人教版九年級數(shù)學上冊期末復習考題猜想 專題04 圓（9種熱考題型）

一．利用垂徑定理解決實際問題（共小題）1．（24-25九年級上·河北石家莊·期中）如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬為，拱高為．(1)求橋拱的半徑；(2)此橋的安全限度是拱頂點距離水面不得小于，若大雨過后，洪水泛濫到水面寬度為時，是否需要采取緊急措施？請說明理由．2．（24-25九年級上·四川廣安·期中）按要求解決實際問題(1)有一個橫斷面為拋物線形的拱橋，建立如圖所示的平面直角坐標系，當水面寬時，拱橋頂距離水面，當水面下降時，水面寬度是多少米？(2)如圖是平放在地上的油漆桶橫截面，已知油漆桶直徑為，油漆面寬度為，求油漆的最大深度是多少？3．（24-25九年級上·浙江杭州·期中）某地欲搭建一橋，橋的底部兩端間的距離稱跨度，橋面最高點到的距離稱拱高，當和確定時，有兩種設(shè)計方案可供選擇；①拋物線型；②圓弧型．已知這座橋的跨度米，拱高米．(1)如圖1，若設(shè)計成拋物線型，以所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立坐標系，求此函數(shù)表達式；(2)如圖2，若設(shè)計成圓弧型，求該圓弧所在圓的半徑；(3)現(xiàn)有一艘寬為15米的貨船，船艙頂部為方形，并高出水面2.2米．從以上兩種方案中，任選一種方案，判斷此貨船能否順利通過你所選方案的橋？并說明理由．4．（24-25九年級上·北京西城·期中）利用以下素材解決問題．問題驅(qū)動十一假期時，我校初三年級進行了“我是橋梁專家——探秘橋洞形狀”的數(shù)學活動，某小組探究的一座拱橋如圖1，圖2是其橋拱的示意圖，測得橋拱間水面寬AB端點到拱頂點C距離，拱頂離水面的距離設(shè)計方案方案一：圓弧型方案二：拋物線型任務一設(shè)計成圓弧型，求該圓弧所在圓的半徑．設(shè)計成拋物線型，以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立坐標系，求橋拱的函數(shù)表達式．任務二如圖，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形，測得，．請你通過計算說明貨船能否分別順利通過這兩種情況的橋梁．二．利用弧，弦，圓心角的關(guān)系求解（共小題）5．（24-25九年級上·遼寧盤錦·期中）如圖，在中，為的中點，于點，于點(1)求證：．(2)若，，求四邊形的面積．6．（24-25九年級上·江蘇南京·期中）如圖，，是的弦，，，是的半徑，且，，求證：．7．（24-25九年級上·甘肅隴南·期中）如圖，是的直徑，，，是的弦，．(1)求證：．(2)如果弦的長為，與間的距離是，求的長．8．（24-25九年級上·江西九江·期中）追本溯源題（1）來自課本中的習題，請你完成解答，提煉方法并解答題（2）．(1)如圖1，，比較與的長度，并證明你的結(jié)論．方法應用(2)如圖2，，是的兩條弦，點，分別在，上，連接，，且，是的中點．①求證：．②若圓心到的距離為3，的半徑是6，求的長．三．利用圓周角定理及推論求解（共小題）9．（24-25九年級上·湖北黃岡·期中）如圖，AB為的直徑，弦于，為圓上一點，平分，交于點．(1)求證：；(2)若，，求的半徑．10．（24-25九年級上·浙江寧波·期中）（1）如圖1，是的直徑，點C在圓上，若，求的半徑；（2）如圖2，是的直徑，點在圓內(nèi)，，若，，求的半徑；（3）如圖3，點在上，，若，求的半徑．11．（24-25九年級上·江蘇鹽城·期中）學習下面方框內(nèi)的內(nèi)容，并解答下列問題：小明在反思學習時，發(fā)現(xiàn)解決下列2個問題時都用到了同一種數(shù)學思想方法：問題1：若，求的值．解決思路：．問題2：如圖1，分別以的3個頂點為圓心，2為半徑畫圓，求圖中3塊陰影面積之和．解決思路：圖中3個扇形的半徑都是2，可以將3塊陰影扇形拼成一個半徑為2的……，求出這個圖形的面積即可．問題：(1)方框內(nèi)2個問題的解決都用到了___________的數(shù)學思想方法（從下列選項中選一個）；A．分類討論；B．數(shù)形結(jié)合；C．整體；D．從特殊到一般(2)方框內(nèi)問題2中陰影部分的面積為___________(3)如圖2，已知的半徑為5，、是的弦，且，，求與的長度之和．12．（22-23九年級上·廣西河池·期末）已知四邊形內(nèi)接于，．(1)如圖1，連接，若的半徑為6，，求的長；(2)如圖2，連接，若，，對角線平分，求的長．四．利用點和圓的位置關(guān)系求解（共小題）13．（24-25九年級上·浙江寧波·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，是上的三個點，、、．(1)在圖上標出圓心，圓心的坐標為____；(2)求的半徑，并判斷點與的位置關(guān)系．14．（21-22九年級上·安徽安慶·期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點O是AB的中點．(1)若以點O為圓心，以R為半徑作⊙O，且點A，B，C都在⊙O上，求R的值；(2)若以點B為圓心，以r為半徑作⊙B，且點O，A，C中有兩個點在⊙B內(nèi)，有一個點在⊙B外，求r的取值范圍．15．（20-21九年級上·甘肅張掖·期末）已知的半徑是．（1）若，則點P到圓上各點的距離中，最短距離為___，最長距離為___．（2）若，則點P到圓上各點的距離中，最短距離為___，最長距離為___．（3）若P到圓上各點的距離中，最短距離為，則最長距離為___．五．利用直線和圓的位置關(guān)系求解（共小題）16．（22-23九年級上·安徽·階段練習）已知的半徑是一元二次方程的一個根，圓心到直線的距離為，試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．17．（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）已知的斜邊，直角邊，以點為圓心作．(1)當半徑為________時，直線與相切；(2)當與線段只有一個公共點時，半徑的取值范圍為________；(3)當與線段沒有公共點時，半徑的取值范圍為__________．18．（23-24九年級上·吉林白山·期末）如圖，已知的半徑為1，圓心在拋物線上運動，當與軸相切時，求圓心的坐標.

