《高考數學壓軸題通法訓練•高分必刷系列》專題11導數中的極值偏移問題（全題型壓軸題）含答案及解析

專題11導數中的極值偏移問題（全題型壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①對稱化構造法 1②差值代換法 3③比值代換法 4④對數均值不等式法 5①對稱化構造法1．（多選）（2023春·山東德州·高二統(tǒng)考期末）定義在上的函數滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．在處取得極小值B．有兩個零點C．若，恒成立，則D．若，，，，則2．（2023春·河北張家口·高二統(tǒng)考期末）已知函數.(1)求函數的單調區(qū)間和極值；(2)若方程的兩個解為、，求證：.3．（2023春·河南周口·高二校聯考階段練習）已知函數，(1)若，求的單調區(qū)間；(2)若，，是方程的兩個實數根，證明：．4．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學?？寄M預測）已知函數為其極小值點．(1)求實數的值；(2)若存在，使得，求證：．5．（2023·全國·模擬預測）已知函數．(1)求函數的單調區(qū)間與極值．(2)若，求證：．②差值代換法1．（2023·全國·高二專題練習）已知函數，．其中為自然對數的底數．（1）若，討論的單調性；（2）已知，函數恰有兩個不同的極值點，，證明：．2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，的導函數為.(1)若在上單調遞增，求實數a的取值范圍；(2)若，求證：方程在上有兩個不同的實數根，且.3．（2023·河南·校聯考模擬預測）設函數.(1)討論的單調性;(2)若有兩個零點和，設，證明：（為的導函數）.③比值代換法1．（2023春·河北石家莊·高三校聯考階段練習）已知函數.(1)求函數的單調區(qū)間；(2)若函數有兩個零點、，證明.2．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學?？既＃┮阎瘮?，．(1)討論函數的單調性；(2)若關于的方程有兩個不相等的實數根、，（?。┣髮崝礱的取值范圍；（ⅱ）求證：．3．（2023·江西南昌·南昌縣蓮塘第一中學校聯考二模）已知函數，．(1)當時，恒成立，求a的取值范圍．(2)若的兩個相異零點為，，求證：．4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數（且）.(1)若函數的最小值為2，求的值；(2)在（1）的條件下，若關于的方程有兩個不同的實數根，且，求證：.④對數均值不等式法1．（2023春·福建廈門·高二廈門雙十中學校考階段練習）已知函數(1)已知f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，求實數a的值；(2)已知f（x）在定義域上是增函數，求實數a的取值范圍.(3)已知有兩個零點，，求實數a的取值范圍并證明.2．（2023春·福建莆田·高二?？计谥校┮阎瘮?(1)討論函數的單調性：(2)若是方程的兩不等實根，求證：；3．（2023·全國·高三專題練習）設函數.(1)若對恒成立，求實數的取值范圍；(2)已知方程有兩個不同的根、，求證：，其中為自然對數的底數.4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，.(1)求證：，；(2)若存在、，且當時，使得成立，求證：.

專題11導數中的極值偏移問題（全題型壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①對稱化構造法 1②差值代換法 7③比值代換法 10④對數均值不等式法 17①對稱化構造法1．（多選）（2023春·山東德州·高二統(tǒng)考期末）定義在上的函數滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．在處取得極小值B．有兩個零點C．若，恒成立，則D．若，，，，則【答案】AD【詳解】因為，所以，令，則，所以設，所以，又因為，所以；對于A，因為，所以，令，得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以在處取得極小值，故A正確；對于B，令，得，所以有一個零點，故B錯誤；對于C，因為在單調遞增，所以時，，所以，故C錯誤；對于D，因為在單調遞減，在單調遞增，且唯一零點為，當時，且，所以若，，，，可以設，假設正確，下證明，即證，因為，在單調遞減，所以即證，即證，構造，則，因為，所以，，，則，所以在上單調遞增，所以，即得證，原式成立，故D正確.故選：AD2．（2023春·河北張家口·高二統(tǒng)考期末）已知函數.(1)求函數的單調區(qū)間和極值；(2)若方程的兩個解為、，求證：.【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值；(2)證明見解析【詳解】（1）解：函數的定義域為，且，令可得，列表如下：減極小值增所以，函數的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值.（2）解：設，其中，則，令，可得，此時，函數在上單調遞減，令，可得，此時，函數在上單調遞增，所以，是函數的極小值點，因為函數有兩個零點、，設，則，即且，要證，即證，因為函數在上單調遞增，所以，只需證明：，即證，令，其中，則，因為，則，所以，，故函數在上為減函數，又因為，所以，對任意的恒成立，則，即，故成立.3．