函數(shù)與基本初等函數(shù) 章節(jié)總結(jié)（解析版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考專用）

第11講：第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)

章節(jié)總結(jié)

第一部分：典型例題講解

題型一：函數(shù)的定義域

谷+的定義域?yàn)?/p>

1.(23-24高一上?河北石家莊?期末)函數(shù)/(力=）

A.B.w，lU（L+e）

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式組，即可解得函數(shù)的定義域.

【詳解】由題意對(duì)于"x)=7二彳+得［二2：°,解得且xwl,故C正確.

\3x-21x-lwO3

故選：C.

2.(23-24高一上?云南昆明?期末)函數(shù)/'(無(wú))=一^+ln(x-l)的定義域?yàn)?)

x-2

A.(l,+oo)B.(l,2)u(2,+oo)

C.(—8,1)D.(0,2)u(2,+oo)

【答案】B

fx-l>0

【分析】由題可得。八，即可解出定義域.

［九一2w0

【詳解】因?yàn)?(%)=」=+ln(x—1),

x-2

所以要使函數(shù)有意義，

fx-l>0

則<c八，解得%>1且工。2，

［x-2^0

所以〃無(wú))的定義域?yàn)镼2)U(2,+8),

故選：B.

3.(23-24高一下?安徽安慶,開(kāi)學(xué)考試)若函數(shù)的定義域?yàn)椋?U］,則函數(shù)/(log4-l)

的定義域?yàn)?/p>

【答案】［72,4］

【分析】

由尤的取值范圍求出2，-1的取值范圍，再令-;VlogzX-lVl,求出尤的范圍即可.

【詳解】

當(dāng)時(shí)2Z1,2,所以2「le

所以logzX-le-pl,BP-^-<log2x-l<l,貝I]J<log?%<2,

即log20VlogzXWlogzd,解得0W4，

所以函數(shù)/(log2%-1)的定義域?yàn)椋?,4］.

故答案為：［夜,4］

4.(23-24高一上?江蘇無(wú)錫?期末)已知函數(shù)〃x)=^/］肅4+ln(l-x),則〃2力的定義域

為.

【答案】-2。

【分析】先求出函數(shù)/'(尤)的定義域，進(jìn)而根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義域，即可求解.

fx+4>0

【詳解】由題意得，1八，解得-44x<l,

令"4W2x<l,則一

2

故/(2”的定義域?yàn)?2,1.

故答案為：-2,g］

5.(23-24高一上?湖北武漢?期末)已知函數(shù)八%)的定義域?yàn)?-5,4),則函數(shù)

g(x)=3/(2x+1)+logj|x+lj的定義域?yàn)?

【答案】］-2,|；

【分析】由抽象函數(shù)定義域以及復(fù)合型對(duì)數(shù)函數(shù)定義域的求法，列出不等式組即可求解.

【詳解】由題意函數(shù)〃元)的定義域?yàn)?-5,4),所以要使函數(shù)g(x)有意義,

—5<2%+1<4

3

則<解得-2<x<—,

-x+l>0

12

即函數(shù)g(x)=3〃2x+l)+log2[x+l]的定義域?yàn)?2,1

故答案為：，2,1]

題型二：函數(shù)的值域(最值)

1.(23-24高二上?廣東廣州?期末)函數(shù)/(x)=2尤+J4-Y的最大值是()

A.>/5B.275C.2+73D.4

【答案】B

【分析】

JTJT

設(shè)尤=2sina,ce,根據(jù)輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】由4--20,解得-2Wx<2,故的定義域?yàn)閇-2,2].

設(shè)x=2sina,a￡一方'，

則y=4sincr+A/4-4sin2cr=4sincr+2cosa=2?sin(a+°),

甘山275.y/5吟

其中，cos^=—,sin^=—,^>GI0,—I,

兀兀兀兀//兀

,/ae,則ri一萬(wàn)〈一5+夕(1+045+0〈兀，

當(dāng)<7+0=、，即sine=sin[]-。]=cose=^^,cosa=cos]]-。)=sine=^^時(shí)，

y=2后sin(a+<p)取最大值2行，即函數(shù)的最大值是2節(jié).

故選：B.

2.(多選)(23-24高一上?山東濰坊?期末)已知函數(shù)/⑴的定義域?yàn)镽,值域?yàn)閇-2,3],

則下列函數(shù)的值域也為[-2,3]的是()

A.y=/(x+l)B.y=/(x)+lC.y=f(-x)D.y=~f(x)

【答案】AC

【分析】結(jié)合題意根據(jù)復(fù)合函數(shù)值域及函數(shù)圖象變換，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證可得答案.