19．（2023九年級上·江蘇·專題練習）如圖，為正比例函數(shù)圖象上的一個動點，的半徑為，設(shè)點的坐標為．

(1)求與直線相切時點的坐標．(2)請直接寫出與直線相交、相離時的取值范圍．六．切線的性質(zhì)與判定定理（共小題）20．（23-24九年級上·廣西南寧·階段練習）如圖，為的直徑，C為上一點，D為的中點，過C作的切線交的延長線于E，交AB的延長線于F，連．(1)求證：與相切；(2)若，，求的半徑．21．（2024九年級上·全國·專題練習）如圖，在同心，大的直徑交小于、，大的兩弦、交于，且，，弦與小切于，過作于．小的半徑為．(1)的長為__________；(2)試問弦與小是什么位置關(guān)系？請證明你的結(jié)論；22．（22-23九年級上·山東濟寧·期中）如圖，為的直徑，是圓的切線，切點為，平行于弦，(1)求證：是的切線；(2)直線與交于點，且，，求的半徑．23．（2024·浙江寧波·模擬預測）如圖，已知是的直徑，交于點D，E是的中點，與交于點F，．(1)求證：是的切線．(2)若，，求的長．七．應用切線長定理求解（共小題）24．（24-25九年級上·山東濱州·期中）如圖，中，，，，，是的內(nèi)切圓，求的半徑（用含、、的代數(shù)式表示）．（1）小旭同學用面積法，可以構(gòu)建關(guān)于r的方程_______________．解得_______________（結(jié)果用含、、的代數(shù)式表示）．小辰同學由切線長定理，可以構(gòu)建關(guān)于r的方程_______________．解得_______________（結(jié)果用含、、的代數(shù)式表示）．（2）兩位同學得到的答案相等嗎？若相等，請給出證明．25．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）已知點是外一點，分別與相切于點．(1)如圖①，若，則______；(2)如圖②，連接，若，則______°；(3)如圖③，點是優(yōu)弧上一點，連接，若，則______°．26．（23-24九年級下·四川瀘州·階段練習）如圖，已知是的直徑，于B，E是上的一點，交于D，，連接交于(1)求證：是的切線．(2)若，，求的長．27．（23-24九年級上·湖北·周測）已知：如圖，拋物線經(jīng)過原點和三點．(1)求拋物線的解析式．(2)設(shè)拋物線與軸的另一個交點為．以為直徑作，如果過拋物線上一點作的切線，切點為，且與軸的正半軸交于點，連接．已知點的坐標為0,m，求四邊形的面積．（用含的代數(shù)式表示）(3)延長交于點，連接，當點在（2）的條件下運動到什么位置時，能使得？請求出此時點的坐標．八．圓內(nèi)接四邊形（共4小題）28．（24-25九年級上·浙江寧波·期中）已知經(jīng)過四邊形的，兩個頂點，并與四條邊分別交于點，，，，且．(1)如圖1所示，連結(jié)BD，若BD是直徑，求證：．(2)如圖2所示，若，，弧的度數(shù)為，請寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．29．（24-25九年級上·浙江杭州·期中）如圖1，CD是的外角的角平分線，與的外接圓交于點．(1)若，①求所對圓心角的度數(shù)；②連結(jié)DB，，求證：是等邊三角形．(2)如圖2，若，，求的面積．30．（24-25九年級上·陜西安康·階段練習）【問題提出】（1）如圖1，四邊形內(nèi)接于，，，連接，則的度數(shù)為______．【問題探究】（2）如圖2，在四邊形中，，，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，若，求四邊形的面積；【問題解決】（3）如圖3，若是一個半徑為的圓形荷花池，AB和AD是荷花池上的兩座長度相等的小橋，且，現(xiàn)要在荷花池上再修建三座小橋、和CD，為使游客更好地欣賞荷花，要求這三座小橋的總長度最大，請你求出此時這三座小橋的總長度（即的最大值）．31．（24-25九年級上·福建廈門·期中）已知，，，為上的四個點，連接，，，，，，，．(1)如圖，求證：為的直徑；(2)如圖，在直線上取點，使得點在的垂直平分線上，連接并延長交于點．①求證：；②過點作于點，連接并延長交直線于點，連接．在點運動的過程中，點的位置會隨之變化，當，，不在同一條直線上時，的度數(shù)是否會發(fā)生變化，若發(fā)生變化，請說明理由，若不發(fā)生變化，請求出的度數(shù)．九．求其它不規(guī)則圖形面積（共4小題）32．（24-25九年級上·福建龍巖·期中）如圖，，點在上，過點，分別與、交于、，過作于．(1)求證：是的切線；(2)若與相切于點，半徑為，則陰影部分面積______．33．（24-25九年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，AB是的弦，CD是的直徑，已知，且．(1)如圖（甲），求圖中陰影部分面積；(2)如圖（乙），點為直徑CD上任意一點，設(shè)圖中陰影部分面積為，點到直線AB的距離為，當點運動時，變化嗎？若不變，求出的值；若變化，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；(3)如圖（丙），點為上任意一點，設(shè)圖中陰影部分面積為，點到直線AB的距離為，當點運動時，變化嗎？若不變，求出S的值；若變化，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．34．（24-25九年級上·全國·期中）求陰影部分面積．（單位：厘米）35．（22-23九年級上·江西贛州·期末）（1）課本再現(xiàn)：如圖，，是的兩條切線，切點分別為，．則圖中的與，與有什么關(guān)系？請說明理由，（2）知識應用：如圖，、、分別與相切于點、、，且，連接、，延長交于點，交于點，過點作交于．①求證：是的切線；②當，時，求的半徑及圖中陰影部分的面積．專題04圓（考題猜想9種熱考題型）一．利用垂徑定理解決實際問題（共小題）1．