7題型7利用和（差）角公式對三角函數式化簡、求值1．（2023下·山西長治·高二統(tǒng)考期末）已知cosα-β=13,A．12 B．16 C．192．（2023下·貴州·高二校聯考期末）已知sinα=35,α∈π2,A．167 B．47 C．-163．（2023下·甘肅蘭州·高一?？计谀┗啠?1)sinα-β(2)sinα+β4．（2023上·重慶九龍坡·高一?？计谀?）已知cosα-β2（2）化簡求值：2題型8題型8三角恒等變換的綜合應用1．（2023·湖南永州·統(tǒng)考模擬預測）已知sinα-π4=3210A．-2721 B．-16412052．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）若α,β∈π2,π，且1-A．2α+β=5π2 C．α+β=7π4 3．（2023下·遼寧沈陽·高一校聯考期末）已知sin(1)化簡2sin(2)若α∈π,3π24．（2023下·山東威?！じ咭唤y(tǒng)考期末）已知函數f(x)=23(1)當x∈[0?,?(2)若銳角α，β滿足f(α2-π6題型9題型9與三角恒等變換有關的圖象變換問題1．（2023下·廣東廣州·高二校聯考期末）要得到函數fx=12sinA．向左平移π6個單位長度 B．向右平移πC．向左平移π12個單位長度 D．向右平移π2．（2023下·河南焦作·高一統(tǒng)考期末）已知函數f(x)=cos①fx的最小正周期是π②fx在區(qū)間π③將fx圖象上的所有點向右平移π12個單位長度后，得到函數其中所有正確結論的編號是（

）A．① B．② C．①② D．①②③3．（2023下·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）若函數f(x)=(1)求函數f(x)的最小正周期；(2)若將函數f(x)的圖象向右平移π6個單位后得到函數g(x)的圖象，當x∈-π4．（2023下·四川綿陽·高一統(tǒng)考期末）已知函數fx(1)當x∈0,π時，求函數(2)將函數fx的圖象先向左平移π6個單位長度后，再把橫坐標伸長為原來的2倍縱坐標不變，得到函數y=gx的圖象.若gθ=13題型10題型10函數y=Asin(ωx+φ)與三角恒等變換的綜合應用1．（2023下·河南安陽·高二統(tǒng)考期末）已知函數fx=2cosA．將函數fx的圖象向左平移π8個單位長度，得到函數gxB．x=-π8是函數C．函數fx在5D．fx=1在-2．（2022上·陜西安康·高三?？茧A段練習）已知函數fx①函數fx的最小正周期是2②函數fx在區(qū)間π③函數fx的圖象關于直線x=④函數fx的圖象可由函數y=2sin其中正確結論的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023上·云南昆明·高一昆明一中統(tǒng)考期末）已知函數fx(1)求函數fx(2)將函數y=fx的圖象向下平移3個單位長度，再把橫坐標縮短到原來的12倍（縱坐標不變），得到函數y=gx的圖象，當x∈-π4．（2023下·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知函數f(x)=2cosx(3(1)求實數a的值和函數f(x)的對稱中心；(2)將f(x)圖象上所有點向右平移π12個單位，再將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的12倍，縱坐標不變，得到g(x)的圖象，若g(x)-m=2在x∈π題型11題型11三角函數的應用1．（2023上·陜西榆林·高一統(tǒng)考期末）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環(huán)保，所以至今還在農業(yè)生產中被使用.如圖，假定在水流穩(wěn)定的情況下，一個直徑為10米的筒車開啟后按逆時針方向勻速旋轉，轉一周需要1分鐘，筒車的軸心O距離水面的高度為52米.以盛水筒P剛浮出水面時開始計算時間，設筒車開始旋轉t秒后盛水筒P到水面的距離為h米（規(guī)定：若盛水筒P在水面下，則h(1)寫出h（單位：米）關于t（單位：秒）的函數解析式h(t)=Asin(ωt+φ)+B（其中A>0，ω>0，(2)若盛水筒P在t1，t2時刻距離水面的高度相等，求2．（2023下·四川綿陽·高一?？