全等三角形模型之奔馳模型（解析版）-2025年中考數(shù)學(xué)常見幾何模型

全等三角解模型之解馳模整

在探討奔馳模型時(shí)，我們著重于利用幾何變換的技巧，尤其是線段的巧妙轉(zhuǎn)移，以滿足特定的聚合條

件，從而推導(dǎo)出我們所需的結(jié)論。幾何變換的工具箱里，軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)和位似等都是我們得心應(yīng)手

的工具，而在奔馳模型的探索中，旋轉(zhuǎn)技巧尤為關(guān)鍵。具體而言，旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用又可細(xì)分為旋轉(zhuǎn)全等和旋轉(zhuǎn)

相似兩大類。今天，我們將聚焦于奔馳模型中的旋轉(zhuǎn)全等類型進(jìn)行深入剖析。

在掌握幾何模型的過程中，一個(gè)常見的誤區(qū)是過分依賴模型的結(jié)論，而忽視了其背后的證明邏輯與

方法論。這種做法無異于舍本逐末，因?yàn)閿?shù)學(xué)考察的是靈活應(yīng)變的能力，而非死記硬背。因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

時(shí)，我們應(yīng)在理解的基礎(chǔ)上記憶，確保能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。很多時(shí)候，解決問題的靈感正是來源于對(duì)

已有知識(shí)和方法的深刻理解與適當(dāng)拓展。

針對(duì)幾何模型的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)達(dá)到以下幾個(gè)基本要求：首先，要能夠識(shí)別并理解幾何模型，從題目中

準(zhǔn)確提煉出模型的特征；其次，不僅要記住模型的結(jié)論，更要深刻理解并掌握其證明思路和方法；最后，要

明了模型中的常見易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)楹芏囝}目的考察點(diǎn)都圍繞這些易錯(cuò)點(diǎn)展開。

然而，僅僅滿足這些基礎(chǔ)要求還不足以在幾何學(xué)習(xí)中脫穎而出。為了取得更優(yōu)異的成績，學(xué)生需要

在日常學(xué)習(xí)中通過大量的練習(xí)，深化對(duì)幾何模型的認(rèn)識(shí)，認(rèn)真理解每一種題型的本質(zhì)，真正做到活學(xué)活

用。只有這樣，才能在面對(duì)復(fù)雜多變的幾何題目時(shí)，游刃有余，找到解決問題的最佳路徑。

C

例題蝌型.....................................................................................1

模型1.奔馳模型i（點(diǎn)在等邊三角形內(nèi)）.........................................................1

模型2.奔馳模型2（點(diǎn)在等腰直角三角形內(nèi)）....................................................6

模型3.奔馳模型3（點(diǎn)在三角形外一雞爪模型）..................................................9

習(xí)題練模型....................................................................................14

-o【例題講模型】O

模型1.奔馳模型1（點(diǎn)在等邊三角形內(nèi)）

S模型解讀

此模型通常會(huì)和旋轉(zhuǎn)一起來考查,還會(huì)綜合勾股定理的知識(shí)來解題。為什么和旋轉(zhuǎn)-起考查，因?yàn)樾D(zhuǎn)的特

征是:共頂點(diǎn)等線段。等邊三角形，三邊相等,每一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)都有兩個(gè)相等線段，都符合共頂點(diǎn)等線段。等邊

三角形三個(gè)頂點(diǎn)都可以作為旋轉(zhuǎn)中心（如上圖的旋轉(zhuǎn)）。

條件:如圖，已知正三角形內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足+P02=p02（?？紨?shù)據(jù)：BP=3,AP=4,CP=5）,

結(jié)論：/APB=150。。（注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明）

AA

常用結(jié)論等邊三角形的面積公式:S&ABC=乎?人口2（選填題非常適用）

S模型證明

證明：以AP為邊向左側(cè)作等邊三角形APP'，連接PC。

?.?三角形ABC和三角形4Pp都為等邊三角形；=AP=AP=PP,ZBAC=APAP'=APP'A

=60°；

ABAC-APAC=APAP'-APAC,：.ABAP=AP'AC,：.△ABP=叢ACP'（SAS）,BP=CP',

/APB=/APC；

...+pB2=pC2,p,pi+p，C2=pC2,2Ppe=90°,

/.ZAP'C=ZPP'C+APP'A=150°；/.ZAPS=150°=

s模型運(yùn)用

注意:多線段共端點(diǎn)?？夹D(zhuǎn)。

1.（23—24八年級(jí)下.廣東深圳.期中）如圖，點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且=2,1.5,

PC=2.5,則乙4尸口的度數(shù)為°.

