廣西壯族自治區(qū)玉林市2023-2024學年高二上學期1月期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣西壯族自治區(qū)玉林市2023-2024學年高二上學期1月期末數(shù)學試題注意事項：1.答題前，務(wù)必將自己的姓名?班級?考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標號.3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.已知等比數(shù)列中，，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】等比數(shù)列中，，解得.故選：A.2.已知曲線表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為曲線表示焦點在軸上的橢圓，則，即.故選：D.3.如圖，在四面體中，是的中點．設(shè)，，，用，，表示，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由是的中點，可知，所以，故選：D.4.已知點，則滿足下列關(guān)系式的動點的軌跡是雙曲線的下支的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A中，由，根據(jù)雙曲線的定義，可得點的軌跡是完整的雙曲線，所以A不正確；對于B中，由，根據(jù)雙曲線的定義，可得的點的軌跡是雙曲線的下支，所以B正確；對于C中，由，根據(jù)雙曲線的定義，可得的點的軌跡是雙曲線的上支，所以C不正確；對于D中，由，不存在滿足的點，所以D不正確.故選：B.5.若直線在軸?軸上的截距相等，且直線將圓的周長平分，則直線的方程為（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】由已知圓，直線將圓平分，則直線經(jīng)過圓心，直線方程為，或，將點代入上式，解得直線的方程為或.故選：C.6.已知拋物線焦點為，準線與軸的交點為，點在拋物線上，，則的面積為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】拋物線的焦點，準線，過點作，垂足為，由，得，于是，設(shè)，則，解得，所以的面積.故選：B7.南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳析九章算法》中有如下圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”.其最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，…，則第三十五層球的個數(shù)為（）A.561 B.595 C.630 D.666【答案】C【解析】由題意，設(shè)各層球的個數(shù)構(gòu)成數(shù)列，可得，所以，則.故選：C.8.已知，是雙曲線：的左、右焦點，橢圓與雙曲線的焦點相同，與在第一象限的交點為P，若的中點在雙曲線的漸近線上，且，則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意:設(shè)，設(shè)橢圓長半軸長為，短半軸長為，雙曲線實半軸長為，虛半軸長為，則由橢圓及雙曲線定義可得：，又因為，且分別為，的中點，所以,所以到漸近線的距離為，所以，，結(jié)合，可得：①因為，所以即，整理得：，將①代入，，所以故選：C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知空間向量，則下列說法不正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由，得，故A錯誤；，故B錯誤；又，故C正確；，所以與不垂直，故D錯誤.故選：ABD.10.已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點，則下列結(jié)論正確的是（）A.拋物線的焦點坐標是B.焦點到準線的距離是2C.若點的坐標為，則的最小值為2D.若為線段中點，則的坐標可以是【答案】BD【解析】由題意，故A錯誤；焦點到準線的距離是，B正確；對于，過點作垂直于準線，垂足為，則，當且僅當三點共線時取等號，所以的最小值為3，故C錯誤；對于D，假設(shè)的坐標是，設(shè)，則，由，兩式相減得，即，所以，即，所以直線的方程為，即，將代入得，所以直線過點，符合題意，所以的坐標可以是，故D正確.故選：BD.11.數(shù)列的前項和為，已知，則下列說法正確的是（）A.是遞減數(shù)列 B.C.當時， D.當或時，取得最大值【答案】ACD【解析】由數(shù)列的前項和為，當時，，又由，適合上式，所以數(shù)列的通項公式為，對于A中，由，即，所以數(shù)是遞減數(shù)列，所以A正確；對于B中，由，所以B錯誤；對于C中，當時，，所以C正確；對于D中，因為的對稱軸為，開口向下，又因為是正整數(shù)，且或時，取得最大值，所以D正確.故選：ACD.12.過點作兩條相互垂直的射線與圓分別交于兩點，則弦長可能的取值是（）A. B.4 C.5 D.6【答案】ABC【解析】如圖，圓的圓心，半徑為3，圓的直徑為6，過圓心的直線的端點與，不存在的情況，否則在圓上，所以排除選項D.