數(shù)字信號(hào)處理-課件 第2章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)

2024/12/2213:28第2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)2024/12/2213:28

概述

2.1離散時(shí)間信號(hào)-序列1.信號(hào)及其分類(1)信號(hào)信號(hào)是傳遞信息的函數(shù),它可表示成一個(gè)或幾個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù).如，f(x);f(t);f(x,y)等.(2)連續(xù)時(shí)間信號(hào)與模擬信號(hào)在連續(xù)時(shí)間范圍內(nèi)定義的信號(hào)；幅值為連續(xù)的信號(hào)稱為模擬信號(hào)；2024/12/2213:28

(2)連續(xù)時(shí)間信號(hào)與模擬信號(hào)（續(xù)）

連續(xù)時(shí)間信號(hào)

要點(diǎn)：要求時(shí)間連續(xù)，對(duì)幅值沒(méi)有要求；

模擬信號(hào)：

要點(diǎn)：要求時(shí)間連續(xù)，同時(shí)要求幅值連續(xù)；

因此，連續(xù)時(shí)間信號(hào)和模擬信號(hào)是不同的概念。

但通常，連續(xù)時(shí)間信號(hào)與模擬信號(hào)常常通用。2024/12/2213:28

(3)離散時(shí)間信號(hào)與數(shù)字信號(hào)時(shí)間為離散變量的信號(hào)稱作離散時(shí)間信號(hào)；而時(shí)間和幅值都離散化的信號(hào)稱作為數(shù)字信號(hào).nx(-2)x(-1)x(0)x(1)x(2)x(n)-2-10122024/12/2213:282.序列的基本概念

離散時(shí)間信號(hào)又稱作序列。通常，離散時(shí)間信號(hào)的抽樣間隔為T(mén)，且是均勻的，故應(yīng)該用x(nT）表示序列在nT時(shí)刻的值.可以用x(n)表示x(nT),即第n個(gè)離散時(shí)間點(diǎn)的值.這樣x(n)就形成了一個(gè)序列,即序列﹛x(n)﹜。為方便，常用x(n)表示序列﹛x(n)﹜2024/12/2213:28

3.序列的表示序列有幾種方法表示?1/21/41/81x(n+1)n0-1-21

(1)序列的集合表示法

x(n)

={1,2,3,4,5,4,3,2,1}

(2)序列的公式表示法

(3)序列的圖形表示法

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2.1.1幾種典型序列1-2-101mnMatlab實(shí)現(xiàn)x=zeros（1，N）；x(1)=1；1.單位抽樣序列(單位沖激)δ(n)

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2.單位階躍序列u(n)Matlab實(shí)現(xiàn)x=ones（1，N）；2024/12/2213:28

3.矩形序RN(n)Matlab實(shí)現(xiàn)x=[ones（1，N）zero(N1-N)]；N表示矩形的寬度，N1表示序列的長(zhǎng)度2024/12/2213:28

4.實(shí)指數(shù)序列anu(n)實(shí)指數(shù)序列（0<a<1）Matlab實(shí)現(xiàn)

n=0：N-1；

x=a.^n；

%a需先給定或賦值

a為實(shí)數(shù)，當(dāng)2024/12/2213:28

5.正弦型序列Matlab實(shí)現(xiàn)

n=0：N-1；

x=sin（ωn）；%ω需先給定或賦值其中，ω0為數(shù)字頻率。2024/12/2213:28

6.復(fù)指數(shù)序列Matlab實(shí)現(xiàn)

n=0：N-1；x=exp(σ+jω*n）；%σ、ω需先給定或賦值ω0是復(fù)正弦的數(shù)字域頻率。2024/12/2213:28

2.1.2

序列的基本運(yùn)算

在數(shù)字信號(hào)處理中，序列的基本運(yùn)算包括：相加、相乘、移位、翻轉(zhuǎn)、累加、差分、尺度變換、卷積和、序列的能量和功率等。卷積和又稱為線性卷積，由于該運(yùn)算比較重要，單獨(dú)列出。2024/12/2213:28

1.和兩序列的和是指同序號(hào)(n)的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加得一新序列。2024/12/2213:28

x(n)11/21/41/8n-2-1012…y(n)1231/21/4-2-1012n

例12024/12/2213:28

-2-10121/43/23/29/425/8z(n).……2024/12/2213:28

2024/12/2213:28

2.乘積是指同序號(hào)(n)的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘。以上例序列為例:2024/12/2213:28

