基本不等式（含新定義解答題）解析版-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練

第03講基本不等式（分層精練）

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1.（2024上?山西長治?高一校聯(lián)考期末）當(dāng)XHO時(shí)，f+3的最小值為（）

X

A.三B.1C.2D.272

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式，即可求解.

【詳解】由xwO,可得f>0,貝匠+晨2、4=2,

XVX

當(dāng)且僅當(dāng)％2=1=時(shí)，即x=±1時(shí)，等號(hào)成立，故d+t1的最小值為2.

故選：C.

2.（2024上?廣東潮州?高一統(tǒng)考期末）設(shè)x>0,則函數(shù)片/+工+25的最小值為（

)

A.6B.7C.10D.11

【答案】D

【分析】利用基本不等式求解可得答案.

【詳角星】x>0,...y='=%+至+122］至+1=11,

XXVX

當(dāng)且僅當(dāng)x=325，即x=5時(shí)，等號(hào)成立,

X

所以函數(shù)y=*+尤+25的最小值為［I,

X

故選：D.

3.（2024上?山東青島?高一統(tǒng)考期末）已知x,y為正實(shí)數(shù)，則生+土的最小值為（）

xy

A.1B.V2c.2D.2V2

【答案】D

【分析】根據(jù)題意利用基本不等式運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)闊o，y為正實(shí)數(shù)，則祖+二22、叵三=2近，

xy\xy

當(dāng)且僅當(dāng)包=土，即x=&y時(shí)，等號(hào)成立，

xy

所以工+二的最小值為2忘.

xy

故選：D.

4.（2024上糊北武漢?高三統(tǒng)考期末）已知正數(shù)。，b滿足a+2b=1,則（）

1111

A.ab>-B.ab>—C.0<ab<—D.0<ab<—

8888

【答案】C

【分析】根據(jù)基本不等式直接計(jì)算即可.

【詳解】由題意得，a>0,b>0,則。匕〉。，a+2b=l>2y[2^b,即

O

當(dāng)且僅當(dāng)。=幼，即。=1,6=1時(shí)等號(hào)成立.

24

故選：C

5.（2024上?山東濱州?高三統(tǒng)考期末）若不等式f一依+420對(duì)任意xe[l,3卜恒成立，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是（）

（131

A.[0,4]B.（-8,4]C.I-<?.yD.（-oo,5]

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，分離參數(shù)再利用基本不等式求出最小值即得.

【詳解】不等式Y(jié)一方+430對(duì)任意尤e[l,可恒成立，則、/尤￡[1,3],aK冗H—,

而x+222j32=4,當(dāng)且僅當(dāng)冗=—,即x=2時(shí)取等號(hào),因止匕aW4,

X\XX

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是（--4].

故選：B

31

6.（2024上?河北滄州?高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)x,y滿公g3x+2y=2,則丁+一的最小值

2xy

為（）

251325

A.6B.—C.—D.——

422

【答案】B

【分析】借助基本不等式計(jì)算即可得.

……311（3I、..、9c3y3x巨+2世馬金，

【詳解】?（3x+2y）=+2+'+

2xy2\2xy）212xyJ212RxyJ4

3y3x

————oQi

當(dāng)且僅當(dāng)Xy，即K=y=：時(shí)，等號(hào)成立，因此丁+一的最小值為

52xy4

[3x+2y=2

故選：B.

7.（2024上?廣西?高一校聯(lián)考期末）已知/+62=必+4,則的最大值為（

A.2B.4C.8D.2A/2

【答案】B

【分析】利用基本不等式可得關(guān)于。+6的一元二次不等式，解不等式即可.

【詳解】a2+b2=ab+4,則有（。+6）2=3"+4V3（q-+4,

可得（〃+份2<16,即a+b44,當(dāng)且僅當(dāng)〃=6=2時(shí)，等號(hào)成立.

所以的最大值為4.

故選：B

8.（2024上?湖南?高一校聯(lián)考期末）已知〃+/=4小1,則曲的最小值為（

11

A.-B.-C.2D.3

23

【答案】A

【分析】利用重要不等式列出不等式求解即可.