【答案】150

【詳解】解:如圖，將/XBPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到的&BEA.

/./\PBC空^EBA,PB=EB,/EBP=/ABC=60°,

/\PBE為等邊三角形，PE=PB=1.5,4EPB=60°,

■：AE^PC^2.5,PA^2,：.PE5+AP2-AE2,，ZL4PE為直角三角形，

ZAPE=9Q°,：./APB=90°+60°=150°;故答案為：150.

2.（2022.湖南.中考真題）如圖，點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=2,OB=1,。。="，則A4OB

與ABOC的面積之和為（）

A.4B.乎C.D.V3

424

【答案】。

【詳解】解:將4AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得ABCD，連接。。，

：.OB=OD,/B00=60°,CE>=04=2,.?.△BOD是等邊三角形，.?.OD=OB=1,

222

?/OD+OC=I?+（V3）=4,3=22=4,OD+=CL）2...9o°,

XAOB與1SBOC的面積之和為S八rcc+S^ABCD=SAHCD+$△℃?=義1?+x1xV3=.故

選：C.

3.（2024?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC,△CDE都是等邊三角形，將△CDE繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)

A,L）,E在同一直線上，連接BE.若3E=2,AE=7,則CD的長是

E

【答案】5

【詳解】解：?.?△ABC,Z\CDE都是等邊三角形，.?.BC=AC,CE=OC,ZACB=ZDCE=60°,

■：ZACD+ADCB=NACB=60°,ADCB+ABCE=NDCE=60°，二2ACD=NBCE,

（BC=AC

在ACBE和△CAD中，（2BCE=AACD,：.4CBE空△CAD（SAS），,BE=AD,

[CE=DC

BE=2,AE=7,：.BE=AD=2,/.DE=AE—AD=7—2=5,/.GD=5.故答案為：5.

4.（2024.安徽.一模）如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且上4=3,PB=4,PC=5,以BC為邊在

△ABC外作△BQCWAB24,連接PQ,則以下結(jié)論中不正確的是（）

A.ZFBQ=60°B.APQC=90°C.AAPC=120°D.ZAPS=150°

【答案】。

【詳解】解：???△ABC是等邊三角形，AABC=QQ0,

?：4BQC2ABPA,/.ZCBQ=NABP,PB=QB=4,PA=QC=3,/BPA=ZBQC,

：.NPBQ=4PBe+ACBQ=4PBe+AABP=/ABC=60°，所以4正確，不符合題意；

PQ=PB=4,PQ2+QC2=42+32=25,PC2=52=25,PQ2+QC2=PC2,

/。。。=90°,所以3正確，不符合題意；

?/PB=QB=4,APBQ=60°,/.ABPQ是等邊三角形，/.ZBPQ=60°,

/APB=ZBQC=NBQP+APQC=60°+90°=150°，所以_D正確，不符合題意；

ZAFC=360°-150°-60°-ZQPC=150°-AQPC,VPC=5,QC=PA=3,/.PC^2QC,

■：^PQC^90°,/.AQPC^30°,AAAPC^120°.所以。不正確，符合題意.故選：C.

5.（24—25九年級(jí)上?廣東廣州?開學(xué)考試）如圖，O是正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3,OB=4,OC=5,將線

段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO,，下列結(jié)論，①/\BO'A可以由△BOC繞點(diǎn)B

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點(diǎn)。與O的距離為5；③AAOB=150°；④四邊形面積=6+4V3；

⑤SA71oc+SAyloB=6+1■四，其中正確的結(jié)論是（）

A.①④⑤B.①③④C.①③④⑤D.①③⑤

【答案】。

【詳解】解:連接00,如下圖：?.?正△48。AB=BC=AC,乙4BC=60°

?/線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段30，，

=60°,BO=BO'二△OBO,為等邊三角形OO,=OB=4,即②錯(cuò)誤；

?/NOBO'=AABO+ZABO'=60°,/ABC=AABO+ZOBC=60°ZABO'=NOBC

（AB^BC

/XBO'A和ABOC中（AABO'=Z.OBC：.ABO'A空ABOC

[BO'^BO

：.O'A=OC=5,/\BO'A可以由△BO。繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，即①正確；