茧A段練習）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深關系表：時刻1:004:007:0010:0013:0016:0019:0022:00水深(米)68.563.568.563.5經長期觀測，這個港口的水深與時間的關系，可近似用函數ft(1)根據以上數據，求出函數ft(2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為5.25米，安全條例規(guī)定至少要有2米的安全間隙(船底與洋底的距離)，該船在一天內0:00～24:00何時能進入港口？3．（2023上·湖南長沙·高一長郡中學?？计谀┤鐖D，已知OPQ是半徑為1，圓心角為π4的扇形，C是扇形弧上的動點，ABCD是扇形的內接矩形，記∠POC=α（1）用角α表示AB，BC的長度；（2）當角α取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積.4．（2023上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）“灣區(qū)之光”摩天輪位于深圳市華僑城歡樂港灣內，摩天輪總高128米，轉輪直徑約為114米，共有28個酷似太空艙膠囊的全景式進口轎廂，每個轎廂可容納25人.“灣區(qū)之光”旋轉一圈時間是28分鐘，開啟后摩天輪按照逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，設開始轉動t（單位；min）后距離地面的高度為H（單位：m）(1)求在轉動一周的過程中，H關于t的函數解析式H(t)；(2)若甲、乙兩人進艙時間相差143分鐘，則在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h（單位：m）第一次達到最大時所需要的時間t

高一上學期期末復習第五章十一大題型歸納（拔尖篇）【人教A版（2019）】題型1題型1弧長公式與扇形面積公式的應用1．（2023下·湖南長沙·高一統(tǒng)考期末）某圓臺的側面展開圖為如圖所示的扇環(huán)（實線部分），已知該扇環(huán)的面積為π，兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2，則扇環(huán)的圓心角α的大小為（

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A．π2 B．3π4 C．5【解題思路】根據題意，結合扇形的面積公式，列出方程，即可求求解.【解答過程】由該扇環(huán)的面積為π，兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2，可得12α×2即扇環(huán)的圓心角α的大小為2π故選：D.2．（2023上·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）中國的扇文化有著極其深厚的人文底蘊，折扇從明代開始流行，扇面書畫、扇骨雕琢，深得文人雅士的喜愛（如圖1）.制作折扇的扇面時，先從一個圓面中剪下扇形OBD，再從扇形OBD中剪去扇形OAC（如圖2）.記圓面面積為S1，扇形OBD的面積為S2，把滿足S2S1-S2=5-1A．20(5+1)π B．20(3-5)π【解題思路】首先求出OA，設圓心角∠BOD=α，圓的半徑為R，表示出S2，S1，根據S2【解答過程】依題意OB=20，OAAB=5-12所以AB=105-1，則設圓心角∠BOD=α，圓的半徑為R，則S2=1所以S1因為S2S1-S2=所以弧AC的長為α?OA=3-故選：D.3．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一?？茧A段練習）已知扇形的圓心角為α，所在圓的半徑為r．(1)若α=150°,r=9，求扇形的弧長：(2)若扇形的周長為12，當α為多少弧度時，該扇形面積S最大？并求出最大面積．【解題思路】（1）將圓心角化為弧度，再由弧長公式求解即可；（2）設扇形的弧長為l，則l+2r=12，即l=12-2r(0<r<6)，扇形的面積S=1【解答過程】（1）∵a=150°=150×π（2）設扇形的弧長為l，則l+2r=12，即l=12-2r(0<r<6)，扇形的面積S=1所以當且僅當r=3時，S有最大值9，此時l=12-2×3=6,∴α=l4．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）某企業(yè)欲做一個介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)面（由扇形OAD挖去扇形OBC后構成的）.