（24-25九年級上·河北石家莊·期中）如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬為，拱高為．(1)求橋拱的半徑；(2)此橋的安全限度是拱頂點距離水面不得小于，若大雨過后，洪水泛濫到水面寬度為時，是否需要采取緊急措施？請說明理由．【答案】(1)(2)不需要采取緊急措施，理由見解析【分析】本題考查勾股定理，垂徑定理，關(guān)鍵是由勾股定理，垂徑定理列出關(guān)于圓半徑的方程．（1）設(shè)橋拱的半徑是，由垂徑定理求出，而，由勾股定理得到，求出；（2）由垂徑定理求出的長，由勾股定理求出的長，即可求出的長即可得解．【詳解】（1）解：如圖半徑，，設(shè)橋拱的半徑是，，，拱高為，，，，，橋拱的半徑是；（2）解：不需要采取緊急措施，理由如下：如圖，連接，，，，，，不需要采取緊急措施．2．（24-25九年級上·四川廣安·期中）按要求解決實際問題(1)有一個橫斷面為拋物線形的拱橋，建立如圖所示的平面直角坐標系，當水面寬時，拱橋頂距離水面，當水面下降時，水面寬度是多少米？(2)如圖是平放在地上的油漆桶橫截面，已知油漆桶直徑為，油漆面寬度為，求油漆的最大深度是多少？【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是垂徑定理的應用，二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，根據(jù)已知給出的直角坐標系從而得出二次函數(shù)解析式是解答此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知給出的直角坐標系，進而求出二次函數(shù)解析式，再通過把代入拋物線解析式得出水面寬度，即可得出答案．（2）連接，過點作于點，交于點，先由垂徑定理求出的長，再根據(jù)勾股定理求出的長，進而可得出的長．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為：，∵水面寬時，拱頂離水面，∴點在此拋物線上，，，∴拋物線的解析式為：，當水面下降時，即時，，，水面的寬度是．答：水面的寬度是．（2）解：連接，過點作于點，交于點，，，∵的直徑為，，在中，，，答；油漆的最大深度為．3．（24-25九年級上·浙江杭州·期中）某地欲搭建一橋，橋的底部兩端間的距離稱跨度，橋面最高點到的距離稱拱高，當和確定時，有兩種設(shè)計方案可供選擇；①拋物線型；②圓弧型．已知這座橋的跨度米，拱高米．(1)如圖1，若設(shè)計成拋物線型，以所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立坐標系，求此函數(shù)表達式；(2)如圖2，若設(shè)計成圓弧型，求該圓弧所在圓的半徑；(3)現(xiàn)有一艘寬為15米的貨船，船艙頂部為方形，并高出水面2.2米．從以上兩種方案中，任選一種方案，判斷此貨船能否順利通過你所選方案的橋？并說明理由．【答案】(1)(2)12.5米(3)①若設(shè)計成拋物線型時，貨船不能順利通過該橋；②若設(shè)計成圓弧型時，貨船能順利通過該橋；理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的解析式為，將點代入，求出的值，即可確定函數(shù)的解析式；（2）設(shè)圓心為，連接交于點，連接，在中，，解得，即可求該圓弧所在圓的半徑12.5米；（3）①若設(shè)計成拋物線型時，當時，，由米米，可知貨船不能順利通過該橋；②若設(shè)計成圓弧型時，設(shè)米，過點作交弧于點，過點作交于點，連接，在中，，求出米，可得米，再由2.5米米，即可判斷貨船能順利通過該橋．【詳解】（1）解：，，，，，設(shè)拋物線的解析式為，，解得，拋物線的解析式為，即；（2）解：設(shè)圓心為，連接交于點，連接，，，，，在中，，，解得，該圓弧所在圓的半徑12.5米；（3）解：①若設(shè)計成拋物線型時，當時，，米米，貨船不能順利通過該橋；②若設(shè)計成圓弧型時，設(shè)米，過點作交弧于點，過點作交于點，連接，米，在中，，，米，米，米，米米，貨船能順利通過該橋．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，圓的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．（24-25九年級上·北京西城·期中）利用以下素材解決問題．問題驅(qū)動十一假期時，我校初三年級進行了“我是橋梁專家——探秘橋洞形狀”的數(shù)學活動，某小組探究的一座拱橋如圖1，圖2是其橋拱的示意圖，測得橋拱間水面寬AB端點到拱頂點C距離，拱頂離水面的距離設(shè)計方案方案一：圓弧型方案二：拋物線型任務一設(shè)計成圓弧型，求該圓弧所在圓的半徑．設(shè)計成拋物線型，以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立坐標系，求橋拱的函數(shù)表達式．任務二如圖，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形，測得，．請你通過計算說明貨船能否分別順利通過這兩種情況的橋梁．【答案】任務一：方案一、；方案二、任務二：方案一、貨船能順利通過；方案二、貨船不能順利通過【分析】任務一：方案一，設(shè)圓心為O，連接，根據(jù)，得，結(jié)合，知直線過點O，根據(jù)，得，得，得是等邊三角形，得；方案二，根據(jù)頂點C坐標為，設(shè)橋拱的函數(shù)解析式為，將代入即可求解；任務二：方案一，連接，設(shè)交于I，根據(jù)矩形性質(zhì)得，得，得，結(jié)合半徑為10得到，得，即可判斷；方案二，當H點的橫坐標為5時，，即可判斷．【詳解】解：任務一：方案一，設(shè)圓的圓心為O，連接．∵，∴．∵，∴，直線過點O．∵，∴．∴．∴．∵，∴是等邊三角形．∴．故半徑為．方案二，∵頂點C坐標為，∴設(shè)橋拱的函數(shù)解析式為．