???OO'=OB=4,04=3O'A2=OO'2+OA2ZAOO'=90°

?/AOBO'為等邊三角形/.4BOO'=60°/.AAOB=AAOO'+NBOO'=150°,即③正確；

?//力OO'=90°/.SAACO=《AOxOO,=《x3x4=6過點(diǎn)B做BNJ_OO',交OO'于點(diǎn)N

?/AOBO'為等邊三角形/.ABNO=30°ON=yOB=2BN=y/OB2-ON2=273

S^OBO,=]OO'xBN=x4x2V3=4V3四邊形AOBO'面積=S^AOO,+S^OBO,=6+4V3,即④正

確；

正△ABOAAOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AM。,如下圖：

AOAM^60°,AO=AM^3,MC=OB=4,S^OB=S^c：./\AOM為等邊三角形二（W=AO=

AM=3

過點(diǎn)A做AG_LOM,交O河于點(diǎn)G,如下圖：:^AOM為等邊三角形.?.AOAG=30°/.OG=^OM=

3

~2

4G=J。#-2=普S^AOM=^AGxOM=/x等x3=千

?/MC=4,OM=3,OC=5/.OC2=MC2+OM2：.NOMC=90°

竽+6

S'AOJWC=了OMXMC——X3x4=6SAAMC+SAAOC=S^AOM+S'AOMC

S^oB+SMOC=^AAMC+^AAOC=+6,即⑤正確；故選：C*.

模型2.奔馳模型2（點(diǎn)在等腰直角三角形內(nèi)）

O模型解讀

條件:如圖，已知等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足。杼+（血弘）2=。。2,

結(jié)論：/CPB=135。。（注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明）

4A

9模型證明

證明：以AP為邊向左側(cè)作等腰直角三角形APP,連接P,Co

?.?三角形ABC和三角形4Pp都為等腰直角三角形；

/.AB=AC,AP=AP',ABAC=ZPAP'=90°,PrP=V2PA,AAP'P=45°；

/.ABAC-APAC=APAP'-2PAe,：.APAB=ZP'AC,：./\ABP=^ACP'(SAS),：.BP=CP',

/APB=/AP，C；

???PB-+(V2P4)2=PC2,P'C2+P'P2=PC2,2Ppe=90°,

/.ZAP'C=2Ppe+APP'A=135°；/./APB=135°。

s模型運(yùn)用

6.(23-24九年級(jí)上?湖北孝感?階段練習(xí))如圖，等腰直角△ACB,AC=BC,點(diǎn)P在△ACB內(nèi)，PC=

2,E4=3,2~4。=乙4c尸則尸8的長為()

A.V17B.V13C.5V2D.5

【答案】A

【詳解】解:：等腰直角AACB,AC^BC,：./CAB=45°,

1/APADAACP,：.ZAPD=AACP+APAC=/PAD+APAC=ADAC=45°,

如下圖，把△CBP繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至U△CAE,連接PE,

:.CE=PC=2,AE=BP,/PCE=90°,二△CPE為等腰直角三角形，

PE=6PC=2V2,4CPE=45°,4APE=180°一/APD-ACPE=180°-45°-45°=90°,

/.PB=AE=y/PE2+P^=V(2V2)2+32=V17，故選：4

7.（2024?黑龍江綏化?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E,連接DE,AB,CE,過點(diǎn)。作的

垂線交AE于點(diǎn)P,若。歸=。P=方，。。=2函則下列結(jié)論:①△APD空△CEO；②AELCE；③

點(diǎn)C到直線的距離為2代；④S正方形的8=26其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】。

【詳解】解：?.?四邊形ABCD為正方形，.?.AD=CD,AADC^90°=AADP+APDC,

?：DE±DP,：.AEDP=90°=ACDE+APDC,：.NADP=4CDE,

-：DE=DP=6,：./\APD篤△CED(SAS),故①正確；

AEDP=9V,DE=DP=4^,：.4DEP=4DPE=45°,

AAPD第4CED：.NDEC=ADPA=1800-ADPE=135°,

ANAEC=ZDEC-ZDEP=90°，:.AE_LCE,故②正確：

過點(diǎn)。作CP_LDE的延長線于點(diǎn)尸，如圖所示,

?/NEDP=90°,DE=DP=V2,：.PE=y/DE2+DP2=2,

?/ZAEC=90°,PC=2V5,：.CE=y/PC2-PE2=4：,

?：ZDEP=ADPE=45°,AFEC=180°-AAEC-ADEP=45°,

?/NF=90°,/.2FCE=45°=AFEC,：.CF=CE-cos45°=26,故③錯(cuò)誤；

,:CF=2四,：.EF=2版,：.DF=EF+DE=3^,：.CD=^/CF2+DF2=V26,

S正方彩.co=CL>2=26,故④正確；綜上所述，正確的有3個(gè)，故選：C.