【詳解】由重要不等式得〃+〃=4M-1N2H,當(dāng)且僅當(dāng)，=b時(shí)取等，

解得顯然A正確，

故選：A

二、多選題

9.（2024上?河南安陽?高一林州一中校考期末）下列說法正確的是（）

A.x>0,xwl,則y=lg^+7*-的最小值是2

Igx

尤+55

B.尤20,則>=表育的最小值是1

C.x>0,則>=2工+:工的最小值是1

4-2

14

D.y=—+--^（1尤1<1）的最小值為9

X1—X

【答案】BD

【分析】根據(jù)選項(xiàng)式子的特點(diǎn)，利用函數(shù)單調(diào)性或者基本不等式可得答案.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)x=[時(shí)，y=lgx+-^-=-2<2,A不正確；

10Igx

對(duì)于B,/=-/：=Jx+4+.:,令/=Jx+422,貝ijy=，+l,

A/X+4VX+4t

由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)此2時(shí)，y=f+；為增函數(shù)，所以》的最小值是g,B正確；

對(duì)于C,令y2、由xNO得tzi,y=t+—,

4f

由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，y=f+3為增函數(shù)，所以y的最小值是g,C不正確；

4f4

22

對(duì)于D,由0<1可得1_犬2>0,y=^+^-I^（x+l-x）=5+l^+^r>2A/4+5=9,

1_2J_V21

當(dāng)且僅當(dāng)v匕二即時(shí)，取到等號(hào)，D正確.

尤21-X23

故選：BD.

10.（2024上,山東臨沂,高一山東省臨沂第一中學(xué)期末）下列命題中正確的是（）

1V2+3

A.若％<0,則x-i—?—2B.；-N2

冗VX2+2

C.若XER且xwO,貝|x+—22D.X2+—^—>1

xx+1

【答案】ACD

【分析】由已知條件，利用基本不等式驗(yàn)證各選項(xiàng)的結(jié)論是否正確.

時(shí)有一貝|%+工=

【詳解】%v0x>0,

x-x

當(dāng)且僅當(dāng)-％=」-,即％=-1時(shí)等號(hào)成立，A選項(xiàng)正確;

—X

兀？+3爐+2+1

Jx2+2H—，>2

A/X?+2J尤2+24+2

等號(hào)成立的條件是^=7言5，即f+2=i,顯然不能成立,

X2+3

故下^>2的等號(hào)取不到，B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

V%+2

R且X“，貝"+：=|龍1+1

若工￡

W

當(dāng)且僅當(dāng)同=看，即％=—1或尤=1時(shí)等號(hào)成立，C選項(xiàng)正確;

11

%2+=%2+1+-1>2—1=1,

%2+1x2+l

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立,口選項(xiàng)正確;

故選：ACD

三、填空題

11.（2024上?湖北?高一校聯(lián)考期末）已知x>:,則x的最小值為___________

22x-l

【答案】;+&

【分析】利用基本不等式求得正確答案.

【詳解】由于無>彳，所以x—二>0,2x—1>0,

22

111

所以x+不二x---1-+-—---

2x-l22x-l2

11r~1

>2----+—=12+—,

2x-l22

當(dāng)且僅當(dāng)苫-工=」一/=受以時(shí)等號(hào)成立,

22x-l2

所以x+上的最小值為齊應(yīng).

故答案為：—+^2

12.（2024上,山西運(yùn)城?高一統(tǒng)考期末）已知正實(shí)數(shù)a,6滿足a+%+5=ab,且不等式

m〉10-2ab

恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

2a+ba+2b+5

【答案】根2-18

【分析】分離參數(shù)得旌-%力（2〃+匕）恒成立，即諾-||+|j（2a+Z7）,然后結(jié)合

基本不等式求解即可.

10—

【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)。，。滿足。+如+5=",產(chǎn)m7之.2ab,

所以心°。-23（2。+叭_（2〃+4即2〃+也/Mg

〃+2Z?+5ab\baP7

因?yàn)椋邸?芻］(20+3==+2+8+竺上10+2^^=18,

當(dāng)且僅當(dāng)華=竺，即a=b=3+回時(shí)取等號(hào),

ba2

所以一

m10-2點(diǎn)

所以不等式>恒成立,只需〃注-18即可.

