利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題（原卷版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第07講利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)..................................................1

第二部分：高考真題回顧.............................................2

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)............................................2

高頻考點(diǎn)一:分離雙參，構(gòu)造函數(shù)....................................2

高頻考點(diǎn)二：糅合雙參（比值糅合）.................................4

高頻考點(diǎn)三：糅合雙參（差值糅合）.................................6

高頻考點(diǎn)四：變更主元法...........................................7

高頻考點(diǎn)五：利用對(duì)數(shù)平均不等式解決雙變量問(wèn)題....................8

第四部分：新定義題10

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)

1、導(dǎo)數(shù)中求解雙變量問(wèn)題的一般步驟：

（1）先根據(jù)已知條件確定出變量再應(yīng)滿足的條件；

（2）將待求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于公三的函數(shù)問(wèn)題，同時(shí)注意將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，具體有兩種可行的方法：

①通過(guò)將所有涉及不，%的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于土的式子，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量上（迤亦可）的函數(shù)問(wèn)題；

②通過(guò)為，工的乘積關(guān)系，用再表示七（用馬表示占亦可），將雙變量問(wèn)題替換為用（或Z）的單變量問(wèn)題；

（3）構(gòu)造關(guān)于土或士的新函數(shù)，同時(shí)根據(jù)已知條件確定出土或占的范圍即為新函數(shù)定義域，借助新函數(shù)

的單調(diào)性和值域完成問(wèn)題的分析求解.

2、破解雙參數(shù)不等式的方法：

一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等

式；

二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果

第二部分：高考真題回顧

1.(2022?浙江?高考真題)設(shè)函數(shù)/(%)=丁+lnx(x>0).

2x

⑴求了(九)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知a,beR,曲線y=f(x)上不同的三點(diǎn)(x1,/(x1)),(x2,/(x2)),(x3,/(^3))處的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)3%.證

明：

(i)若o〉e,則°<匕一/(。)<；(￡一11；

..2Q-a112e-〃

<+<-

(ii)若0<ave,玉v/<%，則"+ge2_~-6,.

(注：e=2.71828.是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)

高頻考點(diǎn)一:分離雙參，構(gòu)造函數(shù)

典型例題

例題1.(23-24高三上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=21nx-(a+l)x2—2a%+l,6/GR.

⑴當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)/(x)在點(diǎn)(1]⑴)處的切線方程；

⑵若函數(shù)/(九)有兩個(gè)零點(diǎn)花，巧，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

2

⑶在(2)的條件下，證明：%+%〉一7.

a+1

例題2.(22-23高二下?福建龍巖?期中)已知函數(shù)/(x)=lnx-。(尤-2)(aeR).

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

3

(2)若“X)有兩個(gè)零點(diǎn)X1,%,(%<%,),證明：玉+3x,>—+2.

a

練透核心考點(diǎn)

1.(22-23高二下?河北邢臺(tái)?期末)已知函數(shù)/(耳=?%2-(a-2)x—2xlnx.

⑴若〃力為增函數(shù),求。；

4

⑵若0<a<2,/'(X)有兩個(gè)零點(diǎn)七，々，且無(wú)i<%，證明：々-無(wú)］>--2.

2.(2023?海南?？?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=xe*.

(1)求了。)的最小值；

⑵設(shè)尸(x)=f{x)+a(x+1)"。>0).

(i)證明：尸(無(wú))存在兩個(gè)零點(diǎn)七，巧；

(ii)證明：/(無(wú))的兩個(gè)零點(diǎn)為，巧滿足玉+%+2<0.

高頻考點(diǎn)二：糅合雙參（比值糅合）

典型例題

例題1.（23-24高三上?河北滄州?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=alnx-.

⑴討論J（x）的單調(diào)性;

（2）若存在不相等的實(shí)數(shù)不，尤2,使得〃占）=〃芻），證明：0<2a<%+%.

例題2.（23-24高三下?甘肅?開學(xué)考試）己知函數(shù)〃x）=￡?+lnx（aeR）.

（1）若在（0,+動(dòng)上單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

⑵若/（無(wú)）有2個(gè)極值點(diǎn)4%2（芯>工2>°），求證：々（才+考）>2

例題3.（2024?四川?一模）已知函數(shù)/（%）=辦2+%一1n%一々.

