規(guī)律探究與新定義型問(wèn)題

重難點(diǎn)01規(guī)律探究與新定義型問(wèn)題

目錄

重難點(diǎn)題型突破................................................................2

類型一新■式搦律2

題型01記數(shù)類規(guī)律.........................................................2

題型02乘方類規(guī)律.........................................................4

題型03表格類規(guī)律.........................................................5

題型04數(shù)陣類規(guī)律.........................................................7

題型05個(gè)位數(shù)字規(guī)律.......................................................9

題型06新定義運(yùn)算規(guī)律....................................................10

類型一圖形協(xié)律12

題型01圖形固定累加型...................................................12

題型02圖形漸變累加型....................................................14

題型03圖形個(gè)數(shù)分區(qū)域累加................................................16

題型04圖形循環(huán)規(guī)律.....................................................18

重難點(diǎn)題型突破

類型一數(shù)式規(guī)律

方法總結(jié)：

一、數(shù)字規(guī)律探索

1）當(dāng)所給的一組數(shù)是整數(shù)時(shí)，先觀察這組數(shù)字是自然數(shù)列、正整數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列、

正整數(shù)數(shù)列或經(jīng)過(guò)平方、平方加1或減1等運(yùn)算后的數(shù)列，然后再看這組數(shù)字的符號(hào)，判斷

數(shù)字符號(hào)的正負(fù)是交替出現(xiàn)還是只出現(xiàn)一種符號(hào)，如果是交替出現(xiàn)的可用（J）11或（-1產(chǎn)1表示數(shù)

字的符號(hào)，最后把數(shù)字規(guī)律和符號(hào)規(guī)律結(jié)合起來(lái)從而得到結(jié)果.

2）當(dāng)數(shù)字是分?jǐn)?shù)和整數(shù)結(jié)合的時(shí)候，先把這組數(shù)據(jù)的所有整數(shù)寫成分?jǐn)?shù)，然后分別推斷

出分子和分母的數(shù)字規(guī)律（其方法同1））,從而得出分子和分母的規(guī)律，最后得到該組第n項(xiàng)

的規(guī)律.

二、數(shù)陣規(guī)律探索

此類題目中的數(shù)據(jù)與有序數(shù)對(duì)是對(duì)應(yīng)的，設(shè)問(wèn)方式有已知有序數(shù)對(duì)求數(shù)值和表示某個(gè)數(shù)

值的有序數(shù)對(duì)，本質(zhì)上講，這兩種方式是相同的.此類型題的解決方法有：

1）分析數(shù)陣中的數(shù)字排列方式：①每行的個(gè)數(shù)；②每列的個(gè)數(shù)；③相鄰數(shù)據(jù)的變化特點(diǎn)，

并且觀察是否某一行或者某一列數(shù)據(jù)具有某些特別的性質(zhì)（如完全平方數(shù)，正整數(shù)）等；

2）找出該行或列上的數(shù)字與其所在的行數(shù)或列數(shù)的關(guān)系；

3）使用1）中找出的具有特殊性質(zhì)的數(shù)字，根據(jù)2）中的性質(zhì)定位，求得答案

三、等式規(guī)律探索

1）標(biāo)序數(shù)；

2）對(duì)比式子與序數(shù)，即分別比較等式中各部分與序數(shù)（1,2,3,4,…，n）之間的關(guān)系，

把其蘊(yùn)含的規(guī)律用含序數(shù)的式子表示出來(lái).通常方法是將式子進(jìn)行拆分觀察式子中數(shù)字與序

數(shù)是否存在倍數(shù)或者乘方的關(guān)系

3）根據(jù)找出的規(guī)律得出第n個(gè)等式，并進(jìn)行檢驗(yàn).

題型01記數(shù)類規(guī)律

［例1］（2023岳陽(yáng)市二模）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次是|、1、畀小著、g.按此規(guī)律，

這列數(shù)中第100個(gè)數(shù)是（）

「

AA.—299nB.—299-C.—301D.—303

199201201203

【變式1-1］（2023?山東日照?日照市新營(yíng)中學(xué)?？家荒＃┯^察下列各式：的=1,。2=|,。3=

p....它們按一定規(guī)律排列，第九個(gè)數(shù)記為與，且滿足則三+一=工，則。2023=____________________

4an+2an+l

【變式1-2］（2022?河北保定?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）有一列數(shù)1,久2,7,/，久5，…，X”從第二

個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)等于與它相鄰的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù).

（1）則％6為____________

(2)若17n=52,則TH=

【變式1?3】（2023六安市模擬）判斷下面各式是否成立

3⑶[*=4

⑵Ji82

探究：①你判斷完上面各題后，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？并猜想：下好

②用含有〃的代數(shù)式將規(guī)律表示出來(lái)，說(shuō)明〃的取值范圍，并給出證明

【變式1-4］（2023?安徽六安?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）觀察下列等式:

第1個(gè)等式：1+1+|-|=2

第2個(gè)等式：2+三+工一工=9

34122

第3個(gè)等式：3+工+工—工=U

56303

第4個(gè)等式：4+工+工一工="

78564

按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：

⑴寫出第5個(gè)等式：；

（2）寫出你猜想的第九個(gè)等式：（用含〃的等式表示），并證明.

