平面向量的數(shù)量積（解析版）-2025年天津高考數(shù)學一輪復習

第22講平面向量的數(shù)量積

（6類核心考點精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

平面向量基本定理的應用平面向量線性運算的坐標表示數(shù)量積的運算

2024年天津卷，第14題,5分

律數(shù)量積的坐標表示

余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式

2023年天津卷，第14題,5分

求積的最大值

2022年天津卷，第14題,5分用基底表示向量向量夾角的計算

2021年天津卷，第15題,5分數(shù)量積的運算律

2020年天津卷，第15題,5分已知向量共線（平行）求參數(shù)用定義求向量的數(shù)量積數(shù)量積的坐標表示

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，難度較高，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握向量的數(shù)量積公式

2.能掌握向量的模長，垂直于投影公式

3.具備數(shù)形結合的思想意識，會借助直角坐標系，求解向量的數(shù)量積與夾角模長等問題

4.會解借助點坐標解決最值與取值范圍問題

【命題預測】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，一般給出圖形，要求線性表示與數(shù)量積，模長與角度問

題。

I2?考點梳理?

L知識點一.向量的夾角|｛考點三、角度問題

知識點二.平面向量的數(shù)量積-<考點一、平面向量數(shù)量積的計算

知識點三.平面向量數(shù)量積的幾何意義考點二、模長問題

平面向量的數(shù)量積」f

知識點四.向量數(shù)量積的運算律

考點四、向量垂直的應用

考點五、投影問題

｛考點六、數(shù)量積求最值取值范圍問題

知識點六.常用結論

知識講解

知識點一.向量的夾角

已知兩個非零向量a,b,。是平面上的任意一點，作況="，協(xié)="則興兀)叫做向量a與b

的夾角.

知識點二.平面向量的數(shù)量積

已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為仇我們把數(shù)量同向cos9叫做向量a與b的數(shù)量積，記作她.

知識點三.平面向量數(shù)量積的幾何意義

設。，?是兩個非零向量，它們的夾角是仇e是與》方向相同的單位向量，硅=a,社)=b,過油的起點A

和終點8,分別作亂所在直線的垂線，垂足分別為4,囪，得到石后，我們稱上述變換為向量a向向量6

投影,再耳叫做向量a在向量方上的投影向量.記為lalcos。e.

知識點四.向量數(shù)量積的運算律

(T)ab=ba

(2)(4a)?方=入(ab)=〃?(勸).

(3)(a+b)c=ac+bc.

知識點五.平面向量數(shù)量積的有關結論

已知非零向量a=(xi，>1)，)=(%2，")，〃與萬的夾角為夕

幾何表示坐標表示

數(shù)量積a-b=\a\\b\cos0a-b=xiX2+yiy2

模\a\=y[a^a|a|=y君+式

八ab八為—+乃”

夾角COSu—I|i??CS

1all臼°y/xi+yiylxi+yl

a±b的充要條件ab=0同四+丫/2=0

|a創(chuàng)與⑷|臼的關系|a-Z?|<|a||*l\xiX2+yiyo\<\l(xi+yi)(pi+y2)

知識點六.常用結論

1.平面向量數(shù)量積運算的常用公式

(t)(a+b)-(a-b)=a*2~b2；

(2)(a±/>)2=a2±2a/>+b1.

2.有關向量夾角的兩個結論

(1)若“與?的夾角為銳角，則”￡>0；若a￡>0,則a與方的夾角為銳角或0.

(2)若a與分的夾角為鈍角，則a仍<0；若a-b<0,則。與占的夾角為鈍角或兀

考點一、平面向量數(shù)量積的計算

典例引領

1.(2024.河南濮陽?模擬預測)已知向量m=2,3在2方向上的投影向量為-32,則2不=()

A.12B.-12C.6D.-6

【答案】B

【分析】由題意得同cos值仍=-6,結合數(shù)量積的公式即可求解.

【詳解】因為B在五方向上的投影向量為-3Z

所以(問cos值,1)瑞=-3d,

而同=2,@W0,所以歷|cos(]㈤=—6,

所以五?b=|訓用cos值㈤=—12.

故選：B.