【詳解】對(duì)于A,y=/(x+D的圖象可看作由/(x)的圖象向左平移一個(gè)單位得到的，故值

域不變，正確；

對(duì)于B,由y=/⑺目一2,3]可得y=/(x)+1W一1,4],即y=f(x)+1的值域?yàn)閇一1,4],錯(cuò)誤；

對(duì)于C,函數(shù)y=/(r)與函數(shù)y=〃x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

故函數(shù)y=/(-X)的值域與函數(shù)y=/(x)的值域相同，為[-2,3],正確；

對(duì)于D,由y=〃x)e[-23]可得y=-F(x)e[-3,2],即y=-/(尤)的值域?yàn)椴?,2],錯(cuò)誤.

故選：AC

3.（2023高三上?全國(guó)?專題練習(xí)）函數(shù)”x）=cc°sx的值域是_____________

2COSX+1

【答案】（-8,；]口口,+8）

【分析】

將y=/（x）=ccosx化為cosx=,利用余弦函數(shù)的有界性，即|cosx|〈l,解不等式

2cos無(wú)+1l-2y

即可得答案.

CQQX

【詳解】由y=:可得（1-2y）cos%=y,

2COSX+1

11y

當(dāng)>=彳時(shí)等式不成立，二yw彳，則有cosx=「1,

221一2y

,?|cosx|<l,；Wl,3y2-4y+l>0,或yNl,

函數(shù)/（X）=ccosx的值域是y,占31,+⑹，

故答案為：[1,+co）

4.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）求函數(shù)y=jx-l+j5-x的最大值.

【答案】2夜

【分析】通過(guò)將兩個(gè)根式換元為機(jī)，"，函數(shù)即為〉=〃什"，利用加+”2=4,建立函數(shù)與

等式的關(guān)系即可求得其最大值.

【詳解】不妨設(shè)=y/5-x=n>0,則>=〃7+〃，

因帚+川=4,由4=蘇+”222加〃可得04帆區(qū)2,當(dāng)且僅當(dāng)切=”時(shí)等號(hào)成立，

由丁=（加+n）2=m2+n2+2mn=4+2mn<8,因y>0,

故得：y“2母,當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)函數(shù)取得最大值?

5.（23-24高一上?吉林?期末）已知函數(shù)〃同=]]一|（；,+左，XG[-1,0].

⑴％=-1時(shí),求“X）的值域；

⑵若“X）的最小值為4,求％的值.

【答案】⑴[2,14]

⑵左=—3

【分析】（1）設(shè)可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可得;

(2)設(shè)/=可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，對(duì)％的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)

計(jì)算即可得.

-x-|2x

【詳解】⑴由題意得，/(%)=-+k,xe[-l,O],

令/=,re［1,3］,g(t)=t2-2kt+k,t&［L,3］,

當(dāng)左=-1時(shí),g(t)=r+2t-l,re［1,3］,g⑺在［1,3］上單調(diào)遞增,

故gGL^g⑴=2,8(尤)喀=8(3)=14,

故g(x)的值域?yàn)椋?,14］；

(2)由(1)得g(t)=r-2kt+k,16［1,3］,對(duì)稱軸f=%,

①當(dāng)左＜1時(shí)，g⑺在［1,3］上單調(diào)遞增，

g(x)011n=g(l)=l—%=4,解得％=-3；

②當(dāng)IV左＜3時(shí)，g⑺在［1囚上單調(diào)遞減，在％3］上單調(diào)遞增，

g(x)1mli=g(@=Z-F=4無(wú)解,舍去；

③當(dāng)%＞3時(shí)，g⑺在［1,3］上單調(diào)遞減，

g(x)1rali=g(3)=9-5A=4,解得左=1,舍去；

綜上所述，k=-3.

6.(2023高三?全國(guó)?專題練習(xí))求函數(shù)〃耳="^的值域.

rf.6-2A/36+2退一

［答案］—--，—;—

【分析】先分離常數(shù)，再分類討論x=l與xwl,結(jié)合換元法與對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳解】/（%）=戶2=廠+心一（1）=1--

當(dāng)尤=1時(shí),/（x）=L

當(dāng)XW1時(shí)，'⑴1X2+X+1,

x-1

令t=x-l,則,wO,x=/+l,

時(shí)、J（無(wú)）=『"+1）=1-7—9---7=1——\—

所以（，+1）+/+21+3+3，

由對(duì)勾函數(shù)的值域可知，當(dāng)U0時(shí)，r+-+3e（-<?,3-2^]u[3+2V3,^）,

所以力+3

「6-2有八(6+2百

所以---1u1,---

,3JI3

綜上所述，函數(shù)〃X）的值域?yàn)閇生芋叵

7.（23-24高一上,重慶南岸■階段練習(xí)）（1）已知函數(shù)/（無(wú)）=+-〃zx+m-l的定義

域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍；

（2）已知函數(shù)“無(wú)）=Jox，+2x+l的值域?yàn)閇0,+8）,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴]￥，+s（2）[0,1]

【分析】（1）由題意可知：（租+1）32-如+機(jī)-120在R上恒成立，分加=-1和加力-1兩種

情況，結(jié)合△判別式運(yùn)算求解；

（2）由題意可知：y=ar2+2x+i的值域包含[0,+e）,分。=0和a力0兩種情況，結(jié)合二次

函數(shù)運(yùn)算求解.