8.（2023年湖北省武漢市中考一模）如圖，①△4BC中，ZACB=90°,AC=^V3,BC=6.點(diǎn)P為

△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足融2+?。2=入。2.當(dāng)P8的長度最小時(shí)，則△4SP的面積是

【答案】6代

【詳解】解:如圖，取的中點(diǎn)。,連接。P,BO,

■：P^+PC2=AC2,ZAPC=90°,.?.點(diǎn)P在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

在ABPO中，BP>BO—OP,：.當(dāng)點(diǎn)P在線段BO上時(shí)，BP有最小值，

?.?點(diǎn)。是人。的中點(diǎn)，90°,APO=AO=CO=｝人。=273,

：.3n4BOC=%="，：./BOC=60°,.,.△COP是等邊三角形，

CJO

S48P=°。?=x12=3A/3,OA=OC,S^CP=2sAeOP=6A/3,故答案為：6V3.

9.（2024.河北.?？家荒＃┤鐖D1,在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)。，出=，^,?？?2，。。=1,求ZBPC

的度數(shù).

【分析問題】根據(jù)已知條件比較分散的特點(diǎn)，我們可以通過旋轉(zhuǎn)變換將分散的已知條件集中在一起，于

是將△BPC繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得至U了（如圖2），然后連結(jié)PP'.

【解決問題】請(qǐng)你通過計(jì)算求出圖2中NBFC的度數(shù)；

【比類問題】如圖3,若在正六邊形4BCDE尸內(nèi)有一點(diǎn)P,且勿=2/13,=4,PC=2.

（1）/8PC的度數(shù)為；⑵直接寫出正六邊形ABCDEF的邊長為_.

【答案】⑴135°;（2）120°;2V7.

【詳解】解決問題：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BP=BP=2，/PBP=90°,ABP'A=NBPC,AP，=PC=1,

2,222

：.ABP'P=/BPP=45°,PP'=VBF+BP=2,VP4=（V5）=5,P4=p=1，pp,i=2^=4,

B42=P'4+pp，?,AAP'P=90°,/.NBPC=ABP'A=AAP'P+ABP'P=135°;

⑴仿照【分析】中的思路，將△BP。繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得到了ABPR,連接PP.如圖5,

APBC空；.P，B=PB=4,PC=P，A=2,ABPC=ABP'A,：.△BPP,為等腰三角形,

ZFBF,=120°,ABP'P=30°，作BG_LPP于G,/.^P'GB=90°,PP'=2P'G.

?：P，B=PB=4,ABP'P=30°,BG=2,P'G=273PP'=473,

在AAPP'中，；M=2V13,PP=4V3,P'A=2,PA2=52,pp'2=48,=4,

：.B42=PP'2+P4...APP，A是直角三角形，/4PP=90°.

ZBPC=ABP'A=30°+90°=120°.故答案為：120°

⑵延長AP,作BGLAP于點(diǎn)G,如圖6,

在Rt^P'BG中，PB=4,ABP'G=180°-AAP'B=60°,；.AP'BG=30°,

,

：.P'G=2,BG=2V3,：.AG=P'G+P'A=2+2=4：,

在Rt^ABG中，根據(jù)勾股定理得=NAU+BG?=2a.故答案為：2/

模型3.奔馳模型3（點(diǎn)在三角形外一雞爪模型）

S模型解讀

模型1）條件:如圖1，點(diǎn)P在等邊三角形ABC外，若CP2+AP2=BP2，結(jié)論：/CR4=30°。

22

模型2）條件:如圖2,點(diǎn)P在等腰直角三角形ABC外，若CP+（V2AF）=BF，結(jié)論：ZAFC=45°O

（注意:上述兩個(gè)模型結(jié)論和條件互換也成立）

??

圖1圖2

雞爪就是模型本質(zhì)就是通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造“手拉手”，構(gòu)造出全等三角形，實(shí)現(xiàn)邊的轉(zhuǎn)化,結(jié)合勾股定理，非常有意

思。連完輔助線往往會(huì)產(chǎn)生新的直角三角形、等邊三角形等。

S模型證明

模型1）證明：以AP為邊向右側(cè)作等邊三角形ADP,連接。。。

?.?三角形和三角形ADP都為等邊三角形；=AP=AD=DP,NBAC=/PAD=NAPD=

60°；

ABAC+/PAD+APAC,：.ABAP=ACAD,：.△_HAP=△CAD(SAS)，:.BP=CD；

■：CP'2+AP2=BP2,PC2+DP2=CD2,ADPC=9Q°,ZCPA=ZDPC-AAPD=30°?