【變式1-5］（2023?安徽宣城?校聯(lián)考一模）先觀察下列各式:

VT=1；

V1+3=V4-2；

V1+3+5——V9——3；

Vl+3+5+7=V16=4

⑴計(jì)算：Vl+3+5+7+9…；

(2)已知〃為正整數(shù)，通過(guò)觀察并歸納，請(qǐng)寫出：J1+3+5+7+9+11+...+(2n—1)=

—;

(3)應(yīng)用上述結(jié)論，請(qǐng)計(jì)算+12+20+28+36+44+...+204的值.

題型02乘方類規(guī)律

【例2】（2023?四川成都?校考一模）探索規(guī)律：觀察下面的一列單項(xiàng)式：%、一2/、4婷、一8%4、

16%5、…，根據(jù)其中的規(guī)律得出的第9個(gè)單項(xiàng)式是（）

A.-256/B.256/C.-512/D.512/

【變式2-1］（2023?湖北武漢??？寄M預(yù)測(cè)）為了求1+2+22+…+22。23的值，可令$=t+

2+22+…+22023,則2s=2+22+23+…+22024,因止匕2S—S=22024—1,所以1+2+

22十…十22023=22024—1,仿照以上推理計(jì)算出1+3+32+…+32023的值是（）

【變式2-2］（2022隨州市一模）我們知道，一元二次方程x2=-1沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即不存在一

個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于-1,若我們規(guī)定一個(gè)新數(shù)i,使其滿足i2=-1（即X2=-1方程有一個(gè)根為

i）,并且進(jìn)一步規(guī)定：一切實(shí)數(shù)可以與新數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，且原有的運(yùn)算法則仍然成立，于

是有F=i,i2=-1,i3=i2?i=（-1）?i,i4=（i2）2=（-1）2=1,從而對(duì)任意正整數(shù)n,我們可

得到i4n+y4n.i=Q4）%,同理可得i?2=-1,i4n+3=-j,ij那么，i+i2+i3+i4+..+i2016+i2017

的值為（）

A.0B.1C.-1D.i

【變式2-3］（2022.廣西梧州.統(tǒng)考一模）找規(guī)律數(shù)：0,6,16,30,48,則第n個(gè)為

（用含〃的代數(shù)式表示）.

【變式2-4】觀察等式：1=1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=

42,.....猜想1+3+5+7+…+2019=.

題型03表格類規(guī)律

解題技巧：

表格找規(guī)律其實(shí)是在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中一項(xiàng)比較常見的類型，以日歷的表格為基礎(chǔ)而展開

的規(guī)律選擇最為常見.這類提醒我們要以其中一個(gè)數(shù)字為中心，上下左右的數(shù)字變化以及大小

來(lái)展開，比如在日歷的表格當(dāng)中上下相差7,左右相差一，那么將中心的數(shù)字看作是字母a,

則左邊為a-1,右邊為a+1,上邊為a-7,下邊為a+7.所以當(dāng)我們沒(méi)有關(guān)于表格規(guī)律的解題思

路時(shí)，將以此為基礎(chǔ)來(lái)進(jìn)行觀察，雖然其規(guī)律有所不同，但是其思路是相通的，方法也可以

類比進(jìn)行推論.

【例3】（2020.山西臨汾.校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的

規(guī)律，如圖是2019年1月份的日歷.我們?nèi)我膺x擇其中所示的菱形框部分將每個(gè)菱形框部分

中去掉中間位置的數(shù)之后，相對(duì)的兩對(duì)數(shù)分別相乘，再相減，例如：9x11-3x17=48,

13x15-7x21=48.不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是48.

2019年1月

星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

12..45

一?十、、、

6...、一891011'.12

,131415'；16'、17-1819

20廠.21.*'2212242526

2728293031

（1）請(qǐng)證明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；

（2）若用一個(gè)如圖所示菱形框，再框出5個(gè)數(shù)字，其中最小數(shù)與最大數(shù)的積為435,求出這

5個(gè)數(shù)的最大數(shù)；

（3）小明說(shuō)：他用一個(gè)如圖所示菱形框，框出5個(gè)數(shù)字，其中最小數(shù)與最大數(shù)的積是120.直

接判斷他的說(shuō)法是否正確.（不必?cái)⑹隼碛桑?/p>

【變式3-1】觀察表格，回答問(wèn)題:

a0.00010.01110010000

y[a0.01X1y100

（1）表格中支-,y-；

（2）從表格中探究a與6數(shù)位的規(guī)律，并利用這個(gè)規(guī)律解決下面兩個(gè)問(wèn)題:

①已知g?3.16,則VT兩?:

②已知A/加=8.973,若乃=897.3,用含機(jī)的代數(shù)式表示。，則匕=

（3）試比較遍與a的大小.

當(dāng)________時(shí)，y/a>a；當(dāng)________時(shí)，4a—a-,當(dāng)________時(shí)，yja<a.

【變式3-2］（2021宿州市一模）如圖，下列各正方形中的四個(gè)數(shù)之間具有相同的規(guī)律.

第1個(gè)圖第2個(gè)圖第3個(gè)圖第4個(gè)圖第〃個(gè)圖

根據(jù)此規(guī)律，回答下列問(wèn)題：

（1）第5個(gè)圖中4個(gè)數(shù)的和為.