2222

2.(2024.海南.模擬預測)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C囁+琶=l(a〉b>0),點叭亍,小),％(亍,幾),

若以MN為直徑的圓過橢圓C的右焦點F(c,0),且(而一加?)?(麗+7^亦)=。訪?麗，則橢圓C的離心

率為()

【答案】c

【分析】根據給定條件，結合圓的性質及數(shù)量積的運算律列式，化簡可得2a2=3C2,進而求出離心率.

【詳解】由以MN為直徑的圓過橢圓C的右焦點F(c,O),得兩1前，即麗?麗=0,

222222

而前=(巴甘,爪),前=(三J,n),則(三3)2+nm=0,又麗=(0,zn—n),

由(麗-V2OF)-(OM+V2OF)=OM-~NM,得麗2_赤2=旃.而,

貝?。?亍)2+——2c2=77i(m—n),即?—2c2=—nm,因此%—2c2='.；),

整理得2a2=3C2,解得?=當，所以橢圓C的離心率為當

故選：C

即時年

1.(2024?山西太原?一模)在AaBC中，BC=6,AB=4,NCB4=會設點D為AC的中點，E在BC上，且荏?麗=

0,則阮.版=()

A.16B.12C.8D.-4

【答案】A

【分析】以B為原點，建立如圖坐標系，結合向量的坐標運算即可.

【詳解】因為在AABC中，BC=6,4B=4,=泉以B為原點，建立如圖坐標系，

則4(4,0),B(0,0),C(0,6),0(2,3),設E(0,b),則族=(—4")，麗=(2,3),BC=(0,6)

由題意可知荏?麗=0.即(一4,匕)?(2,3)=0,即-8+3b=0,所以b=:

所以E(0,§,.?.版=(一4,§.所以荏.瓦=16.

故選：A.

2.(2024?湖北?模擬預測)直線y="與圓(x-I)2+(y—l)2=1交于M、N兩點,0為坐標原點，則麗-ON=

【答案】c

【分析】先聯(lián)立方程，結合韋達定理可求出/%2，為內，根據向量數(shù)量積可求答案.

【詳解】聯(lián)立八2七-C2.M(l+k2)x2-2(k+l)x+l=0,

((%-l)z+(y-l)z=1

則△>(),即4(攵+1)2—4(1+1)>0,所以k>0,

2

設M(Xi，yJ,N(X2，y2)，則:XiX2=—,yry2=kxrx2=―,

__>__>]

2

~0M-ON=%1%2+=(1+fc)-r2..-=1.

+1

故選：C

3.(2024?河南周口?模擬預測)已知AaBC中，AC=2內/-C=-,AD為BC上的高，垂足為D,點E為

4

AB上一點，5.AE=2EB,則而?荏=()

4488

A.--B.-C.--D.-

3333

【答案】A

【分析】利用向量的線性關系及數(shù)量積的運算律得CESD=[C4SD+|CBSD可得答案.

【詳解】如圖所示，

由題意可知，AC=2V2,/.ADC=Z.ACD=故2D=2,

24

因為力E=2EB,

所以麗=刀+族=刀+|屈=?!+［（3-麗=河+|荏，

則近?AD=QcX+|CB）-AD=|cX-AD+|CS-AD

127r4

=1\CA\?\AD\cos^=-^.

故選：A.

4.（2024?四川涼山?三模）在中，已知Z8=LZC=3,點G為的外心，點O為重心,

貝廊?.

【答案】1

【分析】設BC的中點為。，根據三角形外心性質，得GDL8C,由重心性質得礪=；（同+阮），再根據數(shù)

6

量積運算即可求解.

【詳解】設BC的中點為。，連接4D,GD,

由點G為△ABC的外心，可得GC_LBC,

由點O為AABC重心，可得礪=二同=工（屈+芯），

故冠?BC=（0D+碉-BC

^OD-BC+O

]

=-（AB+AC）?（AC-AB）

6

=1（ZC2-AB2）=iX（9-1）=i

故答案為：

5.（2024?天津河西?二模）在四邊形4BCD中，ABLAD,CB1CD,^ABC=60°,AB=2,AD=A/3,E、F分

別為線段AB、CD的中點，若設詬=a,BC=b,則而可用落3表示為-,EF-CD=.