∵，∴．代入得．解得．故函數(shù)解析式為．任務二：方案一，如圖，連接，設(shè)交于I．由上知，∵矩形中，，∴．∴．∴．∵，∴．故貨船能順利通過．方案二，如圖，∵，∴H橫坐標為5．∴．故貨船不能順利通過．【點睛】本題考查了二次函數(shù)和圓的實際應用．熟練掌握待定系數(shù)法示解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，弧弦的關(guān)系，垂徑定理，等腰三角形性質(zhì)，等邊三角形減和性質(zhì)，含30度的直角三角形性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，矩形性質(zhì)，是解題關(guān)鍵．二．利用弧，弦，圓心角的關(guān)系求解（共小題）5．（24-25九年級上·遼寧盤錦·期中）如圖，在中，為的中點，于點，于點(1)求證：．(2)若，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)弧、圓心角的關(guān)系得平分．進而利用角平分線的性質(zhì)定理即可得證．（2）連接由，得．進而得．利用度直角三角形的性質(zhì)得，進而根據(jù)勾股定理得，從而即可求得．同理，可得，于是即可得解．【詳解】（1）證明：如圖，連接為的中點，，，平分．又，，．（2）解：如圖，連接由（1）得，，．∵，∴，．，在中，，，．同理，可得，．【點睛】本題主要考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理，30度直角三角形的性質(zhì)及直角三角形的兩銳角互余，熟練掌握弧、弦、圓心角的關(guān)系，角平分線的性質(zhì)定理及勾股定理是解題的關(guān)鍵．6．（24-25九年級上·江蘇南京·期中）如圖，，是的弦，，，是的半徑，且，，求證：．【答案】證明見詳解【分析】本題考查的是弧、圓心角、弦的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線．構(gòu)造出全等三角形及圓心角是解題的關(guān)鍵．連接，，，先根據(jù)全等三角形的判定定理得出AAOB≌AAOC，故可得出，再由平行線的性質(zhì)可得出，，故，進而得出結(jié)論．【詳解】證明∶連接，，，在與中，∴∴，∵，，∴，，∴，∴．7．（24-25九年級上·甘肅隴南·期中）如圖，是的直徑，，，是的弦，．(1)求證：．(2)如果弦的長為，與間的距離是，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．（1）過點作，延長交于點，根據(jù)題意可得：，，推出，即可證明；（2）根據(jù)垂徑定理可得，再根據(jù)勾股定理求出，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，過點作，延長交于點，是的直徑，，，，，即，；（2），，與間的距離是，，，，，．8．（24-25九年級上·江西九江·期中）追本溯源題（1）來自課本中的習題，請你完成解答，提煉方法并解答題（2）．(1)如圖1，，比較與的長度，并證明你的結(jié)論．方法應用(2)如圖2，，是的兩條弦，點，分別在，上，連接，，且，是的中點．①求證：．②若圓心到的距離為3，的半徑是6，求的長．【答案】(1)，證明見解析(2)①證明見解析；②【分析】本題考查了圓心角、弦、弧之間的關(guān)系，垂徑定理、勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)同圓或等圓中，弦、弧之間的關(guān)系得出即可；（2）根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)垂徑定理即可求解．【詳解】（1）解：．證明：，，，即．（2）解：①證明：是的中點，．，，，，．②如圖，過點作，是垂足，連接．在中，，，，．三．利用圓周角定理及推論求解（共小題）9．（24-25九年級上·湖北黃岡·期中）如圖，AB為的直徑，弦于，為圓上一點，平分，交于點．(1)求證：；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（）由角平分線的定義可得，即得，由垂徑定理可得，得到，即得到，即可求證；（）連接，由垂徑定理得，設(shè)圓的半徑為，則，在中，由勾股定理得，解方程即可求解．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∴，∵AB為直徑，，∴，∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，連接，∵，，∴設(shè)圓的半徑為，則，在中，由勾股定理得，，∴，解得，∴圓的半徑為．【點睛】本題考查了角平分線的定義，圓周角定理，垂徑定理，等角對等邊，勾股定理，掌握圓的有關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．10．（24-25九年級上·浙江寧波·期中）（1）如圖1，是的直徑，點C在圓上，若，求的半徑；（2）如圖2，是的直徑，點在圓內(nèi)，，若，，求的半徑；（3）如圖3，點在上，，若，求的半徑．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本題主要考查直徑所對的圓周角的定理，勾股定理及平行四邊形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)是的直徑，可得，再根據(jù)勾股定理求出即可得出半徑．（2）作交AC的延長線于點E，得出四邊形是平行四邊形，由，再根據(jù)勾股定理得出即可得出半徑．（3）作交的延長線于點E，作于F，連接，得出四邊形是平行四邊形，，再根據(jù)勾股定理得出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，，最后由勾股定理列方程求解即可．【詳解】（1）∵是的直徑，點C在上，∴，