3.移位

當(dāng)m為正時(shí)，

x(n-m)表示依次右移m位；

x(n+m)表示依次左移m位。當(dāng)m為負(fù)時(shí)，則相反。序列x(n)及其左移位1位的波形如下圖所示：2024/12/2213:28

-1012x(n)11/21/41/8...-2n例22024/12/2213:28

1/21/41/81x(n+1)n0-1-212024/12/2213:28

4.翻褶(折迭)

如果有x(n),則x(-n)是以n=0為對(duì)稱軸將x(n)加以翻褶的序列。（a）序列x(n)的波形（b）序列x(-n)的波形序列x(n)及其翻轉(zhuǎn)序列x(-n)2024/12/2213:28

...-2-10121/81/41/21x(-n)n-1012x(n)11/21/41/8...-2n例32024/12/2213:285.累加設(shè)某一序列為x(n),則x(n)的累加序列

y(n)定義為

即表示n以前的所有x(n)的和。Matlab實(shí)現(xiàn)：

s=sun(x(n1:n2)；%序列x，求和區(qū)間n1、n2需先給定或賦值2024/12/2213:28

6.差分前向差分（先左移后相減）：后向差分（先右移后相減）：2024/12/2213:28

7.尺度變換（1）抽取：x(n)x(mn),m為正整數(shù)。例如，

m=2，

x(2n)，相當(dāng)于兩個(gè)點(diǎn)取一點(diǎn)；以此類推。x(2n)131/4-101nx(n)1231/21/4-2-1012n2024/12/2213:28

（2）插值：x(n)x(n/m),m為正整數(shù)。例如，

m=2，

x(n/2)，相當(dāng)于兩個(gè)點(diǎn)之間插一個(gè)點(diǎn)；以此類推。通常，插值用

I倍表示，即插入（I-1）個(gè)值。x(n)121/2-101nx(n/2)121/2-2-1012n。。2024/12/2213:28

8.序列的能量和功率序列能量用E表示，序列x(n)的能量定義為該序列所有抽樣值之平方和，即信號(hào)的功率定義如下Matlab實(shí)現(xiàn)：

E=sum(abs(x).^2)；%序列x需先給定或賦值

P=sum(abs(x).^2)/length(x(n))；%序列x需先給定或賦值2024/12/2213:28

2.1.3線性卷積有限長(zhǎng)序列線性卷積的計(jì)算方法很多，包括公式法、圖表法、列表法。其中公式法計(jì)算線性卷積一般分為四步：翻褶(翻轉(zhuǎn))、移位、相乘、相加。1.定義

設(shè)序列x(n),h(n),它們的線性卷積(卷積和)y(n)定義為:2024/12/2213:28

求：例42.線性卷積的計(jì)算實(shí)例2024/12/2213:28

解：1.翻褶.以m=0為對(duì)稱軸，折迭h(m)

得到h(-m)，對(duì)應(yīng)序號(hào)相乘、相加得y(0)；2.位移一個(gè)單元，對(duì)應(yīng)序號(hào)相乘、相加得y(1)；3.重復(fù)步驟2，得y(2)，y(3)，y(4),y(5),如下所示。

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x(m)01231/213/2m012m1h(m)在亞變量坐標(biāo)m上作出x(m),h(m)2024/12/2213:28

01231/213/2m0mh(-m)=h(0-m)-2-1x(m)01231/213/2m0mh(1-m)-11得

y(0)得

y(1)x(m)翻褶位移1對(duì)應(yīng)相乘、相加2024/12/2213:28

以此類推可得2024/12/2213:28

-1012345y(n)n1/23/235/23/2

3.列表法計(jì)算線性卷積有限長(zhǎng)序列的線性卷積計(jì)算，也可以采用表格法進(jìn)行計(jì)算，將序列x(n)和h(n)分別列為下所示的表格：

