期中必刷壓軸60題（原卷版）-人教版2024七年級數(shù)學(xué)題型練習(xí)

期中真題必刷壓軸60題(15個考點專練)

一.正數(shù)和負(fù)數(shù)(共1小題)

1.(2023秋?祁陽縣校級期中)如圖，一只甲蟲在5x5的方格(每小格邊長為1)上沿著網(wǎng)格線運動，它從N

處出發(fā)去看望3、C、。處的其它甲蟲，規(guī)定：向上向右走為正，向下向左走為負(fù).例如從N到8記為：

/->2(+1,+4),從。到C記為：DfC(-l,+2),其中第一個數(shù)表示左右方向，第二個數(shù)表示上下方向.

(1)圖中4fC(,),BTC(,),

Dr(-4,-2)；

(2)若這只甲蟲從/處去尸處的行走路線依次為(+2,+2),(+2,-1),(-2,+3),(-1,-2),請在圖中標(biāo)出P

的位置；

(3)若這只甲蟲的行走路線為Nf請計算該甲蟲走過的路程.

二.有理數(shù)(共1小題)

2.(2023秋?藍(lán)山縣期中)在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運用分

類討論的數(shù)學(xué)思想解決問題的過程，請仔細(xì)閱讀，并解答問題.

【提出問題】三個有理數(shù)a,b,c滿足Mc>0,求回+回+回的值.

abc

【解決問題】

解：由題意，得a,b,C三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負(fù)數(shù).

①a,b,c都是正數(shù)，即a>0,b>0,c>0時，則回+回+回=巴+2+￡=1+1+1=3；

abcabc

②當(dāng)a,b,。中有一個為正數(shù)，另兩個為負(fù)數(shù)時，不妨設(shè)?！?,6<0,c<0,則

|a||^||c|a-b-c/八.

--L+J-L+—=—+—+—=1+(-1)+(-l)=-l.

abcabc

綜上所述，回+回+回值為3或-1.

abc

【探究】請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：

（1）三個有理數(shù)a,b,c滿足abc<0,求回+回+回的值；

abc

（2）若“，b,c為三個不為0的有理數(shù)，且2+2+工=-1,求區(qū)的值.

|a||b||c||abc\

三.數(shù)軸（共19小題）

3.（2023秋?洛江區(qū)期中）我們知道，在數(shù)軸上，點M,N分別表示數(shù)"則點N之間的距離為

,2

\m-n\.已知點N,B,C,。在數(shù)軸上分別表本數(shù)a,b,c,d,且|a-c|=|6-c|=111-a|=l（aH6）,

則線段BD的長度為一.

4.（2023秋?鐘祥市期中）有理數(shù)a、6在數(shù)軸上的位置如圖所示,化簡：\a+2\-\2a\-\b-\\+\a+b^.

IIIIII?

a-20b1

5.（2023秋?鯉城區(qū)校級期中）電影《哈利?波特》中，小哈利波特穿越墻進(jìn)入“93站臺”的鏡頭（如示

4

意圖的。站臺），構(gòu)思奇妙，能給觀眾留下深刻的印象.若/、8站臺分別位于-1,1處，AP=2PB,則

尸站臺用類似電影的方法可稱為“一站臺”.

APB0

--------------------1------------1—_?->----------------------1-------------1-----------1->

-10123910

6.（2023秋?武陟縣期中）如圖，已知數(shù)軸上點/表示的數(shù)為6,8是數(shù)軸上在/左側(cè)的一點，且/,B兩

點間的距離為10.動點尸從點N出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設(shè)運動時間為

f?>0）秒.

（1）數(shù)軸上點8表示的數(shù)是—，點尸表示的數(shù)是—（用含/的代數(shù)式表示）；

（2）動點0從點2出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點尸、。同時出發(fā).求：

①當(dāng)點尸運動多少秒時，點尸與點0相遇？

②當(dāng)點尸運動多少秒時，點尸與點0間的距離為8個單位長度？

■<——QBO<---PA

A

06

7.（2023秋?南海區(qū)期中）將一條數(shù)軸在原點。和點8處各折一下，得到如圖所示的“折線數(shù)軸”，圖中點N

表示-10,點8表示10,點C表示18.我們稱點/和點C在數(shù)軸上的“友好距離”為28個單位長度.動

點尸從點/出發(fā)，以2單位長度/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”向其正方向運動.當(dāng)運動到點。與點8之間時

速度變?yōu)樵瓉淼囊话?經(jīng)過點2后立刻恢復(fù)原速；同時，動點0從點C出發(fā)，以1單位長度/秒的速度沿著

“折線數(shù)軸”向其負(fù)方向運動，當(dāng)運動到點5與點。之間時速度變?yōu)樵瓉淼膬杀叮?jīng)過。后也立刻恢復(fù)原

速.設(shè)運動的時間為1秒.