，

∴的半徑為．（2）如圖，作交AC的延長線于點E，∵，∴四邊形是平行四邊形，且，

∴，，∴的半徑為．

（3）如圖，作交的延長線于點E，作于F，連接，同（2）可得四邊形是平行四邊形，且，

∴，∵，∴，∴，，∴，，

∵，∴，作于，，，設(shè)，，則有，解得，，即的半徑為．11．（24-25九年級上·江蘇鹽城·期中）學習下面方框內(nèi)的內(nèi)容，并解答下列問題：小明在反思學習時，發(fā)現(xiàn)解決下列2個問題時都用到了同一種數(shù)學思想方法：問題1：若，求的值．解決思路：．問題2：如圖1，分別以的3個頂點為圓心，2為半徑畫圓，求圖中3塊陰影面積之和．解決思路：圖中3個扇形的半徑都是2，可以將3塊陰影扇形拼成一個半徑為2的……，求出這個圖形的面積即可．問題：(1)方框內(nèi)2個問題的解決都用到了___________的數(shù)學思想方法（從下列選項中選一個）；A．分類討論；B．數(shù)形結(jié)合；C．整體；D．從特殊到一般(2)方框內(nèi)問題2中陰影部分的面積為___________(3)如圖2，已知的半徑為5，、是的弦，且，，求與的長度之和．【答案】(1)C(2)(3)【分析】（1）根據(jù)整體的數(shù)學思想即可解答；（2）將3塊陰影扇形拼成一個半徑為2的半圓，半徑為2，然后根據(jù)半圓的面積公式求解即可；（3）作直徑，連接，由是直徑，得到，根據(jù)勾股定理求得，則，從而．【詳解】（1）解：3個問題的解決都用到了整體的數(shù)學思想方法．故選：C；（2）根據(jù)題意得，∵∴將3塊陰影扇形拼成一個半徑為2的半圓，半徑為2∴陰影部分的面積為；（3）解：如圖，作直徑，連接