模型2)證明：以AP為邊向上方作等腰直角三角形APP',且/.PAD=90°，連接PC。

■：三角形ABC和三角形APD都為等腰直角三角形；

/.AB=AC,AP=AD,ABAC=ZPAD=90°,DP=V2PA,ZAFD=45°；

ABAC+APAC=APAD+APAC,：.APAB=ADAC,：./\ABP=AACD(SAS)，:.BP=CD；

?：CP2+(V2AP)2=BP2,CP"+DP2=CD2,ADPC=90°,二NDPC—/ARD=45°。

s模型運(yùn)用

10.(2024九年級(jí)上.重慶?專題練習(xí))如圖，P是等邊三角形ABC外一點(diǎn)，取=3,PB=4,PC=5,求

ZBR4的度數(shù).

【答案】30°

【詳解】解：?.?△ABC為等邊三角形，=乙4cB=60°,

可將△4PC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BCD,連P。,如下圖，

：.BD=AP=4：,CD=PC=5,ZFCE>=60°,ADBC=APAC,APCD為等邊三角形，：.PD=PC=5,

在APBD中，PD=5,8。=3,PB=4,PD2=PB2+,：.AFBZ)為直角三角形，且NPBD=90°,

NPBC+ZCBD=ZPBC+APAC=360°-APBD=270°,

NBPA=360°-(ZFBC+APAC)-NACB=360°-270°-60°=30°.

11.（2023?廣西賀州?二模）如圖，點(diǎn)P為等邊三角形ABC外一點(diǎn)，連接四，PC,若弘=7,PB=9,

/APB=30°,則PC的長是

【答案】，

【詳解】解:把PB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,連接PQ,AQ,如圖所示:

?M

?\

***X*****/\

//

則PB=QB,ZFBQ=60°,△PBQ是等邊三角形，；./QPB=60°,PQ=PB,

?.?△ABC是等邊三角形，.?.AB=CB,ZABC=60°,/.4PBe=AQBA=60°+APBA,

：.△PBCW△QBA(SAS),/.PC=QA,VZQFB=60°,zLAPQ=90°,

又AP=7,PB=PQ=9,PC=AQ=y/AP2+PQ2=V72+92=V130.故答案為：，

12.(23—24八年級(jí)上.江蘇無錫.期中)如圖，在四邊形ABCD中，4D=5,CD=3,AABC=AACB=

A.V34B.V41C.V43D.V59

【答案】D

【詳解】作AD，_LAD,ADAD,連接CD，,D27,如圖：

?/ZBAC+ACAD=ZDAD'+ACAD,即ABAD=ACAD',

(BA^CA

在ABAD與△CAD，中，｛ABAD=ZCAD',：.ABAD空/\CAD'(SAS),

[AD=AD'

：.BD=CD./ZM。=90°由勾股定理得DD'=y/AD2+AD'2=52，AD'DA+AADC=90°

由勾股定理得CD'=y/DC2+DD'2=V32+50=V59,故選D.

13.(23-24九年級(jí)上.湖北武漢.階段練習(xí))【問題情境】在數(shù)學(xué)課上，老師出了這樣一個(gè)問題：“如圖1,在

四邊形ABCD中，4B=AC,ZABC=60°,AADC=3Q0,AD=4,8。=5,求CD的長.”經(jīng)過小組

合作交流，找到了解決方法:構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等.將△8CD繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到ABAE,連接DE.

則△80E是等邊三角形，所以。E=AD=5,導(dǎo)角可得乙QAE=90°,所以CD=AB=5工叁=

3.

（1）請(qǐng)補(bǔ)全圖形；

【探究應(yīng)用】（2）如圖2,在△ABC中，AB=AC,ABAC=120°.。為△ABC外一點(diǎn)，且=

50°,土=4，求NADC的度數(shù)；

JDUo

【拓展延伸】（3）如圖3,在4ABC中，AB=AC,ABAC=120°,AD，8C于。，朋?為4D上一點(diǎn)，連

接BM,N為BAf上一點(diǎn),^AN=V2,BN=V3,/BAN—ACBN=30°,連接CN,請(qǐng)直接寫出線段

C7V的長.

