海南省某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊11月期中考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

海南中學(xué)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試

高二數(shù)學(xué)試題

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共19小題，滿分150分，考試時(shí)

間為120分鐘.

注意事項(xiàng)：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)等填寫在答題卡指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.回答非選擇

題時(shí)，將答案寫在答題卡上.

第I卷（選擇題，共58分）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

一『.兀兀、

p=sin—,cos—

1.已知直線’的一個(gè)方向向量為I66人則直線/的傾斜角為（）

兀兀2兀4兀

A.-B.一C.—D.—

6333

2.M，N分別為直線3x—4y—12=0與6x—8y+5=0上任意一點(diǎn)，貝最小值為（）

29291717

A.—B.—C.—D.—

105510

3.已知4—1,0）、8（3,6）,則以4B為直徑的圓的一般方程為（）

Ax?+y?—2%-6y+3=0B.—2x—6y—3—0

C.尤2+>2+2x—6y+3—0D.+2x—6y—3—0

4.圓G：（x—2）?+（y—4）2=9與圓。2：必+/一10%+9=0的公切條數(shù)為（）

A.2條B.1條C.3條D.4條

5.已知雙曲線V—>2=2的左，右焦點(diǎn)分別為居,工，點(diǎn)尸在雙曲線的右半支上，點(diǎn)Q（o,2）,則

歸。|+|咫|的最小值為（）

A.272B.4C.6D.472

6.若直線/：丁=依+3—左與曲線C：y=Jl—%2恰有兩個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)左的取值范圍是（）

7.若圓G:（x+1）2+（y—2）2=/（/>0）上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線/:4龍—3y—10=0的距離為1,則實(shí)數(shù)廠

的取值范圍為（）

A.（3,+oo）B.（5,-H?）C.（3,5）D,[3,5]

8.油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮于

春分時(shí)節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動(dòng)中將油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是

一個(gè)半徑為夜的圓，圓心到傘柄底端距離為夜，陽光照射油紙傘在地面形成了一個(gè)橢圓形影子（春分

時(shí)，北京的陽光與地面夾角為60。），若傘柄底端正好位于該橢圓的焦點(diǎn)位置，則該橢圓的離心率為

（）

A.2—y/3B.-y2—1C.y/3—1D.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

2

9.已知拋物線Cl：y2=履（加>0）與雙曲線C2：/一=1有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)F（2,%）在拋物線a上，則

下列結(jié)論正確的有（）

A.雙曲線C2的離心率為2B.雙曲線G的漸近線方程為y=土號(hào)

C.m=8D.點(diǎn)P到拋物線。的焦點(diǎn)的距離為4

10.己知直線+左=0,圓C：Y+V-6關(guān)+5=0,POo,%）為圓C上任意一點(diǎn)，則下列說法正確

的是（）

A,直線/與圓。相切時(shí)，k=+—

3

B.&的最大值為35

/5

C.圓心C到直線/距離最大為4

D.看+y的最大值為5

22

11.已知橢圓C:工+4=1（2〉6〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為6、F],上頂點(diǎn)為3,動(dòng)點(diǎn)尸在橢圓C上，則

4b-

下列描述正確的有（）

A.若APKK的周長為6,則人=6

B.若當(dāng)/月產(chǎn)6=1時(shí)，APEK的內(nèi)切圓半徑為辛，則5=6

若存在P點(diǎn)，使得則b）

C.PFXLPF2,e[V2,2

D.若|尸耳的最大值為26,則be[也2）

第n卷（非選擇題，共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.動(dòng)點(diǎn)尸到兩定點(diǎn)4（—4,0）、3（4,0）距離之和為10,則點(diǎn)尸的軌跡方程為.

13.設(shè)E為拋物線C：/=8%的焦點(diǎn)，過尸且傾斜角為60。的直線交C于A,3兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

則△OAB的面積為

14.法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：過圓E：f+y2=q2—上任意一點(diǎn)作雙曲線。：

22

當(dāng)=1的兩條切線，這兩條切線互相垂直，我們通常把這個(gè)圓E稱作雙曲線C的蒙日?qǐng)A.過雙曲線

a2b1

W：土-y2=i的蒙日?qǐng)A上一點(diǎn)尸作w的兩條切線，與該蒙日?qǐng)A分別交于A,3兩點(diǎn)，若

3

NK鉆=30°,則△K4B的周長為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.光線自點(diǎn)P（—3,4）射到點(diǎn)（2,0）后被x軸反射.