∵是直徑，∴，∵的半徑為5，∴，∴在中，，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查整體的數(shù)學思想，直徑所對的圓周角為直角，勾股定理，同弧或等弧所對的弦相等，弧長公式，掌握整體思想，綜合運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．12．（22-23九年級上·廣西河池·期末）已知四邊形內(nèi)接于，．(1)如圖1，連接，若的半徑為6，，求的長；(2)如圖2，連接，若，，對角線平分，求的長．【答案】(1)(2)AC【分析】（1）由90度的圓周角所對的弦是直徑得到是直徑，則，再利用勾股定理求解即可；（2）如圖2，連接，作于H，先利用勾股定理得到，再由角平分線的定義得到，則可證明，求出，由勾股定理可得．再證明是等腰直角三角形，同理可得．在中，，據(jù)此可得答案．【詳解】（1）解：，是直徑，∵的半徑為6，．在中，由勾股定理，得，∵∴，；（2）解：如圖2，連接，作于H，，，，．平分，，，．四邊形內(nèi)接于，，，在中，由根據(jù)勾股定理，得，∴，∴．，∴是等腰直角三角形，同理可得．在中，，．【點睛】本題主要考查了弧與圓周角之間的關(guān)系，90度的圓周角所對的弦是直徑，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等等，熟知90度的圓周角所對的弦是直徑是解題的關(guān)鍵．四．利用點和圓的位置關(guān)系求解（共小題）13．（24-25九年級上·浙江寧波·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，是上的三個點，、、．(1)在圖上標出圓心，圓心的坐標為____；(2)求的半徑，并判斷點與的位置關(guān)系．【答案】(1)見解析，(2)的半徑為，點在上【分析】本題考查了垂徑定理的推論、點與圓的位置關(guān)系、坐標與圖形等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）作弦和的垂直平分線，交點即為圓心，結(jié)合圖形即可得出圓心的坐標；（2）求出的半徑和的長，即可得解．【詳解】（1）解：如圖，圓心即為所作，，圓心的坐標為2,0；（2）解：∵，∴的半徑為，∵，∴點在上．14．（21-22九年級上·安徽安慶·期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點O是AB的中點．(1)若以點O為圓心，以R為半徑作⊙O，且點A，B，C都在⊙O上，求R的值；(2)若以點B為圓心，以r為半徑作⊙B，且點O，A，C中有兩個點在⊙B內(nèi)，有一個點在⊙B外，求r的取值范圍．【答案】(1)R=5(2)8＜r＜10【分析】（1）利用勾股定理可得AB=10，根據(jù)∠ACB＝90°可得AB為⊙O的直徑，即可得答案；（2）根據(jù)BC、BO、BA的長可得點O、C在⊙B內(nèi)部，點A在⊙B外，進而可得答案．【詳解】（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB==10，∵∠ACB＝90°，點A，B，C都在⊙O上，∴AB為⊙O的直徑，∴R=AB=5．（2）∵點O是AB的中點，AB=10，∴BO=AB=5，∴BO＜BC＜BA，∵點O，A，C中有兩個點在⊙B內(nèi)，有一個點在⊙B外，∴點O、C在⊙B內(nèi)部，點A在⊙B外，∴8＜r＜10．【點睛】本題考查圓周角定理、點和圓的位置關(guān)系及勾股定理，熟練掌握直角所對的弦是直徑是解題關(guān)鍵．15．（20-21九年級上·甘肅張掖·期末）已知的半徑是．（1）若，則點P到圓上各點的距離中，最短距離為___，最長距離為___．（2）若，則點P到圓上各點的距離中，最短距離為___，最長距離為___．（3）若P到圓上各點的距離中，最短距離為，則最長距離為___．【答案】（1），；（2），；（3）或．【分析】（1）首先確定P與圓的位置關(guān)系，則到圓上點的最短距離和最長距離即可確定；（2）首先確定P與圓的位置關(guān)系，則到圓上點的最短距離和最長距離即可確定；（3）分成P在圓內(nèi)部和外部兩種情況進行討論即可求解．【詳解】解：（1），則P在圓內(nèi)部，點P到圓上各點的距離中，最短距離是，最長距離是．故答案是：，；（2），則點P在圓的外部，到圓上各點的距離中，最短距離為，最長距離是．故答案是：，；（3）當P在圓內(nèi)部時，最長距離是，當P在圓外時，最長距離是．故答案是或．【點睛】本題考查了點和圓的位置關(guān)系，正確進行討論是關(guān)鍵．五．利用直線和圓的位置關(guān)系求解（共小題）16．（22-23九年級上·安徽·階段練習）已知的半徑是一元二次方程的一個根，圓心到直線的距離為，試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】相離，理由見解析．【分析】本題考查了解一元二次方程，直線與圓的位置關(guān)系，先解一元二次方程，得到的半徑，再根據(jù)的半徑與圓心到直線的距離大小比較即可判斷求解，掌握直線和圓的位置關(guān)系的判斷方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：相離，理由如下：解方程得，，，∵的半徑是一元二次方程的一個根，∴的半徑為，∵圓心到直線的距離為，∴，∴直線與的位置關(guān)系是相離．17．（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）已知的斜邊，直角邊，以點為圓心作．(1)當半徑為________時，直線與相切；(2)當與線段只有一個公共點時，半徑的取值范圍為________；(3)當與線段沒有公共點時，半徑的取值范圍為__________．【答案】(1)；(2)或；(3)或．【分析】（）如圖作于，求出的值即可判斷；（）當與線段只有一個公共點時，半徑的取值范圍為或；（）當與線段沒有公共點時，半徑的取值范圍為或，本題考查直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理，等面積法，熟練掌握知識點的應用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）如圖作于，

在中，，，，∴由勾股定理得，∵，∴，∴當半徑時，直線與相切，故答案為：；（2）觀察圖形可知，當與線段只有一個公共點時，半徑的取值范圍為或，故答案為：或；（3）觀察圖形可知，當與線段沒有公共點時，半徑的取值范圍為或，故答案為：或．18．（23-24九年級上·吉林白山·期末）如圖，已知的半徑為1，圓心在拋物線上運動，當與軸相切時，求圓心的坐標.

【答案】，或.【分析】本題主要考查了圓與直線的相切關(guān)系，及二次函數(shù)的概念；熟練掌握圓與坐標軸的位置關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．與軸相切，即圓心到軸的距離等于的半徑，也就是圓心的縱坐標y為，把y代入中，即可求出符合題意的圓心的坐標．【詳解】解：與軸相切，設(shè)圓心到x軸的距離為d，，即點的縱坐標y為；當時，即，解得：，點的坐標為或；當時，即，解得：，點的坐標為；綜上，符合題意點的坐標為，或．19．（2023九年級上·江蘇·專題練習）如圖，為正比例函數(shù)圖象上的一個動點，的半徑為，設(shè)點的坐標為．

(1)求與直線相切時點的坐標．(2)請直接寫出與直線相交、相離時的取值范圍．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）根據(jù)直線和圓相切應滿足圓心到直線的距離等于半徑，首先求得點的橫坐標，再根據(jù)直線的解析式求得點的縱坐標．（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，即可分析出相離和相交時的取值范圍．【詳解】（1）解：過作直線的垂線，垂足為；當點在直線右側(cè)時，，解得；∴；當點在直線左側(cè)時，，得，∴，

∴當與直線相切時，點的坐標為或．（2）解：由（1）可知當時，與直線相交當或時，與直線相離．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，掌握直線和圓的不同位置關(guān)系應滿足的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)數(shù)量關(guān)系正確求解是解題的關(guān)鍵．六．切線的性質(zhì)與判定定理（共小題）20．（23-24九年級上·廣西南寧·階段練習）如圖，為的直徑，C為上一點，D為的中點，過C作的切線交的延長線于E，交AB的延長線于F，連．(1)求證：與相切；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查垂徑定理、切線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)定理并能利用等面積法解決問題是關(guān)鍵．（1）連接，由垂徑定理得，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，證明，利用全等三角形的性質(zhì)可得即可；（2）先利用勾股定理求得，設(shè)，再根據(jù)等面積法列即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

