廣東省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一、二冊(cè)，選擇性必修第一冊(cè)第一章至第二章.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直線的斜率為，傾斜角為.故選：C.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.3.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以故選：C.4.已知直線與.若，則（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】由于，所以，此時(shí)兩直線方程分別為，不重合，符合題意，所以.故選：B.5.已知向量，，.若，，共面，則（）A.11 B. C.9 D.3【答案】A【解析】依題意，，，共面，所以存在，使得，即，所以，解得.故選：A.6.直線截圓所得的弦長為（）A. B.1 C.4 D.2【答案】D【解析】根據(jù)題意可得圓心，圓的半徑為3，點(diǎn)到直線的距離，故所求弦長為.故選：D.7.芻甍是中國古代算數(shù)中的一種幾何體，是底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w.現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示，底面BCDE為矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，則異面直線AE與BD所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意得，，所以，又，，所以設(shè)異面直線AE與BD所成的角為，則故選：A8.已知，，若直線上存在點(diǎn)P，使得，則t的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)在以為圓心，4為半徑的圓上.點(diǎn)在直線上，所以直線與圓有公共點(diǎn)，則，解得故選:B.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線過定點(diǎn)則下列結(jié)論正確的是（）A.P的坐標(biāo)為B.當(dāng)時(shí)，l在y軸上的截距為C.若l與直線垂直，則D.點(diǎn)P在圓的外部【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由題意得直線，即，由，解得，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線l為，令x=0，，所以在y軸上的截距為，故B正確；對(duì)于C，由，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以點(diǎn)P在圓的外部，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，則（）A. B.C.在上單調(diào)遞增 D.在上恰有10個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】由圖可知，，，即，又，則，故A正確；此時(shí)，又，且，則，故B正確；此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上不單調(diào)，所以在上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上有10個(gè)零點(diǎn)，所以在上恰有10個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.11.若平面，平面，平面，則稱點(diǎn)F為點(diǎn)E在平面內(nèi)的正投影，記為如圖，在直四棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)，，記平面為，平面ABCD為，，（）A.若，則B.存在點(diǎn)H，使得平面C.線段長度的最小值是D.存在點(diǎn)H，使得【答案】ABC【解析】對(duì)于A：因?yàn)闉橹彼睦庵?，，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，連接PQ，則，，，，，故，，所以，即Q，B，N，P四點(diǎn)共面，若，則，解得，A正確；對(duì)于B：過點(diǎn)H作，交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作AB的垂線，垂足即，過點(diǎn)A作的垂線，垂足即，連接，，由題意可得，則，，，，故，，，，易得是平面的一個(gè)法向量，若平面，則，即，解得，符合題意，所以存在點(diǎn)H，使得平面，B正確，對(duì)于C：，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，C正確.對(duì)于D：若，則，得，無解，所以不存在點(diǎn)H，使得，D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓，則圓的半徑為_____________.【答案】4【解析】根據(jù)題意圓，可得圓的半徑為.故答案為：413.某校高三年級(jí)男生共600人，女生共400人，現(xiàn)按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從高三年級(jí)所有學(xué)生中抽取5人組成某活動(dòng)志愿者小隊(duì)，則被抽取的女生人數(shù)為_____________.若從被抽取的這5人中抽取2人作為志愿者小隊(duì)隊(duì)長，則恰有1個(gè)男隊(duì)長的概率為_____________.【答案】①2②【解析】根據(jù)題意易得被抽取的這5人中女生的人數(shù)為，則男生的人數(shù)為3，女生人數(shù)為2，設(shè)被抽取的這5人中男生分別為A，B，C，女生分別為a，b，則從被抽取的這5人中抽取2人的所有情況有，，共10種情況，其中恰有1個(gè)男隊(duì)長的情況有6種，故所求概率為.故答案為：2；.14.已知球是棱長為的正四面體的內(nèi)切球，是球的一條直徑，為該正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為______.【答案】【解析】如下圖所示：正四面體的棱長為，設(shè)其內(nèi)切球球心為點(diǎn)，連接并延長交底面于點(diǎn)，則為正的中心，且平面，連接并延長交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，且，，，因?yàn)槠矫?，平面，則，可得，的面積為，正四面體的體積為，設(shè)正四面體的內(nèi)切球的半徑為，則，即，解得，可得，因?yàn)?，，可得，?dāng)點(diǎn)位于正四面體的頂點(diǎn)時(shí)，取最大值，所以.故答案為：.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為且.（1）求的大小;（2）求的面積.解：（1）由及正弦定理可得，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?（2）由題意可得的面積為.16.已知在中，.（1）求直線AB的方程;（2）求外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（3）過點(diǎn)B作的外接圓的切線，求該切線方程.解：（1）由已知可得，所以直線AB的方程為，即.（2）設(shè)的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則解得故的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（3）由（2）得外接圓的圓心為.因?yàn)椋郧芯€的斜率為，故所求切線方程為，即.17.如圖，四邊形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且，，，M，N分別是EG，BC的中點(diǎn).（1）證明：平面ABCD.（2）若，求點(diǎn)N到平面AMF的距離.解：（1）因?yàn)?，，都垂直于平面，則.取的中點(diǎn)，連接，，則，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，可得，且平面，平面，所以平面.（2）連接.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A2,0,0，，，，可得，，.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，取，得，，可得.故點(diǎn)到平面的距離.18.如圖，在四棱臺(tái)中，底面ABCD是正方形，，平面（1）證明：平面（2）求直線與平面所成角的正弦值.（3）棱BC上是否存在一點(diǎn)P，使得二面角余弦值為若存在，求線段BP的長;若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以又因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以因?yàn)?，且，平面，所以平面?）因?yàn)槠矫?，平面，所以，，又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，兩兩垂直，以AB，AD，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，故設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為（3）若存在點(diǎn)P滿足題意，則可設(shè)點(diǎn)，其中，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故易得平面的一個(gè)法向量為，所以，解得或舍去)，故棱BC上存在一點(diǎn)P，當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為19.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯，與歐幾里得、阿基米德并稱古希臘三大數(shù)學(xué)家.他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)光輝的科學(xué)成果，其中一發(fā)現(xiàn)可表述為“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.如平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值2，則點(diǎn)的軌跡就是阿氏圓，記為.（1）求的方程；（2）若與軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，不在軸上的點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線HE，HF與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，