吉林省白山市撫松縣2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次模擬考試試題含解析

吉林省白山市撫松縣2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次模擬考試試題時(shí)間120分鐘滿分150分一、單選題（5分*12=60分）1.設(shè)全集為，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解出集合，寫出，則可寫出.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：B.2.某農(nóng)學(xué)院探討員發(fā)覺，某品種的甜瓜生長在除溫差以外其他環(huán)境均相同的條件中，成熟后甜瓜的甜度y（單位：度）與晝夜溫差x（單位：℃，）近似滿意函數(shù)模型．當(dāng)溫差為30℃時(shí)，成熟后甜瓜的甜度約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A.14.4 B.14.6 C.14.8 D.15.1【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，可得．故選：C.3.“a＞2”是“函數(shù)在上是增函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合充分不必要條件的定義求解.【詳解】解：若a＞2，則的增區(qū)間是，且，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，故充分性成立．當(dāng)a＝2時(shí)，在上是增函數(shù)，故必要性不成立．故“a＞2”是“函數(shù)在上是增函數(shù)”的充分不必要條件.故選:A．4.設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，對隨意實(shí)數(shù)，下面式子正確的是（）A.=|x| B.≥ C.> D.>【答案】D【解析】【詳解】分析：表示不超過的最大整數(shù)，表示向下取整，帶特別值逐一解除．詳解：設(shè)，，，，，解除A、B，設(shè)，，，解除C．故選D點(diǎn)睛：比較大小，采納特別值法是常見方法之一．5.設(shè)，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得，從而，由對數(shù)換底公式和對數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算得，再由不等式性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，，即，所?故選：D．6.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先把化為，利用為奇函數(shù)可解除C，再結(jié)合函數(shù)值的符號可解除AD，從而可得正確的選項(xiàng)．【詳解】，令，則，故為上的奇函數(shù)，故的圖象關(guān)于對稱，故解除C.又當(dāng)時(shí)，令，則，故，故當(dāng)時(shí)，，故解除D.而，故解除A，故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)解析式推斷函數(shù)圖象時(shí)，往往須要依據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等來推斷圖象的性質(zhì)，有時(shí)也須要依據(jù)函數(shù)值的正負(fù)來推斷．7.若函數(shù)，給出下面結(jié)論：①為奇函數(shù)，②時(shí)有極大值，③在單調(diào)遞減，④．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】由奇函數(shù)的定義即可推斷①；求導(dǎo)得出時(shí)的單調(diào)性，進(jìn)而得出極值即可推斷②；干脆由導(dǎo)數(shù)得出在上的單調(diào)性即可推斷③；利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小即可推斷④.【詳解】易得定義域?yàn)?，對于①，，則為奇函數(shù)，①正確；對于②，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單增，當(dāng)時(shí)，，單減，則時(shí)，有極大值，②正確；對于③，當(dāng)時(shí)，，，單增，③錯(cuò)誤；對于④，由上知，在單調(diào)遞增，則，又，則，④正確.則正確的結(jié)論有3個(gè).故選：D.8.下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）①命題“”的否定形式是“”；②函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；③函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為；④函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間，且函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】【分析】對于①，特稱命題否定為全稱命題即可，對于②，先求函數(shù)的定義域，再利用換元法求解，對于③，每一段上都為增函數(shù)，再考慮端點(diǎn)處的函數(shù)值，對于④，利用零點(diǎn)存在性定理推斷.【詳解】對于①，命題“”的否定形式是“”，所以①正確，對于②，由，得，令，則，因?yàn)樵谏线f增，在上遞減，在定義域內(nèi)遞減，所以在上遞減，在上遞增，所以②錯(cuò)誤，對于③，因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，所以，解得，所以③錯(cuò)誤，對于④，因?yàn)楹驮谏线f減，所以在上遞減，因?yàn)?，所以函?shù)只有一個(gè)零點(diǎn)且在上，所以④正確，故選：B9.若直線是曲線的切線，也是的切線，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線與和的切點(diǎn)分別為，，分別求出切點(diǎn)處的直線方程，由已知切線方程，可得方程組，解方程可得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得到的值.【詳解】設(shè)直線與和的切點(diǎn)分別為，，則切線方程分別為，，，化簡得，依題意上述兩直線與是同一條直線，所以，，解得，所以．故選：C．10.若對，．