已知OA=10，OB=x0<x<10，線段BA，CD與BC，AD?的長度之和為30，圓心角為(1)求θ關于x的函數表達式；(2)記銘牌的截面面積為y，試問x取何值時，y的值最大？并求出最大值.【解題思路】（1）根據扇形的弧長公式結合已知條件可得出關于θ、x的等式，即可得出θ關于x的函數解析式；（2）利用扇形的面積公式結合二次函數的基本性質可求得y的最大值，即可得出結論.【解答過程】（1）解：根據題意，可算得BC=θxm，因為AB+CD+BC+AD所以，θ=2x+10（2）解：根據題意，可知y==x+5當x=52m綜上所述，當x=52m題型2題型2三角函數的化簡、求值——同角三角函數的基本關系1．（2023上·重慶銅梁·高一校聯考期末）計算1-2sin10°A．-1 B．1C．sin10° D．【解題思路】利用平方關系化簡即可.【解答過程】解：因為0<sin1-2sin故選：B.2．（2023下·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）已知sinα+cosα=35A．-25 B．52 C．-【解題思路】直接利用同角三角函數的關系式的變換求出結果．【解答過程】因為sinα+平方得sin2α+2故sinα則tanα+故選：B.3．（2023下·四川樂山·高一期末）已知tanα=2(1)2sin(2)sinα【解題思路】（1）同除以cosα（2）先添加分母sin2α+cos【解答過程】（1）2sin（2）sinα4．（2023上·四川綿陽·高一統(tǒng)考期末）已知1-2sin(1)求tanα(2)求sinα+【解題思路】（1）根據給定等式，利用同角正余弦平方和為1，化簡變形，再借助齊次式法計算作答.（2）利用（1）的結論，結合同角公式計算作答.【解答過程】（1）依題意，1-2sinαcos所以tanα=（2）由（1）知，tanα=13由sin2α+cos2α=1當α為第一象限角時，sinα+當α為第三象限角時，sinα+題型3題型3誘導公式的綜合應用1．（2023上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知π2<α<π，則1-2A．sinα-cosα B．sinα+cosα【解題思路】利用誘導公式及平方關系化簡即可.【解答過程】因為π2<α<π，所以sinα>0，所以1-2===sin故選：A.2．（2023上·浙江杭州·高二?？计谀┮阎猼ana=12，則sinA．-13 B．13 C．【解題思路】對所求式子利用誘導公式進行化簡，再利用弦化切即可求解.【解答過程】∵tan則sinα+故選：D.3．（2023上·北京·高一?？计谀┮阎猚osα=13，且-【解題思路】利用同角三角函數的基本關系求出tanα【解答過程】解：因為cosα=13，且-所以，tanα=故cos-α-4．（2023上·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系xOy中，銳角α的頂點是坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊交單位圓于點A13,y0．將角α(1)求tanβ(2)求sinα-【解題思路】（1）由題意，利用任意角的三角函數的定義，誘導公式，計算求得結果．（2）法一：由題意，利用誘導公式，計算求得結果；法二：根據β=π2+α【解答過程】（1）由A13,又α∈(0,π2)由題可知β=π2+α，所以sin則tanβ=sinβ（2）（法一）原式=由（1）得cosα=13，cosβ=-所以原式=1（法二）sin==sinβ=-題型4題型4由三角函數的值域（最值）求參數1．（2023·高一課時練習）若函數y=tanωx+π6在-π3,A．-12 B．12 C．【解題思路】由正切函數的性質，得到ω<0且-π3ω+【解答過程】由題意，函數y=tanωx+π可得ω<0且-π3ω+當k=0時，解得ω=-1故選A．2．（2023上·黑龍江大慶·高三大慶實驗中學階段練習）已知函數fx=sinωx+π3-3cosωx+πA．0,23 B．14,23【解題思路】化簡函數y=fx的解析式為fx=2sinωx，結合函數y=f【解答過程】∵fx由于函數y=fx在區(qū)間-3π4,π∵0∈-3πω4,πω所以，函數y=fx在-3π4所以，-3πω4≥-當x∈0,2π時，0≤ωx≤2πω由于函數y=fx在區(qū)間0,2π內恰好取得一次最大值2所以，π2≤2πω<5π綜上所述，實數ω的取值范圍是14故選：B.3．