福建省福州市六校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州市六校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.）1.在等比數(shù)列中，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以，故選：B.2.已知函數(shù)在上可導(dǎo)，且滿足，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得到，由導(dǎo)數(shù)的定義知，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線的方程為，即，故選：D.3.已知在四面體中,分別是的中點(diǎn),設(shè),，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】連接，如圖，因?yàn)椋?，分別是的中點(diǎn)，所以.故選：D.4.過點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)的最小值是（）A.2 B. C. D.4【答案】B【解析】由已知可得圓心，半徑.因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi).所以，當(dāng)時(shí)，弦心距最大，弦長(zhǎng)最小.所以弦長(zhǎng)的最小值是.故選：B.5.已知、，若直線經(jīng)過點(diǎn)，且與線段有交點(diǎn)，則的斜率的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，如圖所示：設(shè)直線交線段于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，且，，當(dāng)點(diǎn)在從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（不包括點(diǎn)）時(shí)，直線的傾斜角逐漸增大，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)在從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，直線的傾斜角逐漸增大，此時(shí).綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.故選：D.6.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，A為C上位于第一象限的一點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)B．若，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，由，得為等邊三角形，結(jié)合對(duì)稱性及橢圓的定義，得，則B為的中點(diǎn)，從而OB為的中位線，，所以，所以，即，則，故選:A．7.如圖,ABCD－EFGH是棱長(zhǎng)為1的正方體,若P在正方體內(nèi)部且滿足，則P到AB的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?，所以，，，，，所以點(diǎn)P到AB的距離．故選：C.8.如圖，過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)（點(diǎn)位于之間）且于點(diǎn)且，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)于點(diǎn)，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)G，則，又，∴，又于點(diǎn)且，∴BE∥AD，∴，即，∴，∴等于.故選：B.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分.）9.已知正方體，棱長(zhǎng)為1，分別為棱的中點(diǎn),則（）A.直線與直線共面 B.C.直線與直線的所成角為 D.三棱錐的體積為【答案】BD【解析】如圖，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，對(duì)于A，假設(shè)直線與直線共面，因?yàn)槠矫妗纹矫妫矫嫫矫?，平面平面，所以∥，因?yàn)椤?，所以∥，矛盾，所以直線與直線不共面，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以B正確，對(duì)于C，設(shè)直線與直線的所成角為，因?yàn)?，所以，所以，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)槠矫妫?，所以D正確，故選：BD.10.已知遞減的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S6＝S8，則（）A.a7＞0 B.S13＜0 C.S15＜0 D.S7最大【答案】ACD【解析】由可得，由等差數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，所以，故A正確；又，故B錯(cuò)誤；，故C正確；由等差數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，所且，所以當(dāng)時(shí)，時(shí)，所以S7最大，故D正確,故選：ACD11.已知兩點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)，使得，則稱該直線為“點(diǎn)定差直線”，下列直線中，是“點(diǎn)定差直線”有（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因?yàn)?，故P點(diǎn)的軌跡方程為雙曲線的右支，其中，，則，所以雙曲線為（），漸近線方程為，的斜率為，故與（）有交點(diǎn)，A正確；的斜率，且與y軸交點(diǎn)為，故與（）無(wú)交點(diǎn)，B錯(cuò)誤；的斜率，且與y軸交點(diǎn)為，故與（）無(wú)交點(diǎn)，C錯(cuò)誤；的斜率，故與（）有交點(diǎn)，D正確.故選：AD12.設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的右支上，且不與的頂點(diǎn)重合，則下列命題中正確的是（）A.若，則的兩條漸近線的方程是B.若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的離心率大于3C.若，則的面積等于D.若為等軸雙曲線，且，則【答案】BC【解析】當(dāng)時(shí)，雙曲線的漸近錢的斜率A錯(cuò)誤，因?yàn)辄c(diǎn)在上，則，得，所以，B正確：因?yàn)椋?，則，即，即，得，所以，C正確.若為等軸雙曲線，則，從而.若，結(jié)合，則.在中，由余弦定理，得，D錯(cuò)誤，故選：BC.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知圓．若圓C與圓外切，則m的值為________．【答案】【解析】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑.因?yàn)閳A與圓外切，所以，所以，解得：.故答案為：14.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知，數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.【答案】【解析】因?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，即，而，則數(shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.故答案為：.15.已知為單位向量.，若，則在上投影向量為__________.【答案】【解析】，由題可得：，可得，則在上的投影向量為.故答案為：.16.數(shù)列:1，1，2，3，5，8，13，21，34，…,稱為斐波那契數(shù)列(Fibonaccisequence),該數(shù)列是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖為例子而引入,故又稱為“兔子數(shù)列”．在數(shù)學(xué)上斐波那契數(shù)列可表述為．設(shè)該數(shù)列的前n項(xiàng)和為，記，則________．（用m表示）【答案】【解析】由，得，即．所以,故答案為：．四?解答題（本題共6小題，第17題10分，第18-22題各12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17.已知數(shù)列滿足，設(shè).（1）求；（2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；（3）求的通項(xiàng)公式.解：（1）由條件可得，將代入得，，又，得到，將代入得，，所以.又，所以.（2）是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，理由如下，由條件可得，又，所以，又，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.（3）由（2）可得，所以.18.如圖，在四棱錐中，平面,四邊形是菱形，，是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）已知二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.解：（1）由平面，又平面，則，又是菱形，則，又，面所以平面，又平面，所以.（2）設(shè)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又平面，所以平面，分別以為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，因?yàn)椋瑒t，所以，由（1）知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)面的一個(gè)法向量為，由，得到，令，可得，即，因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐?，則，解得，則，設(shè)與平面所成的角為，又，所以.19.已知為銳角三角形，且．（1）若，求；（2）已知點(diǎn)在邊上，且，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)椋?，即，又，，所以，所以，即，又，，所以，即；?）因?yàn)椋?，又，可得，在中，，所以，在中，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，得，所以，所以，即的取值范圍為.20.如圖，已知是拋物線上的三個(gè)點(diǎn)，且直線分別與拋物線相切，為拋物線的焦點(diǎn).（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，用表示線段的長(zhǎng)；（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；解：（1）設(shè)，且在拋物線上，故滿足為拋物線的焦點(diǎn)，，拋物線的準(zhǔn)線為，線段的長(zhǎng)等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即.（2）設(shè)，顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線，，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得：直線與拋物線相切，，即①同理可得②由①②知，為方程的兩根，且有，，所以，解得，將代入，得，故的坐標(biāo)為.21.已知等差數(shù)列滿足：成等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式：（2）在數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)與間插入個(gè)，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和記為，求及.解：（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以有，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以；（2）由題意可知：在3和5之間插入2個(gè)3，在5和7之間插入個(gè)，在19和21之間插入個(gè)3，此時(shí)共插入3的個(gè)數(shù)為：，在21和23之間插入個(gè)3，此時(shí)共插入3的個(gè)數(shù)為：，因此，.22.已知橢圓過點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于