【詳解】（1）由題意可知：（加+1）/一7"+相_120在R上恒成立，

當(dāng)相+1=0,即機(jī)=一1時(shí)，x-2>0,即x>2,不合題意；

m+l>0?瓜

當(dāng)m+1W。，即機(jī)W—1時(shí)，\\2//X7\，解得機(jī)N---，

A=（-m）-4（m+l）（m-l）<03

綜上所述:加的取值范圍是

(2)由題意可知：y=加+2x+l的值域包含［0,+8),

當(dāng)a=0時(shí)，〃x)=J2x+1,因?yàn)?x+l?0,可得/'(x)=j2x+120,

所以〃尤）的值域?yàn)閇。,+e），符合題意;

a>0

當(dāng)。片0時(shí)，則解得0<aVl,

A=4-4tz>0

綜上所述：實(shí)數(shù)。的取值范圍是[0』.

題型三：求函數(shù)的解析式

1一/

1.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(l-x)=L『(x*0),貝lj/(x)=()

A.1\一1(尤N°)B.一至一1(尤片1)

(xT)(1)

44

c.7一萬(wàn)一g。)D.7—不一1(.1)

(x-1)(尤-1)

【答案】B

【分析】利用換元法令f=l-x,代入運(yùn)算求解即可.

【詳解】令/=1-1，貝!］兀=1一方,由于xwO,則，wl,

八/\1—(1—力1/、

可得〃。=^^=^^一1，徐1),

(1-)(I)

所以=

(1)

故選：B.

2.(23-24高一上?天津南開(kāi)?期中)已知/卜-j=Y+*,則函數(shù)〃x+l)的表達(dá)式為()

B.〃川)++J

A./(^+1)=(%+1)2+—

(九+rd

C./(九+1)=X2+2x+3D./(x+l)=x2+2x+l

【答案】C

【分析】利用配湊法先求出函數(shù)/(%),再整體代入即可求出函數(shù)/(x+1)的表達(dá)式.

【詳解】因?yàn)?［彳一一］=/+地=+2

所以/(x)=f+2

所以/(x+l)=(x+lp+2,BP/(X+1)=X2+2X+3.

故選：C.

3.(23-24高一上?山西太原?期中)已知函數(shù)/(?+l)=2x+?-1,則()

A."3)=9B./(x)=2x2—3x(x>l)

C.〃x)的最小值為-1D.〃尤)的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)

【答案】ABC

【分析】B選項(xiàng)，換元法得到函數(shù)解析式；A選項(xiàng)，代入求解即可；C選項(xiàng)，配方求出函數(shù)

最值；D選項(xiàng)，解方程，求出答案.

【詳解】B選項(xiàng)，令f=?+121,得?=.1,貝=

f^+l)=f(t)=2t2-3t,

故〃X)=2X2—3X,XG[1,+<?),B正確;

A選項(xiàng)，f(3)=9,A正確，

C選項(xiàng)，/(^)=2X2-3%=2^-|J-|,所以在[1,+8)上單調(diào)遞增，

1

/Wm?=/()=-1-C正確；

3

D選項(xiàng)，令2爐_3%=0,解得x=s或0(舍去)，

故"X)的圖象與x軸只有1個(gè)交點(diǎn)，D錯(cuò)誤.

故選：ABC

4.(23-24高一上?湖北?期末)函數(shù)滿足〃力+/(￡|=0,請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合題意的函

數(shù)〃尤)的解析式.

【答案】/(x)=log2x(答案不唯一)

【詳解】^/(x)=log2x,

貝(X)+/]：j=logzX+log2g=log?(X?=log?1=0,滿足題意.

故答案為："X)=log2X(答案不唯一)

5.(2024高一?全國(guó)?專題練習(xí))已知了⑶是二次函數(shù)且f(0)=2,f(x+l)-f(x)=x-l,求

f(x).

13

【答案】/(X)=-^2--X+2

【分析】

利用待定系數(shù)法即可得解.