【答案】—|

Z28

【分析】利用向量的加法可以求出第一個空；通過轉化確定I麗I及而與而，配的夾角，代入數(shù)量積的計算

公式即可求出第二個空.

【詳解】

由題意得，EF=~EA+AD+~DFjF=EB+JC+CF,

由E、F分別為線段4B、CD的中點，知麗+麗=6,DF+CF=0,

因此，2￡T=EA+AD+DF+EB+~BC+CF=AD+~BC

EF=-a+-b-,

22

延長力D、BC交一點G,由4B1AD,^ABC=60。，AB=2,AG=28，且NDGC=30。.

???AD=V3,.-.￡)G=V3

又「CB1CD,???乙GCD=90°,.-.CD=g/GDC=60°,貝此C￡M=120"

.：EF-CD=l(AD+BCyCD=lAD.CD+lBC-CD=lAD.CD=||XD|.|CD|cosl20?=|xV3xx

故答案為：—|

ZZo

考點二、模長問題

典例引領

1.（2020?全國.高考真題）設2,3為單位向量，且4+陰=1,則驚―山=.

【答案】V3

【分析】整理已知可得：恒+同=］（五+獷,再利用五是為單位向量即可求得2ai=一1,對恒一同變形

可得：歸一同=評一2五彳+/『，問題得解.

【詳解】因為五花為單位向量，所以同=|b|=1

所以|五+同=J（五+1）2=五|2+2五.J+同2_52+2五.3=1

解得：2ab=-l

所以|五一可=］（五一1）=^|a|2—2a-b+\b\=V3

故答案為：V3

【點睛】本題主要考查了向量模的計算公式及轉化能力，屬于中檔題.

2.（2024.河南.二模）若向量匕石滿足同=1,R+均1+伍+2區(qū)）1出貝I同=（）

A.V2B.V3C.2D.3

【答案】A

【分析】由已知結合向量數(shù)量積的性質即可求解.

【詳解】因為向量2,辦滿足|山=1,（a+K）1b,（a+2b）1a,

所以0+b）-b=a-b+\b\2=a-b+1=0,即2-b=—1,

所以（N+2b）-a-|a|2+2a-b-0,則同=V2.

故選：A.

1.(2024.河南濮陽.模擬預測)已知4(1,0),8(0,1),C(cosa,sina),ae(0,K),若|/C|=|BC|,則a的值為

A.-B.-C.-D.-

4246

【答案】c

【分析】根據向量模長公式結合同角三角關系可得tana=1,即可得結果.

【詳解】由題意可得：i4C=(cosa-l,sina)t^C=(cosa^sina—1),

若14cl=\BC\,則J(cosa-1)2+sin2a=Jcos2a+(sina—1尸,

可得2—2cosa=2—2sina,貝！Jtana=1,

且a6(0,7i),所以a=

4

故選：c.

2.(2024.河北.三模)已知非零向量2,方的夾角為+2=(—/,￡),怔―同=1,則怔+司=()

A.1B.yC.V2D.V3

【答案】D

【分析】分析可知同=1,向量窗的夾角為%根據a+3=2N-伍-研結合數(shù)量積的運算求解.

【詳解】因為m，則⑷=1,

且非零向量2,3的夾角為或怔一回=1,可知向量3,53的夾角為泉

則鼠(2-司=1x1x|=%

所以忖+b\=\2a—(a—b)|=J4a2—4a-(a—b)+(a—b)2=V3.

故選：D.

3.(2024?陜西西安?三模)已知向量N=(2,m),b=(1,1),\a+b\=|a|,則m=()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

【分析】結合平面向量的數(shù)量積運算，即可求解.

【詳解】因為向量,=(2,771),3=(1,1),由恒+同=|五|,可得+22?3+源=五2,所以2(2+7H)+2=0,

解得771=-3.

故選：A

4.(2018.遼寧朝陽.三模)已知向量不與石的夾角為60°,\a\=2,\b\=3,則|34一2司=.

【答案】6

【分析】根據模長公式結合數(shù)量積的定義和運算律即可求解.