【答案】（1）見解析；（2）乙4。。=110°;（3）3

【詳解】解：⑴補(bǔ)全圖形，如圖，

（2）將AABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到4ACE,連接ED,作AF_LED于F,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知AD=AE,2CAE=2BAD,BD=CE,ACEA=ZBDA=50°,

?：AB=AC,ZR4C=120°,J.ZDAE=ADAC+ZEAC=ADAC+ABAD=120°,

：.zLADF=/AEF=30°,/.ACED=50°-30°=20°,AD=2AF,

由勾股定理得，OF=gAF,=2gAF,架=2色'=烏

DE273AF3

梁=華，：.ED=BD=CE,/.ZEDC=ZECD=80°,2ADC=30°+80°=110°;

J3U3

⑶延長BM交AC于F,延長AN到E,使A?=BN,連接BE,如圖，

?：ZBAN-4CBN=30°,/.4BAN=4CBN+30°,二4BNE=4BAN+NABN=ACBN+NABN+30°

=60°,

；NE=BN,.;△BEN是等邊三面形，：./E=60°,

???AANB=180°-ABNE=120°=ABAC,：.4ABN?/XFBA,

.AB=BN第,/.BAE=AAFB,??.△AZVF?ABEA,：.第二第AE

'?際一商~FN

(及

AE，AN=2+母)，=2盜+3四,...BF=FN+BN=3+36,...AB2=BN-BF

5+V6,

過?作FG-LBC于F,過N作NH_LB。于H,=30°,

G=LL(AB-AF)=3"?^AB,CG=沖二血AB,BG=BC-CG=V3AB-

F22FC=62

AB=AB,

?,NH//GF，mH?黑皿???俳=器=窗=高，.??麗=前景極BH=

血

3+3?AB,

10+2V6

7V+3

：.CH=BC-BH=^T?AB,：.CN2=CH2+NH2=9,CN=3.故答案為：3.

10+2V6

習(xí)題練模型

14.（2024九年級(jí)?重慶?期中）如圖，在等邊△4BC內(nèi)有一點(diǎn)P,使得/APC：/APB：NBPC=7:8:9,那么

以AP,BP,CP的長度為邊長的三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比為.

【答案】5：3：4

【詳解】將ABAP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得至I△BOQ,連結(jié)PQ,

則BQ=BP,APBQ=60°,AP=CQ,：.4PBQ是等邊三角形，

ABPQ=ABQP=60°,BP^PQ,：.△PQC就是以AP,BP,CP的長度為邊長的三角形，

?/2Ape:2APB:/BPC=7:8:9,ZAPC=/x360°=105°,

/APB=2x360°=120°,ZBPC=2x360°=135°,

ACPQ=135°-60°=75°,4PQC=ABQC-ZBQP=AAPB-60°=60°,

Z.PCQ=180°-ZCPQ-2PQC=45°,

以AP,BP,CP的長度為邊長的三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比為4CPQ:4PCQ"PQC=75°:45°:60°=

5:3:4.故答案為：5:3:4.

15.（23-24九年級(jí)下?吉林?階段練習(xí)）旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中最基本的圖形變換之一，利用旋轉(zhuǎn)可將分散的條

件相對(duì)集中，以達(dá)到解決問題的目的.

圖①圖②圖③

【發(fā)現(xiàn)問題】如圖①，在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,E4=2,尸6=求NBPC的度數(shù).

解:如圖①,將線段BP繞點(diǎn)口逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。。得到線段BP',連接AP',PP'.

?：BP=BP',AP'BP=60°,/\PBP°'是等邊三角形，二ABP'P=60°,PP'=PB=V3,

???△ABC是等邊三角形，.?./ABC=60。°,BC=BA,

AABC-ZABP=AP'BP-AABP,即4PBe=AP'BA.請(qǐng)你補(bǔ)充完整解答過程.

【應(yīng)用問題】如圖②，在正方形4BCD內(nèi)有一點(diǎn)。,若出=，篁，P8=4,PC=3,則乙BPC=

【拓展問題】如圖③，在正方形ABCD中,對(duì)角線AC,相交于點(diǎn)O,在直線上方（包括直線

有一點(diǎn)P,K4=4,PD=2,連接PO,則線段PO的最大值為_.

【答案】發(fā)現(xiàn)問題：150°,應(yīng)用問題：135,拓展問題：3V2

【詳解】發(fā)現(xiàn)問題：證明：補(bǔ)充如下：如圖，

(BA^BC

在△ABP和△CBP中(AP'BA=APBC,：./\ABP'空△CBP(SAS),：.AP'=CP=1,ABP'A=ABPC,

[BP'^BP

?：r2+(V3)2=22,/.AP'2+pp，2=Ap2,△APP是直角三角形，...^AP'P=90°,

ABP'A=/BPP+=150°,/.ABPC=150°;

應(yīng)用問題:解:如圖，將BP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,連接AP\PP',

AABP'+AABP=90°,BP'=BP=4,：.ABP'P=45°,PP'=V2BP=472,

?.?四邊形ABCD是正方形，AABC=90°,AB=CB,：.ZABF+ZGBP=90°,/.AABP'=ACBP,

(BA=BC

在AABP，和△CBP中/AP'BA=4PBe,：./\ABP'也△CBP(SAS),二AP=CP=3,ABP'A=ABPC,

[BP'=BP

?：32+(4V2)2=(V41)2,/.AP,2+PP'2=AP2,：.AAP'P是直角三角形，

ZAP'P=90°,：./LBP'A=ABP'P+AAP'P=135°,/.135°;故答案：135;