【詳解】依題意，設(shè)〃司=加+區(qū)+。(-0),所以〃0)=c=2,

而尤+1)=++h(1+l)+c=OX?+2ax+.+陵+人+c,

所以/(x+l)-/(x)=2ox+a+b=x-l,

1

CL———

[2a=l2

有待定系數(shù)可知71，解得<

[a+b=-l

b=--

13

所以=一5元+2.

6.(23-24高一上?河北?階段練習(xí))⑴已知/(?+1)=尤+26，求的解析式；

(2)/(x)-2/(-x)=9x+2,求〃尤)的解析式.

【答案】(1)/(x)=x2-l(^>l)；(2)〃x)=3x-2

【分析】(1)根據(jù)整體法即可結(jié)合換元法求解，

(2)聯(lián)立方程即可求解

【詳解】⑴+=x+2-Jx=(y[x+1j—1,

令t=?+121,所以/?⑺=/一1,

(2)由/'(尤)一2/(—x)=9x+2可得—2/(尤)=—9x+2,

聯(lián)立可得/(x)=3x-2,

故〃x)=3x-2

題型四：分段函數(shù)問(wèn)題

I-y*_-y'1

1.(23-24高三上?安徽六安?期末)函數(shù)/(x)=一’，若/("+l)v〃-10a)-"5),

1ILX,冗11

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.{-1}B.(-℃,-1]

C.D.

【答案】A

【分析】

原不等式變形為/[5(/+i)]v/(T0a),再利用分段函數(shù)的單調(diào)性即可得到不等式，解出

即可.

【詳解】

當(dāng)x<l時(shí)，/(x)=e*+x-4,因?yàn)閥=e，,y=x-4在(-雙1)上單調(diào)遞增，此時(shí)〃x)單調(diào)遞

增，

當(dāng)時(shí)，易知/(x)=lnx單調(diào)遞增，且當(dāng)尤=1時(shí)，e1+l-4=e-3<0=lnl,

則/(無(wú))在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)槠?121,貝U/(a2+l)+/(5)=ln(a2+l)+ln5=ln5(?2+l)=/[5(a2+1)],

所以由/（?2+1）</（-10a）-/（5）得?。?+川</（-10?）,

所以5（1+1）W_10p,解得q=T.

故選：A.

2.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（%）=：一,若現(xiàn)eR,使得

log3x,x>3

a+4”成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

911「51

A.B.--,0

44J2

.9]「1'（5]「八、

C.I3-—ID.Iu[0,+<?）

【答案】C

【分析】

先求出分段函數(shù)的最小值；再求解不等式的解集即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=d-3x在區(qū)間1-巴|上單調(diào)遞減，在區(qū)間（|，3）上單調(diào)遞增，

3Q

所以當(dāng)x=/時(shí)，函數(shù)>-3尤,xV3取得最小值-“

又因?yàn)楹瘮?shù)y=logsX在區(qū)間（3,+力）上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x>3時(shí)，log3x>1.

綜上可得函數(shù)〃尤）=[：的最小值為一苫.

[log3x,x>34

因?yàn)橥鑕R,使得了（%O）W1O7〃+4序成立，

9Q1

所以——<10m+4m2,解得：m<——或加之——.

444

故選：C.

3.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）定義域?yàn)镽的函數(shù)/（%）滿足〃x+2）=2〃x）,當(dāng)％40,2）

XG[0,1)

時(shí)，/(%)=V,若xe[-4,-2）時(shí)，f^>L-L恒成立，則實(shí)數(shù)f的取值

,XG[1,2)

范圍是（

f(x)=xa[-2,0)u[1,+?>)

(y,—2Mo,1]卜2』

【答案】C

【分析】根據(jù)/（x+2）=2〃x）得到了（尤）=；/（x+4）,再根據(jù)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求出

xe[T,-2）時(shí)，/'（"的最小值為-；，則得到不等式，解出即可.

【詳解】當(dāng)xe[-4,-2）時(shí)，x+4e[0,2）.

因?yàn)椤▁+2)=2/(x),所以〃x+4)=2/(x+2)=4/(x),gpf(x)=jf(x+4).

xe[0，l）時(shí)，函數(shù)最小值為了%

3

xe[l,2）時(shí),函數(shù)最小值為了-1，

故在區(qū)間[0,2）上，函數(shù)最小值為了-1

131

當(dāng)工4-2,0）時(shí)，最小值為了

22

51

同理，當(dāng)％4T-2）時(shí)，最小值為了

24"

即：1+2yT）go,解得/《十，一句"?！?

故選：C.

4.（23.24高一下?廣西?開(kāi)學(xué)考試）已知?。?]，"3）:2加+1?<]是R上的單調(diào)函數(shù),

則機(jī)的取值范圍是.