（2）a=；c—.

（3）根據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)正方形中，d=2564,則n的值為

【變式3-3］（2023?河北保定?統(tǒng)考一模）觀察：

序號(hào)①②③④⑤⑥⑦

數(shù)2°212223242526

個(gè)位上數(shù)字12486mn

思考：（1）上面表格中機(jī)、〃的值分別是多少？

探究：（2）第⑩個(gè)數(shù)是什么？它個(gè)位上的數(shù)字是多少？

延伸：（3）22。23的個(gè)位數(shù)字是多少？

拓展：（4）用含左的代數(shù)式表示個(gè)位上的數(shù)字是6的數(shù)的序號(hào).（左為正整數(shù)）

題型04數(shù)陣類規(guī)律

[例4](2023?福建廈門?廈門雙十中學(xué)?？既?將一組數(shù)遮，2,V6,2凡…,4企,...按

下列方式進(jìn)行排列：

V2,2,V6,2V2；

V10,2V3,V14,4；

若2的位置記為(1,2),E的位置記為(2,3),則2郁的位置記為.

【變式4-1](2022.陜西西安??？寄M預(yù)測(cè))觀察下列一系列數(shù)，按照這種規(guī)律排下去，那么

第5行從左邊數(shù)第6個(gè)數(shù)是.

-1

2-34

-56-78-9

10-1112-1314-1516

【變式4-2](2023?山東聊城?統(tǒng)考二模)將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，若有序數(shù)對(duì)8m)

表示第〃排，從左到右第根個(gè)數(shù)，如(4,2)表示9,則表示123的有序數(shù)對(duì)是.

1……第一排

32……第二排

456……第三排

10987...第四排

【變式4-3](2021.山東濟(jì)寧.統(tǒng)考一模)將1,V2,V3,乃按如圖方式排列，若規(guī)定Gn,〃)

表示第機(jī)排從左向右第〃個(gè)數(shù)，則(6,3)與(2000,4)表示的兩數(shù)之積是.

1第1排

72后第2排

761也第3排

招而1揚(yáng)第4排

招?1我在第5排

【變式4-4](2022鄂爾多斯市二模)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊

輝三角”(如圖所示)就是一例.

1

11................(o+dV

\z

2

1\z2\z1................(a+b}

1331................(a+bV

這個(gè)三角形的構(gòu)造法則為：兩腰上的數(shù)都是1,其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和.事實(shí)上，

這個(gè)三角形給出了(a+匕尸(ri為正整數(shù))的展開式(按a的次數(shù)由大到小的順序排列)的系數(shù)規(guī)

律.例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1、2、1,恰好對(duì)應(yīng)(0+5)2=￡12+2帖+62展開式中

各項(xiàng)的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1、3、3、1,恰好對(duì)應(yīng)著(a+6)3=a3+302匕+3劭2+匕3展

開式中各項(xiàng)的系數(shù)等等.根據(jù)上面的規(guī)律，(a+5)4的展開式中各項(xiàng)系數(shù)最大的數(shù)為；

式子75+5x74x(-5)+10x73x(-5)2+10x72x(-5)3+5x7x(-5)4+(一5戶的值

為.

【變式4-4](2021.湖北隨州.統(tǒng)考一模)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)了如圖所示的三角形，我們

稱之為“楊輝三角”，它具有一定的規(guī)律性.從圖中取一斜列數(shù)：1,3,6,10,15,...?我們

把第一個(gè)數(shù)記為電，第二個(gè)數(shù)記為。2,第三個(gè)數(shù)記為。3,…，第九個(gè)數(shù)記為斯.熹+己+2+,“

【變式4-5](2021合肥市一模)如圖1,觀察數(shù)表，如何計(jì)算數(shù)表中所有數(shù)的和？

方法1：如圖1,先求每行數(shù)的和：

第1彳丁1+2+3+…+幾=(1+2+3+...+n)

第2行2+4+6+…+2Tl=2(1+2+3+…+?1)

第n行n+2n+3n+—I-n2=n(l+2+3H---1-n)

故表中所有數(shù)的和：(1+2+3+…+71)+2(1+2+3+…+TL)+…+n(l+2+3+…+

n)=;

第1行1234…〃

第2行2468…2〃

第3行36912…3〃

第4行4812164n

第〃行n2n3〃4〃■■■rr

圖1

方法2：如圖2.依次以第1行每個(gè)數(shù)為起點(diǎn)，按順時(shí)針?lè)较蛴?jì)算各數(shù)的和:

第1組1=停

第2組2+4+2=23

第3組3+6+9+6+3=33

第律組n+2m+—I-n2+—2n+n

用這72組數(shù)計(jì)算的結(jié)果，表示數(shù)表中所有數(shù)的和為：,

綜合上面兩種方法所得的結(jié)果可得等式：；

利用上面得到的規(guī)律計(jì)算：13+23+33+.??+203.

第〃行n2〃3〃4〃---“2

圖1

題型05個(gè)位數(shù)字規(guī)律

[例5]（2023?湖南岳陽(yáng)?統(tǒng)考一模）觀察下列等式：7°=1,71=7,72=49,73=343,

74=2401,75=16807,…，根據(jù)其中的規(guī)律可得70+71+7?+…+72。22+72023的結(jié)果的

個(gè)位數(shù)字是.

