數(shù)字信號處理-課件 第2章 離散時間信號與系統(tǒng)

2024/12/2213:28第2章離散時間信號與系統(tǒng)2024/12/2213:28

概述

2.1離散時間信號-序列1.信號及其分類(1)信號信號是傳遞信息的函數(shù),它可表示成一個或幾個獨立變量的函數(shù).如，f(x);f(t);f(x,y)等.(2)連續(xù)時間信號與模擬信號在連續(xù)時間范圍內定義的信號；幅值為連續(xù)的信號稱為模擬信號；2024/12/2213:28

(2)連續(xù)時間信號與模擬信號（續(xù)）

連續(xù)時間信號

要點：要求時間連續(xù)，對幅值沒有要求；

模擬信號：

要點：要求時間連續(xù)，同時要求幅值連續(xù)；

因此，連續(xù)時間信號和模擬信號是不同的概念。

但通常，連續(xù)時間信號與模擬信號常常通用。2024/12/2213:28

(3)離散時間信號與數(shù)字信號時間為離散變量的信號稱作離散時間信號；而時間和幅值都離散化的信號稱作為數(shù)字信號.nx(-2)x(-1)x(0)x(1)x(2)x(n)-2-10122024/12/2213:282.序列的基本概念

離散時間信號又稱作序列。通常，離散時間信號的抽樣間隔為T，且是均勻的，故應該用x(nT）表示序列在nT時刻的值.可以用x(n)表示x(nT),即第n個離散時間點的值.這樣x(n)就形成了一個序列,即序列﹛x(n)﹜。為方便，常用x(n)表示序列﹛x(n)﹜2024/12/2213:28

3.序列的表示序列有幾種方法表示?1/21/41/81x(n+1)n0-1-21

(1)序列的集合表示法

x(n)

={1,2,3,4,5,4,3,2,1}

(2)序列的公式表示法

(3)序列的圖形表示法

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2.1.1幾種典型序列1-2-101mnMatlab實現(xiàn)x=zeros（1，N）；x(1)=1；1.單位抽樣序列(單位沖激)δ(n)

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2.單位階躍序列u(n)Matlab實現(xiàn)x=ones（1，N）；2024/12/2213:28

3.矩形序RN(n)Matlab實現(xiàn)x=[ones（1，N）zero(N1-N)]；N表示矩形的寬度，N1表示序列的長度2024/12/2213:28

4.實指數(shù)序列anu(n)實指數(shù)序列（0<a<1）Matlab實現(xiàn)

n=0：N-1；

x=a.^n；

%a需先給定或賦值

a為實數(shù)，當2024/12/2213:28

5.正弦型序列Matlab實現(xiàn)

n=0：N-1；

x=sin（ωn）；%ω需先給定或賦值其中，ω0為數(shù)字頻率。2024/12/2213:28

6.復指數(shù)序列Matlab實現(xiàn)

n=0：N-1；x=exp(σ+jω*n）；%σ、ω需先給定或賦值ω0是復正弦的數(shù)字域頻率。2024/12/2213:28

2.1.2

序列的基本運算

在數(shù)字信號處理中，序列的基本運算包括：相加、相乘、移位、翻轉、累加、差分、尺度變換、卷積和、序列的能量和功率等。卷積和又稱為線性卷積，由于該運算比較重要，單獨列出。2024/12/2213:28

1.和兩序列的和是指同序號(n)的序列值逐項對應相加得一新序列。2024/12/2213:28

x(n)11/21/41/8n-2-1012…y(n)1231/21/4-2-1012n

例12024/12/2213:28

-2-10121/43/23/29/425/8z(n).……2024/12/2213:28

2024/12/2213:28

2.乘積是指同序號(n)的序列值逐項對應相乘。以上例序列為例:2024/12/2213:28

3.移位

當m為正時，

x(n-m)表示依次右移m位；

x(n+m)表示依次左移m位。當m為負時，則相反。序列x(n)及其左移位1位的波形如下圖所示：2024/12/2213:28

-1012x(n)11/21/41/8...-2n例22024/12/2213:28

1/21/41/81x(n+1)n0-1-212024/12/2213:28

4.翻褶(折迭)

如果有x(n),則x(-n)是以n=0為對稱軸將x(n)加以翻褶的序列。（a）序列x(n)的波形（b）序列x(-n)的波形序列x(n)及其翻轉序列x(-n)2024/12/2213:28

