北京市豐臺區(qū)2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中練習A卷試題含解析

Page18北京市豐臺區(qū)2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中練習（A卷）試題第I部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.為了了解某小區(qū)5000戶居民接種新冠疫苗狀況，從中抽取了100戶居民進行調(diào)查.該小區(qū)每位居民被抽到的可能性為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)每個個體被抽到可能性都是相同的，即可計算得答案.【詳解】由題意可知了了解某小區(qū)5000戶居民接種新冠疫苗狀況，從中抽取了100戶居民進行調(diào)查，該小區(qū)每位居民被抽到的可能性都是相同的，故可能為，故選：B.2.已知空間向量，，若，則，的值分別為（）A.， B.， C.， D.，【答案】D【解析】【分析】利用，得到，即可計算求解.【詳解】由，得，故，解得故選：D3.如圖，甲、乙兩個元件串聯(lián)構(gòu)成一段電路，設“甲元件故障”，“乙元件故障”，則表示該段電路沒有故障的事務為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)條件，得出甲、乙兩個元件的故障狀況，即可得出結(jié)果.【詳解】因甲、乙兩個元件串聯(lián)，線路沒有故障，即甲、乙都沒有故障.即事務和同時發(fā)生，即事務發(fā)生.故選：C.4.在空間直角坐標系中，點關于軸對稱的點為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用點關于x軸對稱的點的坐標是即可得出.【詳解】關于x軸對稱的點的坐標是只有橫坐標不變，縱坐標和豎坐標變?yōu)橄喾磾?shù)，點關于軸對稱的點為.

故選：A．5.在長方體中，，，，點為中點，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的線性運算即可得到結(jié)果.【詳解】連結(jié)，如圖，因為，，所以.故選：A.6.在“冬奧會”閉幕后，某中學社團對本校3000名學生收看競賽狀況用隨機抽樣方式進行調(diào)查，樣本容量為50，將全部數(shù)據(jù)分組整理后，繪圖如下，以下結(jié)論中正確的是（）A.圖中m數(shù)值為26B.估計該校觀看競賽不低于3場的學生約為1380人C.估計該校學生觀看競賽場數(shù)的中位數(shù)小于平均數(shù)D.樣本數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù)為5【答案】C【解析】【分析】由頻率和為1求，依據(jù)條形統(tǒng)計圖計算觀看競賽不低于3場的人數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，百分位數(shù)推斷各選項．【詳解】由題意，，A錯；不低于3場的人數(shù)約為，B錯；由已知得中位數(shù)是3，平均數(shù)是，C正確；由條形圖，觀看場數(shù)不大于5的百分比為90%，因此第90百分位數(shù)是5.5，D錯．故選：C．7.已知平面，其中點，向量，則下列各點中在平面內(nèi)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，對選項逐一求出，再推斷是否為即可.【詳解】因為，對于A，，故，即，故選項A中的點在平面內(nèi)，故A正確；對于B，，故，即不相互垂直，故選項B中的點不在平面內(nèi)，故B錯誤；對于C，，故，即不相互垂直，故選項C中的點不在平面內(nèi)，故C錯誤；對于D，，故，即不相互垂直，故選項D中的點不在平面內(nèi)，故D錯誤.故選：A.8.如圖，一個質(zhì)地勻稱的正八面體的八個面分別標以數(shù)字1到8，隨意拋擲一次這個正八面體，視察它與地面接觸的面上的數(shù)字，設該數(shù)字為.若設事務“為奇數(shù)”，事務“為偶數(shù)”，事務“為3的倍數(shù)”，事務“”，其中是相互獨立事務的是（）A.事務與事務 B.事務與事務C.事務與事務 D.事務與事務【答案】B【解析】【分析】分別寫出，，，包含的樣本空間，依據(jù)相互獨立事務滿意的乘法公式，即可推斷.【詳解】由題意可得，3，5，，，4，6，，,，,,由古典概型概率公式可得：,所以，，,，故ACD錯誤，B正確．故選：B9.李明父親從2024年1月起先，每月1日購買了相同份數(shù)的某一種理財產(chǎn)品，連續(xù)購買4次，并在5月1日將持有的理財產(chǎn)品全部賣出.已知該理財產(chǎn)品的購買和賣出都是以份為計價單位進行交易，且李明父親在本次投資中沒有虧損，那么下列四個折線圖中反映了這種理財產(chǎn)品每份價格（單位：萬元）可能的改變狀況的是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】逐項分析選項中4次投資的總金額與賣出時收獲的金額即可推斷.