【答案】[2,+co）

【分析】

函數(shù)分單調(diào)遞增和單調(diào)遞減兩種情況結(jié)合分段函數(shù)單調(diào)性列不等式求解.

5m-3>0,

【詳解】若〃%)在R上單調(diào)遞增，貝IJ根〉1,解得機(jī)>2.

5加-3-2/+l?logJ

5m-3<0,

i3

若/(%)在R上單調(diào)遞減，貝IJ0<機(jī)<1,解得金(加

2

5m-3-2m+1>logml,

故加的取值范圍是［2,+8).

故答案為：；，|)［2,+8)

5.(23-24高一下?上海,階段練習(xí))若函數(shù)〃x)='無(wú)最大值，則實(shí)數(shù)。

I2|X-6Z|-2,XG(1,3］

的取值范圍_________.

【答案】(|,舟)

【分析】

分類討論a的取值范圍，脫掉絕對(duì)值符號(hào)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及〃無(wú))無(wú)最大值，列出相應(yīng)

不等式，即可求得答案.

2

【詳解】由題意知當(dāng)無(wú)時(shí)，/(X)=A/1-XG［0,1］，

當(dāng)aVI時(shí)，在x《1,3］上，f(x)=2\x-a\-2=2x-2a-2,

此時(shí)f(x)在(1,3］上單調(diào)遞增,且"3)=4-2a12,

故a<l時(shí)，“幻有最大值"3)=4-2%不合題意；

當(dāng)1<々<3時(shí)，在時(shí)，/(%)=—2x+2〃—2,/(九)在(1,a］上單調(diào)遞減,

在工￡(a,3］時(shí)，f(x)=2x-2a-2f/(幻在33］上單調(diào)遞增,

1,1一%2,XG[—1,1]

此時(shí)要使得函數(shù)〃x)=

12,-同一2,x￡(1,3]無(wú)最大值,需滿足〃1)>/(3)且。⑴>〃0)=1,

2a—4〉4—2a55

即2“-4>1,解得"5,結(jié)合5<3,則大”3；

當(dāng)a23時(shí)，在xe(l,3]上，/(x)=-2x+2a-2,/(元)在(1,3]上單調(diào)遞減,

fJl-x2,xe

此時(shí)要使得函數(shù)/(x)=無(wú)最大值,需滿足/⑴>/(。)=1,

[2|x-a|-2,xe(l,3]

即2。-4>1,即a>g,結(jié)合。23,可得a23,

綜合以上，實(shí)數(shù)，的取值范圍為g,+8),

故答案為：(―,+°°)

2

題型五：函數(shù)的單調(diào)性

1.(2024?陜西西安?二模)已知函數(shù)/'(無(wú))=：尤2-2x+lnx.若/(a+l)2/(2a-l),則。的取

值范圍是()

A.(―°°,—1]B.(—1,2]C.[2,+co)D.f-,2

【答案】D

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，根據(jù)已知轉(zhuǎn)化出再解出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?(x)=-2x+lnx,xe(0,+oo),

所以尸(X)=X_2+L，2X+1=3LO,

XXX

所以/⑺是(0,+8)上的增函數(shù)，所以若/(?+D>/(2a-1)

則a+122a-l>0,解得LaV2.

2

故選：D

2.(2024?廣東?一模)已知((x)=2?2,若/⑷<3,則()

A.ae(1,+oo)B.4?e(-l,l)C.fle(^?,l)D.ae(0,l)

【答案】B

【分析】

根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)及函數(shù)在O+s)單調(diào)遞增即可求解.

【詳解】因?yàn)閒(x)=2M+x2的定義域?yàn)镽,且/(-x)=2T+(-x)2=2國(guó)+Y=/⑺,

所以/(x)為偶函數(shù)，

又當(dāng)xNO時(shí)，/(x)=2'+f單調(diào)遞增，且/⑴=3,

所以由/(?)<3可得/刎)<3=/(I),即時(shí)<1,

解得一1<a<1,

故選：B

3.(2024?云南貴州二模)若函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽且圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，在[0,+?)上

是增函數(shù)，且〃-3)=0,則不等式/(“<0的解是()

A.(-oo,-3)B.(3,+oo)

C.(-3,3)D.(-oo,-3)u(3,+oo)

【答案】C

【分析】

先分析不等式在［0,+8)上的解，再根據(jù)對(duì)稱性得出不等式在上(-8,0)的解即可.

【詳解】因?yàn)椤癤)在［0,+8)上是增函數(shù)且/(-3)=0,所以/(x)<0在［0,+8)范圍內(nèi)的解

為［0,3).