...-2-10121/81/41/21x(-n)n-1012x(n)11/21/41/8...-2n例32024/12/2213:285.累加設某一序列為x(n),則x(n)的累加序列

y(n)定義為

即表示n以前的所有x(n)的和。Matlab實現(xiàn)：

s=sun(x(n1:n2)；%序列x，求和區(qū)間n1、n2需先給定或賦值2024/12/2213:28

6.差分前向差分（先左移后相減）：后向差分（先右移后相減）：2024/12/2213:28

7.尺度變換（1）抽?。簒(n)x(mn),m為正整數(shù)。例如，

m=2，

x(2n)，相當于兩個點取一點；以此類推。x(2n)131/4-101nx(n)1231/21/4-2-1012n2024/12/2213:28

（2）插值：x(n)x(n/m),m為正整數(shù)。例如，

m=2，

x(n/2)，相當于兩個點之間插一個點；以此類推。通常，插值用

I倍表示，即插入（I-1）個值。x(n)121/2-101nx(n/2)121/2-2-1012n。。2024/12/2213:28

8.序列的能量和功率序列能量用E表示，序列x(n)的能量定義為該序列所有抽樣值之平方和，即信號的功率定義如下Matlab實現(xiàn)：

E=sum(abs(x).^2)；%序列x需先給定或賦值

P=sum(abs(x).^2)/length(x(n))；%序列x需先給定或賦值2024/12/2213:28

2.1.3線性卷積有限長序列線性卷積的計算方法很多，包括公式法、圖表法、列表法。其中公式法計算線性卷積一般分為四步：翻褶(翻轉)、移位、相乘、相加。1.定義

設序列x(n),h(n),它們的線性卷積(卷積和)y(n)定義為:2024/12/2213:28

求：例42.線性卷積的計算實例2024/12/2213:28

解：1.翻褶.以m=0為對稱軸，折迭h(m)

得到h(-m)，對應序號相乘、相加得y(0)；2.位移一個單元，對應序號相乘、相加得y(1)；3.重復步驟2，得y(2)，y(3)，y(4),y(5),如下所示。

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x(m)01231/213/2m012m1h(m)在亞變量坐標m上作出x(m),h(m)2024/12/2213:28

01231/213/2m0mh(-m)=h(0-m)-2-1x(m)01231/213/2m0mh(1-m)-11得

y(0)得

y(1)x(m)翻褶位移1對應相乘、相加2024/12/2213:28

以此類推可得2024/12/2213:28

-1012345y(n)n1/23/235/23/2

3.列表法計算線性卷積有限長序列的線性卷積計算，也可以采用表格法進行計算，將序列x(n)和h(n)分別列為下所示的表格：

，

，，

然后按序號分別相乘，各對角線上方的數(shù)值就是卷積計算結果：

4.線性卷積計算的簡單方法

雖然有限長序列的線性卷積計算方法很多，但任何一種計算方法，數(shù)學原理相同，都來源于卷積計算的公式。已知序列x(n)=[1,2,3,4]，h(n)=[1,1,1,1]，1,2,3,411,1,1,1h(n)翻褶3610974因此，y(n)=[1,3,6,10,9,7,4]計算y(n)=x(n)*h(n)解：默認序列序號n從0開始右移相乘相加例52024/12/2213:28

5.用單位抽樣序列表示任意序列

(1)任意序列可表示成單位抽樣序列的位移加權和.2024/12/2213:28

例6

用單位抽樣序列的位移加權和表示如下序列.解：序列x(n)可表示為單位抽樣序列的移位加權和，即2024/12/2213:286.線性移不變系統(tǒng)的性質(1)交換律

(2)結合律2024/12/2213:28(3)對加法的分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)

h2(n)⊕y(n)x(n)2024/12/2213:28

2.1.4序列的周期性如果存在一個最小的正整數(shù)N,滿足x(n)=x(n+N),則序列x(n)為周期性序列,N為周期。2024/12/2213:28

周期信號（如正弦信號）經(jīng)抽樣以后一定是周期序列嗎？2.1.4序列的周期性2024/12/2213:28

2.2離散線性時不變系統(tǒng)2.1.1線性系統(tǒng)x(n)離散時間系統(tǒng)

T[x(n)]y(n)y(n)=T[x(n)]所以離散時間系統(tǒng)就表示對輸入序列的運算，即系統(tǒng)實際上表示對輸入信號的一種運算;

2024/12/2213:28

設系統(tǒng)具有：

那么該系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)，即線性系統(tǒng)具有均勻性和迭加性。*加權信號和的響應=響應的加權和。*先運算后系統(tǒng)操作=先系統(tǒng)操作后運算。2024/12/2213:28陳天華·北京工商大學計算機計算機與人工智能學院

課堂作業(yè)（先做后講解）

解：設輸入x1(n)=2,x2(n)=3

則y1(n)=20；y2(n)=26y1(n)+y2(n)=46而系統(tǒng)對x3(n)=x1(n)+x2(n)=5的輸出是：y3(n)=38

y3(n)=y1(n)+y2(n)?