（2023春·河南周口·高二校聯考階段練習）已知函數，(1)若，求的單調區(qū)間；(2)若，，是方程的兩個實數根，證明：．【答案】(1)單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，(2)證明見解析【詳解】（1）由題可知的定義域為，.令，則的兩根分別為，．當或時，；當時，；所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，．（2）原方程可化為，設，則，．令，得．∵在上，，在上，，∴在上單調遞增，在上單調遞減，∴，且當，趨向于0時，趨向于，當趨向于時，趨向于．則在和上分別有一個零點，，不妨設，∵，∴，設，則，．當時，，∴在上單調遞增，而，∴當時，，，即．∵，∴．∵在上單調遞減，∴，即．4．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學校考模擬預測）已知函數為其極小值點．(1)求實數的值；(2)若存在，使得，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）的定義域為，，依題意得，得，此時，當時，，，，故，在內單調遞減，當時，，，，故，在內單調遞增，故在處取得極小值，符合題意.綜上所述：.（2）由（1）知，，不妨設，當時，不等式顯然成立；當，時，不等式顯然成立；當，時，由（1）知在內單調遞減，因為存在，使得，所以，要證，只要證，因為，所以，又在內單調遞減，所以只要證，又，所以只要證，設，則，令，則，因為，所以，在上為減函數，所以，即，所以在上為減函數，所以，即.綜上所述：.5．（2023·全國·模擬預測）已知函數．(1)求函數的單調區(qū)間與極值．(2)若，求證：．【答案】(1)單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為；極大值為，極小值為(2)證明見解析【詳解】（1）定義域為，，令，解得：或，當時，；當時，；的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為；的極大值為，極小值為.（2）由（1）知：，，．令，，則；令，則；令，則，在上恒成立，在上單調遞增，，在上恒成立，在上單調遞增，，在上恒成立，在上單調遞增，，對任意恒成立．，，又，，在上單調遞增，，，即；令，，則；在上單調遞增，，在上恒成立，在上單調遞增，，對任意恒成立．，．又，，在上單調遞增，且，，；由得：，，.②差值代換法1．（2023·全國·高二專題練習）已知函數，．其中為自然對數的底數．（1）若，討論的單調性；（2）已知，函數恰有兩個不同的極值點，，證明：．【答案】（1）當時，函數在上單調遞減；當時，函數在上單調遞減，在單調遞增；（2）證明見解析．【詳解】解：（1），，（i）當時，，函數在上遞減；（ii）當時，令，解得；令，解得，函數在遞減，在遞增；綜上，當時，函數在上單調遞減；當時，函數在上單調遞減，在單調遞增；（2）證明：，依題意，不妨設，則，兩式相減得，，因為，要證，即證，即證，兩邊同除以，即證.令，即證，令，則，令，則，當時，，所以在上遞減，，在上遞減，，即，故．2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，的導函數為.(1)若在上單調遞增，求實數a的取值范圍；(2)若，求證：方程在上有兩個不同的實數根，且.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1），設，則，所以在上單調遞增，，所以令，得，即.設，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，所以，此時，在上單調遞增，故a的取值范圍是.（2）要證在上有兩個不同的實數根.即證方程在上有兩個不同的實數根，即證方程在上有兩個不同的實數根，由（1）知在上單調遞減，在上單調遞增，且當時，，當時，，又，，所以方程在上有兩個不同的實數根，，且.因為，所以，又，所以，（點撥：根據函數的單調性得到的范圍）易知，，兩式分別相加、相減得，，得，設，則，，所以.（換元，將雙變量問題轉化為單變量問題）設，則，所以在上單調遞減，所以，得證.3．（2023·河南·校聯考模擬預測）設函數.(1)討論的單調性;(2)若有兩個零點和，設，證明：（為的導函數）.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【詳解】（1）解：因為，則，若，對任意的，則，函數的單調遞減區(qū)間為；若，令，得，當時，，當時，.所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為.綜上所述，當時，函數的單調遞減區(qū)間為；當時，函數的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）證明：不妨令，由題設可得，兩式相減整理可得.所以，要證，即證，即證，令，即證，其中，構造函數，其中，則，所以，函數在上單調遞增，所以，當時，，即，故原不等式得證.③比值代換法1．（2023春·河北石家莊·高三校聯考階段練習）已知函數.(1)求函數的單調區(qū)間；(2)若函數有兩個零點、，證明.【答案】(1)單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為(2)證明見解析【詳解】（1）解：因為的定義域為，則，令，解得，令，解得，所以的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為.