拓展問題:解:如圖，將OP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得OP,連接DP、PP',

ZDOP+ADOP'=90°,OP=OP',PP'=V2OP,

?.?四邊形ABCD是正方形，:.OA=OD,AC.LBD,：.AAOP+^DOP=90°,：.AAOP=ZDOP',

(OA=OD

在△AOP和ADOP中(/AOP=ADOP',：.AAOF必△DOP'(S4S)，,AP=DP=4,

[OP=OP'

?：PP'^PD+DP'：.PP'^6,.?.2OPW6,.?.OPW32,二。。的最大值為32，故答案：372.

16.(23—24九年級(jí)上.山西呂梁?期末)閱讀下面材料：張明同學(xué)遇到這樣一個(gè)問題：如圖1,在正三角形

ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且_B4=3,PB=4,PC=5,求N4P8的度數(shù).

張明同學(xué)是這樣思考的:如圖2,利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識(shí)構(gòu)造△APC,連接PP,得到兩個(gè)特殊的三角

形，從而將問題解決.

(1)請(qǐng)你計(jì)算圖1中乙4PB的度數(shù)；(2)參考張明同學(xué)思考問題的方法,解決下列問題:如圖3,在正方

形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P,且M1,PD="17,求乙4pB的度數(shù).

[?](1)150°(2)135°

【詳解】⑴⑴如圖2,把AAPB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得至U△ACP，,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，P\4=JM=3,PC=PB=4,/P4P=60°,NAPB=/AP，C,

：./\APP'是等邊三角形，二PP=_R4=3,AAP'P=60°,

...pp,2+pc=32+42=25,pc2=52=25,PP'2+P'C2=PC2,：.Z.PP'C=90°,

ZAP'C=ZAP'P+4Ppy=60°+90°=150°;NAPB=ZAP'C=150°;

⑵如圖3,把AAPB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AADP',

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，P4==2V2,P'D=PB=1,APAP'=90°,

.?.△APP是等腰直角三角形，.?.PP=，^R4=4,乙4Pp=45°,

2222222

...pp，2+P'D2=4+1=17,PD=（V17）=17,PP'+P'D=PD,/.APP'D=90°,

AAP'D=AAP'P+NPP'D=45°+90°=135°,；./APB=ZAP'D=135°.

17.（23—24九年級(jí)上.重慶沙坪壩.期末）（1）已知如圖1,在△48。中，=乙48。=90°,點(diǎn)。在

/XABC內(nèi)部，點(diǎn)E在A4BC外部,滿足BD_LBE,且BD=BE.求證：4ABD左/XCBE.

（2）已知如圖2,在等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足？A=5,PB=4,PC=3,求ABPC的度數(shù).

【答案】（1）詳見解析;（2）150°

【詳解】（1）證明：；乙48。=90°,BD±BE

：.AABC="BE=90°即ZABD+ZDBC=ZDBC+ACBE：.NABD=ACBE.

又,：AB=CB,BD=BE：./\ABD第△CBE（SAS）.

⑵如圖，把線段PC以點(diǎn)。為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到線段CQ處，連結(jié)AQ.

由旋轉(zhuǎn)知識(shí)可得：APCQ=60°,CP=CQ=3,.?.△PCQ是等邊三角形，.?.CP=CQ=PQ=3.

又?/是等邊三角形，二=60°=APCQ,BC=AC,

ABCP+APCA=APCA+ZACQ,^4BCP=NACQ.

（CP=CQ

在ABCP與△ACQ中IZBCP=AACQAABCPAACQ（SAS）：.BP=AQ=4：,Z.BPC=

[BC^AC

AAQC.

又「PA=5,/.PB2+PC2=42+32=25=B42.AZAQP=90°

又1/APCQ是等邊三角形，/.ZPQC=60°2BPC=/AQC=AAQP+2PQC=90°+60°=150°/.

ZBPC=150°.