設有如下系統(tǒng)：

y(n)=6x(n)+8

試判斷該系統(tǒng)是否線性系統(tǒng)？2024/12/2213:28

2.2.2時不變（移不變）系統(tǒng)

如T[x(n)]=y(n),則T[x(n-m)]=y(n-m),滿足這樣性質的系統(tǒng)稱作時不變（移不變）系統(tǒng)。即系統(tǒng)參數(shù)不隨時間變化的系統(tǒng)，亦即輸出波形不隨輸入加入的時間而變化的系統(tǒng)。

*時（移）不變2024/12/2213:28

分析y(n)=3x(n)+4是否時不變系統(tǒng)？解：因為T[x(n)]=y(n)=3x(n)+4

所以

T[x(n-m)]=3x(n-m)+4

又

y(n-m)=3x(n-m)+4

所以

T[x(n-m)]=y(n-m)

因此，y(n)=3x(n)+4是時不變系統(tǒng).

*系統(tǒng)操作=函數(shù)操作例72024/12/2213:28

y(n)=nx(n)解：因為T[x(n)]=y(n)=nx(n)

所以

T[x(n-m)]=nx(n-m)

又

y(n-m)=(n-m)x(n-m)

所以

T[x(n-m)]≠y(n-m)

因此，y(n)=nx(n)不是時不變系統(tǒng).

例82024/12/2213:28

2.2.3因果系統(tǒng)某時刻的輸出只取決于此刻以及以前時刻的輸入的系統(tǒng)稱作因果系統(tǒng)。*實際系統(tǒng)一般是因果系統(tǒng)；*對圖象、已記錄數(shù)據(jù)處理以及平均處理的系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)；

2024/12/2213:28

因果系統(tǒng)舉例及判據(jù)

y(n)=x(-n)非因果系統(tǒng)因n<0的輸出決定n>0時的輸入;

y(n)=x(n)sin(n+2).因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)判據(jù):線性移不變因果系統(tǒng)的充要條件為

h(n)=0，n<0。例9例102024/12/2213:28

2.2.4穩(wěn)定系統(tǒng)有界的輸入產(chǎn)生有界的輸出系統(tǒng)。線性移不變穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件是2024/12/2213:28

設LTI系統(tǒng)的單位系統(tǒng)脈沖響應h(n)=anu(n)，式中a是實常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。例112024/12/2213:28

習題(先練習后講解)

以下序列是LTI系統(tǒng)的單位序列響應h(n)，判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。答案

:（1）非因果、穩(wěn)定（2）非因果、不穩(wěn)定例122024/12/2213:28

求下列信號的周期例13非周期信號2024/12/2213:28

2.3線性系統(tǒng)輸入輸出關系?應用卷積求系統(tǒng)輸出

?應用卷積求系統(tǒng)輸出

離散線性系統(tǒng)的輸入輸出關系一般可以用如下兩種方法進行描述：2024/12/2213:28

(1)單位抽樣響應h(n)T[δ(n)]2.3.1應用卷積求系統(tǒng)輸出

δ(n)h(n)

當線性時不變系統(tǒng)的輸入為δ(n)，

其輸出h(n)稱為單位抽樣響應，即

h(n)=T[δ(n)]2024/12/2213:28

線性移不變系統(tǒng)[LSI]h(n)x(n)y(n)（2）應用線性卷積求系統(tǒng)輸出

y(n)=x(n)*h(n)試證明卷積和公式例14y(n)=x(n)*h(n)2024/12/2213:28

證:2024/12/2213:28

已知兩線性移不變系統(tǒng)級聯(lián)，其單位抽樣響應分別為

h1(n)=δ(n)-δ(n-4);h2(n)=anu(n),|a|<1,當輸入x(n)=u(n)

時，求輸出。h1(n)x(n)y(n)h2(n)w(n)w(n)=x(n)*h1(n)=∑x(m)h1(n-m)=∑u(m)h1(n-m)=∑u(m)[δ(n-m)-δ(n-m-4)]=u(n)-u(n-4)=δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)y(n)=w(n)*h2(n)=[δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)]*h2(n)=h2(n)+h2(n-1)+h2(n-2)+h2(n-3)=anu(n)+an-1u(n-1)+an-2u(n-2)+an-3u(n-3)例15解:?2024/12/2213:28

2.3.2線性系統(tǒng)輸入輸出關系離散變量n的函數(shù)x(n)及其位移函數(shù)x(n-m)線性疊加而構成的方程.離散線性移不變系統(tǒng)（LSI）x(n)y(n)1.表示法與求解法

(1)表示法

2024/12/2213:28

常系數(shù)：

a0,a1,…,aN;b0,b1,…,bM

均是常數(shù)（不含n）.