【詳解】由題意，向量d與前勺夾角為60。，同=2,問=3,

所以(3B-2司之=9a2-12a-b+4h2=9x22-12x2x3cos60°+4x32=36,

所以|3之一2同=6,

故答案為：6

5.(2024.四川資陽.二模)已知向量優(yōu)3的夾角為150。，且⑷=2,\b\=2,則怔一次同=(J

A.1B.2-V3C.2+V3D.277

【答案】D

【分析】借助向量模長與數(shù)量積的關系與數(shù)量積的計算公式計算即可得.

【詳解】因為(a-Wb)=|a|2-2V3a-b+s|b|=4一2百x2X2X(-?)+3x4=28,

所以只一次回=2V7.

故選：D

6.(24-25高三上?廣東?開學考試)已知力=(sin%,—1),6=(cosxg),若/1亍，貝！||萬一磯=.

【答案】I

【分析】借助向量垂直可得其數(shù)量積為0,利用向量數(shù)量積公式與模長公式計算后結合三角函數(shù)基本關系即

可得解.

【詳解】由萬1則有/,]=sinxcosx—[=0,即sinxcosx=[,

又/—q—(sin久—cosx,—|),

貝1JI萬一[『=(sinx—cos%)2+￡=sin2%+cos2%—2sinxcosx+'=1—1+：='，

故歸一訓=1.

故答案為：I

7.(24-25高三上?湖北?階段練習)若平面內不共線的向量宓瓦0兩兩夾角相等，且⑷=1,同=2,同=3,

貝！J|日+3+引=.

【答案】V3

【分析】把向量的模轉化為數(shù)量積，再應用數(shù)量積運算律計算求解.

【詳解】因為平面內不共線平面向量3兩兩的夾角相等，

即匕3,乙兩兩的夾角為120。，

T—TJ(a+h+c)2=/—>——>———>—>T-

a+b+cy/a2+/++2。?b+2a?c+2b?c

同2+向2+?2+2a-b+2a-c+2b-c

l2+22+32+2xlx2x|)+2X1X3X(-|+2x2x3x(—-

=V3.

故答案為：V3.

考點三、角度問題

典例引領

1.(2020?浙江.高考真題)設瓦，瓦為單位向量，滿足|2瓦—瓦|WVL五=瓦+瓦，3=3瓦+瓦，設五，3的

夾角為氏貝！Ros?。的最小值為.

【答案】K

【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化簡條件得瓦?瓦2再根據向量夾角公式求COS?。函數(shù)關系式,

根據函數(shù)單調性求最值.

【詳解】???|2瓦一名|wVL

4—4瓦-+1<2,

—、—、、3

??61-

、2口_@母2—(4+4瓦總)2_4(1+可?功

五2.匕2(2+20?3)(10+6%?。2)5+3e1-e2

—4門2、>4228

毛(15+3X?一兀.

故答案為：||.

【點睛】本題考查利用模求向量數(shù)量積、利用向量數(shù)量積求向量夾角、利用函數(shù)單調性求最值，考查綜合

分析求解能力，屬中檔題.

2.(24-25高三上?貴州?開學考試)若向量2=(—2,2),4=(—1,3)的夾角為州則cos。=()

A.-巫B.遇C.延D.-四

5555

【答案】c

【分析】由向量夾角公式，數(shù)量積及模的坐標計算公式求解即可.

【詳解】由題可知，cos。==等,

|a|-|D|2V2XV105

故選：C.

即時檢測

1.（2024.山西太原.二模）已知同=|同=1,同=遮，a+b+c^0,則N與石的夾角為（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】C

【分析】依題意可得m=-他+司，將兩邊平方，由數(shù)量積的運算求出益i,再由夾角公式計算可得.

【詳解】因為|&|=\b\—1,|c|=V3,a.+b+c—0,

所以3=—（a+fa）,則群=a.2+2d-b+b2,即（百）？=I2+2a-b+I2,

解得/

設2與石的夾角為0,貝Ijcos。=普』=工，又0。W8W180。，

所以e=60°,即d與石的夾角為60。.

故選：C

2.（2024?甘肅蘭州三模）已知向量江=（1,一2）1=（一1,一2）,設2與3的夾角為仇貝Ijsin8=（）

3344

A.--B.-C.--D.-

5555

【答案】D

【分析】用夾角公式計算出余弦值后，再根據同角三角函數(shù)平方關系即可算出正弦值.