（1）動點尸從點/運動至點C需要秒，動點。從點C運動至點/需要秒；

（2）P,。兩點相遇時，求出相遇點"在“折線數(shù)軸”上所對應(yīng)的數(shù)；

（3）是否存在f值，使得點尸和點0在“折線數(shù)軸”上的“友好距離”等于點/和點3在“折線數(shù)軸”上

的“友好距離”？若存在，求出f的值；若不存在，請說明理由.

8.（2023秋?柘城縣期中）如圖，相距5協(xié)z的N、8兩地間有一條筆直的馬路，C地位于/、8兩地之間

且距/地2萬w,小明同學(xué)騎自行車從工地出發(fā)沿馬路以每小時5碗的速度向2地勻速運動，當(dāng)?shù)竭_(dá)3地后

立即以原來的速度返回，到達(dá)N地時停止運動，設(shè)運動時間為I（小時），小明的位置為點尸.

（1）以點C為坐標(biāo)原點，以從N到8為正方向，用1個單位長度表示Km畫數(shù)軸，指出點/所表示的有理

數(shù)；

（2）在（1）的數(shù)軸上，求f=0.5時點尸表示的有理數(shù)；

（3）當(dāng)小明距離C地1加時，直接寫出所有滿足條件的/值.

9.（2023秋?花都區(qū)校級期中）如圖：在數(shù)軸上/點表示數(shù)-3,2點表示數(shù)1,C點表示數(shù)9.

（1）若將數(shù)軸折疊，使得N點與C點重合，則點8與數(shù)—表示的點重合；

（2）若點/、點3和點C分別以每秒2個單位、1個單位長度和4個單位長度的速度在數(shù)軸上同時向左運

動.

①若，秒鐘過后，A,B,C三點中恰有一點為另外兩點的中點，求/值；

②當(dāng)點C在8點右側(cè)時，是否存在常數(shù)加，使〃山C-248的值為定值，若存在，求機(jī)的值，若不存在，請

說明理由.

-----A?-------?B--------------?C----------------?

10.（2023秋?西城區(qū)校級期中）定義：若線段N8的中點在線段上，則稱點N和8與線段關(guān)

EDCAMN

-------x----?--------*------1------i-----（-----1------i-------1——>

聯(lián).一50-40-30-20-100102030

已知：A、M、N在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為-10,0,20

（1）以下數(shù)對應(yīng)的點和點/與線段"N關(guān)聯(lián)的有—（填序號）.

①-30

②15

③40

（2）若點N和8與線段"N關(guān)聯(lián)，設(shè)點8對應(yīng)的數(shù)為x,則|x-20|+|x-30|的最大值為,最小值

為—.

(3)如圖，數(shù)軸上三點C、D、E在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為-30,-40,-50,現(xiàn)將C、D、￡同時沿數(shù)

軸向右移動，速度分別為每秒3個單位、3個單位、1個單位，移動時間為/秒.若線段上至少有一個點

和點E與線段關(guān)聯(lián)，貝卜的取值范圍是—.

11.(2023秋?濱海新區(qū)校級期中)如圖所示，在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點/、B、C,其中點工

與點3的距離是2,記作/8=2,以下類同，BC=3,設(shè)點/,B,C所對應(yīng)數(shù)的和是p.

(1)若以3為原點，則點N所對應(yīng)的數(shù)為—，點C所對應(yīng)的數(shù)為—，p的值為—；若以C為原

點，則p的值為;

(2)若原點。在圖中數(shù)軸上點C的右邊，且CO=28,求p的值；在此基礎(chǔ)上，將原點。向右移動”(q>0)

個單位，則p的值為—；(用含°的式子表示)

(3)若原點。在點3與C之間，且CO=2,則°=；若原點。從點C出發(fā)沿著數(shù)軸向左運動，當(dāng)p=5.5

時，求CO的值.

12.(2023秋?臺州期中)已知點工,2在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,b,A、8兩點之間的蹄離可以表示

為|a-6],比如式子|x-3|表示有理數(shù)x的點與表示數(shù)3的點之間的距離.請回答以下問題：

(1)若a表示一個有理數(shù)，|a-l|=3,貝!Ja=；

(2)若a表示一個有理數(shù)，|a+l|+|a-2|的最小值=；

(3)在一工廠流水線上依次排列了〃個工作臺(工作臺在同一直線上)，第1個工作臺安排了2名工人，其

他每個工作臺安排了1名工人.現(xiàn)在要在流水線上設(shè)置一個工具臺，以方便這("+1)名工人從工作臺到工具

臺拿取工具.為了讓工人們拿取工具所走路程之和最短，請直接說出工具臺設(shè)置在什么位置.