階數(shù)：y(n)變量的最大序號與最小序號之差，如N=N-0.線性：y(n-k),x(n-m)各項只有一次冪,不含它們的乘積項(2)求解法時域：迭代法，卷積和法;變換域：Z變換法.2024/12/2213:28

2.用迭代法求解差分方程(1)“松弛”系統(tǒng)初始狀態(tài)為零的系統(tǒng)，這種系統(tǒng)用的較多，其輸出就是

因此，已知h(n)就可求出y(n)，所以，必須知道h(n)的求法.2024/12/2213:28

(2)迭代法（以求h(n)為例）已知常系數(shù)線性差分方程為

y(n)-ay(n-1)=x(n)試求單位抽樣響應h(n).

解：因果系統(tǒng)有h(n)=0,n<0;方程可寫作:

y(n)=ay(n-1)+x(n)例162024/12/2213:28

2024/12/2213:28

2024/12/2213:28

設差分方程如下，求輸出序列y(n)。

非因果系統(tǒng)例172024/12/2213:28

(1)一個常系數(shù)線性差分方程并不一定代表因果系統(tǒng)，也不一定表示線性移不變系統(tǒng)。這些都由邊界條件（初始）所決定。(2)教材討論的系統(tǒng)都假定：常系數(shù)線性差分方程就代表線性移不變系統(tǒng)，且多數(shù)代表因果系統(tǒng)。注意：2024/12/2213:28(1)指系統(tǒng)輸入/輸出的運算關系的表述方法。(2)由差分方程可直接得到系統(tǒng)結構。3.系統(tǒng)結構y(n)=b

x(n)-ay(n-1),根據(jù)差分方程繪出系統(tǒng)結構圖例18解:

用⊕表示相加器；用

表示乘法器；

用z-1

表示一位延時單元。2024/12/2213:28

因此差分方程y(n)=bx(n)-ay(n-1)表示的系統(tǒng)結構為：2024/12/2213:28

例192024/12/2213:28

例20

將序列x(n)用一組幅度加權和延遲的沖激序列的和來表示。2024/12/2213:28

例21設線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)和輸入x(n)分別有以下幾種情況，分別求輸出y(n)。（1）h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)（2）h(n)=2R4(n),x(n)=δ(n)－δ(n－2)

解：（1）{1，2，3，4，4，3，2，1}

（2）{2，2，0，0，-2，-2}2024/12/2213:28

例22若用單位序列及其移位加權和表示x(n)=____________________。解答:2024/12/2213:28

2.4連續(xù)時間信號的抽樣2.4.1信號的采樣P(t)T抽樣物理模型1.信號抽樣的物理模型

p(t)為脈沖序列實際抽樣2.理想抽樣（a）模擬信號xa(t)理想抽樣過程可視為一個脈沖調幅過程，xa(t)為調制信號，被調制的調脈沖載波是周期為T、寬度為τ的周期脈沖串。當脈沖寬度τ持續(xù)時間很小時，就是實際抽樣。當脈沖寬度τ→0時，則得到理想抽樣，此時抽樣脈沖序列p(t)則為理想的沖激函數(shù)序列δT(t)，而各沖激函數(shù)準時出現(xiàn)在抽樣點上，沖激函數(shù)積分面積為1，信號經(jīng)理想抽樣后，輸出值等于輸入信號xa(t)在抽樣時刻的幅值。

理想抽樣：p(t)為脈沖序列2024/12/2213:28

2.4.2抽樣定理t10定義:1.預備知識（1）沖激信號及其抽樣特性2024/12/2213:28

取樣特性：2024/12/2213:28

(2)抽樣信號(SamplingSignal)

性質：①②③④⑤偶函數(shù)2024/12/2213:28

(3)頻域卷積定理若抽樣數(shù)學模型2024/12/2213:28

抽樣信號及其傅里葉變換2024/12/2213:28

(4)沖激函數(shù)序列的傅氏變換......0Tt沖激函數(shù)序列的波形如下：

?傅立葉變換的性質沖激函數(shù)序列的傅里葉變換：2024/12/2213:28

0……沖激序列的傅里葉變換仍為沖激序列。結論

2.抽樣信號的頻譜抽樣信號的數(shù)學表達式：

(取樣特性)抽樣信號的傅里葉變換：2024/12/2213:28

抽樣信號頻譜之結果公式需理解、記憶！2024/12/2213:28

Ωh為最高頻率分量…………原信號頻譜抽樣信號頻譜K=0K=1K=-1K=21/T2024/12/2213:28

結論:抽樣以后的信號其頻譜為周期信號，其周期為：2024/12/2213:28

0,

如果xa(t)的最高頻率Ωh不超過Ωs/2,即滿足以下條件:那么,原信號的頻譜和各次延拓分量的頻譜彼此不重疊這時,如果采用一個截止頻率為Ωs/2的理想低通濾波器就可以得到不失真的原信號,即還原出原連續(xù)信號.