，

，，

然后按序號(hào)分別相乘，各對(duì)角線上方的數(shù)值就是卷積計(jì)算結(jié)果：

4.線性卷積計(jì)算的簡(jiǎn)單方法

雖然有限長(zhǎng)序列的線性卷積計(jì)算方法很多，但任何一種計(jì)算方法，數(shù)學(xué)原理相同，都來(lái)源于卷積計(jì)算的公式。已知序列x(n)=[1,2,3,4]，h(n)=[1,1,1,1]，1,2,3,411,1,1,1h(n)翻褶3610974因此，y(n)=[1,3,6,10,9,7,4]計(jì)算y(n)=x(n)*h(n)解：默認(rèn)序列序號(hào)n從0開(kāi)始右移相乘相加例52024/12/2213:28

5.用單位抽樣序列表示任意序列

(1)任意序列可表示成單位抽樣序列的位移加權(quán)和.2024/12/2213:28

例6

用單位抽樣序列的位移加權(quán)和表示如下序列.解：序列x(n)可表示為單位抽樣序列的移位加權(quán)和，即2024/12/2213:286.線性移不變系統(tǒng)的性質(zhì)(1)交換律

(2)結(jié)合律2024/12/2213:28(3)對(duì)加法的分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)

h2(n)⊕y(n)x(n)2024/12/2213:28

2.1.4序列的周期性如果存在一個(gè)最小的正整數(shù)N,滿足x(n)=x(n+N),則序列x(n)為周期性序列,N為周期。2024/12/2213:28

周期信號(hào)（如正弦信號(hào)）經(jīng)抽樣以后一定是周期序列嗎？2.1.4序列的周期性2024/12/2213:28

2.2離散線性時(shí)不變系統(tǒng)2.1.1線性系統(tǒng)x(n)離散時(shí)間系統(tǒng)

T[x(n)]y(n)y(n)=T[x(n)]所以離散時(shí)間系統(tǒng)就表示對(duì)輸入序列的運(yùn)算，即系統(tǒng)實(shí)際上表示對(duì)輸入信號(hào)的一種運(yùn)算;

2024/12/2213:28

設(shè)系統(tǒng)具有：

那么該系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)，即線性系統(tǒng)具有均勻性和迭加性。*加權(quán)信號(hào)和的響應(yīng)=響應(yīng)的加權(quán)和。*先運(yùn)算后系統(tǒng)操作=先系統(tǒng)操作后運(yùn)算。2024/12/2213:28陳天華·北京工商大學(xué)計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)與人工智能學(xué)院

課堂作業(yè)（先做后講解）

解：設(shè)輸入x1(n)=2,x2(n)=3

則y1(n)=20；y2(n)=26y1(n)+y2(n)=46而系統(tǒng)對(duì)x3(n)=x1(n)+x2(n)=5的輸出是：y3(n)=38

y3(n)=y1(n)+y2(n)?

設(shè)有如下系統(tǒng)：

y(n)=6x(n)+8

試判斷該系統(tǒng)是否線性系統(tǒng)？2024/12/2213:28

2.2.2時(shí)不變（移不變）系統(tǒng)

如T[x(n)]=y(n),則T[x(n-m)]=y(n-m),滿足這樣性質(zhì)的系統(tǒng)稱作時(shí)不變（移不變）系統(tǒng)。即系統(tǒng)參數(shù)不隨時(shí)間變化的系統(tǒng)，亦即輸出波形不隨輸入加入的時(shí)間而變化的系統(tǒng)。

*時(shí)（移）不變2024/12/2213:28

分析y(n)=3x(n)+4是否時(shí)不變系統(tǒng)？解：因?yàn)門(mén)[x(n)]=y(n)=3x(n)+4

所以

T[x(n-m)]=3x(n-m)+4

又

y(n-m)=3x(n-m)+4

所以

T[x(n-m)]=y(n-m)

因此，y(n)=3x(n)+4是時(shí)不變系統(tǒng).

*系統(tǒng)操作=函數(shù)操作例72024/12/2213:28

y(n)=nx(n)解：因?yàn)門(mén)[x(n)]=y(n)=nx(n)

所以

T[x(n-m)]=nx(n-m)

又

y(n-m)=(n-m)x(n-m)

所以

T[x(n-m)]≠y(n-m)

因此，y(n)=nx(n)不是時(shí)不變系統(tǒng).