有，則函數(shù)在，上的最大值和最小值的和為（）A.4 B.8 C.6 D.12【答案】B【解析】【分析】依據(jù)原抽象函數(shù)的關(guān)系，通過合理賦值得到，設(shè)具有奇函數(shù)性質(zhì)的新函數(shù)，再證明為奇函數(shù)，依據(jù)奇函數(shù)＋奇函數(shù)為奇函數(shù)的結(jié)論再次構(gòu)造具有奇函數(shù)性質(zhì)得，再利用函數(shù)圖像的平移得到最終最值和為8.【詳解】解：，．有，取，則，故，取，則，故，令，則，故為奇函數(shù)，，設(shè)，則，，故為奇函數(shù)，故為奇函數(shù)，故函數(shù)在上的最大值和最小值的和是0，而是將函數(shù)的圖像向上平移4個(gè)單位，即在上最大值和最小值均增加4，故函數(shù)在上最大值和最小值的和是8，故選：B．【點(diǎn)睛】本題充分考察了抽象函數(shù)的奇偶性與對稱性，我們須要構(gòu)造新函數(shù)使其具有奇偶性，然后再利用平移的特點(diǎn)，得到最終最值之和.11.設(shè)函數(shù)，記，若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】函數(shù)定義域是，，，設(shè)，則，設(shè)，則，，易知，即也即在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，因此是的唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，，函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則，．故選A．考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)，用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)．【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的學(xué)問，考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，題意只要函數(shù)的最小值不大于0，因此要確定的正負(fù)與零點(diǎn)，又要對求導(dǎo)，得，此時(shí)再探討其分子，于是又一次求導(dǎo)，最終確定出函數(shù)的最小值，本題解題時(shí)多次求導(dǎo)，考查了學(xué)生的分析問題與解決問題的實(shí)力，難度較大．12.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)探討的單調(diào)性和最值，畫出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合，即可求得.【詳解】因?yàn)椋士傻?，令，解得或，故可得在區(qū)間和單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增.且，當(dāng)趨近于正無窮時(shí)，趨近于零.故其函數(shù)圖像如下所示：令，故關(guān)于的方程，即為解得或.當(dāng)時(shí)，沒有實(shí)數(shù)根；故要滿意題意，只需有三個(gè)實(shí)數(shù)根即可數(shù)形結(jié)合可知，只需，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性和最值，涉及方程與函數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化，屬綜合中檔題.二、填空題（5分*4=20分）13.已知命題p：，命題q：，使得成立，若p是真命題，q是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_____.【答案】【解析】【分析】依據(jù)p是真命題可得，再分析當(dāng)q是真命題時(shí)，進(jìn)而求得q是假命題時(shí)a的取值范圍即可【詳解】命題p：恒成立，若p是真命題，則：，命題q：，使得成立，若命題q為真命題，則.所以命題q是假命題時(shí)，，綜上，參數(shù)a的取值范圍為：，即故答案為：14.已知，，且，則的最小值為__．【答案】3【解析】【分析】依題意可得，再利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得．【詳解】解：因?yàn)椋?，且，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號，此時(shí)取得最小值．故答案為：．15.已知偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿意.當(dāng)時(shí)，，則使得成立的x的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)以及當(dāng)時(shí)，，可得在上為減函數(shù)，再依據(jù)等價(jià)于，利用在上為減函數(shù)，可解得結(jié)果.【詳解】令，則，，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，所以為偶函數(shù)，因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，等價(jià)于等價(jià)于所以，又在上為減函數(shù)，所以，解得，又，所以或.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.16.已知函數(shù)滿意，當(dāng)，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意得到畫出函數(shù)圖像，計(jì)算直線與函數(shù)相切和過點(diǎn)時(shí)的斜率，依據(jù)圖像得到答案【詳解】函數(shù)滿意，當(dāng)，所以當(dāng)，故，，畫出函數(shù)圖像，如圖所示，視察圖像可知，要使函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，則直線應(yīng)在圖中的兩條虛線之間，上方的虛線為直線與相切時(shí)，下方的虛線是直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，當(dāng)直線與相切時(shí)，，設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，此時(shí)，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，故答案為：三、解答題17.(1)；(2)．【答案】(1)2；(2)4.【解析】【分析】(1)將綻開再依據(jù)對數(shù)的運(yùn)算求解；(2)依據(jù)對數(shù)的運(yùn)算求解即可.