2a+bQ+2b+5

故答案為：m>-18

四、解答題

13.（2024上?浙江溫州?高一統(tǒng)考期末）近年來，"無廢城市"、"雙碳"發(fā)展戰(zhàn)略與循環(huán)經(jīng)濟(jì)

的理念深入人心，垃圾分類政策的密集出臺(tái)對(duì)廚余垃圾處理市場需求釋放起到積極作用?某

企業(yè)響應(yīng)政策號(hào)召，引進(jìn)了一個(gè)把廚余垃圾加工處理為某化工產(chǎn)品的項(xiàng)目?已知該企業(yè)日加

工處理廚余垃圾成本y（單位：元）與日加工處理廚余垃圾量x（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系可

148%+6720,0<x<72

表示為：y=<3°.

--X2+9600,72<x<160

12

（1）政府為使該企業(yè)能可持續(xù)發(fā)展，決定給于每噸廚余垃圾以260元的補(bǔ)助，當(dāng)日處理廚余垃

圾的量在什么范圍時(shí)企業(yè)不虧損？

⑵當(dāng)日加工處理廚余垃圾量為多少噸時(shí)，該企業(yè)日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最低？

【答案】⑴60WXW120

（2）80噸

【分析】（1）利用題中所給解析式，分兩段討論；

（2）當(dāng)0<x472時(shí)，由函數(shù)單調(diào)性求得最值，當(dāng)72Vx（160時(shí)，由基本不等式求得最值,

得解.

【詳解】（1）法一：當(dāng)0<xV72時(shí)，-=148+—<260,

XX

x>60,/.60<x<72,

當(dāng)72<%W160時(shí)，—x+>260,

2x

.-.3X2-520X+19200<0,

解得等4尤W120;.72c20,

綜上：當(dāng)60<x<120時(shí)，該企業(yè)不虧損；

260x-(148x+6720),0<x<72

法二：由己知得g⑴小小5+96可,72<E6。'

由g(x)20得，60W72或72<xW120,

綜上：當(dāng)604尤4120時(shí)，該企業(yè)不虧損；

(2)當(dāng)0<xW72時(shí)，^=148+^^>148+^^=241-,

xx724

當(dāng)72<E6。時(shí)，

2=2X+9600.3%X9600=240

尤2尤V2x

（"="當(dāng)且僅當(dāng)"x=80"成立）

綜上：當(dāng)日加工處理廚余垃圾量為80噸時(shí)，該企業(yè)日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最

低.

14.（2024上?四川成都?高一統(tǒng)考期末）如圖所示，一條筆直的河流/（忽略河的寬度）兩

側(cè)各有一個(gè)社區(qū)A,B（忽略社區(qū)的大?。?，A社區(qū)距離/上最近的點(diǎn)&的距離是2km,8社區(qū)

距離/上最近的點(diǎn)穌的距離是1km,且=4km.點(diǎn)尸是線段4為上一點(diǎn)，設(shè)&P=akm.

現(xiàn)規(guī)劃了如下三項(xiàng)工程：

工程1：在點(diǎn)尸處修建一座造價(jià)0.1億元的人行觀光天橋；

工程2：將直角三角形AA）P地塊全部修建為面積至少1km2的文化主題公園，且每平方千米

造價(jià)為億元；

工程3：將直角三角形8穌尸地塊全部修建為面積至少0.25km2的濕地公園，且每平方千米

造價(jià)為1億元.

記這三項(xiàng)工程的總造價(jià)為W億元.

（1）求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（2）問點(diǎn)尸在何處時(shí)，W最小，并求出該最小值.

"7"

【答案】（1）1，-

⑵當(dāng)點(diǎn)尸滿足14Pl=3時(shí)，W最小，最小值為5.1億元.

【分析】（1）由直角三角形8線尸地塊全部修建為面積至少0.25km2和直角三角形凹尸地

塊全部修建為面積至少1km2的文化主題公園濕地公園，列不等式求解即可得出答案.

