福建省漳州市2023-2024學年高二上學期1月期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省漳州市2023-2024學年高二上學期1月期末數(shù)學試題注意事項：1．答題前，考生務必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準考證號、姓名．考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名”與考生本人準考證號、姓名是否一致．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題（本大題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知為等比數(shù)列，，，則（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】B【解析】因為為等比數(shù)列，所以是與的等比中項，則.故選：B.2.已知圓C的標準方程為，則與圓C有相同的圓心，且經過點的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意設所求圓的方程為，代入點，得，所以所求圓的方程為．故選：B．3.某班聯(lián)歡會原定3個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個節(jié)目，現(xiàn)將這2個新節(jié)目插人節(jié)目單中，要求新節(jié)目不相鄰，那么不同的插法種數(shù)為（）A.6 B.12 C.20 D.72【答案】B【解析】這2個新節(jié)目插入節(jié)目單中且不相鄰，則在原定3個節(jié)目已排成節(jié)目單產生的4個空位中，選2個位置安排2個新節(jié)目，且兩個新節(jié)目順序可變，此時有種插法.故選：B4.已知直線過點，且直線的傾斜角為直線的傾斜角的2倍，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設直線的傾斜角為，其中，由直線，可得斜率為，即，可得，根據(jù)題意，可得直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，因為直線經過點，可得直線的方程為，即.故選：D5.已知，為雙曲線的兩個焦點，為虛軸的一個端點，，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，因為，所以，可得，即，可得，則的漸近線方程為.故選：A.6.已知點A(-1，3)，B(3，1)，點C在坐標軸上，∠ACB=90°，則滿足條件的點C的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】若點C在x軸上，設C(x，0)，由∠ACB=90°，得|AB|2=|AC|2+|BC|2，即[3-(-1)]2+(1-3)2=(x+1)2+32+(x-3)2+12，解得x=0或x=2.若點C在y軸上，設C(0，y)，同理可求得y=0或y=4，綜上，滿足條件的點C有3個.故選：C.7.已知正項等比數(shù)列的前項積為，且，則下列結論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】由已知數(shù)列各項均為正，因此乘積也為正，公比，若，則，由等比數(shù)列性質知，所以，故選項A錯誤；又，因為，所以，所以，則，故先增后減，所以，故選項B正確；若，則，又，無法判斷與1的大小，即無法判斷與1的大小，故與大小沒法判斷，故選項CD錯誤.故選：B8.已知橢圓的上頂點為，兩個焦點為，，過且垂直于的直線與交于，兩點，則的周長是（）A.6 B. C. D.8【答案】D【解析】設直線與相交于，由題意，此時為等邊三角形，所以為線段的中點，進而可得為線段的垂直平分線，所以.因此，的周長等于.故的周長為.故選：D二、多項選擇題：本大題共4小題，在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求.9.已知直線，，則（）A.過定點 B.當時，C.當時， D.當時，的斜率不存在【答案】ABD【解析】對于A，直線的方程化為，令，解得，所以直線過定點，正確；對于B，當時，，，所以，正確；對于C，當時，其斜率為2，其斜率為0，故兩直線相交，錯誤；對于D，當時，，直線的傾斜角為，故的斜率不存在，正確.故選：ABD.10.2023年海峽兩岸花博會的花卉展區(qū)設置在福建漳州，某花卉種植園有2種蘭花，2種三角梅共4種精品花卉，其中“綠水晶”是培育的蘭花新品種，4種精品花卉將去，展館參展，每種只能去一個展館，每個展館至少有1種花卉參展，下列選項正確的是（）A.若展館需要3種花卉，有4種安排方法B.共有14種安排方法C若“綠水晶”去展館，有8種安排方法D.