【變式5-1］（2022.山東聊城.統(tǒng)考二模）計(jì)算3】，32,33,34,35,36,并觀察這些累的個(gè)位

數(shù)字，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，判斷32。22的個(gè)位數(shù)字跟（）的個(gè)位數(shù)字相同.

A.31B.32C.33D.34

【變式5-2］計(jì)算：2］一1=1,22-1=3,23-1=7,2,一1=15,-1=31,…歸納各計(jì)算

結(jié)果中的個(gè)位數(shù)字規(guī)律，猜測(cè)22。21—1的個(gè)位數(shù)字是（）

A.1B.3C.7D.5

【變式5-3】發(fā)現(xiàn)：4=4,42=16,43=64,44=256,45=1024,46=4096,47=16384,48

=65536

（1）觀察上面運(yùn)算結(jié)果的個(gè)位數(shù)字，寫出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；

（2）依據(jù)（1）中的規(guī)律，通過(guò)計(jì)算判斷3x（4+1）（42+1）（44+1）...（432+1）+1的結(jié)果的

個(gè)位數(shù)字是多少，

題型06新定義運(yùn)算規(guī)律

解題技巧：

新定義運(yùn)算的規(guī)律其實(shí)是這幾種規(guī)律當(dāng)中最為簡(jiǎn)單的一種，因?yàn)槠湟?guī)律都是由題目給出

的，想要找到其規(guī)律，需要從所給的條件當(dāng)中進(jìn)行簡(jiǎn)單的推論.這時(shí)候就考驗(yàn)大家的觀察能力，

以及對(duì)數(shù)字的敏感程度.

【例6】（2020?河南?統(tǒng)考中考真題）定義運(yùn)算：m?n-mn2-mn-1.例如:4x2-4x22-

4x2-1=7.則方程1x%=0的根的情況為（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.無(wú)實(shí)數(shù)根D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

【變式6-1］（2023?遼寧朝陽(yáng)?校聯(lián)考三模）我們知道，一元二次方程/=—1沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即

不存在一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于-L如果我們規(guī)定一個(gè)新數(shù)“『'使它滿足評(píng)=-1（即/=—1有一

個(gè)根為D,并且進(jìn)一步規(guī)定：一切實(shí)數(shù)可以與新數(shù)“i”進(jìn)行四則運(yùn)算，且原有的運(yùn)算律和運(yùn)算

法則仍然成立.于是有：Q=3產(chǎn)=—1,戶=產(chǎn).j=t,產(chǎn)=（產(chǎn)）2=1……那么/023=

【變式6?2】(2022.浙江寧波.統(tǒng)考中考真題)定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)a,b,

a0b=-+^-.若(比+1)0%=主口，則x的值為___________.

abx

【變式6-3](2022.湖南張家界.張家界市民族中學(xué)?？家荒?定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于-1,

記為產(chǎn)=-1,這個(gè)數(shù)，叫做虛數(shù)單位，把形如a+仇(a,b為實(shí)數(shù))的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a

叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，6叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法

運(yùn)算類似.例如，計(jì)算：(3-i)+(5+3i)=(3+5)+(-1+3)1=8+21；(1+t)X(3-i)=

1x3-i+3xi-i2=3+(-1+3)i+1=4+2i.根據(jù)以上信息，完成下列問(wèn)題：

(1)填空：4,j4=.

(2)計(jì)算:(2+i)x(3—42)；

(3)計(jì)算：2+m+/+產(chǎn)+—+'2022.

【變式6-4](2023石家莊二模)對(duì)于任意一個(gè)四位數(shù)，我們可以記為abed,即

abcd-1000a+100b+10c+d.若規(guī)定：對(duì)四位正整數(shù)abed進(jìn)行R運(yùn)算，得到整數(shù)F(abcd)=

a4+b3+^+^.例如，F(xiàn)(1249)=I4+23+42+91=34；F(2020)=24+03+22+

01=20.

(1)計(jì)算：F(2137)；

(2)當(dāng)°=9+2時(shí)，證明：F(abcd)-F(abed)的結(jié)果一定是4的倍數(shù)；

(3)求出滿足F(324/)=98的所有四位數(shù).

類型二圖形規(guī)律

方法總結(jié)：

解決這類問(wèn)題首先要從簡(jiǎn)單圖形入手，抓住隨著“編號(hào)”或“序號(hào)”增加時(shí)，后一個(gè)圖

形與前一個(gè)圖形相比，在數(shù)量上增加（或倍數(shù)）情況的變化，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而

推出一般性的結(jié)論.

題型01圖形固定累加型

解題技巧：

對(duì)于圖形固定累加首先要確定基礎(chǔ)圖形中含所求圖形的個(gè)數(shù)a,在確定出后一個(gè)圖形在前

一個(gè)圖形的基礎(chǔ)上累加的所求圖形的個(gè)數(shù)b（即固定累加圖形個(gè)數(shù)），再根據(jù)固定累加的圖形規(guī)

律推導(dǎo)出與序數(shù)n有關(guān)的關(guān)系式為a+b（n-l）.