（2023下·湖北恩施·高一?？计谀┮阎瘮礷x(1)若f5π6(2)若fx在區(qū)間0,π3上的值域為1,2【解題思路】（1）根據條件可知函數關于點5π6（2）首先求ωx+π6的范圍，再根據三角函數的圖象和性質，即可列不等式求【解答過程】（1）因為f5π所以fx的圖象關于點5π則ω?5π解得ω=-1又ω>0，故當k=1時，ω取得最小值1．（2）當x∈0,π3因為函數fx在區(qū)間0,π3上的值域為1,2解得：1≤ω≤2．所以ω的取值范圍為1,2．4．（2023上·浙江杭州·高一校考階段練習）已知函數fx(1)求函數的最小正周期、對稱中心、單調減區(qū)間；(2)若定義在區(qū)間-π6,π4上的函數h【解題思路】（1）根據函數解析式，結合函數周期、對稱中心、單調區(qū)間的求法，直接計算即可；（2）分類討論a的范圍，列出方程組，解出即可.【解答過程】（1）因為fx所以函數的最小正周期為T=π令2x-π得x=5所以函數的對稱中心為(5令2kπ得π6故函數的減區(qū)間為[π（2）hx又當x∈-π6則-1若a>0，則有3a-2a+b=6-3a2當a<0時，3a-2a+b=-3-3a2又a=0明顯不符合題意，故a=2b=4或者a=-2題型5題型5三角函數的奇偶性與對稱性問題1．（2023上·河北唐山·高一?？计谀┖瘮礷xA．fxgx是偶函數 C．fxgx是奇函數 【解題思路】根據函數奇偶性的定義逐項分析即得.【解答過程】選項A:因為fx又f(-x)g(-x)=sin所以fx選項B:因為fx又|f(-x)|g(-x)=sin所以fx選項C:因為f(x)|g(x)|=sin又f(-x)|g(-x)|=sin所以fx選項D:因為|f(x)g(x)|=sin又f(-x)g(-x)=所以fx故選：C.2．（2023下·寧夏中衛(wèi)·高一?？计谀┫铝嘘P于函數y=tan-2x+πA．最小正周期為πB．圖像關于點5π12C．在區(qū)間-πD．圖像關于直線x=-π【解題思路】根據函數y=tan【解答過程】解：函數y=tan當x=5π12時，2×5π函數的最小正周期為T=π當x∈-π3,-π正切函數不是軸對稱函數，所以D錯誤．故選：B．3．（2023上·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）已知函數fx(1)求函數fx的最大值與最小值，并分別寫出取最大值與最小值時相應x(2)求函數gx【解題思路】（1）根據奇函數的性質可得f0=0，結合0<θ<π可求θ=（2）g(x)=2sin【解答過程】（1）依題意有f即fx當2x=2kπ+π2即當2x=2kπ-π（2）依題意g(x)=2sin若g(x)單調遞減，則2k∴k又x∈-令k=-1,k=0得其減區(qū)間為-π6,-4．（2023上·江蘇淮安·高一淮陰中學?？计谀┮阎瘮礷x=sinωx+π(1)求ω，θ的值；(2)若函數gx在0,π6【解題思路】（1）根據題意可知兩函數周期相同，即可求得ω的值；根據余弦函數的對稱中心，即可求得θ的值；（2）根據函數gx在0,π6【解答過程】（1）若兩個函數圖象的對稱中心相同，則函數周期必然相同，則ω=2，故f(x)=sin由2x+π6=k數fx=sin2x+π則2×(k則θ=(m-k)π+2π（2）因為函數fx=sin所以f(x)=g(x)或f(x)=-g(x)，若函數g(x)在0,π對于函數f(x)=sin(2x+π6)由于y=sinx在π6,π所以f(x)=-g(x)，故令2kπ-π即f(x)=sin(2x+π則函數gx的單調減區(qū)間為[k令2kπ+π2即f(x)=sin(2x+π則函數gx的單調增區(qū)間為[k題型6題型6三角函數的圖象與性質的綜合應用1．（2022上·上海寶山·高三校考開學考試）已知f(x)=sin①y=f(x)是偶函數;