【詳解】由于本次投資中沒有虧損，所以須要計算推斷4次投資的總金額與賣出時收獲的金額，兩者持平，即為沒有虧損，不妨設李明父親每月只買1份理財產(chǎn)口，對于A，4次投資的總金額為(萬元)，賣出時收獲的金額為(萬元)，明顯這屬于虧本，故A錯誤；對于B，4次投資的總金額為(萬元)，賣出時收獲的金額為(萬元)，明顯這屬于虧本，故B錯誤；對于C，4次投資的總金額為(萬元)，賣出時收獲的金額為(萬元)，明顯這屬于沒有虧損，故C正確；對于D，4次投資的總金額為(萬元)，賣出時收獲的金額為(萬元)，明顯這屬于虧本，故D錯誤.故選：C.10.在空間直角坐標系中，若有且只有一個平面，使點到的距離為1，且點到的距離為4，則的值為（）A.2 B.1或3C.2或4 D.或【答案】B【解析】【分析】由點到平面的距離是確定的且平面只有一個，可得，且兩點在平面同側(cè)，由此可得線段的長，從而求得值，【詳解】因為有且只有一個平面，使點到的距離為1，且點到的距離為4，所以，且兩點在平面同側(cè)，，，或3．若，則線段與平面至少有下列兩種位置關系，即平面至少有兩個．若，由上面的圖形知，兩點到平面的距離的差的肯定值不大于，與已知沖突，即不存在平面滿意題意．故選：B．第Ⅱ部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.某校學生共2000人，采納分層隨機抽樣抽取一個樣本量為50樣本，若樣本中男生人數(shù)為20，則可估計此學校女生人數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】利用分層抽樣比例相等得到關于女生人數(shù)的方程，解之即可.【詳解】設此學校女生人數(shù)為，則樣本中女生的人數(shù)為，由分層抽樣比例相等得，解得，故估計此學校女生人數(shù)為.故答案為：.12.從一堆產(chǎn)品（其中正品與次品都多于2件）中任取2件，若取出的產(chǎn)品全是正品的概率為0.85，則取出至少有1件次品的概率為______．【答案】0.2775##【解析】【分析】可用間接法，即用對立事務來求概率.【詳解】由已知得，取出2件產(chǎn)品中，1件次品也沒有的概率為.所以，取出至少有1件次品的概率為1-0.7225=0.2775.故答案為：0.2775.13.在長方體中，若，，則直線與所成角的余弦值為______.【答案】##【解析】【分析】因為，所以直線與所成的角，即直線與所成的角，在中用余弦定理解三角形，得即為所求.【詳解】在長方體中，，所以直線與所成的角，即直線與所成的角，又因為，，所以，，在中，由余弦定理，，所以直線與所成的角的余弦為.故答案為：.14.已知空間向量，則向量在坐標平面上的投影向量的模是______．【答案】【解析】【分析】先求出投影向量，再求向量的模.【詳解】當以坐標原點為始點時，其終點在坐標平面上的投影坐標為，所以向量在坐標平面上的投影向量，.故答案為：15.如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，為線段上的動點．給出下列三個結(jié)論：①三棱錐體積為定值；②存在唯一點使；③點到直線的距離是.其中全部正確結(jié)論的序號是______．【答案】①③.【解析】【分析】依據(jù)線面平行的判定，線面垂直的判定，結(jié)合已知條件，對每個選項進行逐一推斷，即可選擇.【詳解】對①：因為//面，故可得//面，又點在上運動，故點到平面的距離為定值，又△的面積為定值，故的體積為定值，①正確；對②：若點重合，因為面面，則，即；若點不與重合，過點作的垂線，記垂足為，如下所示：因為面面，故可得，又，面，故面，又面，故；綜上所述：使的點不唯一，故錯誤；對③：在△中，，，又，，則，則點到的距離為，故③正確.故答案為：①③.【點睛】關鍵點點睛：本題考查線面平行，線面垂直的判定和性質(zhì)，處理問題的關鍵是嫻熟的應用判定定理和性質(zhì)定理，屬綜合中檔題.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知空間向量，，．（1）若，求；（2）求；（3）若向量與向量，共面，求實數(shù)的值.【答案】（1）４（2）（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)向量垂直的性質(zhì)干脆求解；（2）依據(jù)向量的模長公式計算求解；（3）依據(jù)向量共面的應用干脆求解即可．【小問1詳解】解：，，即，，解得．【小問2詳解】解：，．【小問3詳解】解：∵向量與向量，共面，∴設，，解得，．17.從2名男生（記為,）和2名女生（記為,）這4人中一次性選取2名學生參與象棋競賽（每人被選到的可能性相同）.