13.（2023秋?鄲城縣期中）如圖，半徑為1個單位的圓片上有一點。與數(shù)軸上的原點重合（提示：圓的周

長C=2萬r,本題中萬的取值為3.14）

（1）把圓片沿數(shù)軸向右滾動1周，點0到達(dá)數(shù)軸上點N的位置，點N表示的數(shù)是—；

（2）圓片在數(shù)軸上向右滾動的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動的周數(shù)記為負(fù)數(shù)，依次運動情況記錄

如下：+2,-1,-5,+4,+3,-2

①第幾次滾動后，。點距離原點最近？第幾次滾動后，0點距離原點最遠(yuǎn)？

②當(dāng)圓片結(jié)束運動時，0點運動的路程共有多少？此時點0所表示的數(shù)是多少？

111A

-5-4-3-22345

14.（2023秋?市北區(qū)期中）數(shù)軸是一種非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起對應(yīng)關(guān)系，揭示

了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系.小亮在草稿紙上畫了一條數(shù)軸進(jìn)行操作探究：

操作一：

（1）折疊紙面，使1表示的點與-1表示的點重合，則-2表示的點與—表示的點重合；

操作二：

（2）折疊紙面，使1表示的點與-3表示的點重合，則3表示的點與表示的點重合；假如工、5兩點

經(jīng)過折疊后重合，且數(shù)軸上/、8兩點之間距離為5（4在8的左側(cè)），則/、8兩點表示的數(shù)分別是一,

B:____

操作三:

（3）在數(shù)軸上剪下從-6到2,長度是8個單位的一條線段，并把這條線段沿某點折疊，然后在重疊部分某

處剪一刀（如圖），展開后得到三條線段.若這三條線段的長度之比為1:1:2,則折痕處對應(yīng)的點所表示的

數(shù)可能是

:I'

折痕剪斷處

15.（2023秋?開州區(qū)期中）數(shù)軸上表示數(shù)0的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|,數(shù)軸上表示數(shù)

a的點與表示數(shù)方的點的距離記作如數(shù)軸上表示數(shù)5的點與表示數(shù)7的點的距離為|5-7|=2,

|5+7|=|5-（-7）|表示數(shù)軸上表示數(shù)5的點與表示數(shù)-7的點的距離，|a-51表示數(shù)軸上表示數(shù)a的點與表示

數(shù)5的點的距離.

-4-3-2-10123456

根據(jù)以上材料回答下列問題：

（1）若|x-2|=3,貝！Jx=,|x-41=|x+21,貝!Jx=.

（2）若|x-3|+|x+2|=5,則無能取到的最小值是,最大值是

（3）若|x_3|+|x+2|=9,則x的值為多少？

16.（2023秋?臨湘市期中）數(shù)軸上有B,C三點，給出如下定義：若其中一個點與其它兩個點的距離

恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該點是其它兩個點的“關(guān)聯(lián)點”.

例如：數(shù)軸上點/,B,C所表示的數(shù)分別為1,3,4,此時點8是點/,C的“關(guān)聯(lián)點”.回答下列問題:

（1）若點/表示數(shù)-2,點8表示數(shù)1.下列各數(shù)-1,2,4,6所對應(yīng)的點是J、C3、Q.其中是

點5的“關(guān)聯(lián)點”的是—.

（2）點/表示數(shù)4,點3表示數(shù)10,尸為數(shù)軸上一個動點：

①若點尸在點2的左側(cè)，且點尸是點/,2的''關(guān)聯(lián)點”，則此時點尸表示的數(shù)是多少？

②若點尸在點8的右側(cè)，點尸，A,8中，有一個點恰好是其它兩個點的“關(guān)聯(lián)點”，請直接寫出此時點尸

表示的數(shù).

ABC

I11tli.

012345

17.（2023秋?龍崗區(qū)校級期中）如圖，半徑為1的小圓與半徑為2的大圓上有一點與數(shù)軸上原點重合，兩

圓在數(shù)軸上做無滑動的滾動，小圓的運動速度為每秒萬個單位，大圓的運動速度為每秒2萬個單位.

（1）若大圓沿數(shù)軸向左滾動1周，則該圓與數(shù)軸重合的點所表示的數(shù)是一；

（2）若小圓不動，大圓沿數(shù)軸來回滾動，規(guī)定大圓向右滾動時間記為正數(shù)，向左滾動時間記為負(fù)數(shù)，依次

滾動的情況記錄如下（單位：秒）:-1,+2,-4,-2,+3,-8

①第幾次滾動后，大圓離原點最遠(yuǎn)？

②當(dāng)大圓結(jié)束運動時，大圓運動的路程共有多少？此時兩圓與數(shù)軸重合的點之間的距離是多少？（結(jié)果保

留n）

（3）若兩圓同時在數(shù)軸上各自沿著某一方向連續(xù)滾動，滾動一段時間后兩圓與數(shù)軸重合的點之間相距9萬,

求此時兩圓與數(shù)軸重合的點所表示的數(shù).