因?yàn)楹瘮?shù)“X)在定義域R上圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以/(x)<0在(-雙。)內(nèi)的解為(-3,0),

所以不等式/(x)<o在R內(nèi)的解為(-3,3).

故選：C

4.(2024高一?全國(guó)?專題練習(xí))定義R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)Ax)滿足對(duì)任意作R,若

fit2-20+。(2(一6)<0恒成立,求上的范圍____.

【答案】卜巴一.

【分析】根據(jù)/⑺為R上的奇函數(shù)且為減函數(shù)，可得出發(fā)<3/一2,對(duì)任意的feR恒成立，

這樣求出y=3/-2/的最小值，從而便可得出％的取值范圍.

【詳解】因?yàn)榱恕?是定義R上的奇函數(shù)，所以

f(t2-2t)+f(2t2-k)<0of(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),

又因/(X)在R上的單調(diào)遞減，

所以心-21>左-2/對(duì)任意feR恒成立，

所以上<3/一2t對(duì)任意reR恒成立，所以左<(3/一2。.,

\/min

設(shè)y=3〃-2f,對(duì)稱軸f=

所以當(dāng)f時(shí)，ymn=3xfn-2x-=-l,

3mn⑶33

所以/<.

故答案為：

5.(2024?四川成都?二模)己知函數(shù)/(x)=3x-siiu,/(a)+/(a2-2)>0,則實(shí)數(shù)。的

取值范圍為.

【答案】(F,—2)L(L+8)

【分析】

首先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不

等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.

【詳解】函數(shù)〃x)=3x-sinx的定義域?yàn)镽,且/(-x)=-3x+sinx=-/(x),

所以/(%)=3x-sinx為奇函數(shù)，

又y,(x)=3-cosx>0,所以/(x)=3x-sinx在R上單調(diào)遞增，

不等式/■)+/(—―2)>0,BP/(a2-2)>-/(?)?,/(-a),

等價(jià)于〃一2>-a,解得a>1或。<-2,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-8,-2).(1,2).

故答案為：(-8,-2)-.(1,田)

題型六：函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，對(duì)稱性，周期性綜合應(yīng)用

1.(2024?山東煙臺(tái)?一模)已知定義在R上的奇函數(shù)Ax)滿足/■-同寸⑺，當(dāng)時(shí)，

x

f(x)=2-l,?/(log212)=()

111i

A.—B.—C.—D.-

3432

【答案】A

【分析】

根據(jù)給定條件，探討函數(shù)/(x)的周期，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性及指對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算即得.

【詳解】在R上的奇函數(shù)的x)滿足f(2-x)=/(x),則f(x)=-/(x-2),

于是Ax)=-/(x-2)=-[-/(x-4)]=/(無(wú)一4),即函數(shù)f(x)的周期為4,

X

而8<12<16,則3<k>g212<4,-1<log212-4<0,又當(dāng)OVxVl時(shí),/(x)=2-1,

l0S

所以/(叫,⑵=/(log212-4)=/(log21)=-/(log,|)=-(2^-D=-1.

故選：A

2.(2024.河北滄州?一模)已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足：

2024

/(x)+/(2-x)=2,/(x)-/(4-x)=0,且〃0)=2.若他N*,則卜阿=()

Z=1

A.506B.1012C.2024D.4048

【答案】C

【分析】根據(jù)條件得到函數(shù)/(X)是周期為4的函數(shù)，再根據(jù)條件得出

/(1))/(2)，/(3),/(4),即可求出結(jié)果.

【詳解】/(x)+/(2-x)=2,①

.-./(l+x)+/(2-(l+x))=2,

即〃l+x)+〃l—x)=2,所以+=,

所以函數(shù)的圖象關(guān)于(1,1)對(duì)稱，

令x=l，則〃1)+/。)=2,所以7?⑴=1,

令x=2,/(2)+/(0)=2,又"0)=2,所以"2)=0,

又./(x)-/(4-x)=0,.../(2—尤)=/(4一(2—力)=/(2+尤),②

即函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

/(3)=/(1)=1

且由①和②，^/(x)+/(2+%)=2=>f(2+x)+f(4+%)=2,

所以〃x)=〃4+x),則函數(shù)〃x)的一個(gè)周期為4,

貝k(4)=/(0)=2,

2024

所以￡/(0=506［/(l)+/(2)+/(3)+/(4)］=506x(l+0+l+2)=2024.

i=l

故選：C

3.(23-24高三下?江蘇蘇州?階段練習(xí))已知定義在R上的偶函數(shù)/(幻，其周期為4,當(dāng)xe［0,2］

時(shí)，f(x)=2x-2,則()