【詳解】因為2=（1,-2）1=（一1,一2）,

所以a-b=3,\d\=yj5,\b\=V5,

所以cos。=券&=I，

l+l

因為。為a與3的夾角，所以sin。=Vl-cos20=1

故選：D

—>TTT——

3.（23-24高三上?湖北十堰?開學考試）已知平面向量a,6滿足港R+6）=3,且|a|=2,6=1,則向量a與

力夾角的正弦值為（）

A.△B.—如C.D.農

2222

【答案】D

【分析】運用數(shù)量積性質和定義計算夾角，再結合同角三角函數(shù)關系可解.

【詳解】a-（^a+b'）-3a2+a-b-3a-b——1—|a||b|cos（a,b）今cos{a,b）—.

因為值%)6[0,7t],sin(a,b)=Jl-cos2(a,b)=Jl-^-0=y.

故選：D.

4.（24-25高三上?貴州貴陽?開學考試）已知向量三是滿足同=4,同=10,且石在3上的投影向量為-笆，則

向量日與向量3的夾角為（）

A.-B.-C.-D.-

6336

【答案】c

【分析】先利用投影向量求出數(shù)量積，利用夾角公式可得答案.

【詳解】依題意，N在]上的投影向量為給另=一與，則之不=一9評=一20,

\b\z55

于是cos〈a,B)=瑞/=急=-%而(2后6[0,可，貝！|優(yōu)力=會

所以向量2與向量3的夾角為

故選：C

5.(24-25高三上?浙江?開學考試)已知向量五=(1,2)石=(2—4,4),若江與石的夾角為銳角，貝設的取值范圍

是.

【答案】(-2,Jug+8)

【分析】根據題意列出不等式即可.

->一

【詳解】因為a,6的夾角為銳角，

T—TT

所以a-b>。且a,b不能同向共線，

所匚匚以I”「(2—A2X+(22AT>)0，

解得4>一2且力豐

故答案為:(-2t)嗚+8〉

考點四、向量垂直的應用

典例引領

1.(2021.全國.高考真題)已知向量五=(1,3)石=(3,4),若(五一焉)13,貝"2=.

【答案】|

【分析】根據平面向量數(shù)量積的坐標表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出.

【詳解】因為五一高=(1,3)-2(3,4)=(1-32,3-44),所以由伍一焉),3可得，

3(1-32)+4(3-4A)=0,解得2=|.

故答案為：

【點睛】本題解題關鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標表示，設五=(不,%)石=Cx2,y2),

alfe?d-h=0<=>=0，注意與平面向量平行的坐標表示區(qū)分.

2.(23-24高三下?山東青島?開學考試)已知向量,=(log43,sinF),b=(log38,m),若五13,則m=()

A.-2A/3B.-V3C.A/3D.2百

【答案】C

【分析】根據向量數(shù)量積的坐標表示結合對數(shù)的運算即可求解.

【詳解】由2_L另，可知log43?log38+msin,=0,

即log48—fzn=|—苧m=0,解得m=V5.

故選：C

即時檢測

I______________________

1.(22-23高三下?安徽池州?階段練習)已知點”(1,-1)和拋物線C:y=；/,過C的焦點且斜率為k的直線與

4

C交于4B兩點.若AM1貝必=()

A.—B.--C.-D.--

171722

【答案】C

【分析】設4(勺,%),B(x2,y2),直線4B方程y=kx+l,然后由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y,利

用根與系數(shù)關系，表示出的+犯，久1久2，從而可表示出月+進而由詢?前=0求出A的值.

【詳解】拋物線標準形式/=4y,焦點坐標(0,1),設力B(x2,y2)>

直線4B方程y=kx+l,代入拋物線方程得一一4收一4=0,

所以△=16k2+16>0,久1+亞=4k,x1x2=-4,

2

yi+y2=kg+x2)+2=4k+2,yry2=2好據=1，

所以^4M-W=(1--1-yj-(1-x2l-1-y2)=(1-%i)(l-x2)+(-1-yJC-l-y2)=2+

X1X2+7172-Oi+%2)+Oi+無)=°，

得4k2—4/c+l=0=>fc=|.

故選：C.