⑴若〃=1,求/（力的最小值；

⑵若/（%）有2個(gè)零點(diǎn)看，九2，證明：4（%+%2）2+（七+%2）>2.

練透核心考點(diǎn)

1.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)“x)=ln%-tzx(aeR).

①若。=3,求函數(shù)的最值；

(2)若函數(shù)g(x)=4(x)—x+a有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作占,巧,且不＜々，求證：1叫+2hu：2＞3.

2.(2024高三上,全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=a(x-lnx)+x2-2x,其中awR.

⑴當(dāng)a=-2e時(shí)，求“X)的極值；

⑵當(dāng)。＞。，無(wú)］＞七＞0時(shí)，證明：/(%)_/(用＜/(々)_/(上；八)天2.

3.(22-23高三下?湖北咸寧?階段練習(xí))已知函數(shù)/(尤)=3x-sin尤-alnx.

jr

(1)當(dāng)。=0時(shí)，VxeCO,-l./W^^,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

2

(2)若三%,9e(0,+oo),%使得/(均)=/(w),求證：4XJX2<a.

高頻考點(diǎn)三：糅合雙參（差值糅合）

典型例題

例題L（23-24高二上?陜西西安?期末）已知函數(shù)〃力=（爐+;加+〃戶二

⑴若m=n=Q,求/（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若租=4+6,n=ab,且“X）有兩個(gè)極值點(diǎn)，分別為々和馬。＜9），求”2一（U）的最小值.

e2-e1

例題2.（23-24高二上?江蘇鹽城?期末）設(shè)函數(shù)/（x）=ae*-2x-l,aeR,

⑴討論函數(shù)〃x）的單調(diào)性；

⑵若4，巧是函數(shù)“X）的兩個(gè)零點(diǎn)，且求玉+%的最小值.

練透核心考點(diǎn)

1.（23-24高三上?廣東深圳?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（*）=（尤2+2ax+2〃）e\

⑴若。=0,求“X）的單調(diào)區(qū)間；

⑵若“X）有兩個(gè)極值點(diǎn)，分別為為和々（占＜/）,求/））-〃尤2）的最小值.

2.(22-23高二下,浙江?階段練習(xí))已知函數(shù)/'(x)=x2+ox+；,g(尤)=liu+x.

(1)求函數(shù)g(x)在x=l處的切線方程；

⑵記函數(shù)及(x)=/(x)—g(x),且/z(x)的最小值為I'+ln及.

(i)求實(shí)數(shù)。的值；

(ii)若存在實(shí)數(shù)孫％1滿足〃百戶且仁產(chǎn)/,求人-目的最小值.

高頻考點(diǎn)四：變更主元法

典型例題

例題:1.(23-24高一上?云南?期末)若不等式V+g—4)x+4-2aN0對(duì)任意ae[O川恒成立，貝”的取值范

圍為?

例題2.(20-21高二下?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí))已知，(尤)=+-3x+1,若對(duì)任意的。w[-1,1],總有f(x)>0,

則x的范圍是.

例題3.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知二次函數(shù)y=ox2+/w+2(a,b為實(shí)數(shù))

(1)若函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(1,1),對(duì)VxeR,，>。恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑵若函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(1,1),對(duì)-2,-1].y>0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高一上?四川成都?開學(xué)考試)已知ae[-U],不等式*+(。-4)x+x—2a＞0恒成立，則x的取值

范圍_____.

2.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)是定義在(-8,+到上的增函數(shù).若不等式/(1-融-

對(duì)于任意ae[0,1]恒成立，求實(shí)數(shù)尤的取值范圍.

高頻考點(diǎn)五：利用對(duì)數(shù)平均不等式解決雙變量問(wèn)題

典型例題

例題1.(2023高三,全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=---lnx+x-a.若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)占，證明：再馬＜1.

例題2.(2023?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=lnx-加.

⑴討論函數(shù)〃尤)的單調(diào)性：

(2)若占,三是方程/(x)=0的兩不等實(shí)根，求證：x；+x；＞2e；

練透核心考點(diǎn)

1.(2023?北京通州?三模)已知函數(shù)/(%)=依一@一Inx(a＞0)

⑴已知/(龍)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程為＞=%T,求實(shí)數(shù)〃的值；

(2)已知/(%)在定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

⑶已知g(x)=/(x)