18.（2023秋?鐵東區(qū)期中）如圖一根木棒放在數(shù)軸上，數(shù)軸的1個單位長度為1c機(jī)，木棒的左端與數(shù)軸上

的點/重合，右端與點8重合.

（1）若將木棒沿數(shù)軸向右水平移動，則當(dāng)它的左端移動到點8時，它的右端在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為20；若

將木棒沿數(shù)軸向左水平移動，則當(dāng)它的右端移動到N點時，則它的左端在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為5,由此可得

到木棒長為cm.

（2）圖中點/所表示的數(shù)是—，點8所表示的數(shù)是—.

（3）由題（1）（2）的啟發(fā)，請你能借助“數(shù)軸”這個工具幫助小紅解決下列問題：

一天，小紅去問曾當(dāng)過數(shù)學(xué)老師現(xiàn)在退休在家的爺爺?shù)哪挲g，爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要35

年才出生；你若是我現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)130歲，是老壽星了，哈哈!”，請求出爺爺現(xiàn)在多少歲了？

______.______r”…“——?……“?_______

05A520

19.（2023秋?西平縣期中）如圖，A.8分別為數(shù)軸上的兩點，N點對應(yīng)的數(shù)為-20,8點對應(yīng)的數(shù)為

100.

-20100

_______I[

AB

（1）請寫出與/、8兩點距離相等的點〃所對應(yīng)的數(shù);

（2）現(xiàn)有一只電子螞蟻尸從3點出發(fā)，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻0恰好從/

點出發(fā)，以4個單位/秒的速度向右運動，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點相遇，你知道C點對應(yīng)的數(shù)是多

少嗎？

（3）若當(dāng)電子螞蟻尸從2點出發(fā)時，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻。恰好從4點

出發(fā)，以4個單位/秒的速度也向左運動，請問：當(dāng)它們運動多少時間時，兩只螞蟻間的距離為20個單位

長度？

20.（2023秋?湘潭縣校級期中）如圖在數(shù)軸上/點表示數(shù)a,2點表示數(shù),a、6滿足

\a+2\+\b-4\=0；

---------------。~~>

。1

（1）點/表示的數(shù)為—；點8表示的數(shù)為—；

（2）若在原點。處放一擋板，一小球甲從點力處以1個單位/秒的速度向左運動；同時另一小球乙從點2

處以2個單位/秒的速度也向左運動，在碰到擋板后（忽略球的大小，可看作一點）以原來的速度向相

反的方向運動，設(shè)運動的時間為f（秒），

①當(dāng)仁1時，甲小球到原點的距離=—；乙小球到原點的距離=—；

當(dāng)"3時，甲小球到原點的距離=—；乙小球到原點的距離=—；

②試探究：甲，乙兩小球到原點的距離可能相等嗎？若不能，請說明理由.若能，請直接寫出甲，乙兩小

球到原點的距離相等時經(jīng)歷的時間.

21.（2023秋?拱墅區(qū)校級期中）己知：在一條東西向的雙軌鐵路上迎面駛來一快一慢兩列火車,快車長AB=2

（單位長度），慢車長CD=4（單位長度），設(shè)正在行駛途中的某一時刻，如圖，以兩車之間的某點。為原

點，取向右方向為正方向畫數(shù)軸，此時快車頭/在數(shù)軸上表示的數(shù)是a,慢車頭C在數(shù)軸上表示的數(shù)是

b.若快車以6個單位長度/秒的速度向右勻速繼續(xù)行駛，同時慢車CD以2個單位長度/秒的速度向左

勻速繼續(xù)行駛，且|。+8|與（6-16）2互為相反數(shù).

BAOCD

-?_____?____________1_____________?____1_

（1）求此時刻快車頭A與慢車頭C之間相距多少單位長度？

（2）從此時刻開始算起，問再行駛多少秒鐘兩列火車行駛到車頭AC相距8個單位長度？

（3）此時在快車上有一位愛動腦筋的七年級學(xué)生乘客尸，他發(fā)現(xiàn)行駛中有一段時間f秒鐘，他的位置尸

到兩列火車頭/、C的距離和加上到兩列火車尾8、。的距離和是一個不變的值（即尸/+尸。+尸8+尸。為

定值）.你認(rèn)為學(xué)生P發(fā)現(xiàn)的這一結(jié)論是否正確？若正確，求出這個時間及定值；若不正確，請說明理由.

