廣東省深圳市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)第一次考試數(shù)學(xué)試題

深圳市紅山中學(xué)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高三第一次考試

數(shù)學(xué)試題

本試卷共8頁(yè)，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相

應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按

以上要求作答無(wú)效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

A=[x\x>—B=（xGNix2<3）4cA

1.已知集合LJ,11J,則A"=（）

A卜卜夜<xW3}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D,{0,1}

【答案】D

【解析】

【分析】解集合8中的不等式，得到集合8,再求

[詳解]B=^xeN|x2<3^={0,1},又A=[x卜〉-應(yīng)},

則4。8={0,1}.

故選：D

2.已知復(fù)數(shù)2=x+何（入，yeR）,則復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z滿足|z—（2+3i）|=2的圖形的面積是（）

A.2B.4C.InD.4萬(wàn)

【答案】D

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，在復(fù)平面中求出復(fù)數(shù)z的所有點(diǎn)構(gòu)成的軌跡方程，再計(jì)算面積即可

【詳解】因?yàn)閦=x+yi（x,ywR）,

所以z_（2+3i）=（x+yi）_（2+3i）=（x_2）+（y_3）i

因?yàn)閨z—（2+3i）|=2,

所以|z—（2+3i）|=J（x-2）2+（y_3）2=2,即（x—2『+（y—3『=4,

所以復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)2滿足上一（2+34=2的圖形是以（2,3）為圓心，以2為半徑的圓,

所以它面積為兀X22=4TI，

故選：D.

3.在等差數(shù)列｛?！埃?，。5一。2=6,若直線/過(guò)點(diǎn)"（加,a,"）,A”,WeN*）,則直線/

的斜率為（）

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列公差，再利用公差的幾何意義求解即得.

【詳解】在等差數(shù)列｛冊(cè)｝中，%-。2=6,則公差d=與二今=2,

所以直線/的斜率為4'—""=d=2.

m—n

故選：C.

4.函數(shù)/（x）=lnx-工的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）

X

A.（1,2）B,（2,e）C.（e,3）D,（3,4）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.

11l214

［詳解］/（l）=lnl-l=-l<0,/（2）=ln2――=ln2――lne=ln2-lnVe=ln-^==-ln->0,

22Ve2e

由/⑴"（2）<0,根據(jù)零點(diǎn)定理,則/（%）在（1,2）上存在零點(diǎn)；

當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)y=lnx與函數(shù)丁=一工單調(diào)遞增，則/（九）單調(diào)遞增，

X

所以函數(shù)“力僅在（1,2）中存在一個(gè)零點(diǎn).

故選：A.

5.設(shè)/為直線，a為平面，貝”_La的必要不充分條件是（）

A.直線/與平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直B,直線/與平面a內(nèi)任意直線都垂直

C.直線/與平面a內(nèi)兩條不平行直線垂直D.直線/與平面。都垂直于同一平面

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理及線面垂直結(jié)合充分條件必要條件定義判斷即可.

【詳解】對(duì)于A：直線/與平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直可以是無(wú)數(shù)條平行直線不能推出

若則a內(nèi)任意一條直線都與/垂直，可得直線/與平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，

直線/與平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直是/_La的必要不充分條件，A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B：直線/與平面a內(nèi)任意直線都垂直，/垂直e內(nèi)兩條相交直線，可得出/La,

若則a內(nèi)任意一條直線都與/垂直，

所以直線/與平面a內(nèi)任意直線都垂直是的充要條件，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C：直線/與平面a內(nèi)兩條不平行直線垂直即直線/與平面a內(nèi)兩條相交直線垂直，貝

若/La,則a內(nèi)任意一條直線都與/垂直，直線/與平面a內(nèi)兩條相交直線垂直，

直線/與平面a內(nèi)兩條不平行直線垂直是的充要條件，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D：直線/與平面a都垂直于同一平面夕，///戊或/ua,不能得出

若則直線/與平面a不能都垂直于同一平面，

直線/與平面?都垂直于同一平面是I±a的既不充分也不必要條件，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：A.

