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文檔簡介

人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊

6.4.3余弦定理、正弦定理

第1課時余弦定理、正弦定理

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一利用余弦定理解三角形

1.(2024江蘇蘇州月考)在4ABC中,若(a+c>(a-c)=b(b-gc),則A=()

A.90°B.30°C.60°D.15O0

2.(2024重慶部分學(xué)校月考)在△ABC中則△ABC的最大內(nèi)角與最小內(nèi)角的和是

()

A.60°B.90°C.12O0D.1350

3.(2024河北石家莊第十五中學(xué)月考)若某銳角三角形的三邊長分別為1,2,a,則a的取值范

圍為()

A.(2,3)B.(V3,3)C.(2,V5)D.(V3,V5)

4.(2024湖北部分學(xué)校期中)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知

2b2=a2+l,c=l,則角B的最大值為.

5.(2024江蘇蘇州昆山中學(xué)月考)在^ABC中,a=7,b=8,b〉c,sinC=速廁c=______.

14

題組二利用正弦定理解三角形

6.(2024湖南衡陽三校聯(lián)考)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為

a,b,c,a=VXB=105°,C=45°,則Jc=()

A.lB.2C.V2D.V3

7.(2024江蘇南京師大附中期中)在^ABC中,D為邊BC上一點,AD=6,BD=3,NABC=45。,

則sinZADC的值為()

A.更B.UC.9D.坦

3444

8.(2024上海金山中學(xué)月考)在^ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若

a=V3,c-2b+2V3cosC=0,則該三角形外接圓的半徑為()

A.lB.V3C.2D.2V3

9.(多選題)(教材習(xí)題改編)在4ABC中,角A,B,C的對邊分別為2內(nèi),<:,則下列對4ABC解的

情況判斷正確的是()

A.當(dāng)a=2VXc=4,A=30。時,有兩解

B.當(dāng)a=5,b=7,A=60。時,有一解

C.當(dāng)a=&,b=4,A=30。時,無解

D.當(dāng)a=6,b=4,A=60。時,有兩解

10.(多選題)(2024重慶榮昌中學(xué)月考)已知a,b,c分別為△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊,下面

四個結(jié)論正確的是()

A.若A>B,則sinA>sinB

B.在銳角△ABC中,不等式sinA>cosB恒成立

C.若si/A+si/Bvsi/C4iUABC是鈍角三角形

D.若B=£=2百,且△ABC有兩解,則b的取值范圍是[3,2舊)

11.(2023廣東佛山順德月考)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且(a+b>(sin

A-sinB)+(b-c)sinC=0.

⑴求角A的大小;

⑵設(shè)a=5,且sin§=9,求c.

題組三利用余弦定理、正弦定理判斷三角形的形狀

12.(2024天津武清聯(lián)考)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若A+B=2C,且

sin2C=sinAsinB,則△ABC的形狀為()

A.直角三角形B.等腰非等邊三角形

C.等邊三角形D.鈍角三角形

13.(2024安徽合肥中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)附屬中學(xué)月考)在4ABC中,若cosA-cosB+?=0,則

△ABC的形狀是()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

14.如果將直角三角形的三邊增加相同的長度,則新三角形的形狀一定是()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.由增加的長度確定

15.(多選題)(2024浙江湖州第二中學(xué)期中)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

下列四個命題中正確的是()

A.若acosA=bcos8,則4ABC一定是等腰三角形

B.若bcosC+ccosB=b,!HljAABC一定是等腰三角形

C?若盤=熹=熹廁△ABC一定是等邊三角形

D.若B=6(T,b2=ac4iUABC一定是直角三角形

題組四三角形的面積公式

16.(2024安徽淮南第二中學(xué)月考)在△ABC中,A=12(T,b=5,且△ABC的面積為竽,則

△ABC的周長為()

A.15B.12C.16D.20

17.(教材習(xí)題改編)秦九韶是我國南宋時期的著名數(shù)學(xué)家,他在著作《數(shù)書九章》中提出,

已知三角形三邊長計算三角形面積的一種方法“三斜求積術(shù)”,其公式為

3J(ab)2j)

SAABC=-沖片=1=g](砌2一(胃里2若ac=2cos

B=|,a>b>c,KijAABC的面積為()

5334

A.-B.-C.-D.-

4455

18.(2024廣東茂名高州中學(xué)月考)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,向量

m=(a,V^b)與n=(cosA,sinB)平行.

⑴求A;

⑵若2=近力=2,求4ABC的面積.

19.(2024四川廣安模擬)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2acosC-ccos

B=bcosC.