（1）求反射光線所在的直線的方程；

（2）求過點(diǎn)（4,2）且與入射光線垂直的直線方程.（請(qǐng)用直線的一般方程表達(dá)解題結(jié)果）.

16.安慶市體育館的屋蓋網(wǎng)殼由兩個(gè)大小不同的雙層橢球殼相貫而成，其屋蓋網(wǎng)殼長軸總尺寸約97米，短

軸總尺寸約77米，短軸長與長軸長的平方比接近黃金比0.618.我們把短軸長與長軸長的平方比為避二1

2

y2

的橢圓稱為黃金橢圓.現(xiàn)有一黃金橢圓c：「+=l(a〉6〉0)其中A,尸分別為其左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，B

a

為上頂點(diǎn).

(1)求黃金橢圓C離心率;

(2)某同學(xué)在研究黃金橢圓的性質(zhì)時(shí)猜測廠可能為直角三角形，試判斷該同學(xué)的猜測是否正確，并

說明理由.

17.已知圓G：/+y2+6x—i0y+25=0與圓。2：必+產(chǎn)—8y+7=0交于A,3兩點(diǎn)，圓C經(jīng)過

A,3兩點(diǎn)，且圓心在直線4%-3丁-3=0上.

(1)求IA5I；

(2)求圓C的方程.

2

18.已知雙曲線C:?—/=i,斜率為左的直線/過點(diǎn)

(1)若m=0,且直線/與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求左的值；

(2)雙曲線C上有一點(diǎn)尸，/耳P鳥的夾角為120。，求三角形P與耳的面積.

19.直線族是指具有某種共同性質(zhì)直線的全體，例如％=)+1表示過點(diǎn)(1,0)的直線，直線的包絡(luò)曲線

定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族

中的某條直線.

(1)若圓。1：犬+,2=i是直線族〃優(yōu)+胡=1(%“611)包絡(luò)曲線，求機(jī)，”滿足的關(guān)系式；

(2)若點(diǎn)POo，y°)不在直線族：Q(2a—4)x+4y+(a—2)2=0(aeR)的任意一條直線上，求y0的取值

范圍和直線族。的包絡(luò)曲線E；

(3)在(2)的條件下，過曲線E上兩點(diǎn)作曲線E的切線乙4,其交點(diǎn)為P.已知點(diǎn)C(0,l),若

A&C三點(diǎn)不共線，探究"C4=NPCB是否成立？請(qǐng)說明理由.

海南中學(xué)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試

高二數(shù)學(xué)試題

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共19小題，滿分150分，考試時(shí)

間為120分鐘.

注意事項(xiàng)：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)等填寫在答題卡指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.回答非選擇

題時(shí)，將答案寫在答題卡上.

第I卷（選擇題，共58分）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

一『.兀兀、

p=sin—,cos—

1.已知直線’的一個(gè)方向向量為I66人則直線/的傾斜角為（）

71兀2兀4兀

A.-B.—C.—D.—

6333

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)直線方向向量寫出斜率，結(jié)合斜率與傾斜角關(guān)系確定傾斜角大小即可.

【詳解】由題設(shè)萬=（sin￡,cos￡）=（g,g）,則直線/的斜率左=百,

7T

結(jié)合直線傾斜角的范圍，易知直線/的傾斜角為一.

3

故選：B

2.M,N分別為直線3x—4y—12=。與6x—8y+5=0上任意一點(diǎn)，則|肱V|最小值為（）

,29291717

A.—B.—C.—D.—

105510

【答案】A

【解析】

【分析】利用兩平行線間的距離公式可求出|肱?的最小值.

34-12

【詳解】由一=—w—,可得兩條直線相互平行，

685

所以|兒網(wǎng)最小值為平行線之間的距離，6x-8y+5=0可化為3x—4y+1=0,

-12-5

所以,-l2-29.

732+4210

故選：A

3.已知A(—l,0)、5(3,6),則以48為直徑的圓的一般方程為()

A.%之+y?—2%一6y+3=0B.x2+—2x—6y—3—0

C.%2+>2+2%-6y+3=0D.x2+^y2+2x—6^y—3=0

【答案】B

【解析】

【分析】求出4B的中點(diǎn)和|4卻可得以4B為直徑的圓的圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而得所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將

其轉(zhuǎn)化為一般方程即可得解.