（1）請寫出該試驗的樣本空間;（2）設事務為“選到1名男生和1名女生”,求事務發(fā)生的概率;（3）若2名男生,所處年級分別為高一、高二,2名女生,所處年級分別為高一、高二,設事務為“選出的2人來自不同年級且至少有1名女生”,求事務發(fā)生的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)依據(jù)題意把全部的可能結(jié)果列出即可;(2)由(1)知在全部得可能結(jié)果中數(shù)出事務發(fā)生的結(jié)果,求出概率即可;(3)由(1)知在全部得可能結(jié)果中數(shù)出事務發(fā)生的結(jié)果,求出概率即可.【小問1詳解】解:由題知,樣本空間為;【小問2詳解】由(1)知,全部的可能結(jié)果數(shù)為6個,其中滿意事務得結(jié)果數(shù)有4個,故;【小問3詳解】由(1)知,全部的可能結(jié)果數(shù)為6個,其中滿意事務得結(jié)果數(shù)有3個,故.18.如圖，已知直三棱柱，，，，點為的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用中位線定理與線面平行的判定定理即可得證；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，再利用等體積法即可求得所求.【小問1詳解】連結(jié)交于，連接，因為在直三棱柱中，側(cè)面是平行四邊形，所以是的中點，又因為為的中點，所以，又因為平面，平面，故平面；【小問2詳解】由（1）知平面，所以直線與平面的距離等價于點到平面的距離，不妨設為，因為，，所以，，則，又因為為的中點，所以，因為在直三棱柱中，面，故，所以在中，，，在中，，所以在中，，則，故，所以由得，即，解得，所以直線與平面的距離為.19.某校舉辦“喜迎二十大，奮進新征程”學問實力測評，共有1000名學生參與，隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成4組：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）用分層隨機抽樣的方法從[80,90)，[90,100]兩個區(qū)間共抽取出5名學生，則每個區(qū)間分別應抽取多少人；（2）在（1）的條件下，該校確定在這5名學生中隨機抽取2名依次進行溝通共享，求其次個溝通共享的學生成果在區(qū)間[90,100]的概率；（3）現(xiàn)需依據(jù)學生成果制定評價標準，評定成果較高的前60%的學生為良好，請依據(jù)頻率分布直方圖估計良好的最低分數(shù)線.（精確到1）【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）先由頻率分布直方圖的頻率求法求得[80,90)，[90,100]兩個區(qū)間樣本中的學生人數(shù)，依據(jù)分層抽樣的方法即可求得結(jié)果；（2）利用列舉法及古典概型的概率公式即可求得所求概率；（3）依據(jù)題意，利用頻率分布直方圖的面積即頻率，可求得使后段區(qū)間頻率為時的區(qū)間左端點，即所求最低分數(shù)線.【小問1詳解】依題意，設區(qū)間[80,90)中應抽人，區(qū)間[90,100]中應抽人，得成果在[80,90)區(qū)間樣本中的學生人數(shù)為：；成果在[90,100]區(qū)間樣本中的學生人數(shù)為：；所以，解得，所以區(qū)間[80,90)中應抽人，區(qū)間[90,100]中應抽人.【小問2詳解】由（1）得，不妨記區(qū)間[80,90)中人為，區(qū)間[90,100]中人為，則從中抽取2名學生（留意分先后）的基本領件為共20件，其中其次個溝通共享的學生成果在區(qū)間[90,100]（記為事務）的基本領件為共8件，故，即其次個溝通共享的學生成果在區(qū)間[90,100]的概率為.【小問3詳解】由頻率分布直方圖易得，的頻率為，的頻率為，所以成果良好的最低分數(shù)線落在區(qū)間[80,90)中，不妨記為，故，解得，所以成果良好的最低分數(shù)線為.20.某網(wǎng)絡平臺在2016~2024年銷售某種產(chǎn)品的相關數(shù)據(jù)如下表所示：年份201620172024202420242024年銷售件數(shù)（單位：萬件）6691010年退貨件數(shù)（單位：件）6562688077注：年退貨率年退貨件數(shù)/年銷售件數(shù).（1）從2016~2024年中隨機抽取1年，求該年退貨率不超過千分之一的概率；（2）網(wǎng)絡平臺規(guī)定：若年退貨率不超過千分之一，則該網(wǎng)絡平臺銷售部門當年考核優(yōu)秀.現(xiàn)有甲、乙兩位平臺管理人員各從2016~2024年中隨機抽取1年進行考查，若甲、乙的選擇互不影響，求恰有一人選擇的年份該網(wǎng)絡平臺銷售部門考核優(yōu)秀的概率；（3）記該網(wǎng)絡平臺在2016~2024年，2024~2024年的年銷售件數(shù)的方差分別為，.若，請寫出的最大值和最小值.（只需寫出結(jié)論）【答案】（1）（2）（3）的最大值為11，的最小值為9.【解析】【分析】（1）分別計算出2016，2017，2024，2024，2024年退貨率，即可得出；（2）甲、乙兩位平臺管理人員的選擇相互獨立，依據(jù)獨立事務乘法公式計算；（3）分別計算出，.列出不等式，即可解出的