⑴求角c;

(2)若NACB的平分線交AB于點D,CD=4glABC的面積為18g,求c的值.

能力提升練

題組一利用余弦定理、正弦定理解三角形

1.(2024重慶第一中學(xué)月考)我國油紙傘的制作工藝巧妙.如圖⑴,傘不管是張開還是收攏,

傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角NBAC,且AB=AC,從而保證傘圈D能夠

沿著傘柄滑動.如圖⑵,傘完全收攏時,傘圈D滑至UD的位置,且A,B,D三點共線,AD=60

cm,B為AD的中點.傘從完全張開到完全收攏,傘圈D沿著傘柄向下滑動的距離為24cm,

則當(dāng)傘完全張開時,NBAC的余弦值是()

A

?D'(D)

p

圖3)圖(2)

A,B.-2C.-百D

252525-1

2.(多選題)(2024寧夏石嘴山平羅中學(xué)月考)在^ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

且(a+b):(a+c):(b+c)=9:10:11,則下列結(jié)論正確的是()

A.sinA:sinB:sinC=4:5:6

B.AABC是鈍角三角形

C.AABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍

D.若C=6^」AABC外接圓的半徑為學(xué)

3.(2024湖南邵東第三中學(xué)月考)以密位作為角的度量單位,這種度量角的單位制叫做角的

密位制.在角的密位制中,采用四個數(shù)碼表示角的大小,單位名稱密位二字可以省去不寫.密

位的寫法是在百位數(shù)與十位數(shù)之間畫一條短線,如5密位寫成“0-05”,235密位寫成“2-35”」

246密位寫成“12-46”.1周角等于6000密位,寫成“60-00”.在^ABC中,點D在邊BC上,AD

是△ABC的內(nèi)角A的平分線,CD=AD=2BD=4,則ZADC的大小用密位制表示

為.

4.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,從下列四個條件:①a=V^c;②C=£③cos

B=-¥;④b=V7中選出三個條件,使?jié)M足所選條件的△ABC存在且唯一的所有c的值

4

為.

5.(2024河南開封模擬)記4ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bcosA=V2asinB.

⑴求sinA;

⑵若a=8,再從條件①,條件②,條件③中選擇一個條件作為已知,使其能夠確定唯一的三

角形,并求△ABC的面積.

條件①:6=佩:;條件②:6=倔條件③:sinC=|.

題組二利用余弦定理、正弦定理求最值或范圍問題

6.(2024黑龍江哈爾濱第九中學(xué)模擬)在銳角三角形ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

且c-b=2bcosA,則料取值范圍為()

A.(1,V3)B.(V2,V3)C.(V2,2)D.(l,2)

7.(2023福建寧德期末)如圖,在扇形OPQ中,半徑OP=2,圓心角NPOQ=:,A是弧PQ上的動

4

點,B是線段OQ上的動點,AB〃OP則」aOAB面積的最大值為()

A.2V2-2B.V2-1C.yD.遺

6

8.(2024河南鄭州外國語學(xué)校月考)已知△ABC的外接圓半徑R=乎,c=2,C為銳角,則下列

結(jié)論正確的是()

AbcosA+acosB243

A.--------------=—

sinC3

B.AABC周長的最大值為4

C.的取值范圍為(-

D.荏.前的最大值為2+竽

9.(2024重慶部分學(xué)校月考)在^ABC中於V^ac+c2=b2.

(1)求B的大小;

(2)求/cosA+cosC的取值范圍.

10.(2024廣西南寧月考)已知三角形ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且(2a-b>cos

C-ccosB=0.

⑴求角c;

⑵若ABC周長的取值范圍;

⑶若c、H,求小ABC面積的取值范圍.

答案與分層梯度式解析

6.4.3余弦定理、正弦定理

第1課時余弦定理、正弦定理

基礎(chǔ)過關(guān)練

l.B2.C3.D6.B7.C8.A9.AC10.ABC

12.C13.D14.A15.BC16.A17.D

1.B因為(a+c)(a-c)=b(b-gc),所以a2-c2=b2-V3bc,BPb2+c2-a2=V3bc,

由余弦定理的推論可得cosA="+f吸票,又0。<人<180。,所以A=30。.故選B.

2bc2bc2

2.C由題意不妨設(shè)a=5,b=7,c=8,根據(jù)大邊對大角可知A<B<C,

由余弦定理的推論可得COS至=25+?-49=;

又因為0。<8<180。,所以B=60°,

所以A+C=180o-B=180°-60o=120°,

所以△ABC的最大內(nèi)角與最小內(nèi)角之和為120。.故選C.