A./(2023)=0B./⑺的值域?yàn)椋跿2］

C.Ax)在［4,6］上單調(diào)遞減D./⑺在［-6,6］上有8個(gè)零點(diǎn)

【答案】AB

【分析】

對(duì)于A選項(xiàng)，利用函數(shù)的周期性與奇偶性，計(jì)算函數(shù)值；對(duì)于B選項(xiàng)，利用函數(shù)的解析式

求得函數(shù)值范圍，再利用奇偶性，得出函數(shù)的值域；對(duì)于C選項(xiàng)，利用函數(shù)解析式和周期性，

推得函數(shù)的單調(diào)性；對(duì)于D選項(xiàng)，利用函數(shù)的周期性和奇偶性，得出零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

【詳解】

對(duì)于A,/(2023)=/(506x4-1)=/(-I)=/(I)=0,所以A正確；

對(duì)于B,當(dāng)xe［0,2］時(shí)，/(x)=2,-2單調(diào)遞增，

所以當(dāng)xe［0,2］時(shí)，了⑺的值域?yàn)椋邸?,2］,

由于函數(shù)是偶函數(shù)，fW在［-2,0］上的值域也為［-1,2］,

又Ax)是周期為4的周期函數(shù)，所以/(x)的值域?yàn)椋?1,2］,所以B正確；

對(duì)于C,當(dāng)xe［0,2］時(shí)，y（x）=2'-2單調(diào)遞增，

又了（無(wú)）的周期是4,所以Ax）在［4,6］上單調(diào)遞增，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,令/。）=2'-2=0,得x=l,所以/⑴=/（-1）=。，

由于/（X）的周期為4,所以/（5）=/（-5）=0,/（3）=/（-3）=0,

所以在［-6,6］上有6個(gè)零點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤，

故選：AB.

4.（23-24高一下?江西?開(kāi)學(xué)考試）已知"%）是定義在R上的奇函數(shù)，且〃4-x）=/（x）,

若對(duì)于任意的再,x,e［2,4］,都有（占一一“尤2）］＜0,則（）

A.〃尤）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-2,0）中心對(duì)稱B.〃尤）=〃x+8）

C.〃x）在區(qū)間［-2,2］上單調(diào)遞增D.“X）在x=66處取得最大值

【答案】BCD

【分析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性、對(duì)稱性、周期性、單調(diào)性的定義和性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可

判斷和選擇.

【詳解】

對(duì)A：由〃4r）=〃x）,得的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；

又/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)〃x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

由對(duì)稱性可知，函數(shù)/'（X）的圖象關(guān)于點(diǎn)（4,0）中心對(duì)稱，

再根據(jù)/（x）是奇函數(shù)可得，函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（T,0）中心對(duì)稱，A錯(cuò)誤；

對(duì)B：由/=與〃4一力=/（力，

得〃4+X）=/（T）=—/⑴，所以/（8+無(wú)）=—"4+尤）=〃x）,B正確;

對(duì)C：因?yàn)閷?duì)于任意的占，赴耳2,4］,都有（凡一馬）"（占）一/（無(wú)2）］＜。，所以〃x）在［2,4］

上單調(diào)遞減，

又函數(shù)〃x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（4,0）中心對(duì)稱，則在［4,6］上單調(diào)遞減，

因?yàn)椤癤）的圖像關(guān)于直線戶2對(duì)稱，則在區(qū)間［-2,2］上單調(diào)遞增，C正確；

對(duì)D：由C可知，"X）在尤=2處取得最大值，f（66）=/（8x8+2）=/（2）,

則/（x）在x=66處取得最大值，D正確.

故選：BCD.

5.（2024?吉林白山二模）已知函數(shù)〃尤）的定義域?yàn)镽,其圖象關(guān)于（1,2）中心對(duì)稱，若

"""x)=2_x,則()

4

A.”2—3x)+/(3x)=4B./(A：)=/(X-4)

20

c.7(2025)=T046D.^/(z)=-340

Z=1

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)對(duì)稱性即可判斷A,根據(jù)"1)=2,/(3)=-2,/(-1)=6的值即可排除B,根據(jù)

/(x+4)-/(x)=-8可求解C,根據(jù)/(D+/(2)+/(3)+/(4)=-4,即可求解D.