例82024/12/2213:28

2.2.3因果系統(tǒng)某時(shí)刻的輸出只取決于此刻以及以前時(shí)刻的輸入的系統(tǒng)稱作因果系統(tǒng)。*實(shí)際系統(tǒng)一般是因果系統(tǒng)；*對(duì)圖象、已記錄數(shù)據(jù)處理以及平均處理的系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)；

2024/12/2213:28

因果系統(tǒng)舉例及判據(jù)

y(n)=x(-n)非因果系統(tǒng)因n<0的輸出決定n>0時(shí)的輸入;

y(n)=x(n)sin(n+2).因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)判據(jù):線性移不變因果系統(tǒng)的充要條件為

h(n)=0，n<0。例9例102024/12/2213:28

2.2.4穩(wěn)定系統(tǒng)有界的輸入產(chǎn)生有界的輸出系統(tǒng)。線性移不變穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件是2024/12/2213:28

設(shè)LTI系統(tǒng)的單位系統(tǒng)脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n)，式中a是實(shí)常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。例112024/12/2213:28

習(xí)題(先練習(xí)后講解)

以下序列是LTI系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(n)，判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。答案

:（1）非因果、穩(wěn)定（2）非因果、不穩(wěn)定例122024/12/2213:28

求下列信號(hào)的周期例13非周期信號(hào)2024/12/2213:28

2.3線性系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系?應(yīng)用卷積求系統(tǒng)輸出

?應(yīng)用卷積求系統(tǒng)輸出

離散線性系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系一般可以用如下兩種方法進(jìn)行描述：2024/12/2213:28

(1)單位抽樣響應(yīng)h(n)T[δ(n)]2.3.1應(yīng)用卷積求系統(tǒng)輸出

δ(n)h(n)

當(dāng)線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入為δ(n)，

其輸出h(n)稱為單位抽樣響應(yīng)，即

h(n)=T[δ(n)]2024/12/2213:28

線性移不變系統(tǒng)[LSI]h(n)x(n)y(n)（2）應(yīng)用線性卷積求系統(tǒng)輸出

y(n)=x(n)*h(n)試證明卷積和公式例14y(n)=x(n)*h(n)2024/12/2213:28

證:2024/12/2213:28

已知兩線性移不變系統(tǒng)級(jí)聯(lián)，其單位抽樣響應(yīng)分別為

h1(n)=δ(n)-δ(n-4);h2(n)=anu(n),|a|<1,當(dāng)輸入x(n)=u(n)

時(shí)，求輸出。h1(n)x(n)y(n)h2(n)w(n)w(n)=x(n)*h1(n)=∑x(m)h1(n-m)=∑u(m)h1(n-m)=∑u(m)[δ(n-m)-δ(n-m-4)]=u(n)-u(n-4)=δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)y(n)=w(n)*h2(n)=[δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)]*h2(n)=h2(n)+h2(n-1)+h2(n-2)+h2(n-3)=anu(n)+an-1u(n-1)+an-2u(n-2)+an-3u(n-3)例15解:?2024/12/2213:28

2.3.2線性系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系離散變量n的函數(shù)x(n)及其位移函數(shù)x(n-m)線性疊加而構(gòu)成的方程.離散線性移不變系統(tǒng)（LSI）x(n)y(n)1.表示法與求解法

(1)表示法

2024/12/2213:28

常系數(shù)：

a0,a1,…,aN;b0,b1,…,bM

均是常數(shù)（不含n）.

階數(shù)：y(n)變量的最大序號(hào)與最小序號(hào)之差，如N=N-0.線性：y(n-k),x(n-m)各項(xiàng)只有一次冪,不含它們的乘積項(xiàng)(2)求解法時(shí)域：迭代法，卷積和法;變換域：Z變換法.2024/12/2213:28

2.用迭代法求解差分方程(1)“松弛”系統(tǒng)初始狀態(tài)為零的系統(tǒng)，這種系統(tǒng)用的較多，其輸出就是

因此，已知h(n)就可求出y(n)，所以，必須知道h(n)的求法.2024/12/2213:28

(2)迭代法（以求h(n)為例）已知常系數(shù)線性差分方程為

y(n)-ay(n-1)=x(n)試求單位抽樣響應(yīng)h(n).