（2）由題意可得W=［l+工］。+1義\￡+0」，由基本不等式求解即可.

【詳解】（1）因?yàn)橹苯侨切蜝穌尸地塊全部修建為面積至少0.25km2的濕地公園，

117

所以力曠=萬|綜尸］忸聞=于1.（4_°）20.25,解得：a<-

直角三角形A&尸地塊全部修建為面積至少Ikn?的文化主題公園,

所以SMLJAPIIMUJXZS",解得：a>l,

7

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為I,2

4—a

(2)依題意可得：卬=1+?Q+1X-------F0.1

2

94-a…a9…、Ja9…_3_1.

=QH------1--------F0.1=—I------F2.122./一,---F2.1—2xF2.1=5.1,

2a222a722a2

a9

當(dāng)且僅當(dāng)二=三，即。=3時(shí)取等.

22a

所以當(dāng)點(diǎn)尸滿足14Pl=3時(shí)，W最小，最小值為5.1億元.

B能力提升

1.(2024上?重慶?高一校聯(lián)考期末)當(dāng)x>0,y>0,且滿足2x+y-2肛=。時(shí)，有

2尤+y>/+k-8恒成立，則上的取值范圍為()

A.(—4,3)B.[-4,3]C.(—3,4)D.[—3,4]

【答案】A

【分析】把恒成立問題轉(zhuǎn)化成求最值問題，利用基本不等式求出2x+y的最小值，然后解二

次不等式即可.

[詳解]因?yàn)?x+y_2P=0即1+工=1且x>0,y>0,

2xy

所以2元+y=(2x+y)(4+，]=2+4+至22+2、l^x—)=4,

(2xy)2尤y\2xy

J^=2x

2xyfx=l

當(dāng)且僅當(dāng),,，即c時(shí)等號(hào)成立，

WU=2

,2-xy

因?yàn)椴坏仁?x+y>3+%-8恒成立，所以^+08<4,

即左2+左一12<0,解得T(上<3,故％的取值范圍為(T,3).

故選：A

2

2.(2024上?全國?高一專題練習(xí))設(shè)正實(shí)數(shù)x,y滿足y>2,不等式

27三+,3-18/-2'2'機(jī)"-2)(3%-2)恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為()

A.2-72B.4.72C.8D.16

【答案】D

9r2V29x2v2

【分析】令a=3x-2>0,b=y-2>0,不等式變形為多+^^2切，求出

y-23x-2y-23x-2

的最小值，從而得到實(shí)數(shù)機(jī)的最大值.

2

【詳解】尤>§，y>2變形為3x—2>0,y-2>0,

令a=3元—2>0,b=y—2>0,

則27d+/-18/一2y22"（y-2）（3x-2）轉(zhuǎn)化為

9/（3》-2）+文廣2）

即至+上>m,

（J-2）（3X-2）-y—23x—2

其中9尤2+y2=（a+2『+S+2『>（2岳）+（2畫）

y-23x-2baba

ofa乙lab,

—8—i—戶16J-------116,

\ba）xba

4

當(dāng)且僅當(dāng)。=8=2,即x==4時(shí)取等號(hào)，可知m<16.

故選：D

12

3.（2。24?全國?高三專題練習(xí)）已知羽川（1,2）且x+y=3,若心+于/“恒成立,

則實(shí)數(shù)。的范圍是

【答案】

fl2112

【分析】依題意得a<7^—+--,利用基本不等式"1"的代換求出^—+—的

（2尤一y2y-x）^2x-y2y__x

最小值，即可得解.