6.設(shè)事件A,B滿足止5,且P(A)=Q3,尸⑶=0.6,則P?)=()

1134

A.—B.-C.—D.一

4277

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)條件概率的公式結(jié)合已知條件分析判斷.

【詳解】因?yàn)镻(A)=0.3,所以P(Z)=0.7.

因?yàn)锳R5,尸(5)=0.6,P(AB)=P(A)=0.3.

P(B)=P(AB)+P(A5)=0.6，則P(AB)=0.3.

所以。(碓)=瑞0.33

0.77

故選：C.

7.已知向量工=(1,—1),b=(l,2),則方在方方向上的投影向量為()

非2月P2⑥

9一，一

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量方在向量B上的投影向量的定義求解.

【詳解】因平面向量a=（L—l），B=（l,2）,則7B=lxl+（—1）x2=—1,

所以向量少在B方向上投影向量的坐標(biāo)為：

故選：D.

8.克羅狄斯?托勒密（約90-168年）是希臘著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家.托勒密定理是歐幾里得

幾何中的重要定理，定理內(nèi)容如下：任意一凸四邊形，兩組對(duì)邊乘積的和不小于兩對(duì)角線的乘積，當(dāng)且僅

當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)，等號(hào)成立.已知在凸四邊形ABCD中，AB=2,BC=6,AD=2CD,

=&，則的最大值為（）

3

A.5B.3A/2C.2^/6D.277

【答案】D

【解析】

【分析】記CD=m,利用余弦定理表示出AC,然后根據(jù)題中結(jié)論可得.

【詳解】設(shè)CE>=m,則AD=2〃z,

在AACD中，由余弦定理得AC=^m2+4m2-2x2mxmcosg=后m,

由題知，AC-BD<AB-CD+AD-BC）即⑺?2機(jī)+12根=14nz，

1l-

所以加《ST?夕，當(dāng)且僅當(dāng)ABC。四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào),

所以BD的最大值為2a.

故選：D

D

A

B匕---------------------

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在正方體中，下列說(shuō)法正確的是（）

A.正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可以確定28條不同的線段

B.以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的直三棱柱有12個(gè)

C.以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐有64個(gè)

D.以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四棱錐有48個(gè)

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用幾何組合計(jì)數(shù)問(wèn)題，結(jié)合正方體及直三棱柱、三棱錐、四棱錐的構(gòu)造特征，列式計(jì)算即得.

【詳解】對(duì)于A,每?jī)牲c(diǎn)確定一條線段，則正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可確定不同的線段有C；=28條，A正確；

對(duì)于B,直三棱柱的兩個(gè)底面三角形平行并且全等，因此直三棱柱兩底面在正方體相對(duì)面上，

以正方形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有4個(gè)，從而正方體的一組相對(duì)面對(duì)應(yīng)的直三棱柱有4個(gè)，

因此以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的直三棱柱有3x4=12個(gè)，B正確；

對(duì)于C,正方體頂點(diǎn)任取4個(gè)點(diǎn)，共有C：=70種選法，

其中四點(diǎn)共面的共有6個(gè)面和6個(gè)對(duì)角面共12種，因此三棱錐共有70-12=58個(gè)，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由選項(xiàng)C,知正方體四點(diǎn)共面的情況有12種，每一種情況，余下每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)1個(gè)四棱錐，

因此四棱錐共有12x4=48,D正確.

故選：ABD.

10.某中學(xué)為更好地開展素質(zhì)教育，現(xiàn)對(duì)外出研學(xué)課程是否和性別有關(guān)做了一項(xiàng)調(diào)查，其中被調(diào)查的男生

3

和女生人數(shù)相同，且男生中選修外出研學(xué)課程的人數(shù)占男生總?cè)藬?shù)的y,女生中選修外出研學(xué)課程的人數(shù)

占女生總?cè)藬?shù)的如果依據(jù)&=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為選修外出研學(xué)課程與性別有關(guān)，但依據(jù)

2

。=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為選修外出研學(xué)課程與性別無(wú)關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生可能有（）

附：

2

P(K>k0)0.050.01

左03.8416.635

n(ad-be)?