四.絕對值（共5小題）

22.（2023秋?鯉城區(qū)校級期中）如〃={1,2,后，我們叫集合"，其中1,2,x叫做集合M的元素.集

合中的元素具有確定性（如x必然存在），互異性（如xwl,xw2）,無序性（即改變元素的順序，集合不

變）.若集合N={x,1,2）,我們說"=N.已知集合/={2,0,x},集合3=4，|X|，4，若4=B,

1%XJ

則x-y的值是（）

A.2B.-C.-2D.-1

2

23.（2023秋?豐澤區(qū)校級期中）對于有理數(shù)x,y,a,t,若|x-a|+1y-a|=f,則稱x和〉關(guān)于a的“美

好關(guān)聯(lián)數(shù)”為酊例如，|2-1|+|3-1|=3,則2和3關(guān)于1的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為3.

（1）-3和5關(guān)于2的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為一；

（2）若尤和2關(guān)于3的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為4,求x的值；

（3）若「和再關(guān)于1的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1,再和馬關(guān)于2的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1,3和退關(guān)于3的“美

好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，…，X"。和x4l關(guān)于41的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1,….

①/+玉的最小值為;

@xt+x2+x3++x40的最小值為.

24.(2023秋?荷塘區(qū)期中)在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運用

分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問題的過程，請仔細(xì)閱讀，并解答問題.

【提出問題】三個有理數(shù)“，b,c滿足防c>0,求回+回+回的值.

abc

【解決問題】解：由題意，得。，b,C三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負(fù)數(shù).

①a,b,c都是正數(shù)，即a>0,b>0,c>0時，則回+回+回=q+^+二=1+1+1=3；

abcabc

②當(dāng)a,b,c中有一個為正數(shù)，另兩個為負(fù)數(shù)時，不妨設(shè)。>0,6<0,c<0,則

\a\\b\\c\a-b-c,1

J一1+J-L+J-L=—+——+——=11+(-1)+(-11)X=-1.

abcabc

綜上所述，回+回+回值為3或-1.

abc

【探究拓展】請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：

(1)已知a,，是不為0的有理數(shù)，當(dāng)［H|=-a6時，則上-+2的值是—；

\a\\b\

(2)己知a,b,c是有理數(shù)，當(dāng)Mc<0時，求仁+2+-的值；

⑷⑸?

(3)已知a,b,c是有理數(shù)，a+b+c=0,abc<0,求°+'+"+"的值.

\a\\b\|c|

25.(2023秋?鼓樓區(qū)校級期中)先閱讀，后探究相關(guān)的問題

【閱讀】|5-2|表示5與2差的絕對值，也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離；|5+2|

可以看作|5-(-2)|,表示5與-2的差的絕對值，也可理解為5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距

離.

(1)如圖，先在數(shù)軸上畫出表示點2.5的相反數(shù)的點2,再把點工向左移動1.5個單位，得到點C,則點2

和點C表示的數(shù)分別為—和—,B,C兩點間的距離是—；

(2)數(shù)軸上表示x和-1的兩點/和2之間的距離表示為—；如果|/為=3,那么x為一；

(3)若點4表示的整數(shù)為x,則當(dāng)x為一時，|x+4|與|》-2|的值相等；

(4)要使代數(shù)式|尤+5|+匡-2|取最小值時，相應(yīng)的x的取值范圍是.

-------------------1----------1--------->

02.5

26.(2023秋?太康縣期中)同學(xué)們都知道，|5-(-2)|表示5與-2之差的絕對值，實際上也可理解為5與-2

兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離，試探索：

(1)I5-(-2)|=—.

(2)同理|x+51+1x-21表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對應(yīng)的點到-5和2所對應(yīng)的兩點距離之和，請你找出所有

符合條件的整數(shù)x,使得|x+5|+|x-2|=7,這樣的整數(shù)是—.

(3)由以上探索猜想對于任何有理數(shù)x,|x+6|+|x-3|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有,

說明理由.

五.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值(共1小題)

27.(2023秋?海安市期中)閱讀下列材料，并回答問題.我們知道|.|的幾何意義是指數(shù)軸上表示數(shù)。的點

與原點的距離，那么-的幾何意義又是什么呢？我們不妨考慮一下，取特殊值時的情況.比如考慮

|5-(-6)|的幾何意義，在數(shù)軸上分別標(biāo)出表示-6和5的點,(如圖所示)，兩點間的距離是11,而15-(-6)|=11,

因此不難看出|5-(-6)|就是數(shù)軸上表示-6和5兩點間的距離，|a-61的幾何意義是數(shù)軸上a,b兩數(shù)對應(yīng)

點之間的距離.