*1

【詳解】因?yàn)橛鸲（1,2）且無+、=3,若丁—+富一24恒成立，貝|]。<];?^+/一，

2x-y2y-x12元-y2y川

又

2x—y2y—x

l「「2y-x2（2x_y）］1您-x2（2x-y）3+2也

一|DH---------------1-----------------------—3-vL\-----------------=--------

32x-y2y-x3y2x-y2y-x3

當(dāng)且僅當(dāng)衿^=2fx-y）,即x=g,y=3-四時(shí)等號(hào)成立,

2x—y2y-x

所以也，即實(shí)數(shù)。的取值范圍是:亞土芋;

故答案為：J現(xiàn)紅苴

4.(2024上?江西上饒?高一校考期末)已知函數(shù)〃尤)=x+7+a,若對(duì)任意實(shí)數(shù)a>-2,

關(guān)于尤的不等式機(jī)在區(qū)間1,3上恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

【答案】(f0］

【分析】根據(jù)對(duì)勾函數(shù)g(x)=x+』的單調(diào)性可得，xe1,3時(shí)2Wg(x)4?從而由/(上加

x」3

得工+4+。之機(jī)恒成立，由題意得2+a之相對(duì)任意實(shí)數(shù)a>-2恒成立，即可求解.

x

【詳解】???對(duì)勾函數(shù)g(%)=x+4在；，1上單調(diào)遞減，在［1,3］上單調(diào)遞增，

xLz_

gc|)=I，g⑴=2,g(3)=m,

xeI，3時(shí)，g(x)111ta=g(1)=2,g(x)皿，=g⑶=5,即2<g(x)(當(dāng)，

a>—2,貝！J0<2+aWxd----naW—FCL,

x3

由了(龍)之加得x+'+〃之機(jī)，即兀+工+aN根恒成立，

由題意得，2+aN相對(duì)任意實(shí)數(shù)a>-2恒成立，

則2+(—2)之加，得切V0,

則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(9,0］.

故答案為：(y,。］.

C綜合素養(yǎng)

5.(2023上?山東德州?高一?？茧A段練習(xí))某天數(shù)學(xué)課上，你突然驚醒，發(fā)現(xiàn)黑板上有如

下內(nèi)容：例：求函數(shù)》=三-3x(x>0)的最小值.解：利用基本不等式a+6+cN3?勿浣，

(a>0,力>0,c>0),可彳導(dǎo)J+1+123元，于是y-~3x—x'+1+1—3x—223x—3x—2=—2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，取得最小值-2.

提示：基本不等式a+Z?+c+i/24-血6c4,(a>0,Z?>0,c>0,<7>0)

(1)老師請(qǐng)你模仿例題，研究函數(shù)y=x4-4x(x>0)的最小值；

1°

(2)求函數(shù)y=§無3-3x(尤>0)的最小值；

(3)當(dāng)。>0時(shí)，求函數(shù))=爐-辦(彳>0)的最小值.

【答案】⑴-3

⑵一6

9

【分析】（1）根據(jù)新定義可得犬―4%=/+1+1+1?4%—3,求解即可；

1212

（2）根據(jù)新定義可得入丁―=+3+3—3x—6,求解即可；

99

（3）根據(jù)新定義可得三一方=V+睡+吧一辦-生國，求解即可.

3V33A/39

【詳角軍】（1）x>0,a+b+c+d>4\fabcd,

知/一4%=%4+1+1+1-4%-3>4X-4X-3=-3，當(dāng)且僅當(dāng)尤=1時(shí)，取至!j最小值一3；

（2）由%>0,a+b+c>3\jabc，

知工%3-3%=:%3+3+3—3%—623%—3%一6=—6,當(dāng)且僅當(dāng)％=3時(shí)，取至!J最小值一6；

（3）由a+b+c>3%abc,

當(dāng)且僅當(dāng)無=因時(shí)，取到最小值一生旦.

V39

6.（2024下?安徽?高三池州市第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）基本不等式可以推廣到一般的情

形：對(duì)于,個(gè)正數(shù)%,出，,an,它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即

q+生：+。"源中2-當(dāng)且僅當(dāng)％=%=…=?！睍r(shí)，等號(hào)成立.若無窮正項(xiàng)數(shù)列｛4｝

同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)：①三〃>0,凡<M；②｛%｝為單調(diào)數(shù)列，則稱數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)P.

（1）若?！?"+以，求數(shù)列｛%｝的最小項(xiàng)；

n

⑵若切=而:，記判斷數(shù)