【詳解】解:(1)原式．(2)原式．18.已知函數(shù)（且）為定義在上的奇函數(shù).（1）利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）求不等式的解集.（3）若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明過程見解析；（2）（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)求出，求出，利用函數(shù)定義法推斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式；（3）參變分別為有根問題，求出的值域，從而求出，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由題意得：，解得：，，任取，且，則因，且，所以，，所以，故所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】，即，因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以，因?yàn)闉槎x在上單調(diào)遞增，所以，解得：或，所以解集為：；【小問3詳解】有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，沒有零點(diǎn)，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，即有根，其中當(dāng)時(shí)，，，，故，又因?yàn)樵赗上為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，且，所以在R上的值域?yàn)椋?，解得：，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.19.已知函數(shù)在處取得極大值為2．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對于區(qū)間上隨意兩個(gè)自變量的值都有，求實(shí)數(shù)的最小值．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）依據(jù)題意可得，解方程組即可得出答案；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求得函數(shù)在上的最值，對于區(qū)間上隨意兩個(gè)自變量的值都有，則，從而可得出答案.【小問1詳解】解：，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極大值為2，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以；【小問2詳解】解：，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，對于區(qū)間上隨意兩個(gè)自變量的值都有，則，所以，所以實(shí)數(shù)的最小值為4．20.已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）探討的單調(diào)性；（2）若，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類探討導(dǎo)數(shù)值正負(fù)即可作答.（2）將給定的不等式等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)并借助導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求解作答.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得：，若，則，即在上是增函數(shù)；若，由得，由得，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，，令，依題意，當(dāng)時(shí)，恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，，即恒成立，令，求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.已知函數(shù)，，過原點(diǎn)的直線與曲線相切，也與曲線相切.（1）求a；（2）設(shè)有兩個(gè)極值點(diǎn)，.（?。┣髮?shí)數(shù)m的取值范圍；（ⅱ）證明：.【答案】（1）（2）（?。?；（ⅱ）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)直線l與曲線切于點(diǎn)，得到l的方程為，再與聯(lián)立，由求解；（2）（?。┣髮?dǎo)，由函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，轉(zhuǎn)化為，是方程的兩個(gè)不等正實(shí)根求解；（ⅱ）由（ⅰ）易得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)法證明.【小問1詳解】解：設(shè)過原點(diǎn)的直線l與曲線切于點(diǎn)，，則l的方程為，由l過原點(diǎn)知，解得，故.由，得，又l與相切，故，從而解得.【小問2詳解】（?。?，，由函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，知：，是方程的兩個(gè)不等正實(shí)根，則，解得.（ⅱ），，，，，設(shè)，由，在上單減.所以，綜上，.22.有同學(xué)在探討指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖像時(shí)，發(fā)覺它們在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)和．通過進(jìn)一步探討，該同學(xué)提出了如下兩個(gè)猜想：請你證明或反對該同學(xué)的猜想．（1）函數(shù)與函數(shù)的圖像在第一象限有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）設(shè)，，且，若，則．其中為自然對數(shù)的底，【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)給定條件構(gòu)造函數(shù)，再推斷方程有唯一解即可得解.（2）由結(jié)合（1）中函數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)單調(diào)性即可推斷作答【小問1詳解】設(shè)(x>0)，求導(dǎo)得：