2.(2023?河南?模擬預測)已知向量d=(2cos75°,2sin75°),b=(cosl5°,-sinl5°),且(2d+另)1(2—焉)，

則實數(shù)4的值為()

A.8B.-8C.4D.-4

【答案】A

【分析】利用向量垂直的坐標表示，結合數(shù)量積公式，即可求解.

【詳解】因為江-b=2cos75°cosl5°-2sin75"sinl5°=2cos(15°+75°)=0,

\a\-2,\b\=1.

所以(22+b)-(a-Ab)=2d2-Ab2=8-A=0.

所以4=8.

故選：A

3.（2024-西藏?模擬預測）已知向量五=^cos（a+,sin（a+§）,b=9os（a+"）,sin（a+:.若

（2d+b）1（a+xb）,則實數(shù)久的值是（）

1i

A.-2B.—C.—D.2

22

【答案】A

【分析】利用三角函數(shù)的和差公式和同角三角函數(shù)的平方公式得到同=|同=1,a-6=0,

再依據向量垂直的條件建立方程求解即可.

【詳解】由題意得同=\b\=1,a-b=cos（a+：）xcos（a+高+sin（axsin[a+g）.

-cos（a+——cc——=cos（—J=0,因為（2/+b）-L,

所以（2,+?（五+xb）=0,所以2同2+x|K|2=0,所以24-%=0,解得％=—2.

故選：A.

4.（2024?山東荷澤?模擬預測）已知向量記=（sin（a+5）,1）,五二（cos（7i+a）,?其中ae（°（）'若布1元，

則cosa的值為（）

A.—B.-C.—D.-

2244

【答案】B

【分析】由沅1元，所以沅,元=0,代入條件化簡得cos2a=%結合已知ae（0,§得解.

【詳解】由沆_L元，所以沆?元=0,即sin（a+/）cos（7i+a）+[=0,

化簡得cos2a=%由ae（0（）得cosa=

故選：B.

5.（2024?江西新余?模擬預測）己知焦點在x軸上的橢圓C的左右焦點分別為&、F2,經過F2的直線I與C交于

4B兩點，若瓦彳?瓦豆=16,麗?屈=9,甌?瓦5=0,則C的方程為：（）.

A.史+藝=1B.次+”=1C.次+”=1D.^+y2=l

【答案】A

【分析】由題意可知：841B6,根據數(shù)量積的幾何意義可得|瓦同=4,|屈|=3,進而結合橢圓的定義

求a,b,c,即可得方程.

【詳解】因為甌?瓦？=0,可知B41B0,

則瓦1-F\B=F^B2=16,AB-AF[=AB2=9,

可得|瓦司=4,|荏|=3,即|&例=4,\AB\=3,則NF/==5,

由橢圓定義可得4a=\AFr\+\FrB\+\AB\=12,即a=3,

且外阿=20-\FrB\=2,則回引=+|&B|2=2遙，

即2c=2A/5,可得C=A/5,b=Va2—c2=2,

22

所以橢圓C的方程為三+一=1.

94

故選：A.

考點五、投影問題

典例引領

1.（24-25高三上?湖北武漢?開學考試）己知同=l,\b\=2,\a^b\=V3,貝囁在不上的投影向量為（）

A.-bB.-aC.-bD.-a

2244

【答案】c

【分析】先根據數(shù)量積的運算律求出。丸再根據投影向量的定義即可得解.

【詳解】由口-司=百，得0-b）=a2+b2-2a-b=5-2a-b=3,

所以1,

所以N在另上的投影向量為雪-l=^b.

\b\.4

故選：C.

2.（2023?黑龍江哈爾濱?模擬預測）已知向量d1滿足|團=2,b=（3,0）,|a-fa|=V10,則向量旨在向量方方向

上的投影向量為（）

A.g,0）B.（|,0）C.Q,0）D.（1,0）

【答案】c

【分析】將「-b\=VTU兩邊平方求出d-b,然后由投影向量公式可得.