【詳解】己知A(-1,0)、6(3,6),則AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(今°,等)即(1,3).

IAB\=J(3+1)2+(6-0)2=J16+36=顯=2屈，

所以以4B為直徑的圓的圓心為(1,3),半徑為廠=加.

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—Ip+(y—3)2=13,展開可得x2-2x+l+y2-6y+9=13,

?Mx2+y2-2x-6y-3=0.

故選：B.

4.圓G：(x—2)?+(y—4)2=9與圓02：必+/—1°》+9=0的公切條數(shù)為()

A.2條B.1條C.3條D.4條

【答案】A

【解析】

【分析】首先把圓的一般式轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)式，進(jìn)一步判斷兩圓的位置關(guān)系，最后得出兩圓的公切線的條數(shù).

【詳解】由。]：(%—2『+(y—4)2=9是以(2,4)為圓心，3為半徑的圓.，

C2+,2_]0x+9=o轉(zhuǎn)換為(尤_5)2+y?=16,

即該圓是以(5,0)為圓心，4為半徑的圓.

所以圓心距d=^（2-5）2+（4-0）2=5，

所以4—3=1<5<4+3=7

所以兩圓相交，故公切線的條數(shù)為2,

故選：A

5.已知雙曲線好―y2=2的左，右焦點(diǎn)分別為耳,心，點(diǎn)尸在雙曲線的右半支上，點(diǎn)Q（o,2）,則

I尸。|+|四|的最小值為（）

A.242B.4C.6D.472

【答案】D

【解析】

【分析】首先利用雙曲線的定義轉(zhuǎn)化|PQ|+|P周=盧。|+（戶閶+20）,再結(jié)合圖象，求|PQ|+|P閭的

最小值，再聯(lián)立方程求交點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】由題意并結(jié)合雙曲線的定義可得

|PQ|+附I=|叫+（附|+2后）=戶。|+1叫+20.+2拒=2應(yīng)+20=4虛，

當(dāng)且僅當(dāng)。，尸，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.

y——x+231

由;2丫2_2可得x=5,所以丁=5,

而直線QF2的方程為y=-x+2,

x—y一乙，L

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（|彳）.

所以當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（|4）時(shí)，|尸。|+歸行|的最小值為4應(yīng).

故選：D.

6.若直線/：3=履+3—左與曲線c：y=Jl-/恰有兩個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)左的取值范圍是（）

43

B.D.￡』

3J2

【答案】B

【解析】

【分析】先得到直線過定點(diǎn)P（L3）,作出直線/與曲線C,由圖求出直線/過點(diǎn)4（-1,0）時(shí)斜率和直線/

與曲線C相切時(shí)的斜率即可樹形結(jié)合得解.

【詳解】由丁=履+3—左=上（%—1）+3可知直線/過定點(diǎn)P（l,3）,

曲線c：y=J匚2兩邊平方得f+V=i（y?。），

所以曲線C是以（0,0）為圓心，半徑為1且位于直線X軸上方的半圓，

當(dāng)直線/過點(diǎn)4（—L0）時(shí)，直線/與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)0=—左+3-左n左=：,

當(dāng)直線/與曲線C相切時(shí)，直線和圓有一個(gè)交點(diǎn)，圓心（0,0）到直線/的距離1=亍*=1,兩邊平方

4

解得左=一,

3

43

所以結(jié)合圖形可知直線/與曲線C恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則一〈左〈一.

32

故選：B.

7.若圓G：（x+l）2+（y—2）2=/（廠>0）上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線/：4元—3丁—10=0的距離為1,則實(shí)數(shù)r

的取值范圍為（）

A.（3,+oo）B,（5,+<?）C.（3,5）D,[3,5]

【答案】C

【解析】

【分析】求出與直線/平行且到直線/的距離為1的直線的方程為4x-3y-5=0和4x-3y-15=0,數(shù)形

結(jié)合可知，圓G與直線4x—3y—5=0相交，與直線4x—3y—15=0相離，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求

得r的取值范圍.

【詳解】如圖所示.

設(shè)與直線/平行且與直線/之間的距離為1的直線方程為4x-3y+c=0,

|c+10|

則1,解得c=—5或c=—15,

M+(-3)2

|-4-6-5|

圓心G(—1,2)到直線4x—3y—5=0的距離為4==3,

也2+(一3)2

|-4-6-15|

圓G(―L2)到直線4x—3y—15=0的距離為4==5,

#+(-3)2

由圖可知，圓G與直線4%—3y—5=0相交，與直線4x—3y—15=。相離,

所以4＜廠＜4,即3〈廠＜5.