②y=f(x)在π2③y=f(x)在(π,2π)上為增函數;④y=f(x)的最大值為22其中所有正確結論的編號是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④【解題思路】利用偶函數的定義即可判斷①；利用舉反例即可判斷②和③；分四個范圍對f(x)進行化簡，然后利用三角函數的性質進行求值域，即可得到x≥0時的最值，結合偶函數即可判斷【解答過程】解：對于①，易得f(x)的定義域為R，關于原點對稱，因為f(-x)=sin|-x|+|sin-x|+對于②和③，因為f5πf7π且π<7π6<5π4<3π對于④，當2kπ≤x<π2+2kπ,k∈N時，因為2kπ≤x<π2+2kπ,k∈所以22≤sin當π2+2kπ≤x<π+2kπ,k∈N時，f(x)=因為π2所以0<sinx≤1，所以當π+2kπ≤x<3π2+2kπ,k∈N時，當3π2+2kπ≤x<2π+2kπ,k∈N時，f(x)=因為3π2所以0≤cosx<1，所以所以，綜上所述，當x≥0時，f(x)的最大值為22，由于f(x)為偶函數，所以當x<0時，f(x)的最大值也為22，故y=f(x)的最大值為故選：D.2．（2023上·江蘇無錫·高一?？计谀┖瘮礷x=2sinωx+φω>0圖像上一點Ps,t-2<t<2向右平移2π個單位，得到的點Q也在fx圖像上，線段PQ與函數fx的圖像有5個交點，且滿足fπ4-x=fA．-2,-2 B．-2,-2 C．2,2【解題思路】首先根據已知條件分析出PQ=2π=2T，可得ω=2，再由fπ4-x=fx可得y=fx對稱軸為x=π8【解答過程】如圖假設P0,0，線段PQ與函數fx的圖像有5個交點，則所以由分析可得PQ=2π=2T，所以T=π可得ω=2π因為fπ4-x=fx所以x=π8是所以2×π8+φ=f-所以sinφ<0，可令k=-1得φ=-所以fx當x∈0,π2時，令2x-3π作ft當t=-3π4即x=0時y=-2，當t=-π2由圖知若y=fx，x∈0,π2與y=a有兩個交點，則故選：A.3．（2023下·黑龍江大慶·高一校考階段練習）已知函數f(x)=4sin（1）求f(x)的對稱中心；（2）設常數ω>0，若函數f(ωx)在區(qū)間-π2,（3）若函數g(x)=12f(2x)+af(x)-afπ2【解題思路】（1）化簡函數f(x)=2sin（2）求出函數的增區(qū)間，根據[-π（3）化簡g(x)=sin【解答過程】（1）f(x)=2[1-=sin對稱中心為(kπ,0)k∈Z．（2）∵f(ωx)=2sinωx，由解得-π∴f(ωx)的遞增區(qū)間為[-π∵f(ωx)在[-π∴當k=0時，有[-π∴{ω>0-π2ω≤-π2（3）g(x)=sin令sinx-cosx=t∴y=1-t∵t=sin∵x∈[-π4,π2①當a2<-2時，即a<-2令-2a-a②當-2≤aymax=a24-a③當a2>1時，即a>2時，在t=1處由a2-1=2，得a=6．因此4．（2022下·安徽宿州·高一碭山中學校聯考期中）已知函數fx=2sinωx+φ（ω>0，①函數fx向左平移π6個單位得到的圖象關于y軸對稱且②函數fx的一條對稱軸為x=-π3(1)求函數fx(2)若x∈π2,17π【解題思路】（1）由最小正周期先求出ω．選①：利用函數fx向左平移π6個單位得到的圖象關于y軸對稱求得φ的可能取值為-5π6、π6，再由選②：由函數fx的一條對稱軸x=-π3，求出φ的可能取值為-5π6、π6（2）令t=fx，由x∈π2,17π12得，3π2由t2+4-at+3-a=0得：t1=-1，【解答過程】（1）由題意可知，函數fx的最小正周期為T=4×π4選①，將函數fx向左平移π6個單位，所得函數為由于函數y=2sin2x+π3+φ的圖象關于y軸對稱，可得π3+φ=∵φ<π，所以，φ的可能取值為-5若φ=-5π6，則f若φ=π6，則fx所以，fx選②：因為函數fx的一條對稱軸x=-π3，則2×解得φ=7π6∵φ<π，所以，φ的可能取值為-5若φ=-5π6，則f若φ=π6，則fx所以，fx（2）令t=fx，由x∈π2所以t=fx=2sin2x-5π6∈-2,2．其中x滿足π解方程t2+4-at+3-a=0要使方程f2當t1=-1，即2sin故t2=a-3取值范圍應在1,2或在-2,-1或即1≤a-3<2或-2<a-3<-1或-1<a-3≤0解得：4≤a<5或1<a<2或2<a≤3故所求的a的取值范圍是1,2∪題型7題型7利用和（差）角公式對三角函數式化簡、求值1．（2023下·山西長治·高二統(tǒng)考期末）已知cosα-β=13,A．12 B．16 C．19【解題思路】由cosα-β=cos【解答過程】cosα-βcosα+β①-②可得2sinαsinβ=-故選：D.2．（2023下·貴州·高二校聯考期末）已知sinα=35,α∈π2,A．167 B．47 C．-16【解題思路】先求得tanα,tanβ【解答過程】由于sinα=35,α∈πsin=35cos所以tanα+β故選：D.3．（2023下·甘肅蘭州·高一?？计谀┗啠?1)sinα-β(2)sinα+β【解題思路】（1）直接由兩角和的正弦公式逆用即可化簡.（2）直接由兩角和的正弦公式、切弦互化商數關系即可化簡.