AB

-6-5-4-3-2-101234567

(1)當(dāng)|x-41=2時，求出x的值；

3

(2)設(shè)。=|x+6|-|x-5|,請問。是否存在最大值，若沒有請說明理由，若有請求出最大值；

(3)設(shè)0=|x+2O23|+|2O24+x|+2|2O26-x|,當(dāng)。的值最小時，求整數(shù)％所有可能的值的和.

六.有理數(shù)的除法（共1小題）

28.（2023秋?朝陽區(qū)校級期中）取一個自然數(shù)，若它是奇數(shù)，則乘以3加上1,若它是偶數(shù)，則除以2,按

此規(guī)則經(jīng)過若干步的計算最終可得到1.這個結(jié)論在數(shù)學(xué)上還沒有得到證明.但舉例驗證都是正確的.例如:

取自然數(shù)5.經(jīng)過下面5步運算可得1,即：如圖所示.如果自然數(shù)小恰好經(jīng)過7步運算可得到1,則所有

符合條件的加的值有（）

》161

A.3個B.4個C.5個D.6個

七.有理數(shù)的乘方（共1小題）

29.（2023秋?滕州市期中）（1）填空：1爰=；12?=；12（）2=.

（2）根據(jù)上題的規(guī)律猜想：當(dāng)?shù)讛?shù)的小數(shù)點向右移動一位，其平方數(shù)的小數(shù)點怎樣移動?

（3）利用上述規(guī)律，解答下列各題:

如果3.25?=10.5625,那么0.3252=.如果，=105625,那么x=.

八.有理數(shù)的混合運算（共8小題）

111利用等式「rie1

30.（2023秋?洛江區(qū)期中）設(shè)/=48x（2+2++2）（磋3）,

3-44-4,"100-4〃+2

則與/最接近的正整數(shù)是（）

A.18B.20C.24D.25

31.（2023秋?開州區(qū)期中）我們知道，每個自然數(shù)都有因數(shù)，對于一個自然數(shù)°,我們把小于。的正的因

數(shù)叫做。的真因數(shù).如10的正因數(shù)有1、2、5、10,其中1、2、5是10的真因數(shù).把一個自然數(shù)a的所

有真因數(shù)的和除以a,所得的商叫做a的“完美指標(biāo)”.如10的“完美指標(biāo)”是（l+2+5）+10=g.一個

自然數(shù)的“完美指標(biāo)”越接近1,我們就說這個數(shù)越“完美”.如8的“完美指標(biāo)”是（1+2+4）+8=（,

10的“完美指標(biāo)”是I,因為,比3更接近1,所以我們說8比10更完美.那么比10大，比20小的

585

自然數(shù)中，最“完美”的數(shù)是.

32.(2023秋?禮縣期中)規(guī)定一種新運算“※”，兩數(shù)”，b通過“※”運算得伍+2)x2-b,即?！?/p>

b=(a+2)x2-b,例如：5=(3+2)x2-5=10-5=5,根據(jù)上面規(guī)定解答下題：

(1)求7※(-3)的值；

(2)7※(-3)與(-3)派7的值相等嗎？

33.(2023秋?永城市校級期中)概念學(xué)習(xí)

規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)(均不等于0)的除法運算叫做除方，如2+2+2,(-3)+(-3)+(-3)+(-3)

等.類比有理數(shù)的乘方，我們把2+2+2記作2③，讀作“2的圈3次方”，(一3)+(-3)+(-3)+(-3)記作

(-3)?,讀作“-3的圈4次方"，一般地，把"";W0)記作a],讀作"a的圈"次方

〃個a

初步探究

(1)直接寫出計算結(jié)果：2*?=—,(-1)?=—；

(2)關(guān)于除方，下列說法錯誤的是—

4.任何非零數(shù)的圈2次方都等于1；

B.對于任何正整數(shù)"，1"=1；

D.負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù).

深入思考

我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，有理數(shù)的除方運算如

何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？

(1)試一試：仿照上面的算式，將下列運算結(jié)果直接寫成幕的形式.(-3)?=；5?=—；(-1)?=—.

(2)想一想：將一個非零有理數(shù)。的圈〃次方寫成幕的形式等于—；

34.(2023秋?拱墅區(qū)校級期中)已知x,丁為有理數(shù)，如果規(guī)定一種運算“*"，即x*y=^+l,試根據(jù)這

種運算完成下列各題.

(1)求2*4；

(2)求(2*5)*(-3)；

(3)任意選擇兩個有理數(shù)x,y,分別計算x*y和y*x,并比較兩個運算結(jié)果，你有何發(fā)現(xiàn)？

35.(2023秋?鐵西區(qū)期中)探究規(guī)律，完成相關(guān)題目.