故選：C

8.油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今己有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮于

春分時(shí)節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動(dòng)中將油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是

一個(gè)半徑為血的圓，圓心到傘柄底端距離為血，陽光照射油紙傘在地面形成了一個(gè)橢圓形影子(春分

時(shí)，北京的陽光與地面夾角為60。)，若傘柄底端正好位于該橢圓的焦點(diǎn)位置，則該橢圓的離心率為

()

A.2-6B.V2-1C.6—1D.

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，作出圖形，再利用正弦定理求出橢圓的長軸長，結(jié)合焦點(diǎn)位置求出半焦距作答.

【詳解】如圖，傘的傘沿與地面接觸點(diǎn)8是橢圓長軸的一個(gè)端點(diǎn)，傘沿在地面上最遠(yuǎn)的投影點(diǎn)A是橢圓長

軸的另一個(gè)端點(diǎn)，

對(duì)應(yīng)的傘沿為C,。為傘的圓心，尸為傘柄底端，即橢圓的左焦點(diǎn)，令橢圓的長半軸長為。，半焦距為

由0/，3。,|0/|=|05|=拒，得4+。=|3/|=2,/尸3。=45°,\AB|=2a,\BC\=242,

在7ABe中，ABAC=60，則ZACB=75°，

sin75°=sin(45°+30°)=—x^+—x-=+,

22224

國y/6+42

0B，2x-------i

由正弦定理得，9_^土，解得。=------尸4—=1+—,貝|c=l—

sin750sin60°V3

所以該橢圓的離心率e=￡=g^=2—6.

ay/3+1

故選：A

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

2

9.已知拋物線G：V=s（加＞0）與雙曲線C?:尤2-4=1有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)？（2,陽）在拋物線6上，則

下列結(jié)論正確的有（）

A.雙曲線C?的離心率為2B.雙曲線C?的漸近線方程為y=

C.m=8D.點(diǎn)P到拋物線G的焦點(diǎn)的距離為4

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線C2方程求出離心率可判斷A；求出雙曲線C?的漸近線方程可判斷B；由￡,。2有

相同的焦點(diǎn)求出m可判斷C；點(diǎn)尸坐標(biāo)代入。方程可判斷D.

2

【詳解】雙曲線。2：/一（=1的焦點(diǎn)為（2,0）,（-2,0）,〃=1方=3,

對(duì)于A,雙曲線G的離心率e=N3=2，故A正確；

1

對(duì)于B,雙曲線C?的漸近線方程為'=±4，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由。1，。2有相同的焦點(diǎn)，得1=2,解得力=8,故C正確；

對(duì)于D,拋物線=8%的焦點(diǎn)為（2,0）,點(diǎn)P（2,y°）在。上，

則為=±4,故P（2,4）或P（2,—4）,

所以點(diǎn)尸到。的焦點(diǎn)的距離為4,故D正確.

10.已知直線/:履—y+左=0,圓C:/+y2—6x+5=O,P（Xo，%）為圓C上任意一點(diǎn)，則下列說法正確

的是（）

A,直線/與圓C相切時(shí)，k=+—

3

B.總的最大值為2叵

/5

C.圓心C到直線/的距離最大為4

D.看+次的最大值為5

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)直線和圓位置關(guān)系、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】圓C的方程可化為（x-3『+y2=4,

所以圓。的圓心為C（3,0）,半徑r=2.

直線/:Ax—y+左=0,即y=k（x+l）,過定點(diǎn)（一1,0）,

若直線/與圓C相切，則圓心。（3,0）到直線/的距離為2,

|3人+用n

即I==2,解得左=±—，所以A選項(xiàng)正確.

如圖所示，當(dāng)直線OP的斜率大于零且與圓相切時(shí)，業(yè)最大,

%

此時(shí)|oq=3,|Pq=2,|OP|=JL且砧=tan/POC=*=當(dāng)，B選項(xiàng)正確.

圓心C（3,0）到直線I的距離d==^==

當(dāng)左=0時(shí),d=09

,|4勺4

d——?―=——<4

當(dāng)左。0時(shí),7I7FI—r，所以c選項(xiàng)錯(cuò)誤.