是的切線，，為的中點，，，則垂直平分，，，，，，與相切；（2）解：，，，由（1）可知，，，設(shè)，，，，解得，故的半徑為．21．（2024九年級上·全國·專題練習）如圖，在同心，大的直徑交小于、，大的兩弦、交于，且，，弦與小切于，過作于．小的半徑為．(1)的長為__________；(2)試問弦與小是什么位置關(guān)系？請證明你的結(jié)論；【答案】(1)(2)相切，證明見解析【分析】本題考查切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，垂徑定理等知識點．掌握圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得，證明四邊形是矩形，即得得解；（2）過作于，連接，根據(jù)垂徑定理得出，證明，即可證明為小的半徑，證出與小相切．【詳解】（1）解：連接，∵弦與小切于，小的半徑為，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，故答案為：；（2）解：相切．證明：過作于，連接，∵，，，，，，∴，即為小的半徑，∴與小相切．22．（22-23九年級上·山東濟寧·期中）如圖，為的直徑，是圓的切線，切點為，平行于弦，(1)求證：是的切線；(2)直線與交于點，且，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論；（2）設(shè)的半徑為，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求出的半徑．【詳解】（1）證明：連接，是的切線，，，，，，，，在和中，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：設(shè)的半徑為，則，在中，，即，解得：，的半徑為3．【點睛】本題考查的是切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理的，熟記經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．23．（2024·浙江寧波·模擬預測）如圖，已知是的直徑，交于點D，E是的中點，與交于點F，．(1)求證：是的切線．(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由E是的中點可得，進而可得．再證，即可求證是的切線．（2）先根據(jù)求出，再證，則可得，進而可得，最后再根據(jù)勾股定理即可求出的長．本題考查了勾股定理，與圓有關(guān)的計算，涉及圓切線的證明，銳角三角函數(shù)等知識點，正確作出輔助線，熟練掌握好圓切線的判定與性質(zhì)以及能熟練解直角三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：∵E是的中點，∴，，，，是的直徑，，，，即，，是圓的直徑，是的切線；（2）解：在中，，，是的切線，，是圓的直徑，，，，，，，，．七．應用切線長定理求解（共小題）24．（24-25九年級上·山東濱州·期中）如圖，中，，，，，是的內(nèi)切圓，求的半徑（用含、、的代數(shù)式表示）．（1）小旭同學用面積法，可以構(gòu)建關(guān)于r的方程_______________．解得_______________（結(jié)果用含、、的代數(shù)式表示）．小辰同學由切線長定理，可以構(gòu)建關(guān)于r的方程_______________．解得_______________（結(jié)果用含、、的代數(shù)式表示）．（2）兩位同學得到的答案相等嗎？若相等，請給出證明．【答案】（1）；；；；（2）相等，證明見解析【分析】（1）方法一：利用面積法求解；方法二：根據(jù)切線長定理，找出、、、的關(guān)系，可得答案；（2）利用平方差公式證明即可得到相等．【詳解】解：（1）在中，，，，，是的內(nèi)切圓，，，分別為切點，的半徑為，方法一：如圖，連接，，，，，，∴，，，∵，∴，∴；方法二：∵是的內(nèi)切圓，，，分別為切點，的半徑為，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，∵是的內(nèi)切圓，∴、、都是的切線，切點分別為點，，，∴，，∴，，，∴，，∴，∴；故答案為：；；；；（2）相等．證明：∵，∴，∵∴．【點睛】本題考查三角形內(nèi)切圓，切線的性質(zhì)，切線長定理，矩形的判定，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等積法，平方差公式等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．25．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）已知點是外一點，分別與相切于點．(1)如圖①，若，則______；(2)如圖②，連接，若，則______°；(3)如圖③，點是優(yōu)弧上一點，連接，若，則______°．【答案】(1)1(2)56(3)60【分析】本題考查了切線長定理，切線的性質(zhì)定理，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理，正確作出輔助線．（1）根據(jù)切線長定理即可解答；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得出，進而得出，即可解答；（3）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，進而得出為等邊三角形，推出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和圓周角定理即可解答．【詳解】（1）解：∵分別與相切于點，，∴，故答案為：1．（2）解：是的切線，，，，，．故答案為：56．（3）解：連接，如圖，是的切線，，，為等邊三角形，，，，．故答案為：60．26．（23-24九年級下·四川瀘州·階段練習）如圖，已知是的直徑，于B，E是上的一點，交于D，，連接交于(1)求證：是的切線．(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)，【分析】本題考查的是切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應用，掌握經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．（1）連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的判定定理得到是的切線；（2）過點D作于H，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)矩形的性質(zhì)、勾股定理求出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出．【詳解】（1）證明：連接，∵∴∵，∴，，∵，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∵為的半徑，∴是的切線；（2）解：過點D作于H，∵，，∴四邊形為矩形，∴，，∵，，∴，，∵是的切線∴，設(shè)，則，在中，，即，解得：，即，∵，∴，，即，解得：27．（23-24九年級上·湖北·周測）已知：如圖，拋物線經(jīng)過原點和三點．(1)求拋物線的解析式．(2)設(shè)拋物線與軸的另一個交點為．以為直徑作，如果過拋物線上一點作的切線，切點為，且與軸的正半軸交于點，連接．已知點的坐標為0,m，求四邊形的面積．（用含的代數(shù)式表示）(3)延長交于點，連接，當點在（2）的條件下運動到什么位置時，能使得？請求出此時點的坐標．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）將O、A、B三點坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值，從而確定拋物線的解析式；（2）先求得點C的坐標，再根據(jù)切線長定理可得到，根據(jù)“SSS”可證得，則它們的面積相等，因此四邊形EOMD的面積其實是的面積的2倍，以O(shè)M為底，OE為長可求出的面積，即可得到四邊形EOMD的面積表達式；（3）在中，，所以和等底同高，它們的面積相等，由此可證得與的面積相等，由于這兩個三角形共用底邊OM，則軸，根據(jù)OM的半徑即得到直線PD的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出P點的坐標．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過原點和三點，，解得：，拋物線的解析式為；（2）解：拋物線的解析式為，當時，或，拋物線與軸的另一個交點為．的半徑為2，即，都是OM的切線，點的坐標為0,m，，又，，；（3）解：在中，，和等底同高，，設(shè)點D的坐標為，，當時，即，，，這兩個三角形共用底邊，此時軸，又為切線，點D的坐標為，點P在直線上，設(shè)點P的坐標為，點P在拋物線上，，解得，當時，點P的坐標為或．【點睛】此題是二次函數(shù)與圓的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、全等三角形的判定和性質(zhì)、切線長定理、函數(shù)圖象與坐標軸的交點及圖形面積的求法等重要知識．注意能夠發(fā)現(xiàn)、的面積關(guān)系，從而得到直線軸的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．八．圓內(nèi)接四邊形（共4小題）28．（24-25九年級上·浙江寧波·期中）已知經(jīng)過四邊形的，兩個頂點，并與四條邊分別交于點，，，，且．(1)如圖1所示，連結(jié)BD，若BD是直徑，求證：．(2)如圖2所示，若，，弧的度數(shù)為，請寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，見解析【分析】此題考查了圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形對角互補；（1）根據(jù)圓周角定理及同弧所對的圓周角相等，得到，然后利用外角的性質(zhì)等量代換求證；（2）利用外角性質(zhì)及圓內(nèi)接四邊形對角互補求解.【詳解】（1）證明：連結(jié)，