解：因果系統(tǒng)有h(n)=0,n<0;方程可寫(xiě)作:

y(n)=ay(n-1)+x(n)例162024/12/2213:28

2024/12/2213:28

2024/12/2213:28

設(shè)差分方程如下，求輸出序列y(n)。

非因果系統(tǒng)例172024/12/2213:28

(1)一個(gè)常系數(shù)線性差分方程并不一定代表因果系統(tǒng)，也不一定表示線性移不變系統(tǒng)。這些都由邊界條件（初始）所決定。(2)教材討論的系統(tǒng)都假定：常系數(shù)線性差分方程就代表線性移不變系統(tǒng)，且多數(shù)代表因果系統(tǒng)。注意：2024/12/2213:28(1)指系統(tǒng)輸入/輸出的運(yùn)算關(guān)系的表述方法。(2)由差分方程可直接得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。3.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)y(n)=b

x(n)-ay(n-1),根據(jù)差分方程繪出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖例18解:

用⊕表示相加器；用

表示乘法器；

用z-1

表示一位延時(shí)單元。2024/12/2213:28

因此差分方程y(n)=bx(n)-ay(n-1)表示的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)為：2024/12/2213:28

例192024/12/2213:28

例20

將序列x(n)用一組幅度加權(quán)和延遲的沖激序列的和來(lái)表示。2024/12/2213:28

例21設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入x(n)分別有以下幾種情況，分別求輸出y(n)。（1）h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)（2）h(n)=2R4(n),x(n)=δ(n)－δ(n－2)

解：（1）{1，2，3，4，4，3，2，1}

（2）{2，2，0，0，-2，-2}2024/12/2213:28

例22若用單位序列及其移位加權(quán)和表示x(n)=____________________。解答:2024/12/2213:28

2.4連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣2.4.1信號(hào)的采樣P(t)T抽樣物理模型1.信號(hào)抽樣的物理模型

p(t)為脈沖序列實(shí)際抽樣2.理想抽樣（a）模擬信號(hào)xa(t)理想抽樣過(guò)程可視為一個(gè)脈沖調(diào)幅過(guò)程，xa(t)為調(diào)制信號(hào)，被調(diào)制的調(diào)脈沖載波是周期為T(mén)、寬度為τ的周期脈沖串。當(dāng)脈沖寬度τ持續(xù)時(shí)間很小時(shí)，就是實(shí)際抽樣。當(dāng)脈沖寬度τ→0時(shí)，則得到理想抽樣，此時(shí)抽樣脈沖序列p(t)則為理想的沖激函數(shù)序列δT(t)，而各沖激函數(shù)準(zhǔn)時(shí)出現(xiàn)在抽樣點(diǎn)上，沖激函數(shù)積分面積為1，信號(hào)經(jīng)理想抽樣后，輸出值等于輸入信號(hào)xa(t)在抽樣時(shí)刻的幅值。

理想抽樣：p(t)為脈沖序列2024/12/2213:28

2.4.2抽樣定理t10定義:1.預(yù)備知識(shí)（1）沖激信號(hào)及其抽樣特性2024/12/2213:28

取樣特性：2024/12/2213:28

(2)抽樣信號(hào)(SamplingSignal)

性質(zhì)：①②③④⑤偶函數(shù)2024/12/2213:28

(3)頻域卷積定理若抽樣數(shù)學(xué)模型2024/12/2213:28

抽樣信號(hào)及其傅里葉變換2024/12/2213:28

(4)沖激函數(shù)序列的傅氏變換......0Tt沖激函數(shù)序列的波形如下：

?傅立葉變換的性質(zhì)沖激函數(shù)序列的傅里葉變換：2024/12/2213:28

0……沖激序列的傅里葉變換仍為沖激序列。結(jié)論

2.抽樣信號(hào)的頻譜抽樣信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

(取樣特性)抽樣信號(hào)的傅里葉變換：2024/12/2213:28

抽樣信號(hào)頻譜之結(jié)果公式需理解、記憶！2024/12/2213:28

Ωh為最高頻率分量…………原信號(hào)頻譜抽樣信號(hào)頻譜K=0K=1K=-1K=21/T2024/12/2213:28

結(jié)論:抽樣以后的信號(hào)其頻譜為周期信號(hào)，其周期為：2024/12/2213:28

0,

如果xa(t)的最高頻率Ωh不超過(guò)Ωs/2,即滿足以下條件:那么,原信號(hào)的頻譜和各次延拓分量的頻譜彼此不重疊這時(shí),如果采用一個(gè)截止頻率為Ωs/2的理想低通濾波器就可以得到不失真的原信號(hào),即還原出原連續(xù)信號(hào).