、'V1+F

又兇=3,P（九0，%）是圓上的點(diǎn)，

所以常+義的最大值為（3+2）2=25,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AB.

22

11.已知橢圓C:土+1=1（2〉6〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為《、￡,上頂點(diǎn)為3,動(dòng)點(diǎn)尸在橢圓C上，則

4b

下列描述正確的有（）

A.若己的周長為6,則6

B.若當(dāng)/月尸&=1時(shí)，△「￡亮的內(nèi)切圓半徑為孝，則5=6

C.若存在P點(diǎn)，使得PF}LPF2,則be[V2,2）

D.若|PB|的最大值為2為則:e[也2）

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用焦點(diǎn)三角形的周長求得c=l,可求）判斷A；利用余弦定理求得焦點(diǎn)三角形的面積，可得

g（|P￡|+|呷+|月月；|）￥=#（2+C）,求解可判斷B；若「耳上呷則以。為圓心，b為半徑

的圓與橢圓有交點(diǎn)，則Z?<c,求解可判斷C；|P8|=J（1—，）（y—，3）2—，工+。2+4,利用二次

函數(shù)的最值可求得6的范圍判斷D.

22

【詳解】對(duì)于A,由橢圓C：土+4=1（2〉6〉0）,可得。=2,

4b

因?yàn)槎B的周長為6,所以2a+2c=6,解得c=l,

因?yàn)椤èD匕2=°2,所以4—82=],解得6=石，故A正確；

對(duì)于B,由a=2,可得|「丹|+|「乙|=2a=4,

當(dāng)〃戶24時(shí)，由余弦定理可-2E小"F

22

=(.\PFi\+\PF2\)-3\PFi\-\PF2\=4a-3\PF]\-\PF2\,

則31尸耳I?I0工|=4/-4c2=4b2,解得IP耳|?|Pg|=,

1w

所以^PFlF2=-\PF1|.|PF2|.sin/RPF?=宣，

又△尸耳身的內(nèi)切圓半徑為走，

3

1出出

所以之崢=5(1期1+1呷+1481)考=事(2+。)，

所以走(2+0)=走62,所以2+c=〃=22—02,解得c=—2(舍去)或C=l,

33

所以5=8,故B正確；

對(duì)于C,若P耳，「工，則以。為圓心，。為半徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，則Z?4c,

所以Z?<c2,所以b2<42—)2=4—62,解得0<人<0,

所以存在尸點(diǎn)，使得則人e(O,0],故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,設(shè)P(x,y),3(0,b),

又因?yàn)?Z?<y<b,因?yàn)橄马旤c(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為26,又歸園的最大值為26,

力3

故y=—b時(shí)取最大值，所以一5——<-b,解得0〈b<2，故D正確.

人4—

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：橢圓中焦點(diǎn)三角形的有關(guān)結(jié)論

(1)焦點(diǎn)三角形的周長為2a+2c；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，NRPB為最大.

第n卷(非選擇題，共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.動(dòng)點(diǎn)尸到兩定點(diǎn)A(—4,0)、8(4,0)距離之和為10,則點(diǎn)尸的軌跡方程為

22

【答案】—+^=1.

259

【解析】

【分析】利用定義法求點(diǎn)P的軌跡方程.

【詳解】解：因?yàn)閨剛+|尸/=10>|AB|=8,

由橢圓的定義可知，動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是以4(-2,0),6(2,0)為焦點(diǎn)，長軸長為10的橢圓,

所以c=4,a=5,b2=a2-c2=9>

22

所以點(diǎn)尸的軌跡方程是工+匕=1.

259

22

故答案為：土+匕=1

259

13.設(shè)廠為拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)，過產(chǎn)且傾斜角為60°的直線交。于A,B兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn),

則△OAB的面積為

【答案］更YI

3

【解析】

【分析】

先由拋物線方程，得到尸(2,0),得出直線的方程，由拋物線的焦點(diǎn)弦公式求出弦長|A回,再由點(diǎn)到

直線距離公式，即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)镋為拋物線C：>2=8%的焦點(diǎn)，所以-2,0),

又直線AB過點(diǎn)F且傾斜角為60°，

則直線A3的方程為：丁=6(》一2),即—y-2百=0,

設(shè)5(W，%)，

由＜：=6(X—2)消去y可得3a—2)2=8%,整理得3/—20X+12=0,所以

y=8x3

2032

因此|=X1+X2+4=—+4=-

又點(diǎn)。到直線后—y-2g=0的距離為一」=6，

V3+1

所以△QW的面積為SARC=-\AB\-d^^-.