定義“*”運算：

22

(+2)*(+4)=+⑵+4)；(-4)*(-7)=+[(-釬+(-7)]；

(-2)*(+4)=-[(-2)2+(+4)2]；(+5)*(-7)=-[(+5)2+(-7)2]；

0*(-5)=(-5)*0=(-5>；(+3)*0=0*(+3)=(+3)2.

0*0=02+02=0

(1)歸納*運算的法則:

兩數(shù)進(jìn)行*運算時，—.（文字語言或符號語言均可）特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行*運算，或任何數(shù)和0進(jìn)行*

運算，—.

（2）計算：（+1）*[0*（-2）]=.

（3）是否存在有理數(shù)a,〃，使得（加-1）*（〃+2）=0,若存在，求出;力，〃的值，若不存在，說明理由.

36.（2023秋?五華區(qū)期中）觀察算式:

-----=1-----

1x222

11112

---------1-------=---1-—+—

1x22x32233

1111113

H------------F=1—I——I—

x22x33x422334~4

（1）按規(guī)律填空:

1□___1__□___1___i___1__

①十十十

U22x33x44x5

1□____1__i___1___i____1_1

②十十十+…H----------------

U22x33x44x599x100

]

③如果〃為正整數(shù),^-L—

1x2+2x33x44x5HX（H+1）

（2）計算（由此拓展寫出具體過程）：

111

-------+--------+---------+...+

1x33x55x99x101

11

26129900

37.（2023秋?濠江區(qū)校級期中）觀察下列等式：-=^=---111

1x222x3233-4

11111111

把以上三個等式兩邊分別相加得:---------1------------1----------=1—I——?-----------

1x22x33x422334

（1）猜想并寫出：-^―

n（n+1）

111111

（2）規(guī)律應(yīng)用：計算:——I-----1---------1--------1--------1------

2612203042

1

（3）拓展提高：計算:----------1------------1------------F+

2x44x66x8…2006x2008

九.列代數(shù)式（共5小題）

38.（2023秋?青羊區(qū)校級期中）對于一個四位正整數(shù)〃，如果〃滿足各數(shù)位上的數(shù)字均不為0,它的百位

上的數(shù)字比千位上的數(shù)字大1,個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大1,則稱M為“進(jìn)步數(shù)”，如：1245就是一

個進(jìn)步數(shù).對于一個“進(jìn)步數(shù)”M記為而,它的千位數(shù)字和百位數(shù)字組成的兩位數(shù)為瓦，十位數(shù)字和

個位數(shù)字組成的兩位數(shù)為五，將這兩個兩位數(shù)求和記作於它的千位數(shù)字和十位數(shù)字組成的兩位數(shù)為二，

它的百位數(shù)字和個位數(shù)字組成的兩位數(shù)為雙，將這兩個兩位數(shù)求和記作s,當(dāng)s—=36時，M的最大值與

最小值的和為

39.（2023秋?灌云縣期中）如圖，兩摞規(guī)格完全相同的課本整齊疊放在講臺上.請根據(jù)圖中所給出的數(shù)據(jù)

信息，回答下列問題:

（1）每本課本的厚度為cm；

（2）若有一摞上述規(guī)格的課本x本，整齊疊放在講臺上，請用含x的代數(shù)式表示出這一摞數(shù)學(xué)課本的頂部

距離地面的高度;

求余下的課本的頂部距離地面的高度.

40.（2023秋?惠城區(qū)校級期中）如圖①所示是一個長為2m，寬為2”的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成

四個小長方形，然后按圖②的方式拼成一個正方形.

（1）你認(rèn)為圖②中的陰影部分的正方形的邊長等于

（2）請用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中陰影部分的面積.

方法①.方法②;

（3）觀察圖②，你能寫出（機(jī)+〃）2,（機(jī)-〃了，加"這三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？

（4）根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：若a+b=6,ab=4,則求伍―的值.

41.（2023秋?海曙區(qū)校級期中）小明去文具用品商店給同學(xué)買某品牌水性筆，已知甲、乙兩商店都有該品

牌的水性筆且標(biāo)價都是1.50元/支，但甲、乙兩商店的優(yōu)惠條件卻不同.

甲商店：若購買不超過10支，則按標(biāo)價付款；若一次購10支以上，則超過10支的部分按標(biāo)價的60%付款.

乙商店：按標(biāo)價的80%付款.

在水性筆的質(zhì)量等因素相同的條件下.

（1）設(shè)小明要購買的該品牌筆數(shù)是x（x>10）支，請用含x的式子分別表示在甲、乙兩個商店購買該品牌筆

的費用；

（2）若小明要購買該品牌筆30支，你認(rèn)為在甲、乙兩商店中，到哪個商店購買比較省錢？說明理由.