K-=其中〃=a+/?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

A.150人B.225人

C.300人D.375人

【答案】BC

【解析】

【分析】設(shè)男生人數(shù)為5"("eN*),根據(jù)題意用〃表示出女生人數(shù)、男生中“選修外出研學(xué)課程”人數(shù)、女

生中“選修外出研學(xué)課程”人數(shù)，進(jìn)而表示出表格中其它人數(shù)，利用公式計(jì)算出犬2，由

3.841WK2<6.635得到〃的范圍，進(jìn)而得到男生人數(shù)的范圍，選出符合題意的選項(xiàng).

【詳解】設(shè)男生人數(shù)為5”("eN*),根據(jù)題意可得2x2列聯(lián)表如下:

男女

合計(jì)

生生

5nlln

選修外出研學(xué)課程3〃

~2~T

不選修外出研學(xué)課5n9n

2n

程~2~2

合計(jì)5n5n10/2

lln9n「「99

-----------5n-5n

22

依據(jù)依據(jù)a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為選修外出研學(xué)課程與性別有關(guān)，但依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為

選修外出研學(xué)課程與性別無(wú)關(guān)，

貝U3.841W3<6.635,

99

解得38.0259<n<65.6865，貝。190.1295<5n<328.4325.

故選：BC.

11.己知產(chǎn)為直線/：3x+4y—9=0上動(dòng)點(diǎn)，分別與圓E：(x—4y+(y—3)2=4相切于

兩點(diǎn)，則弦MN的長(zhǎng)度可能是()

B.C.272D.2百

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)題意得到當(dāng)歸國(guó)最小時(shí)，肱V最小，即可得至UlMNImin，再根據(jù)點(diǎn)P在直線3x+4y—9=0

無(wú)限遠(yuǎn)取值時(shí)，4ffiN趨近于180°，l"N|趨近于直徑，即可得到答案.

E:(x-4)2+(y-3)2=4,圓心E(4,3),r=2,

要使|肱V|的長(zhǎng)度最小，則NMEN最小，即NMEP最小，

因?yàn)?=所以當(dāng)最小時(shí)，|MN|最小,

又因?yàn)?PM所以當(dāng)|P目最小時(shí)，|MN|最小，

13x4+4x3-9115八巾宜r2

因?yàn)?即皿=6+42=二=3,故3//砂=網(wǎng)="

所以1PM=T=行,

所以COSNMEN=2COS2/MEP_1=2><(—2]-1=--，

所以\MNf=|ME|2+1-2\ME\\NE\cosAMEN=22+22-2x2x2x

所以|MN|=勺5

IImmQ

當(dāng)點(diǎn)P在直線/：3x+4y—9=0無(wú)限遠(yuǎn)取值時(shí)，NMEN趨近于180°，l"N|趨近于直徑4,

所以半W|MN|<4.

故選：AD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知角。的終邊過(guò)點(diǎn)P（—12,5）,則cos26=.

11Q

【答案】旃

【解析】

【分析】借助三角函數(shù)定義與二倍角的余弦公式計(jì)算即可得.

55

【詳解】由題意可得sin°=

A/(-12)2+5213,

I2_119

則cos20=1-2sin23=l-2xI

119

故答案

169

（3-a\x-l,x<l

13.已知函數(shù)/（%）=\7是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的可以是___________.（寫出一個(gè)滿足

x,x>l

題意的。即可）

【答案】2（答案不唯一，只要在區(qū)間［1,3））

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)每段函數(shù)的單調(diào)性，以及分界點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，即可列不等式求

實(shí)數(shù)。的范圍.