【詳解】因?yàn)椤ㄓ?的圖象關(guān)于(L2)中心對(duì)稱，則/(2-x)+/(x)=4,故A正確；

由一;(4r)=27,可得/(x)—/(4—x)=8—4x,貝〃2—“一〃2+x)=4x,取x=l

得了⑴一"3)=4,

在/(2-力+/(力=4中取*=1可得，⑴=2,則〃3)=-2,

由/(—1)+/(3)=4,得/(—l)=6w/(3),故B錯(cuò)誤；

由/(2-x)-/(2+x)=4x,得4-7(x)-〃2+x)=4x,

r.y'(x)+/(x+2)=4-4x(J)/(x+2)+f(^x+4^=—4--4x(2),

②-①得“x+4)—〃x)=-8,又

2025=l+4x506,r"(2025)=/■⑴-8x506=2-8x506=-4046,故C正確；

又由①/(2)+/(4)=-4,:.f(l)+/(2)+/(3)+/(4)=-4,

205X4

..￡f(i)=-4x5+—x(-32)=-340,故D正確.

i=l2

故選：ACD.

6.(23-24高三下?陜西,開(kāi)學(xué)考試)已知定義在R上的函數(shù)/(x+1)為奇函數(shù)，/(尤+2)為偶

函數(shù)，當(dāng)xe［0,l］時(shí)，f(x)=3x3-3x,則方程在［0,99］上的實(shí)根個(gè)數(shù)為.

【答案】98

【分析】

根據(jù)條件確定函數(shù)周期性，畫(huà)出函數(shù)在區(qū)間［0,4］上的圖象，根據(jù)圖象可得實(shí)根個(gè)數(shù).

【詳解】函數(shù)/(x+1)為奇函數(shù)，即/(x+l)=—/(-x+l),對(duì)稱中心為(1,0),

函數(shù)/(x+2)為偶函數(shù)，即/(x+2)=/(—x+2),對(duì)稱軸為x=2,

又由〃龍)=+2)=-/(x+2)=〃尤+4)可得

函數(shù)/（X）是周期函數(shù)，且周期為4,

當(dāng)x?O,l］時(shí)，f（x）=3d-3x,則?。?9/-3,

令r（x）>o,得當(dāng)<彳<1,單調(diào)遞增,

令廣（力<0,得0<x考,/（X）單調(diào)遞減，

所以小L171g,3x］gj-3x］?=-與

作出函數(shù)“X）在區(qū)間［0,4］上的圖象如下：

即在區(qū)間［0,4］上，方程/（力=-1有4個(gè)實(shí)根，

又99=4x24+3,

則方程〃力=T在［0,99］上的實(shí)根個(gè)數(shù)為4x24+2=98.

故答案為：98.

題型七：不等式中的恒成立問(wèn)題

4

1.（23-24高一上■重慶?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=x+j,g（x）=2*+a.若

%e［1,3］，叫目2,3］,使得/&）*（%）成立，則實(shí)數(shù)。的范圍是（）

A.tz<4B.a<3C.a<0D.a<\

【答案】C

【分析】

先根據(jù)基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性求得/（X）1mn,g（x）面”，結(jié)合題意知/（“1nmNg（冷.，解

出即可.

【詳解】因?yàn)?（x）=x+：22d=4,

4

當(dāng)且僅當(dāng)％=—,且l>0,即1=2時(shí)等號(hào)成立，

x

所以〃xU=4,

又函數(shù)8（力=2，+。在［2,3］上單調(diào)遞增，

2

所以g(x)1nin=2+?=4+fl,

由題意可知/(X)向n2gGKn，

即424+a,所以。40,

故選：C.

2.(23-24高一上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí))已知正實(shí)數(shù)工，＞滿足2x+3y=l,且於-丁“一對(duì)

任意恒成立，則實(shí)數(shù)f的最小值是.

17

【答案】v

O

【分析】利用分離常數(shù)法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.

x>0

【詳解】依題意，]-2x八，解得0<%<—,貝！J—>2

y=----->02x

3

,2

由￡_y22x-'得/2

X

l-2xfl-2x?

其中x-y+y?x―一二+

x2x2

15-2+4/

97

11

則當(dāng)工=-號(hào)='時(shí)①式取得最大值一

X_4491419498

9

所以f的最小值是十.

O

17

故答案為：—.

O

3.(23-24高一下?上海金山?階段練習(xí))定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)滿足/(x+2)=2/(x),當(dāng)

”1

xe[0,2)時(shí),若當(dāng)xe[Y,-2)時(shí)，不等式“xjNjT+q恒成

立，則實(shí)數(shù)/的取值范圍是.

【答案】[1,3]

【分析】

求函數(shù)在xe[0,2)上的最小值，再由遞推關(guān)系得出函數(shù)在xe[-4,-2)最小值，即可轉(zhuǎn)化為

1*I

—_L?L—/+_L求解即可.

442

【詳解】

當(dāng)xe[O,l）時(shí)，〃尤）=尤2-無(wú)€[_；,0]；

當(dāng)xe[l,2）時(shí)，/⑴二一出"^[一1,-*