【例1】（2022.重慶.統(tǒng)考中考真題）用正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中

有5個(gè)正方形，第②個(gè)圖案中有9個(gè)正方形，第③個(gè)圖案中有13個(gè)正方形，第④個(gè)圖案中有

17個(gè)正方形，此規(guī)律排列下去，則第⑨個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)為（）

??????????

?????????????????

?…

??????????

①②③@

A.32B.34C.37D.41

【變式1-1］（2022.重慶.統(tǒng)考中考真題）把菱形按照如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案

中有1個(gè)菱形，第②個(gè)圖案中有3個(gè)菱形，第③個(gè)圖案中有5個(gè)菱形，…，按此規(guī)律排列下

去，則第⑥個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)為（）

?行W…

①②③

A.15B.13C.11D.9

【變式1-2］（2022.江西.統(tǒng)考中考真題）將字母“C”，"/T按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下

去，則第4個(gè)圖形中字母"/T的個(gè)數(shù)是（）

HHHHHH

IIIIII

CCCC

H-HH-C-C-HH---H

IIIIII

HHHHHH

①②③

A.9B.10C.11D.12

【變式1-3]（2023?山西忻州?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長(zhǎng)相同

的正方形和正三角形鑲嵌而成，第（1）個(gè)圖案有4個(gè)正三角形和4個(gè)正方形，第（2）個(gè)圖

案有10個(gè)正三角形和8個(gè)正方形，第（3）個(gè)圖案有16個(gè)正三角形和12個(gè)正方形，…，依

此規(guī)律，第（〃）個(gè)圖案中正三角形和正方形的總個(gè)數(shù)為個(gè).（用含〃的代數(shù)式

表示）.

【變式1-4]（2022.湖南懷化.校考二模）觀察下列的“蜂窩圖”按照它呈現(xiàn)的規(guī)律第九個(gè)圖案中

的“2^”的個(gè)數(shù)是（用含〃的代數(shù)式表示）

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)第4個(gè)

【變式1-5]（2023?山東濟(jì)南?統(tǒng)考二模）學(xué)校食堂按如圖方式擺放餐桌和椅子.若用x表示餐

桌的張數(shù)，y表示椅子的把數(shù)，請(qǐng)你寫出椅子數(shù)y（把）與餐桌數(shù)x（張）之間的函數(shù)關(guān)系式

【變式1-6]（2022.安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）觀察下面的點(diǎn)陣圖形和與之相對(duì)應(yīng)的等式探究其中

的規(guī)律.

D一4x0=4xl-3；

（2），：-；-?4xl+l=4x2-3；

③“-^4x24-1=4x3-3；

J，、、

（4）%一,、,-J—?；

（1）請(qǐng)?jiān)冖芎廷莺竺娴臋M線上分別寫出相應(yīng)的等式；

（2）猜想第n（n是正整數(shù)）個(gè)圖形相對(duì)應(yīng)的等式，并證明.

題型02圖形漸變累加型

解題技巧：

對(duì)于個(gè)數(shù)不固定，

1）首先觀察圖形，直接可以從圖形或者補(bǔ)全圖形后就能找出規(guī)律，根據(jù)圖形擺放形狀的

規(guī)律總結(jié)推導(dǎo)出關(guān)系式即可.

2）如果圖形也看不出規(guī)律的應(yīng)該先數(shù)出所求圖形的個(gè)數(shù)，在比較后一個(gè)圖形和前一個(gè)圖

形通過(guò)作差（商）來(lái)觀察圖形個(gè)數(shù)或?qū)D形個(gè)數(shù)與n進(jìn)行對(duì)比，尋找是否與n有關(guān)的平方、平

方加1、平方減1等關(guān)系，從而總結(jié)規(guī)律推導(dǎo)出關(guān)系式.

【例2】（2023?重慶江北??？家荒＃┫铝袌D形都是由相同的小正方形按照一定規(guī)律擺放而成

的，照此規(guī)律排列下去，第1個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是3個(gè)，第2個(gè)圖形中小正方形的個(gè)

數(shù)是8個(gè)，第3個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是15個(gè)，第9個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是（）

□□□□□□□

□□□□□□□□□□□

□□□□□□□□□□□□□

□□□□□□□□□□□□□

□□□□□□

A.100B.99C.98D.80

【變式2-1］（2022下?安徽合肥?八年級(jí)?？计谀┪覀冇萌鹊恼呅纹闯扇缦聢D形，按

此規(guī)律則第10個(gè)圖形中有小正六邊形（）個(gè).

O

圖1圖3-

A.270C.272D.273

【變式2-2］（2023?重慶九龍坡?重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考二模）小明如圖疊放了一些星星，第1

個(gè)圖形有4顆星星，第2個(gè)圖形有8顆星星，第3個(gè)圖形有14顆星星，請(qǐng)問(wèn)第9個(gè)圖形的星

星顆數(shù)為（）

★★

n★★★★★★★

**★★★★★★★

★★★★

A.92B.88C.76D.64

【變式2-3］（2022.遼寧大連.統(tǒng)考一模）如圖，用大小相同的小正方形拼圖形，第1個(gè)圖形是

一個(gè)小正方形；第2個(gè)圖形由9個(gè)小正方形拼成；第3個(gè)圖形由25個(gè)小正方形拼成，依此規(guī)

律，若第九個(gè)圖形比第（〃-1）個(gè)圖形多用了72個(gè)小正方形，則”的值是.

