廣東省茂名市電白區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省茂名市電白區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，焦點(diǎn)分別為、，則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知，，所以，所以雙曲線的方程為.故選：D.2.如圖，正方體的棱長為1，設(shè)，，，則（）A.1 B. C.0 D.2【答案】A【解析】由題意可知：，所以.故選：A.3.若點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓C的位置關(guān)系為（）A.相交 B.相切 C.相離 D.不能確定【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，所以，設(shè)圓心到直線的距離為,則，圓的半徑r=1,因?yàn)?，所以直線與圓的位置關(guān)系為相離.故選：.4.在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中日影最長的一天被定為冬至.從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水，清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（）A.25.5尺 B.34.5尺 C.37.5尺 D.96尺【答案】A【解析】設(shè)從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列{}，如冬至日的日影長為尺，設(shè)公差為尺.由題可知，所以，，，，故選：A．5.過拋物線的焦點(diǎn)作直線l，交拋物線于A、B兩點(diǎn).若線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】由題意，所以.故選：C.6.如圖，正三棱柱的棱長都是1，M是的中點(diǎn)，（），且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，，，，，設(shè)，由，得，所以，，，所有，，因?yàn)?，，所以，得故選：C7.已知數(shù)列滿足，，且（，且），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，則，且，又因?yàn)?，，即，可知?shù)列是以首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以.故選：A.8.定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值.在棱長為1的正方體中，直線AC與之間的距離是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解法1：設(shè)是上任意一點(diǎn)，過作，垂足為，設(shè)，，則，，由題意可知：，因?yàn)?，則，可得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以直線與之間距離是；解法2：以DA，DC，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0，，，，可得，，設(shè)，且，，則，取，則，，可得，則在上的投影就是兩異面直線間的距離.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.如果，，那么直線經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】ACD【解析】因?yàn)?，故，故直線的斜截式方程為：，因?yàn)?，，故，，故直線經(jīng)過第一象限、第三象限、第四象限．故選：ACD．10.已知角，則方程可能表示下列哪些曲線（）A.橢圓 B.雙曲線 C.圓 D.兩條直線【答案】ABCD【解析】當(dāng)時，則，即，方程可化為，表示雙曲線，故B正確；當(dāng)時，則，方程可化為，表示兩條直線，故D正確；當(dāng)時，則，即方程可化為，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故A正確；當(dāng)時，則，方程可化為，表示圓，故C正確.故選：ABCD.11.一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)x軸反射后，與圓C：相切，在下列方程中，不是反射光線所在直線方程的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】反射光線所在直線經(jīng)過點(diǎn)A關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，圓C的圓心，半徑為1，顯然反射光線斜率存在，設(shè)反射光線所在直線方程為，因?yàn)榉瓷涔饩€與圓C相切，所以，解得，，代入方程得，，即反射光線所在直線方程，.故選：AD.12.數(shù)列滿足：，，，下列說法正確的是（）A.數(shù)列為等比數(shù)列 B.C.數(shù)列是遞減數(shù)列 D.的前項(xiàng)和【答案】AB【解析】數(shù)列滿足：，，，，，，數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，故正確；，，故正確；數(shù)列是遞增數(shù)列，故錯誤；數(shù)列的前項(xiàng)和為：，的前項(xiàng)和，故錯誤．故選：AB．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知圓與圓，則兩圓心之間的距離為________.【答案】5【解析】由題意可知：兩圓心坐標(biāo)分別為，，所以兩圓心之間的距離為.故答案：5.14.是雙曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別是雙曲線左右焦點(diǎn)，若，則______.【答案】9【解析】是雙曲線上一點(diǎn)，所以，所以，由雙曲線定義可知，所以或者，又，所以，故答案為：9.15.已知數(shù)列滿足：，則________.【答案】【解析】設(shè)，bn的前項(xiàng)和為，則，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，滿足題意，所以，.故答案為：.16.已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，則的離心率為______.【答案】【解析】令橢圓：的半焦距為c，設(shè)，則，由點(diǎn)在軸上，，得，而，，因此，即，解得，在中，，在中，由余弦定理得，即，整理得，，所以的離心率為.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由題意可知解得所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）數(shù)列的前項(xiàng)和.18.已知圓與相交于A、B兩點(diǎn)，（1）求的長；（2）求圓心在直線上，且經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的圓的方程.解：（1）兩圓方程相減得即，圓的圓心為，半徑為2，圓心到直線的距離為，由垂徑定理得.（2）由得或，不妨設(shè)，，的垂直平分線為，由得圓心坐標(biāo)為，半徑長為，所以圓的方程為.19.已知點(diǎn)和圓Q：，過點(diǎn)P作圓Q的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，（1）求切線的長；（2）求直線的方程.解：（1）圓的圓心為，半徑，，因?yàn)楣仕?，的長都是.（2）因?yàn)?，，所以A、B都在以為直徑的圓上，圓心為的中點(diǎn)，半徑長為，所以圓的方程為，即，由得，故直線的方程為.20.如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，點(diǎn)在棱上.（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)時，求二面角的余弦值.解：（1）因?yàn)榈酌?，平面，所?四邊形是直角梯形，，，因?yàn)?，所?所以，所以.又因?yàn)?，平面，所以平?又平面，所以平面平面.（2）解法一：以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，即，所?所以.設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，得.又因?yàn)槠矫?，所以平面的一個法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則.所以，二面角的余弦值為.解法二：取的中點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，即，所?所以.設(shè)平面的一個法向量為，則.取，則，則.又因?yàn)槠矫?，所以平面的一個法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則.所以二面角的余弦值為.21.已知某條河上有拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂5米時，水面寬8米，一條木船寬4米，木船露出水面上的部分高為0.75米.（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拱橋所在拋物線的方程；（2）當(dāng)水面上漲0.5米時，木船能否通行？（3）當(dāng)水面上漲多少米時，木船開始不能通行？解：（1）以拱頂為原點(diǎn)，拱橋的對稱軸為軸建立直角坐標(biāo)系.如圖所示設(shè)拋物線的方程為，則點(diǎn)在拋物線上，代入方程得，所以拋物線的方程為.（2）當(dāng)水面上漲0.5米時，木船與拱頂?shù)木嚯x為3.75米，設(shè)，代入方程得，故，則，所以木船能通行；（3）假設(shè)當(dāng)水面上漲米時，木船開始不能通行，此時木船與拱橋接觸，且與拱頂?shù)木嚯x為，把代入方程，得，故，由，得.所以當(dāng)水面上漲3米時，木船開始不能通行.22.已知橢圓：（）的上頂點(diǎn)為A，離心率為.拋物線：截x軸所得的線段長為的長半軸長.（1）求橢圓的方程；（2）過原點(diǎn)的直線l與相交于B，C兩點(diǎn)，直線分別與相交于P，Q兩點(diǎn).①證明：直線與直線的斜率之積為定值；②記和的面積分別是