3—a〉0

【詳解】由條件得<。〉0,解得：lWa<3.

故答案為：2（答案不唯一，只要在區(qū)間［1,3））

14.南宋數(shù)學(xué)家在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所討論的二階等差

數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，二階等差數(shù)列中前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)之差成等差數(shù)列.現(xiàn)有二階

等差數(shù)列{%},其前5項(xiàng)分別為1,3,6,10,15,設(shè)數(shù)列‘人的前〃項(xiàng)和為5“，則$2024=

4048

【答案］——

2025

【解析】

【分析】結(jié)合題意可得數(shù)列4+i-％是以1為公差，2為首項(xiàng)的等差數(shù)列，即可得其通項(xiàng)公式，再借助裂項(xiàng)

相消法求和即可得解.

［詳解］由題意可得(生-g)—(%=(6—3^—(3—1)=1,

故數(shù)列4+1-4是以1為公差，2為首項(xiàng)的等差數(shù)歹U,

即4+1—/=〃+1,則有。“一。"_1=〃，一°“_2="一1，L,?2-flj=2,

則an=(4-??-1)+?！?2)+…+(%-4)+4

n(n+l)

a-n+n-l+n—2-\----1-2+1=

n2

故1丁而2旬=2匕-Q1

LL..J=2(I」+」+...+」-一-匚］=竺竺

q%anI22320242025J2025'

4048

故答案為:

2025

四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知〃cosA-acos5=c-a,a=2,sinC=—.

7

(1)求角5的大小;

(2)求VABC的面積.

TT

【答案】(1)-

3

(2)

13

【解析】

【分析】(1)運(yùn)用正弦定理，加上三角恒等變換解題即可;

(2)運(yùn)用正余弦定理和面積公式可解.

【小問(wèn)1詳解】

bcosA—acosB=c—Q,由正弦定理，sinBcosA—sinAcosB=sinC—sinA,

sinBcosA-sinAcosB=sin（A+B）-sinA=sinAcosB+sinBcosA-sinA,整理得

2sinAcosB=sinA,Ae（0,兀）osinAH0=2CQSB=10cosB=g,Be（0,兀）=8=兀

3

【小問(wèn)2詳解】

cosB=-,則sin5=3

22

段=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,^Z?2=4+c2-2c（*）

L2

由正弦定理，知道，6sinA=asin3=43，csinA=asinC=—,兩式比，

7

得到2=述，即/,nWlc，與（*）聯(lián)立，得到耳Z,2=4+02—2c,

cl24

1434

即——C2+2C-4=0,解得c=—,

413

則VABC的面積為』acsinB=Lx2xe*必=氈.

2213213

16.如圖，將長(zhǎng)方形。44a（及其內(nèi)部）繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，其中。4=1,。。=2,劣弧AB

的長(zhǎng)為a,4月為圓。的直徑，平面與平面4。田的交線為/.

（1）證明：1//OA-,

（2）若平面A05與平面4旦5夾角的正切值為生8,求四棱錐3-044。］的體積.

3

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵B

3

【解析】

【分析】(1)法一：由線面平行的判定定理得到Q4//平面A|。酒后，再利用線面平行的性質(zhì)定理得證；

法二：由面面平行的性質(zhì)定理結(jié)合平行線的傳遞性得證；

(2)法一：建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，而后計(jì)算出平面與平面的法向量后，結(jié)合空間向量夾

角公式表示出其夾角的余弦值后，可計(jì)算出點(diǎn)3到平面。羽日距離，再結(jié)合體積公式計(jì)算即可得；法

二：作出相應(yīng)輔助線，計(jì)算可得/日石。即為平面與平面夾角，即可計(jì)算出點(diǎn)3到平面

0A距離，再結(jié)合體積公式計(jì)算即可得.

【小問(wèn)1詳解】

法一：

?.?OA//O］A，平面A］。內(nèi),平面A018,

.?.。4//平面4］。［8,

又?.?QAu平面AO8,平面AOB。平面4。13=/,

1//OA.