是直徑，

（2）連結(jié)，同（1）可得，且，

四邊形EFGH是的內(nèi)接四邊形，，

，，，．

29．（24-25九年級上·浙江杭州·期中）如圖1，CD是的外角的角平分線，與的外接圓交于點．(1)若，①求所對圓心角的度數(shù)；②連結(jié)DB，，求證：是等邊三角形．(2)如圖2，若，，求的面積．【答案】(1)①，②見解析(2)【分析】（1）①利用鄰補角的意義和角平分線的定義解答即可；②利用圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的判定定理解答即可；（2）連接并延長交AB于點，連接，，利用圓周角定理，同圓的半徑相等的性質(zhì)得到為等腰直角三角形，可求；利用等腰三角形的判定定理以及垂徑定理得到，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得，再利用三角形的面積公式解答即可．【詳解】（1）①解：，．所對圓心角的度數(shù)；②證明：是的外角的角平分線，．，，為圓內(nèi)接四邊形的外角，，，，是等邊三角形；（2）解：連接并延長交AB于點，連接，，如圖，則，，為等腰直角三角形，，．是的外角的角平分線，，為圓內(nèi)接四邊形的外角，．，，，．．，，．∴的面積為．【點睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定，熟練掌握圓的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．30．（24-25九年級上·陜西安康·階段練習）【問題提出】（1）如圖1，四邊形內(nèi)接于，，，連接，則的度數(shù)為______．【問題探究】（2）如圖2，在四邊形中，，，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，若，求四邊形的面積；【問題解決】（3）如圖3，若是一個半徑為的圓形荷花池，AB和AD是荷花池上的兩座長度相等的小橋，且，現(xiàn)要在荷花池上再修建三座小橋、和CD，為使游客更好地欣賞荷花，要求這三座小橋的總長度最大，請你求出此時這三座小橋的總長度（即的最大值）．【答案】（1）30°；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)，得出，進而根據(jù)已知可得即可求解；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，則，進而根據(jù)四邊形的面積為，即可求解；（3）過點分別作的垂線，垂足分別為，則，證明，得出，設(shè)，則，，當取得最大值時，取得最大值，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，∴，故答案為：30°．（2）解：∵將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，∴，∴，，，∴，∴，∴，∴四邊形的面積為；（3）解：如圖所示，過點分別作的垂線，垂足分別為，則，∵四邊形是的內(nèi)接圓，，∴，，∴，又∵，∴，∴；設(shè)，則，∴,∵，，∴；又∵，，∴，∴，∴；∴當取得最大值時，取得最大值，∴當為直徑時，的值最大，此時，∴此時這三座小橋的總長度（即的最大值）為．【點睛】此題屬于圓的綜合題，涉及了等腰三角形、圓內(nèi)接四邊形對角互補，同弧所對的圓周角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．31．（24-25九年級上·福建廈門·期中）已知，，，為上的四個點，連接，，，，，，，．(1)如圖，求證：為的直徑；(2)如圖，在直線上取點，使得點在的垂直平分線上，連接并延長交于點．①求證：；②過點作于點，連接并延長交直線于點，連接．在點運動的過程中，點的位置會隨之變化，當，，不在同一條直線上時，的度數(shù)是否會發(fā)生變化，若發(fā)生變化，請說明理由，若不發(fā)生變化，請求出的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析；②當點位于上時，；當點位于上時，【分析】（1）根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，即可得證；（2）①連接，根據(jù)同弧或等弧