42.（2023秋?沈北新區(qū)期中）如圖，在一長方形休閑廣場的四角都設(shè)計一塊半徑相同的四分之一圓的花壇,

若圓形的半徑為r米，廣場長為。米，寬為6米.

（1）請列式表示廣場空地的面積；

（2）若休閑廣場的長為400米，寬為100米，圓形花壇的半徑為10米，求廣場空地的面積（計算結(jié)果保

留萬）.

一十.代數(shù)式求值（共2小題）

43.（2023秋?咸豐縣期中）在有理數(shù)的原有運算法則中我們定義一個新運算“★”如下：x令時，

y-x2；時，x'ky=y.則當(dāng)z=-3時，代數(shù)式（-2★z）.（-4★z）的值為.

44.（2023秋?懷仁市期中）某學(xué)校計劃購買一些乒乓球拍和乒乓球，某商場銷售一種乒乓球拍和乒乓球，

乒乓球拍每副定價80元，乒乓球每盒定價20元.國慶節(jié)期間商場決定開展促銷活動，活動期間向客戶提

供兩種優(yōu)惠方案，即

方案一：買一副乒乓球拍送一盒乒乓球；

方案二:乒乓球拍和乒乓球都按定價的90%付款.該學(xué)校要到該商場購買乒乓球拍20副,乒乓球x盒（x>20,

x為整數(shù)）.

（1）若該學(xué)校按方案一購買，需付款—元；若該學(xué)校按方案二購買，需付款—元（用含x的代數(shù)式

表示）；

（2）若x=30,請聰明的你幫忙計算一下，此時選擇哪種方案比較合算；

（3）若x=30,能否找到一種更為省錢的購買方案？如果能，請你寫出購買方案，并計算出此方案應(yīng)付的

錢數(shù)；如果不能，請說明理由.

一十一.合并同類項（共1小題）

45.（2023秋?拱墅區(qū)校級期中）已知N兩點在數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為加，n,且m,力滿足

|m-10|+（?+2）2=0.

（1）求加，n的值;

（2）①有一個玩具火車如圖1所示，放置在數(shù)軸上，將火車沿數(shù)軸左右水平移動，當(dāng)點/移動到點8

時，點8所對應(yīng)的數(shù)為m,當(dāng)點、B移動到點/時，點/所對應(yīng)的數(shù)為n.則玩具火車的長為一個單位長

度；

②如圖1所示，將第①題中的玩具火車沿數(shù)軸左右水平移動，當(dāng)M4:8A/=2:1時，直接寫出此時點/所表

示的數(shù).

（3）在（2）的條件下，當(dāng)火車以每秒2個單位長度的速度向右運動，同時點尸和點。從N、M出發(fā),

分別以每秒1個單位長度和3個單位長度的速度向左和向右運動，記火車N2運動后對應(yīng)的位置為，是

否存在常數(shù)a使得2P0+人"，的值與它們的運動時間無關(guān)？若存在，請求出發(fā)和這個定值；若不存在，請

說明理由.

尸I?￥r]IM、

n0ABmnoABm

圖1備圖

A.135B.170C.209D.252

一十三.規(guī)律型：圖形的變化類（共1小題）

47.（2023秋?沙坡頭區(qū)校級期中）如圖，將一張正方形紙片，剪成四個大小形狀一樣的小正方形，然后將

其中的一個小正方形再按同樣的方法剪成四個小正方形，再將其中的一個小正方形剪成四個小正方形，如

此循環(huán)進(jìn)行下去；

（1）填表:

剪的次數(shù)12345

正方形個

數(shù)

（2）如果剪了100次，共剪出多少個小正方形?

（3）如果剪了"次，共剪出多少個小正方形？

（4）觀察圖形，你還能得出什么規(guī)律？

一十四.整式的加減（共11小題）

48.（2023秋?西城區(qū)校級期中）如圖，在一個大長方形中放入三個邊長不等的小正方形①、②、③，若要

求出兩個陰影部分周長的差，只要知道下列哪個圖形的面積（）

A.正方形①B.正方形②C.正方形③D.大長方形

49.（2023秋?思明區(qū)校級期中）一個四位數(shù)〃7=10004+1006+10c+d（其中b,c,,且均為

整數(shù)），若a+6=A（cV）,且左為整數(shù)，則稱加為''發(fā)型數(shù)”.例如：機(jī)=7241,因為7+2=3x（4-1）,則

7241為“3型數(shù)”；相=4635,因為4+6=-5x（3-5）,貝|4635為“-5型數(shù)”.若四位數(shù)m是“3型數(shù)”，m-3

是“-1型數(shù)”，將機(jī)的百位數(shù)字與十位數(shù)字交換位置，得