【解答過程】（1）由題意，由兩角和的正弦公式逆用可得sinα-β（2）由題意，由兩角和的正弦公式、切弦互化商數關系可得sin==24．（2023上·重慶九龍坡·高一校考期末）（1）已知cosα-β2（2）化簡求值：2【解題思路】（1）由已知結合同角三角函數的平方關系先求出sinα-β2（2）由已知結合兩角差的余弦公式化簡即可得出答案.【解答過程】解：（1）因為π2<α<π所以sinα-所以sinα+β==21（2）因為2=3題型8題型8三角恒等變換的綜合應用1．（2023·湖南永州·統(tǒng)考模擬預測）已知sinα-π4=3210A．-2721 B．-1641205【解題思路】本題首先可根據sinα-π4=3210得出sin【解答過程】因為sinα-π4兩邊同時平方，得sin2α+cos因為0<α<π，所以sinα>0，cos則sinα+sinπ-2α故選：C.2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）若α,β∈π2,π，且1-A．2α+β=5π2 C．α+β=7π4 【解題思路】由α∈π2,π及二倍角的余弦公式可得sinα1+【解答過程】∵α,β∈π2,π由1-cos2α1+即sinα∴sin∴cos∵α,β∈π2,π，∴π<α+β<2π根據函數y=cosx易知：α+β=π故選：A.3．（2023下·遼寧沈陽·高一校聯考期末）已知sin(1)化簡2sin(2)若α∈π,3π2【解題思路】（1）根據題意，由二倍角公式將原式化簡可得2sinαcos（2）根據題意，由同角平方關系可得sinα+β，然后由cos【解答過程】（1）原式=2sin由sinα-cosα=713∴2sin（2）由2sinαcosα=120又∵0<β<π2,cosα+β=-∴cos=-44．（2023下·山東威?！じ咭唤y(tǒng)考期末）已知函數f(x)=23(1)當x∈[0?,?(2)若銳角α，β滿足f(α2-π6【解題思路】（1）根據二倍角公式以及輔助角公式化簡fx（2）根據同角關系求解cosα=35【解答過程】（1）f(x)=23cos2因為x∈[0,?π2所以sin(2x+π3（2）由第（1）問知f(α所以sinα=因為α∈(0,?π2因為α，β為銳角，所以α+β∈(0?,?π)，因為所以sin=5題型9題型9與三角恒等變換有關的圖象變換問題1．（2023下·廣東廣州·高二校聯考期末）要得到函數fx=12sinA．向左平移π6個單位長度 B．向右平移πC．向左平移π12個單位長度 D．向右平移π【解題思路】根據題意，由輔助角公式可得fx【解答過程】因為fx即只需要把函數gx=cos故選：D.2．（2023下·河南焦作·高一統(tǒng)考期末）已知函數f(x)=cos①fx的最小正周期是π②fx在區(qū)間π③將fx圖象上的所有點向右平移π12個單位長度后，得到函數其中所有正確結論的編號是（

）A．① B．② C．①② D．①②③【解題思路】根據題意利用三角恒等變換將函數化簡成f(x)=3【解答過程】因為函數f(x)==3所以函數的最小正周期T=2當π6<x<π2時，0<2x-π將fx圖象上的所有點向右平移π12個單位長度后，可得所以結論正確的為①②，故選：C.3．（2023下·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）若函數f(x)=(1)求函數f(x)的最小正周期；(2)若將函數f(x)的圖象向右平移π6個單位后得到函數g(x)的圖象，當x∈-π【解題思路】（1）利用三角恒等變換得到f(x)=2sin（2）先求出g(x)的解析式，從而利用整體法求解函數的值域.【解答過程】（1）f(x)=3則函數f(x)的周期為2π2（2）函數f(x)的圖象向右平移π6得：g(x)=2因為x∈-π6,π當x=-π6時，sin2x=-32g(x)=2sin故函數g(x)的值域為[-34．（2023下·四川綿陽·高一統(tǒng)考期末）已知函數fx(1)當x∈0,π時，求函數(2)將函數fx的圖象先向左平移π6個單位長度后，再把橫坐標伸長為原來的2倍縱坐標不變，得到函數y=gx的圖象.若gθ=13【解題思路】（1）利用三角恒等變換化簡函數，然后代入正弦函數單調增區(qū)間結論結合已知范圍求解；（2）利用圖象變換法則求出y=gx，進一步求出sin【解答過程】（1）f==1由-π2+2k即-π因為x∈0,π，所以函數fx（2）先將函數fx=12sin再橫坐標伸長為原來的2倍得函數gx因為gθ=1又cosα+θ=-1114，且θ為銳角，所以cos=-11題型10題型10函數y=Asin(ωx+φ)與三角恒等變換的綜合應用1．