【詳解】因為同=2,同=3,怔一同=VTU,

所以,—同=a2—2d-b+b2=22—2d-b+32=10,得2.b=|,

所以向量旨在向量反方向上的投影向量為器-b=lb=i（3,0）=Q,oY

\b\96\2,

故選：c

??即時啊

1.（2024?浙江紹興三模）若非零向量灑不滿足同=|同=口+山，貝皈+2方在B方向上的投影向量為（）

->R——?1->

A.2bB.-bC.bD.-b

22

【答案】B

【分析】利用向量的模長關系可得五小=-1加|,再由投影向量的定義即可求出結果.

【詳解】根據題意|d|=\b\=|d+3可得向2=|h|2=\d+K|2,

所以，則

所以五|2=_(同，

則五+23在另方向上的投影向量為用等3=硬學坂=巖如3=1b.

回\b\\b\2

故選：B

2.(2024.湖北?模擬預測)已知向量,=(1,0),3=(0,l),aV=31,則向量2在向量上的投影向量為()

【答案】A

【分析】設出^的坐標，利用給定條件得到落再利用投影向量公式求解即可.

【詳解】設3=(x,y)，因為2=(1,0),b=(0,1),a-c—b-c=1,

所以1晨二葭1I,解得｛MJ

即向量旨在向量，上的投影向量為萼.1+.繆=弓3)?

|c||c|V2v222

故選：A.

3.(2024高三?全國?專題練習)已知平面向量2=(2,m),b=(n,1),c=(m+1,-1),若2，3,b//c,則

另在a+5方向上的投影數(shù)量為()

A.-2V2B.一早C.誓D.2V2

【答案】B

【分析】根據垂直和平行向量的坐標表示求出小，n,得到3和2+3的坐標，即可利用向量投影的公式進行

求解.

【詳解】由五13得m+2n=0.

由物浮得m+n+1=0,所以m=—2,n=1.

所以b=(1,1),CL-(2,—2),c—(—1,—1)?2+3=(L—3),

所以3在a+乙方向上的投影數(shù)量為號苧=/21r=T

\a+c\V12+(-3)25

故選：B.

4.(23-24高三下?湖南婁底?階段練習)在三角形4BC中，若笳.前=0屈=2前,則向量而在向量四上

的投影向量為.

【答案】|而

【分析】由題意可得。為線段BC的中點，ZB4C=90°,則AAOB為等腰三角形，然后根據投影向量的定義

求解即可.

【詳解】因為阮=2團，所以。為線段BC的中點，

因為荏?前=0,所以屈_L前，所以NB2C=90。，

所以。4=OB=OC,

所以AAOB為等腰三角形，

所以向量而在向量荏上的投影向量為

AO-ABAB麗.\AB\cos^BAOAB

\AB\\AB\一\AB\\AB\

二網國鏢》一而

\AB\\AB\2'

故答案為：

5.（2023?天津和平?三模）已知AABC中，點。是4C中點，點M滿足前=2MC,記瓦？=a,BD=b,請用落

另表示前=；若瓦？?麗=-5,向量前在向量而上的投影向量的模的最小值為.

【答案】笆-軟y

【分析】由題意可得福=：就一瓦?，BC=2BD-BA,可求得病=（加一|2；向量前在向量而上的投

影向量的模為嚅包=瘦常理，計算可求得最小值.

但叫\(zhòng)b\

【詳解】根據題意，可得病=前—瓦5=|BC-BA,

所以前=前一函=|品一函=|（2前一明）一雨=［麗一|胡=［另一?^

向量前在向量而上的投影向量卷器■矗，

因為瓦？?麗=一5,所以心另=一5,

所以向量前在向量麗上的投影向量的模為：

\BD\\b\3四十3|所一yj3''3|S|3'

當且僅當g\b\=簫，即而=I時取等號，

所以向量前在向量前上的投影向量的模的最小值為爭

故答案為：①—|a；②g.

考點六、數(shù)量積求最值取值范圍問題

典例引領

1.（2023?天津?高考真題）在ATlBC中，BC=1,乙4=60。，AD=^AB,CE=^CD,記48==b,用

3%表示4后=；若而=|BC,則荏?衣的最大值為

【答案】-a+-b-

4224

【分析】空1：根據向量的線性運算，結合E為CD的中點進行求解；空2：用d1表示出赤，結合上一空答

案，于是版?標可由乙另表示，然后根據數(shù)量積的運算和基本不等式求解.