當軸時，，故B正確；當與正方向成角時，，，解得，此時，故A正確；同理當與正方向成角時，可得，故C正確；故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，包小題5分，共20分13.直線與直線平行，則______【答案】1【解析】因為，所以，解得或，當時，直線與直線重合，不合題意；當時，直線與直線平行，符合題意，綜上所述：.故答案為：114.數(shù)列的前項和為，若，則__________.【答案】【解析】運用裂項相消法求解即可.因為，所以.故答案為：.15.已知直線經(jīng)過橢圓的左焦點，且與橢圓相交于，兩點，為橢圓的右焦點，的周長為8，則此橢圓的短軸長為__________；弦長__________.【答案】①②【解析】直線經(jīng)過橢圓的左焦點，則，的周長為，解得，故，橢圓的短軸長為，由，得，故答案為：；.16.在中，為邊上的動點，沿將折起形成直二面角，當最短時，__________.【答案】【解析】作于點，連接，設(shè)，則，所以，在中，由余弦定理可得，，因為為直二面角，所以面，所以，則，當最短時，，所以，即此時為的角平分線，由角平分線定理可得，.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程和演算步驟.17.已知等差數(shù)列的前n項和為，若，且________．在①，②這兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并解答．（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答給分）（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求的前n項和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為d，若選擇條件①，由題可得，解得，若選擇條件②，由題可得，解得，.（2）由(1)知，選擇兩個條件中的任何一個，都有，則，18.如圖，在正方體中，為平面的中心.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.解：（1）解法一：以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的坐標系.，，設(shè)面的法向量為，，令，則，且平面，平面；解法二：如圖，連接，且，平行四邊形中，平面平面，同理，，則平面且，平面平面，又為的中點，平面平面；解法三：連接交交于點，連接，為平面的中心是的中點，四邊形是平行四邊形，，是的中點，是的中點，，，四邊形是平行四邊形，，平面平面平面.（2）解法一：設(shè)到面的距離為，.解法二：設(shè)到面的距離為，，由，得，解得.19.已知雙曲線經(jīng)過點，一條浙近線的傾斜角為.（1）求雙曲線的方程；（2）若點，過雙曲線的右焦點的直線交雙曲線于.以為直徑的圓是否恒過點，請說明理由.解：（1）因為雙曲線的一條漸近線傾斜角為，所以，故，故，所以雙曲線；（2）雙曲線的右焦點為，當直線斜率不為零時，設(shè)直線的方程為：，設(shè),，由，得恒成立，，，即以直徑的圓恒過點.當直線斜率為零時，此時以為直徑的圓為過點，綜上，以直徑的圓恒過點.20.如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，，，點在上，且.（1）求證，平面平面；（2）若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.解：（1）因為平面，平面，可得，又因為，且，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）因為，且，所以，又因為，所以，因為，所以為等腰直角三角形，可得，取中點，連接，可得，所以，由（1）可得，以為坐標原點，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，由（1）可得，平面，可得為直線與平面所成角，即，所以，又由，可得，所以，可得，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，因為軸平面，所以平面的法向量，設(shè)為二面角的平面角，且為銳角，則，二面角的余弦值為.21.如圖，四邊形是一塊長方形綠地，是一條直路，交于點，交于點，且.現(xiàn)在該綠地上建一個標志性建筑物，使建筑物的中心到三個點的距離相等.以點為坐標原點，直線分別為，軸建立如圖所示的直角坐標系.（1）求出建筑物的中心的坐標；（2）由建筑物的中心到直路要開通一條路，已知路的造價為150萬元，求開通的這條路的最低造價.（附：參考數(shù)據(jù).）解：（1）解法一：由題可知，由題可知經(jīng)過點的圓的圓心即為所建建筑物的中心，設(shè)圓的方程為，則，解得，圓的方程為，即，建筑物的中心的坐標為.解法二：由題可知，由題可知經(jīng)過點的圓的圓心即為所建建筑物的中心，線段中點為，且線段的垂直平分線為，線段中點為，且，線段的垂直平分線為，聯(lián)立，得，所以建筑物的中心的坐標為.（2）因為為建筑物的中心坐標，設(shè)線段的中點為，由垂徑定理得的長度為點到的最小距離，，圓的半徑為，點到的距離為，開通的這條路的最低造價為（萬元）.22.定義：若無窮數(shù)列滿足是公比為的等比數(shù)列，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.設(shè)數(shù)列中，.（1）若，且