法二：

?圓面。//圓面a,平面Aa3n圓面a=AG,

平面圓面o=/,，aA/〃，

又///OA；

【小問(wèn)2詳解】

法一：

以。為原點(diǎn)，on,。。分別為％z軸，垂直于y,z軸直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示，則4(。，L2)，q(0,0,2),

:.ZAOB=a.5(sina,cos/。),

O1Al=(0,1,0),QB=(sin%cos%—2),

設(shè)平面AB。的法向量為為二（x,y,z）,

加。14=0Iy=0

由＜—.，即Bn〈

%sino—2z=0'

n-0i}B=0

令x=2,則2=$]11。，為二（2,0,sin。），

平面A05的法向量為沅=（0,0,1），

設(shè)平面A05與平面\O,B夾角為。,

/、2

n-ihsin2a

貝(Jcos20-cos2n,m=

MH和4+sin2a

sin2a

sin201-cos202

則tan20=4+sina_￡

cos20cos20zisi?n2asi?n2a

4+sin2a

416業(yè)（負(fù)值舍去）,

即nn「工一二:~，sina=

sina32

即B到平面OAA.O.距離為旦,

2

則V|S四邊形。丸=g.2.￥=g

法二:

如圖，過(guò)5作BD//AO,即平面A05與平面4。內(nèi)的交線為BD,

作于E,連接&E,

又OOXnOE=O,OOl,OEu平面OQE,

..3￡>_L平面。iOE,?.QE，5。，

REO是平面AOB與平面40內(nèi)夾角,

?.?AB的長(zhǎng)為1(0<￡<兀)，

:.ZAOB=a,:.OE=sina,

tanZO.EO=型=,

OEsina

mi,2_4^/3._y/3

sina32

即B到平面OAAlOl距離為昱,

2

V

B-OAAiOi~3D四邊形OAAQ〃—3/O—3?

17.己知函數(shù)/(x)=e1其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)若/0)=8(力+人(力，其中g(shù)(x)為偶函數(shù)，&(%)為奇函數(shù),求函數(shù)g(x)的解析式以及最小

值；

(2)若y=/(x)的圖像與直線/:丁=依+1相切，求實(shí)數(shù)人的值.

【答案】(1)g(x)=J；e*,最小值1

(2)1

【解析】

【分析】(1)通過(guò)函數(shù)奇偶性，構(gòu)造方程組即可解析式，再通過(guò)基本不等式即可求最小值;

(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)(不，1°),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到<"二：：

］求解即可.

|e0(1-

【小問(wèn)1詳解】

函數(shù)/(x)=e，的定義域?yàn)镽.

由/(X)=g(x)+“(x)及g(x)為偶函數(shù)，人(力為奇函數(shù),

得/(r)=g(_力+MT=g(力_/?⑴，

/(X)(X)

兩式相加，解得：g(%)=Y~=

因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=e、的定義域?yàn)镽,

所以^>0，er>0，

所以g(x)二百?'z拈.「=1,

當(dāng)且僅當(dāng)/=已%即x=0時(shí)等號(hào)成立.

故當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)g(x)的最小值為1.

【小問(wèn)2詳解】

由條件得了'(X)=e”,設(shè)兩圖像切點(diǎn)為(見(jiàn)，0),

xx

則/:y—e*=e^(x-x0),即y=e°x+e°(l-x0),

k=er°

所以

e%。-%)=1

令m(x)=ev(1-x),則mf(x)=ex(l-x-l)=—xex,

當(dāng)尤>0時(shí)，m(x)<0,7〃(x)遞減,

當(dāng)尤<0時(shí),m(x)>0,當(dāng)x)遞增,

當(dāng)x=0時(shí)，zn(0)=m(x)max=1,

又所以叫；=0,

所以左=e*=1.