【變式2-4］如圖，用長(zhǎng)度相等的小木棒搭成的三角形網(wǎng)格，當(dāng)層數(shù)為〃時(shí)，所需小木棒的根

數(shù)為_______________

四層

【變式2-5］（2023?廣東?統(tǒng)考二模）如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，其中第

1個(gè)圖形中一共有4個(gè)圓，第2個(gè)圖形中一共有8個(gè)圓，第3個(gè)圖形中一共有14個(gè)圓，第4

個(gè)圖形中一共有22個(gè)圓.....按此規(guī)律排列下去，現(xiàn)已知第n個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)是134個(gè),

題型03圖形個(gè)數(shù)分區(qū)域累加

解題技巧：

首先應(yīng)觀察圖形區(qū)分圖形累加的各部分，分別求出各部分累加規(guī)律，再將各部分關(guān)系式相

加,得到第n項(xiàng)（某項(xiàng)）圖形的數(shù)量與序數(shù)關(guān)系式.

【例3】（2022揭陽(yáng)市一模）將一些相同的“?！卑慈鐖D所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個(gè)“龜圖”

中的“?！钡膫€(gè)數(shù)，則第16個(gè)“龜圖”中有個(gè)

O

0OO

OOooooo

ooOOOOO

oo

OooOOo

OOo

OOOO

OOO

OOoO

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)第4個(gè)

【變式3-1】某班舉行拼漢字比賽，小梅用?排列成數(shù)字“上"，圖①共用10個(gè)?，圖②共用13

個(gè)?，圖③共用16個(gè)?，……按此規(guī)律排列下去，則第⑥個(gè)圖共用?的個(gè)數(shù)是（）

???

???

?????????…

①②③

A.22B.25C.28D.32

【變式3-2］（2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學(xué)校考二模）下列圖形都是由同樣大小的★按照一

定規(guī)律組成的，其中第①個(gè)圖形中共有5個(gè)十,第②個(gè)圖形中共有8個(gè)支,第③個(gè)圖形中共有

11個(gè)★，…，按此規(guī)律排列下去，第⑥個(gè)圖形中的★個(gè)數(shù)為（）

★★★

★★★★★

★★★★★★★

★★★★★★★★★

★★★★★★★★★★★★★★

①②③④

A.18個(gè)B.20個(gè)C.22個(gè)D.24個(gè)

【變式3-3］（2023?重慶沙坪壩?重慶一中?？家荒＃┤鐖D，每個(gè)圖形都由同樣大小的“△”按照

一定的規(guī)律組成，其中第1個(gè)圖形有5個(gè)“△”，第2個(gè)圖形有10個(gè)“△”，第3個(gè)圖形有15

個(gè)“則第8個(gè)圖形中“△”的個(gè)數(shù)為（）

△

△△

△△

△△△△

△△△△△△△△???

△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△

△△△△△△△△△△△△

①②③

④

A.40B.42C.44D.46

【變式3-4］（2022.安徽蕪湖.統(tǒng)考二模）某花卉生產(chǎn)基地舉行花卉展覽，如圖所示是用這兩種

花卉擺成的圖案，白色圓點(diǎn)為盆景，灰色圓點(diǎn)為盆花.圖1中盆景數(shù)量為2,盆花數(shù)量為2；

圖2中盆景數(shù)量為4,盆花數(shù)量為6；圖3中盆景數(shù)量為6,盆花數(shù)量為12……

圖1圖2圖3圖4圖5

按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：

（1）圖6中盆景數(shù)量為,盆花數(shù)量為；

（2）已知該生產(chǎn)基地展出以上兩種花卉在某種圖案中的數(shù)量之和為130盆，分別求出該圖案中

盆景和盆花的數(shù)量；

（3）若有〃（〃為偶數(shù)，且nA2）盆盆景需要展出（只擺一種圖案），照此組合圖案，需要盆花

的數(shù)量為.（用含〃的代數(shù)式表示）

題型04圖形循環(huán)規(guī)律

解題技巧：

①先找出一個(gè)周期的圖形個(gè)數(shù)n:

②N（第N個(gè)）+n=b.......m（0Wm<n）;

③第N個(gè)圖形是一個(gè)周期中第m次變化后的圖形

【例4】如圖，一串有趣的圖案按一定規(guī)律排列.請(qǐng)仔細(xì)觀察，按此規(guī)律畫出的第10個(gè)圖案

是;在前16個(gè)圖案中“合”有個(gè).