（2）證明：不妨設，由（1）知：必有.要證，即證，即證，又，即證.令，其中，則，令，則在時恒成立，所以在上單調遞減，即在上單調遞減，所以，所以在上單調遞增，所以，即，所以；接下來證明，令，則，又，即，所以，要證，即證，有，不等式兩邊取對數，即證，即證，即證，令，，則，令，其中，則，所以，在上單調遞增，則當時，，故當時，可得函數單調遞增，可得，即，所以，綜上，.2．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學?？既＃┮阎瘮?，．(1)討論函數的單調性；(2)若關于的方程有兩個不相等的實數根、，（ⅰ）求實數a的取值范圍；（ⅱ）求證：．【答案】(1)答案見解析(2)（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析【詳解】（1）解：因為，所以，其中.①當時，，所以函數的減區(qū)間為，無增區(qū)間；②當時，由得，由可得.所以函數的增區(qū)間為，減區(qū)間為．綜上：當時，函數的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當時，函數的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）解：（i）方程可化為，即．令，因為函數在上單調遞增，易知函數的值域為，結合題意，關于的方程（*）有兩個不等的實根．又因為不是方程（*）的實根，所以方程（*）可化為．令，其中，則．由可得或，由可得，所以，函數在和上單調遞減，在上單調遞增．所以，函數的極小值為，且當時，；當時，則.作出函數和的圖象如下圖所示：由圖可知，當時，函數與的圖象有兩個交點，所以，實數的取值范圍是.（ii）要證，只需證，即證．因為，所以只需證．由（?。┲环猎O．因為，所以，即，作差可得．所以只需證，即只需證．令，只需證．令，其中，則，所以在上單調遞增，故，即在上恒成立．所以原不等式得證．3．（2023·江西南昌·南昌縣蓮塘第一中學校聯考二模）已知函數，．(1)當時，恒成立，求a的取值范圍．(2)若的兩個相異零點為，，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）當時，恒成立，即當時，恒成立，設，所以，即，，設，則，所以，當時，，即在上單調遞增，所以，所以當時，，即在上單調遞增，所以，若恒成立，則．所以時，恒成立，a的取值范圍為.（2）由題意知，，不妨設，由得，則，令，則，即：．要證，只需證，只需證，即證，即證（），令（），因為，所以在上單調遞增，當時，，所以成立，故．4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數（且）.(1)若函數的最小值為2，求的值；(2)在（1）的條件下，若關于的方程有兩個不同的實數根，且，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）解：因為，，所以，.當時，有，所以函數在上單調遞增，所以函數不存在最小值；所以不合題意，故.當時，令，得.當時，，函數在上單調遞減；當時，，函數在上單調遞增.所以，解得.所以，的值為.（2）解：方法一：由（1）知，，.因為為方程的兩個不同的實數根，所以①；②.①－②得：，即，所以，令，有，所以，從而得.令，則，所以函數在上單調遞增，即，即，又，所以，恒成立，即，得證.方法二：由（1）知，，.因為為方程的兩個不同的實數根，所以，即方程有兩個不同的實數根.令，，則，.令，得.當時，，所以在上單調遞減；當時，，所以在上單調遞增.因為，所以.令，，則.所以在上單調遞減，所以，即.所以，所以.又在上單調遞增，所以.即，得證.④對數均值不等式法1．（2023春·福建廈門·高二廈門雙十中學?？茧A段練習）已知函數(1)已知f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，求實數a的值；(2)已知f（x）在定義域上是增函數，求實數a的取值范圍.(3)已知有兩個零點，，求實數a的取值范圍并證明.【答案】(1)(2)(3)，證明見解析【詳解】（1）因為，所以.所以，又f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，所以，解得..（2）f（x）的定義域為（0，+∞），因為f（x）在定義域上為增函數，所以在（0，+∞）上恒成立.即恒成立.，即，令，所以，時，時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，即.（3）定義域為當時，，所以在（0，+∞）上單調遞減，不合題意.當時，在（0，）上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為，函數存在兩個零點的必要條件是，即，又，所以在（1，）上存在一個零點（）.當時，，所以在（，+∞）上存在一個零點，綜上函數有兩個零點，實數a的取值范圍是.不妨設兩個零點由，所以，所以，所以，要證，只需證，只需證，由，只需證，只需證，只需證，令，只需證，令，，∴H（t）在（0，1）上單調遞增，∴，即成立，所以成立.2．（2023春·福建莆田·高二?？计谥校┮阎瘮?(1)討論函數的單調性：(2)若是方程的兩不等實根，求證：；【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【詳解】（1）由題意得，函數的定義域為.由得：，當時，在上單調遞增；當時，由得，由得，所以在上單調遞增，在上單調遞減.（2）因為是方程的兩不等實根，，即是方程的兩不等實根，令，則，即是方