18.2024年，“網(wǎng)紅”城市哈爾濱吸引了大量游客前來(lái)旅游，著名景點(diǎn)有冰雪大世界和亞布力滑雪場(chǎng).當(dāng)?shù)?/p>

為了合理配置旅游資源，管理部門對(duì)首次來(lái)哈爾濱的游客進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計(jì)，其中1的人計(jì)劃只參

4

3

觀冰雪大世界，另外一的人計(jì)劃既參觀冰雪大世界又游玩亞布力滑雪場(chǎng).每位游客若只參觀冰雪大世界，

則發(fā)1個(gè)紀(jì)念幣；若既參觀冰雪大世界又游玩亞布力滑雪場(chǎng)，則發(fā)2個(gè)紀(jì)念幣.假設(shè)每位首次來(lái)哈爾濱的

游客計(jì)劃是否游玩冰雪大世界和亞布力滑雪場(chǎng)互不影響，視頻率為概率.

(1)從游客中隨機(jī)抽取4人，記這4人合計(jì)的紀(jì)念幣的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)從游客中隨機(jī)抽取〃人(/cN*)，記這〃人合計(jì)紀(jì)念幣的個(gè)數(shù)恰為〃+1的概率為匕，求

Pl+P2+---+Pn.

【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，7

【解析】

【分析】(1)由題意確定X的可能取值，求出每個(gè)對(duì)應(yīng)的概率，即可得分布列，由期望公式，即可求得數(shù)學(xué)

期望；

(2)結(jié)合題意可知只有1人既參觀冰雪大世界又游玩亞布力滑雪場(chǎng)，于是可得到

P=C；,W，利用錯(cuò)位相減法求和，即可求得答案；

""⑷44"

【小問(wèn)1詳解】

方法一：

13

由題意知，每位游客計(jì)劃不游玩亞布力滑雪場(chǎng)的概率為:，游玩亞布力滑雪場(chǎng)的概率為一，則X的可能

44

取值為4,5,6,7,8.

P(X=4)=

327

P(X=6)=C：

128

3

P(X=8)=?嘿

所以X的分布列為:

X45678

13272781

P

2566412864256

i32727X1

所以E(X)=4x——+5x—+6x——+7x—+8x——=7.

2566412864256

方法二：

4

記隨機(jī)抽取的4名游客的紀(jì)念幣個(gè)數(shù)分別為X”則有X=ZX,，

1=11

又注意到X,.是一個(gè)取值為1,2的兩點(diǎn)分布,

所以Xj-1是0-1分布,

4,則y服從二項(xiàng)分布514,土)，且*=丫+4,

記￥=1^,

Z=1

所以y的分布列為p(y=左)，左=0,1,2,3,4,數(shù)學(xué)期望為3,

則有X的分布列為P(X=s)=P(y=s—4)=C；4(；］,s=4,5,6,7,8,

數(shù)學(xué)期望為E(X)=E(y+4)=7.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)檫@〃人的合計(jì)紀(jì)念幣的個(gè)數(shù)為〃+1,則其中只有1人計(jì)劃游玩亞布力滑雪場(chǎng)，

所以…［「Id

3693n

設(shè)*=6+8+…+月=—rH—z-H—TH------1-------，

4142434

13693(M-1)3n

貝nr」l4o'=不+不+不+…布，

由兩式相減得:

3n4+3〃

----1--------

4〃+i4〃+i

3693n

所以5“=4+2+?一+與=3+不+/+—-+不=

314,1+1

19.已知兩點(diǎn)A（—1,O）、3（1,0）,動(dòng)點(diǎn)M滿足直線MA與直線MB的斜率之積為3.,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線

C.

（1）求曲線C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)/（2,0）作直線/交曲線C于P、。兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)均在y軸的右側(cè)，直線AP、8。的斜率分別為

左1、k2.

①證明：7r為定值；

左2

9

②若點(diǎn)。關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)成點(diǎn)“，探究：是否存在直線/,使得△班H的面積為一，若存在，求出直線