若2種三角梅不能去往同一個展館，有4種安排方法【答案】AB【解析】A選項，若展館需要3種花卉，則有種安排方法，正確.B選項，4種花卉按去，展館參展有種方法；按去，展館參展有種方法；因此不同的安排方法種數(shù)是，正確.C選項，若“綠水晶”去展館，若展館有種花卉，則安排方法數(shù)有種方法，若展館有種花卉，則安排方法數(shù)有種方法，若展館有種花卉，則安排方法數(shù)有種方法，所以共有種方法，錯誤.D選項，由選項B知，4種精品花卉將去，展館參展共有14種安排方法，若2種三角梅去往同一個展館，有種安排方法，則2種三角梅不能去往同一個展館，有種安排方法，錯誤.故選：AB11.已知拋物線的焦點為，過原點的動直線交拋物線于另一點，交拋物線的準線于點，下列說法正確的是（）A.若，則為線段中點 B.若，則C.存在直線，使得 D.面積的最小值為8【答案】ABD【解析】A選項，由題意得，準線方程為，設直線方程為，，，由拋物線定義得，解得，故，不妨設，故直線方程為，則，，故，所以線段中點，A正確；B選項，設，則，又，解得，故，B正確；C選項，聯(lián)立與得，解得，故，則，中，令得，故，則，故不存在直線，使得，C錯誤；D選項，由C選項可知，，當且僅當，即時，等號成立，故面積最小值為8，D正確.故選：ABD12.已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，則下列結論正確的是（）A.可能為1 B.數(shù)列是等比數(shù)列C. D.若，的最大值為64【答案】BC【解析】對于A，當時，，又，所以，故A錯誤；對于B，由，得，即，由選項A知，故數(shù)列是以為首項，-1為公比的等比數(shù)列，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，為奇數(shù)時，為偶數(shù)時，，因為，所以的最大值不可能為64，故D錯誤；故選：BC三、填空題：本大題共4小題.13.圓在點處的切線方程為______.【答案】【解析】由題意可知：圓的圓心為，因為點在圓上，故切線必垂直于切點與圓心連線，而切點與圓心連線的斜率為，故切線的斜率為，故切線方程為：，即.故答案為：14.已知，則______.【答案】【解析】令得，所以.故答案為：15.數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式___.【答案】【解析】，該通式對也適用，所以答案為：.16.已知雙曲線的左焦點為，以為圓心、為半徑作圓，若圓上存在點，雙曲線的右支上存在點使得，則雙曲線的離心率的取值范圍為________．【答案】【解析】如圖，若圓上存在點，雙曲線的右支上存在點使得，當與圓相切時，，此時，則，則，因為，所以，解得：所以雙曲線離心率的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知的展開式中，所有二項式系數(shù)的和為32．（1）求的值；（2）若展開式中的系數(shù)為，求的值．解：（1）∵所有二項式系數(shù)的和為32，∴，∴．（2）二項式展開式的通項公式為，令，∴展開式中的系數(shù)為，∴解得．18.已知等差數(shù)列的公差為2，且，，成等比數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和．解：（1）∵，，成等比數(shù)列，且公差∴∴，解得∴（2）∵記的前項和為∴.19.已知圓的圓心在軸上，且經過，兩點，過點的直線與圓相交于，兩點.（1）求圓的方程；（2）當時，求直線的方程.解：（1）因為圓的圓心在軸上，所以設圓的方程為，因為圓經過，兩點，所以，解得，所以圓的方程為.（2）記圓心到直線距離為，因為，解得，當直線的斜率不存在時，，此時圓心到直線的距離，符合；當直線的斜率存在時，，即，由，解得，所以直線，即.綜上，直線為或.20.已知圓，動圓與圓內切，且與定直線相切，設動圓圓心的軌跡為．（1）求的方程；（2）過點的直線與交于、兩點，若（為坐標原點）的面積為，求直線的方程．解：（1）如圖：設動點，顯然動圓的半徑要大于圓的半徑，兩圓內切，所以圓心距離，又因為動圓與直線相切，所以，所以，整理得，∴的方程為；（2）易知直線斜率不為0，故可設方程為，，，聯(lián)立得：，，，，則原點到直線的距離，所以解得，所以直線的方程為21.已知數(shù)列的前項和為，滿足．（1）求的通項公式；（2）刪去數(shù)列的第項（其中），將剩余的項按從小到大的順序排成新數(shù)列，設的前項和為，請寫出的前6項，并求出和．解：（1）當時，有，解得；當時，有，聯(lián)立條件，得，即，即；所以是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此，．（2）刪去數(shù)列的第項（其中），將剩余的項按從小到大排列依次為：，，，，，，…數(shù)列前6項為2，，，，．．注意到，，，…構成以為首項，以8為公比的等比數(shù)列，，，，…構成以為首項，以8為公比的等比數(shù)列，．22.已知為坐標原點，，的坐標分別為，，動點滿足直線與的斜率之積為定值，設動點的軌跡為．（1）求的方程；（2）設直線與曲