（2023下·河南安陽·高二統(tǒng)考期末）已知函數fx=2cosA．將函數fx的圖象向左平移π8個單位長度，得到函數gxB．x=-π8是函數C．函數fx在5D．fx=1在-【解題思路】先將函數fx利用兩角和的余弦公式和輔助角公式整理為fA選項根據y=AsinB選項由f-C選項判斷5π8,D選項求出fx=1在【解答過程】f=2===A選項：將函數fx的圖象向左平移π得到函數gx故函數gxB選項：f-C選項：因fx令-π2+2k故-3π8+k故函數fx在-3π8當k=1時，可得函數fx在5π故C正確；D選項：令fx得sin2x+所以2x+π4=π4故x=kπ或x=π4故fx=1在-π8,故D錯誤，故選：D.2．（2022上·陜西安康·高三?？茧A段練習）已知函數fx①函數fx的最小正周期是2②函數fx在區(qū)間π③函數fx的圖象關于直線x=④函數fx的圖象可由函數y=2sin其中正確結論的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】由題意知，fx【解答過程】fx①因為ω=2，則fx的最小正周期T=②當x∈π8,5π8時，③因為fπ8=2為fx④設gx=2故選：B.3．（2023上·云南昆明·高一昆明一中統(tǒng)考期末）已知函數fx(1)求函數fx(2)將函數y=fx的圖象向下平移3個單位長度，再把橫坐標縮短到原來的12倍（縱坐標不變），得到函數y=gx的圖象，當x∈-π【解題思路】（1）由三角恒等變換可得fx（2）由三角函數的圖象變換可得gx=2sin4x+π3，令t=4x+π3∈0,π，可轉化為y=m【解答過程】（1）fx=2=sin故函數fx的最小正周期為2（2）將函數y=fx的圖象向下平移3個單位長度，得到y(tǒng)=2再把橫坐標縮短到原來的12倍（縱坐標不變），得到g當x∈-π12,π當x∈-π12即y=m與y=2sint的圖象在畫出y=2sint在由圖可得0≤m<2，故實數m的取值范圍為0,2.4．（2023下·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知函數f(x)=2cosx(3(1)求實數a的值和函數f(x)的對稱中心；(2)將f(x)圖象上所有點向右平移π12個單位，再將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的12倍，縱坐標不變，得到g(x)的圖象，若g(x)-m=2在x∈π【解題思路】（1）由題意，利用三角恒等變換化簡函數的解析式，根據最大值求出a，再根據正弦函數的圖象的對稱性，得出結論．（2）由題意，根據函數y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律，求得g(x)的解析式，結合正弦函數的圖象和性質，求得實數【解答過程】（1）由于函數fx∵函數f(x)的最大值為2，∴2-1+a=2，即a=1．由2x-π6=k∴fx的對稱中心為（2）將f(x)圖象上所有點向右平移π12個單位得f(x-再將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的12可得g(x)=2sin∴2sin(4x-πy=2sin4x-π3與如圖為函數y=2sin4x-π

∵2π3≤4x-π3∴故m的取值范圍為(-4,-2-3題型11題型11三角函數的應用1．（2023上·陜西榆林·高一統(tǒng)考期末）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環(huán)保，所以至今還在農業(yè)生產中被使用.如圖，假定在水流穩(wěn)定的情況下，一個直徑為10米的筒車開啟后按逆時針方向勻速旋轉，轉一周需要1分鐘，筒車的軸心O距離水面的高度為52米.以盛水筒P剛浮出水面時開始計算時間，設筒車開始旋轉t秒后盛水筒P到水面的距離為h米（規(guī)定：若盛水筒P在水面下，則h(1)寫出h（單位：米）關于t（單位：秒）的函數解析式h(t)=Asin(ωt+φ)+B（其中A>0，ω>0，(2)若盛水筒P在t1，t2時刻距離水面的高度相等，求【解題思路】（1）根據圖形，利用幾何知識和三角函數求解函數解析式；（2）根據正弦方程，求解t1,t【解答過程】（1）如圖，過O作OC⊥PB交PB于點C，設筒車與水面的交點為M，N，連接OM.因為筒車轉一周需要1分鐘，所以筒車每秒鐘轉2π60=