【詳解】空1：因為E為CD的中點，則說+前=6,可得［竺+處=”，

兩式相加，可得至U2荏=15+旅，

即2版=工之+氏則版=工/+3石；

242

空2：因為加=工就，貝1|2而+同=6,可得［竺+生=4￡,

3MF+FB=AB

得到方+FC+2（AF+FB）=4C+2AB,

即3族=2d+B,即通=|a+（3.

于是族.都=（扣+翔.（|<+割=^（2a2+5a-6+2b2）.

記ZB=x,AC=y,

則ZE.AF=卷（2a2+5五?b+2h2）=*（2x2+5xycos60°+2y2）=*（2x2+m+2y2）,

在4中，根據余弦定理：BC2=x2+y2-2xycos60°=%2+y2—xy=1,

于是被力與（2町+爭+2）=3（等+2）,

由％2+y2_%y=i和基本不等式，x2+y2—xy=1>2xy-xy=xy,

故%y〈l,當且僅當％=y=1取得等號，

則x=y=1時，AE-都有最大值

故答案為：+1□；

2.(2022.天津.高考真題)在A/IBC中，點D為AC的中點，點E滿足？5=2麗.記81=2,荏=3,用匕3表

示朝=,若則N4CB的最大值為

【答案】緘一凳9

ZZo

【分析】法一：根據向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出赤，以｛五，成為基底，表示出荏，尻，由28LDE

可得3京+五2=4幾出再根據向量夾角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以點E為原點建立平面直角坐標系，設E(0,0),8(1,0),C(3,0),2(%y),由ZB1DE可得點4的軌跡為以

為圓心，以r=2為半徑的圓，方程為(x+I)2+y2=4,即可根據幾何性質可知，當且僅當C4與OM

相切時，NC最大，即求出.

【詳解】方法一：

DE=CE-CD=1b-\a,

AB=CB-CA=b-afABIDE

(3b-a)-(h-D)=0,

3b2+a2=4a-b=cos乙4cB=言巳==f，當且僅當同=V5b時取等號，而0V

\a\\b\［41a一l回篇>?4\%a\\綱b\2II

^ACB<71,所以44cB6(0,-1.

6

故答案為：jb—j五；g

ZZ6

方法二：如圖所示，建立坐標系：

y

F(0,0),B(l,0),C(3,0)M(x,y)，DE=(一等,一今,荏=(1—

x,—y)，

DELAB(^)(x-1)+^=0=0+1)2+y2=4,所以點a的軌跡是以“(-1,0)為圓心，以「=2為半

徑的圓，當且僅當C4與?！毕嗲袝r，NC最大，此時sinC=￡=；=；,NC=￡

CM426

故答案為：=五；7

口呷投圓

1.(2024.天津.高考真題)在邊長為1的正方形ABCD中，點E為線段CD的三等分點，CE=^DE,BE=ABA+

liBC,貝/+〃=;F為線段BE上的動點，G為4尸中點，則Q?詁的最小值為.

【答案】

【分析】解法一：以｛瓦I左｝為基底向量,根據向量的線性運算求而，即可得4+II,設麗=kBE,求而，麗,

結合數(shù)量積的運算律求而?麗的最小值；解法二：建系標點，根據向量的坐標運算求寶，即可得2+〃,

設F(a,-3a),ae[-jo],求肝，加，結合數(shù)量積的坐標運算求衣?說的最小值.

【詳解】解法一：因為CE=1DE,即則族=炭+胃=(瓦I+就，

可得4=[,〃=1,所以2+〃=]；

由題意可知：|阮|=|瓦?|=1,瓦？?就=0,

因為尸為線段BE上的動點，設方=kBE=[而+kBC,ke[0,1],

則衣^AB+BF=AB+kBE=(^k-1)BA+kBC,

又因為G為4F中點，則麗=DA+AG=-BC+^AF=|Q/c-1)^4+Qfc-1)BD,

可得加.而=[Qfc-l)Bl+fcBC]■l)BX+Q/c-l)BC]

=Hife-1?+fcQfc-i)=|(fc-|)2-^

又因為ke[0,i],可知：當k=i時，江而取到最小值-*

解法二：以B為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示，

則4(-1,0),B(0,0),C(O,1),D(-1,1),E(.I),

可得瓦？=(-