【變式4-1］（2020.湖南常德.統(tǒng)考一模）下面擺放的圖案，從第二個(gè)起，每個(gè)都是前一個(gè)按順

時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到，第2020個(gè)圖案中箭頭的指向是（）

A.上方B.左方C.下方D.右方

【變式4-2］（2021.山東濟(jì)寧.統(tǒng)考一模）如圖，矩形A3CD中A3是3cm,3c是2cm,一個(gè)

邊長(zhǎng)為1cm的小正方形沿著矩形ABCD的邊AB^BC^CD^DA^AB連續(xù)地翻轉(zhuǎn)，那么這個(gè)

小正方形第一次回到起始位置時(shí)，小正方形箭頭的方向是（）

【變式4-3】等邊三角形（三條邊都相等的三角形是等邊三角形）紙板A3C在數(shù)軸上的位置

如圖所示，點(diǎn)A.B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為2和1,若^ABC繞著頂點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛟跀?shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，

翻轉(zhuǎn)第1次后，點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的數(shù)為0,則翻轉(zhuǎn)2023次后，點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的數(shù)是（）

C

-5-4-3-2-1012345

A.-2021B.-2022C.-2023D.-2024

真題實(shí)戰(zhàn)練

1.（2023?山東?中考真題）已知一列均不為1的數(shù)a2,。3，…，斯?jié)M足如下關(guān)系：a2=

詈=譽(yù)|，°4=詈|，…，％1+1=詈：若的=2,則。2023的值是（）

11

A.—2B.3-C.-3D.2

2.（2023?四川綿陽(yáng)?中考真題）如下圖，將形狀、大小完全相同的“?”和線段按照一定規(guī)律擺

成以下圖形，第1幅圖形中“?”的個(gè)數(shù)為的,第2幅圖形中“?”的個(gè)數(shù)為a2,第3幅圖形中“0

的個(gè)數(shù)為由，…,以此類推，那么工+2++^-的值為（）

。2。3。19

第1幅圖第2幅圖第3幅圖第4幅圖

A20-61-589—431

一一

A.—21B.—84C.840D.760

3.（2022.湖北鄂州.中考真題）生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測(cè)種群數(shù)量的變化，常常需要建立

數(shù)學(xué)模型.在營(yíng)養(yǎng)和生存空間沒(méi)有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過(guò)分裂來(lái)繁殖后代，我們就

用數(shù)學(xué)模型2〃來(lái)表示.即：21=2,22=4,23=8,2』16,25=32,……，請(qǐng)你推算型022

的個(gè)位數(shù)字是（）

A.8B.6C.4D.2

4.（2023?重慶?中考真題）用長(zhǎng)度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案用了

9根木棍，第②個(gè)圖案用了14根木棍，第③個(gè)圖案用了19根木棍，第④個(gè)圖案用了24根木

棍，……，按此規(guī)律排列下去，則第⑧個(gè)圖案用的木棍根數(shù)是（）

9CDoOCCO

①②③④

A.39B.44C.49D.54

5.（2023?重慶?中考真題）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有2個(gè)圓圈，

第②個(gè)圖案中有5個(gè)圓圈，第③個(gè)圖案中有8個(gè)圓圈，第④個(gè)圖案中有H個(gè)圓圈，…，按此

規(guī)律排列下去，則第⑦個(gè)圖案中圓圈的個(gè)數(shù)為（）

oooooo

OOOOOOOOOOOOOO...

oooooo

⑴(2)(3)(4)

A.14B.20C.23D.26

6.(2023?山東聊城?中考真題)如圖，圖中數(shù)字是從1開始按箭頭方向排列的有序數(shù)陣.從3

開始，把位于同一列且在拐角處的兩個(gè)數(shù)字提取出來(lái)組成有序數(shù)對(duì)：(3,5)；(7,10)；(13,17)；

(21,26)；(31,37)…如果單把每個(gè)數(shù)對(duì)中的第一個(gè)或第二個(gè)數(shù)字按順序排列起來(lái)研究，就會(huì)發(fā)

現(xiàn)其中的規(guī)律.請(qǐng)寫出第〃個(gè)數(shù)對(duì)：.

???37

212019181736

227651635

238141534

249231433

251011121332

262728293031

7.(2023?湖北恩施?中考真題)觀察下列兩行數(shù)，探究第②行數(shù)與第①行數(shù)的關(guān)系：

-2,4,-8,16,-32,64,.......①

0,7,-4,21,—26,71,……②

根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，完成填空：第①行數(shù)的第10個(gè)數(shù)為;取每行數(shù)的第2023個(gè)數(shù),

則這兩個(gè)數(shù)的和為..

8.(2023?黑龍江大慶?中考真題)1261年，我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》

中提到了如圖所示的數(shù)表，人們將這個(gè)數(shù)表稱為“楊輝三角”.

1

11(a+by=a+b

121(a+b)2=a2+2ab+b2

1331(a+￡))3=a3+3a2/)+3ab2+b3

14641(a+by=a4+4a2b2+6a2b2+4ab3+b4

觀察“楊輝三角”與右側(cè)的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，(a+5)7展開的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)之

和為.

9.(2023?四川?中考真題)在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》(1261年)一書中，

用如圖的三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，因此我們稱這個(gè)三角形為“楊輝三角”，根據(jù)規(guī)律第

八行從左到右第三個(gè)數(shù)為.