△/IDCII3

故答案為：蛆叵.

3

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：

求拋物線中三角形面積的一般步驟：

(1)設(shè)直線與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線方程；

(2)根據(jù)拋物線的弦長公式求弦長，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求距離；

(3)根據(jù)三角形面積公式，即可得出結(jié)果.

14.法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：過圓八*+,2=/一上任意一點(diǎn)作雙曲線

22

三―1=1的兩條切線，這兩條切線互相垂直，我們通常把這個(gè)圓E稱作雙曲線C的蒙日?qǐng)A.過雙曲線

ab"

2

W：上-丁=1的蒙日?qǐng)A上一點(diǎn)P作W的兩條切線，與該蒙日?qǐng)A分別交于A,3兩點(diǎn)，若

3

N7M3=30。，則△K4B的周長為.

【答案】30+指##?+3近

【解析】

【分析】根據(jù)得到|AB|=2jL再利用NK4B=30°求出另外兩直角邊即可得到周長.

【詳解】由題可知，W的蒙日?qǐng)A方程為必+/=2,半徑為拒，且24，依，

所以為直徑，所以|AB|=2jL

又NPAB=30°,所以|/狎=夜，|PA|=J(20『—(也『=瓜

所以△K4B的周長為3、叵+逐.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.光線自點(diǎn)。(-3,4)射到點(diǎn)(2,0)后被x軸反射.

(1)求反射光線所在的直線的方程;

(2)求過點(diǎn)(4,2)且與入射光線垂直的直線方程.(請(qǐng)用直線的一般方程表達(dá)解題結(jié)果).

【答案】(1)4x-5y-8=0

(2)5x-4y-12=0

【解析】

【分析】(1)反射光線過點(diǎn)(2,0),而由物理學(xué)知識(shí)知反射角與入射角相等，因此反射光線與入射光線的斜

率相反(注意直線的傾斜角不是入射角、反射角)；

(2)根據(jù)垂直的直線的斜率乘積為一1可得所求直線的斜率，進(jìn)而由點(diǎn)斜式可得方程.

【小問1詳解】

4444

設(shè)N(2,0),則=——=—￡,所以左反射=—kpN=-，直線方程為y=￡(X-2),即4x—5y—8=0.

—3—2555

【小問2詳解】

設(shè)所求直線的斜率為左，則左義(—g)=—1,k=^,直線方程為y—2=1(x—4),即5x—4y—12=0.

16.安慶市體育館的屋蓋網(wǎng)殼由兩個(gè)大小不同的雙層橢球殼相貫而成，其屋蓋網(wǎng)殼長軸總尺寸約97米，短

軸總尺寸約77米，短軸長與長軸長的平方比接近黃金比0.618.我們把短軸長與長軸長的平方比為避二1

2

2

的橢圓稱為黃金橢圓.現(xiàn)有一黃金橢圓C:二+y=l(a〉6〉0)其中A,歹分別為其左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，B

ab2

為上頂點(diǎn).

(1)求黃金橢圓C的離心率;

(2)某同學(xué)在研究黃金橢圓的性質(zhì)時(shí)猜測△視可能為直角三角形，試判斷該同學(xué)的猜測是否正確，并

說明理由.

【答案】(1)1二L

2

(2)正確，理由見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題目中黃金橢圓的定義，再根據(jù)離心率的計(jì)算公式e'1--可求得橢圓的離心率.(2)通

a-

過計(jì)算左.,凝F的值，可以判斷出三角形的形狀.

【小問1詳解】

由題意，設(shè)橢圓C的焦距為2c,則《=避二!■，

cr2

正確.理由如下；

_b—b_b1_b2_1

設(shè)橢圓中心為。由AB，BF~~a'^~~7c~~a/cr-b2~~[a^-crb2

7T

所以^AB-kBF=一1，即NABF=—,

所以A4防是直角三角形.

17.己知圓。］：/+/+6兀—10y+25=0與圓。2：必+/一8y+7=0交于A,3兩點(diǎn)，圓C經(jīng)過

A,3兩點(diǎn)，且圓心在直線4x—3y—3=0上.

(1)求|A3|；

(2)求圓C的方程.

【答案】(1)726；

(2)(x-3)2+“-3>=29.