18.（2023?四川綿陽?一模）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn),?M

（1）若點(diǎn)P在正方形內(nèi)，如圖1,B4==2,求NAPB的度數(shù)；

（2）若點(diǎn)P在正方形外，如果_R4=a,PB=b,如圖2,且AAPB=45°,求PD的長.（用a,b表示）

【答案】（1）135°⑵PD=Vb2+2a2

【詳解】（1）解:把AAPD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至14AFB,連接PF,AD與AB重合，PA旋轉(zhuǎn)到AF的

位置，如圖1,

/.AP=AF=1,APAF=9Q°,PD=FB=2,：.△APE為等腰直角三角形，ZAPF=45°,PF=V2AF=

V2,

2

...pF2+PB2=2+2=4=BF,：.ABPF=90°,AAAPB=45°+90°=135°;

(2)解:把△4PD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到A4FB,連接PF,AD與4B重合，R4旋轉(zhuǎn)到AF的位置，如

圖2,二AP=AF=a,乙24F=90°,PD=EB,為等腰直角三角形，

ZAPF=45°,PF=V2AP=V2a,ZBPF=AAPB+/APF=45°+45°=90°,

在Rt/\FBP中，PB=b,PF=&,：.FB=^PB2+PF2=y/b2+2a2：.PD=FB=Vfe2+2a2.

19.（23-24九年級(jí)上.浙江紹興.階段練習(xí)）閱讀材料題:浙教版九上作業(yè)本①第18頁有這樣一個(gè)題目：已

知，如圖一，P是正方形ABDC內(nèi)一點(diǎn)，連接玄、「8、「。,若PC=2,24=4,NAPC=135°,求

的長.

小明看到題目后,思考了許久,仍沒有思路，就去問數(shù)學(xué)老師，老師給出的提示是：將△MC繞點(diǎn)A順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到再利用勾股定理即可求解本題.請(qǐng)根據(jù)數(shù)學(xué)老師的提示幫小明求出圖一中

線段的長為.

【方法遷移】：已知:如圖二，△ABC為正三角形，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，若PC=1,E4=2，尸口=6,

求乙4尸8的大小.

【能力拓展】：已知:如圖三，等腰三角形ABC中NACB=120°,D、E是底邊AB上兩點(diǎn)且ADCE

60°,若AO=2,BE=3,求的長.

【答案】⑴6;(2)90°;(3)77

【詳解】解:如圖一，將NPAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AP'AB,連接PP,

/.PA=P'A=4,PC=P'B=2,NPAP，=90°,AAP'B=AAPC=135°,二APP'A=45°,

/.PP'=V42+42=4V2,APP'B=135°-45°=90°,/.PB=y/PP'2+P'B2=7(472)2+22=6;

圖1

［方法遷移］:如圖二，將4PAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得至U四B,連接PP,,

：.PA^P'A=2,PC=PB=1,4p'=60°,.?.△R4P'是等邊三角形，.?.?「'=PA=2,

V(V3)2+1?=22,即PB2+P'B2=PP'2,：.Z.PBP'=90°,ZBPP'=30°,；.ZAPS=60°+30°=90°;

［能力拓展］:如圖三，將ACAD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到ACBD'，連接EZ7,

CD=CD,AD=BD=2,/DGD'=120°,：ADCE=60°,/.ADCE=AECD'=60°,

文?：CE=CE,：.AGDEZ△GD'E(SAS)，:.DE=D'E,

又ZA=AABC==30。,...2=4CBD=30°,/.AEBD'=60°,

過點(diǎn)。作。F_LAB于F,：.BF=^-BD'=1,D'F=V3,：.EF=2,

：.D'E=^EF2+D'F2=V22+(V3)2=V7,：.DE=V7.

20.（2024?河南??？家荒＃?）閱讀理解:利用旋轉(zhuǎn)變換解決數(shù)學(xué)問題是一種常用的方法.如圖，點(diǎn)P是等

邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，上4=1,PB=PC=2,求ABPC的度數(shù).為利用已知條件,不妨把^BPC

繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得A4PC,連接尸P，則PP'的長為；在LPAP'中，易證APAP'=90°,

且APP'A的度數(shù)為，綜上可得NBPC的度數(shù)為；（2）類比遷移:如圖，點(diǎn)P是等

腰AtAABC內(nèi)的一點(diǎn)，/403=90。,24=2,98=2,？。=1.求乙4PC的度數(shù)；（3）拓展應(yīng)用：如

圖，在四邊形ABCD中，BC=3,CD=5,AB=AC=AD,ABAC=2乙4。。,請(qǐng)直接寫出BD的長.

【答案】⑴2,30°,90°;(2)90°;(3)2741.

【詳解】解：(1)把繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得AAPC,連接PP(如圖1).

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△CPP是等邊三角形；P/=PB=g、NCPP=60°、PP=PC=2,

在AAPT中，：AP-+P4=12+(V3)2=4=PP'2;

/XAP'P是直角三角形；AP'AP=90°.???=[PC,/.AAP'P=3