第

行

一

第

行

二

第

行

三

第行

四

第

行

五

第

行

六

10.（2023?西藏?中考真題）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：5a,8a2,Ila3,14a4,....則按此

規(guī)律排列的第〃個(gè)單項(xiàng)式為.（用含有〃的代數(shù)式表示）

11.（2023?黑龍江綏化?中考真題）在求1+2+3+……+100的值時(shí)，發(fā)現(xiàn)：1+100=101,

2+99=101……，從而得到1+2+3+…+100=101x50=5050.按此方法可解決下

面問(wèn)題.圖（1）有1個(gè)三角形，記作出=1;分別連接這個(gè)三角形三邊中點(diǎn)得到圖（2）,有

5個(gè)三角形，記作。2=5；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點(diǎn)得到圖（3）,有9個(gè)

三角形，記作=9;按此方法繼續(xù)下去，則的+<22+。3+.....+冊(cè)=.（結(jié)果用含

12.（2022.四川遂寧.中考真題）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該

直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過(guò)程所畫出來(lái)的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后

的形狀好似一棵樹而得名.假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，

按照勾股樹的作圖原理作圖，則第六代勾股樹中正方形的個(gè)數(shù)為.

13.（2022.青海?中考真題）木材加工廠將一批木料按如圖所示的規(guī)律依次擺放，則第九個(gè)圖中

共有木料根.

C)(1)')

第1個(gè)第2個(gè)

14.（2022.湖北十堰.中考真題）如圖，某鏈條每節(jié)長(zhǎng)為2.8cm,每?jī)晒?jié)鏈條相連接部分重疊的

圓的直徑為1cm,按這種連接方式，50節(jié)鏈條總長(zhǎng)度為cm.

15.（2022.山東聊城.中考真題）如圖，線段ZB=2,以A3為直徑畫半圓，圓心為以為

直徑畫半圓①；取的中點(diǎn)&,以為直徑畫半圓②；取的中點(diǎn)^3，以&24為直徑

畫半圓③…按照這樣的規(guī)律畫下去，大半圓內(nèi)部依次畫出的8個(gè)小半圓的弧長(zhǎng)之和為

16.（2023?浙江嘉興?中考真題）觀察下面的等式：32—12=8x1,52—32=8x2,72—52=

8X3,92-72=8X4,…

（1）寫出192-"2的結(jié)果.

（2）按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含〃的等式表示，〃為正整數(shù)）

（3）請(qǐng)運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，推理說(shuō)明這個(gè)結(jié)論是正確的

17.（2022.安徽.中考真題）觀察以下等式:

第1個(gè)等式：(2X1+I)2=(2x2+I)2-(2X2)2,

第2個(gè)等式:(2X2+I)2=(3X4+I)2-(3X4)2,

第3個(gè)等式：(2x3+1尸=(4x6+1尸—(4x6)2,

第4個(gè)等式：(2x4+1)2=(5x8+1)2-(5x8)2，

按照以上規(guī)律.解決下列問(wèn)題：

⑴寫出第5個(gè)等式：.；

⑵寫出你猜想的第〃個(gè)等式（用含〃的式子表示），并證明.

18.（2023?安徽?中考真題）【觀察思考】

◎

◎

◎◎**◎

◎◎*◎◎**◎?***?

◎*◎*◎*◎◎*◎*◎*◎*◎

第1個(gè)圖案第2個(gè)圖案第3個(gè)圖案第4個(gè)圖案

【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】

請(qǐng)用含n的式子填空：

（1）第律個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)為二

⑵第1個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為手，第2個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為管，第3個(gè)圖案中

“★，，的個(gè)數(shù)可表示為詈，第4個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為詈，……，第律個(gè)圖案中“★”的個(gè)

數(shù)可表示為..

【規(guī)律應(yīng)用】

(3)結(jié)合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)n,使得連續(xù)的正整數(shù)之和1+2+3+

…+n等于第律個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)的2倍.

重難點(diǎn)01規(guī)律探究與新定義型問(wèn)題

答案解析

重難點(diǎn)題型突破

類型一數(shù)式規(guī)律

題型01記數(shù)類規(guī)律

［例1］（2023岳陽(yáng)市二模）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次是|、1、梟昔、著、卷…按此規(guī)律,

這列數(shù)中第100個(gè)數(shù)是（）

A299°299―301門303

A.—B.—C.—D.—

199201201203

【答案】B

【分析】觀察發(fā)現(xiàn)，是不變的，變的是數(shù)字，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)字的規(guī)律，代入具體的數(shù)就可求解.

【詳解】解：由|、1、今3、=、……可得第n個(gè)數(shù)為安.

37911132n+l

Vn=100,

???第100個(gè)數(shù)為：券

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生的觀察和推理能力，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)字之間的聯(lián)系，找出一般的規(guī)律,

解決具體的問(wèn)題；關(guān)鍵是找出一般的規(guī)律.

【變式1-1］（2023?山東日照?日照市新營(yíng)中學(xué)校考一模）觀察下列各式：的=1,。2=|，。3=

它們按一定規(guī)律排列，第n個(gè)數(shù)記為品，且滿足則上+上=—,則。2023=

4an+2an+l

【答案】施

【分析】由題意可得與=而5汨，即可求解.

【詳解】解：由題意可得：的=1,a2-=%

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同理可求@6二三

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l=々。2=g，◎37@4二五，Q5—14,念=一17

2

CLfi~~~~,

713(n-l)+2

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。2023=3(2023-1)+26068—3034’

故答案為：意

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化類，找出數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2］（2022?河北保定?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）有一列數(shù)1