【解析】

【分析】(1)首先作差得兩圓相交弦所在直線方程，然后根據(jù)弦長公式計(jì)算即可;

(2)求出直線的方程，再聯(lián)立直線的方程得到圓C的圓心坐標(biāo)，再求出半徑即可.

【小問1詳解】

1

因?yàn)閳AG:公+y+6x—10y+25=0與C2:%?+y?—8y+7=0交于A，B兩點(diǎn)，

所以兩圓方程作差得直線AB的方程為3x-y+9=0.

又圓C,:/+（y—4）2=9,所以點(diǎn)C2到直線AB的距離d=匕呈!=叵,

V9+12

//—~\2

所以|AB|=249—乂3=726；

M2J

【小問2詳解】

G:（x+3）2+（y-5）2=9,圓。2:f+（y一盯=9,

則C"—3,5）,G（0,4），則％=」，

則直線的方程為y=—；x+4,即x+3y—12=0,

x+3y-12=0

由4:c八，解得％=3,y=3,所以C（3,3）,

4x-3y-3=0

所以點(diǎn)C到直線AB的距離4=13*二廿9|=2叵，

V9+12

設(shè)圓c的半徑為廣，所以廠=卜^^!^=j西，

所以圓。的方程為（x—3r+（y—3）2=29.

2

18.已知雙曲線C:?—/=i,M（m,2）,斜率為左的直線/過點(diǎn)河.

（1）若m=0,且直線/與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求左的值；

（2）雙曲線C上有一點(diǎn)尸，/可尸鳥的夾角為120。，求三角形P4鳥的面積.

【答案】（1）左=±:或左=土且

22

⑵昱

3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)直線過點(diǎn)寫出點(diǎn)斜式，當(dāng)直線與漸近線平行時(shí)，與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直

線與漸近線不平行時(shí)，聯(lián)立直線與雙曲線，根據(jù)判別式可得斜率左的值；

（2）根據(jù)雙曲線的定義及三角形余弦定理與面積公式可得解.

【小問1詳解】

當(dāng)m=0時(shí)，M（0,2）,

則直線/方程為丁=6+2,

又雙曲線c：'—>2=1的漸近線為y=+-x,

所以當(dāng)左=土;時(shí)，直線與漸近線平行，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)左w土工時(shí)，

2

必2

-----y-1

聯(lián)立方程組｛4，

y=kx+2

得（1-4左2）爐—16西—20=0,

A二（―16左『_4?（1—4左2）.（-20）=0,

解得k=±;

2

綜上所述，當(dāng)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)左=±〈或左=±好；

22

【小問2詳解】

由雙曲線C:二一丁=1,

4-

則網(wǎng)—火,0）,鳥閨月|=2石，

又點(diǎn)尸在雙曲線上，即|PG|—|P勾=4,即（戶周—戶用）2=戶用2+歸閭2—2歸片卜戶用=16,

在APKK中，

由余弦定理cos/6Pg=%Tf閭,

1=16+2P片忖閶—20

2―2PF,-\PF2\，

解得1。/訃

所以面積5的&，叫明應(yīng)114帆=!：￥=『

19.直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如x="+l表示過點(diǎn)(1,0)的直線，直線的包絡(luò)曲線

定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族

中的某條直線.

(1)若圓。1：/+,2=i是直線族g+nyuKm/eR)的包絡(luò)曲線，求加，”滿足的關(guān)系式；

(2)若點(diǎn)P(x°,yo)不在直線族：Q(2a—4)x+4y+(a—2)2=0(aeR)的任意一條直線上，求為的取值

范圍和直線族。的包絡(luò)曲線E;

(3)在(2)的條件下，過曲線E上兩點(diǎn)作曲線E的切線/］」2,其交點(diǎn)為P.已知點(diǎn)C(0,l),若

三點(diǎn)不共線，探究NPC4=NPCB是否成立？請(qǐng)說明理由.

【答案］(1)m2+n2=1

⑵％〉尸

(3)成立，理由見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)包絡(luò)曲線的定義利用直線和圓相切即可得根2+川=1；

(2)易知方程(2a-4)/+4%+(。-2)2=0無解，根據(jù)判別式可得先〉］.,證明可得直線族。的包絡(luò)

/

曲線E為y=—；

4

X+X玉%

(3)法一：求出A3兩點(diǎn)處曲線E的切線心/2的方程，解得P12