3.D因為1,2,a是三角形的三邊長,所以l+2>a且a+l>2,得l<a<3,

因為該三角形為銳角三角形,

產(chǎn)老〉0,

所以由余弦定理的推論得上產(chǎn)股

p^>0,

I2X1X2

解得

所以實數(shù)a的取值范圍是(V5,芯).故選D.

4.答案

解析由題意得cosB=Q產(chǎn)W>+,注當(dāng)且僅當(dāng)a=l時,等號成立,

2ac2a4a4\aJ2

又BC(0,7i),所以0<Bq,所以角B的最大值為今

5.答案3

解析因為b>c,所以B>C,又C是三角形的內(nèi)角,所以C為銳角,因為sinC=^,所以cos

14

C=V1-sin2C=Jl—三|.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=72+82-2x7x8xi|=9,^f

c=3(負值舍去).

6.B易知A=180°-105°-45°=30。,由q=上,得c=X=2.故選B.

smAsinCsinA

7.C在^ABD中,由正弦定理得-"=.即一^=_2—,故sinZBAD=—,

smz.ABDsmz.BADsin45°smz.BAD4

因為BD<AD,所以NBAD<NABD,故/BAD為銳角,

故cosZBAD=—,

4

所以5由4口?=5由(/:3人口+/人8口)=5:111(/:3人口+45。)=3產(chǎn)+?義j=等,故選C.

8.A*/a=V3,c-2b+2acosC=0,

由正弦定理得sinC-2sinB+2sinAcosC=0,

即sinC-2sin(A+C)+2sinAcosC=0,

sinC-2sinAcosC-2sinCeosA+2sinAcosC=0,

/.sinC-2sinCeosA=0,

又sinC>0,/.cosA=(又A£(0,兀),.**A=p

設(shè)該三角形外接圓的半徑為r,貝IJ2r=就=普=2,.」=1.故選A.

~2

9.AC解法一:對于A,由號=$,得有=三,所以sinC=",又因為0。<(2<180。,0%所以

sm4sinCsin30°smC2

C=45?;駽=135。,所以三角形有兩解,故A正確;

V5廠

對于B,由正弦定理得sinB=d=_=Xl>i,無解,故B錯誤;

a510

?A1

對于C,由正弦定理得sinB=吧吧=途=e>1,無解,故C正確;

aV2

對于D,由正弦定理得sinB=吧吧=厚="<£因為b<a,所以B為銳角,所以此三角形只有

a632

一解,故D錯誤.故選AC.

解法二:csinA=4x1=2,*.*csinA<a<c,三角形有兩解,A正確;

bsinA=7Xy=^,Va<bsinA,三角形無解,B錯誤;

bsinA=4x|=2,*/a<bsinA,:.三角形無解,C正確;

且A為銳角,...三角形有一解,D錯誤.故選AC.

解題模板在^ABC中,已知a,b和A,以角A一邊上的點C為圓心,a為半徑畫弧,此弧與

角A另一邊的公共點(不包含點A)的個數(shù)即為三角形解的個數(shù).解的個數(shù)總結(jié)如下表:

條件A為鈍角A為直角A為銳角

a>b一解一解一解

a=b無解無解一解

a>bsinA兩解

a<ba=bsinA無解無解一解

a<bsinA無解

10.ABC對于A,若A>B,則a>b,由正弦定理可得sinA>sinB成立,故A正確;

對于B,因為△ABC為銳角三角形,所以A+Bg,O<A30<Bg,所以4A吟B>0,

由正弦函數(shù)y=sinx在上單調(diào)遞增,得sinA>sin(]-B)=cosB,故B正確.

對于C,由正弦定理得a2+b2?2,所以C為鈍角,即△ABC是鈍角三角形,故C正確;

對于D,如圖,若△ABC有兩解,則asinB<b<a,

所以3Vb<2b,則b的取值范圍是(3,2遍),故D錯誤.

故選ABC.

11.解析(l)V(a+b)(sinA-sinB)+(b-c)sinC=0,

由正弦定理得(a+b)(a-b)+(b-c)c=O,

即b2+c2-a2=bc,cosA,J

又,.?0<A<7r,,Aq.

(2)*.*0<C<7i,04<],故cos|=—sin21=^,sinC=2sin|cos|=|,

由啖=*,得c與乎擘考.

smAsinCsmAV33

2

12.C由題意可知A+B+C=3C=180。,則C=60°,

因為sin2C=sinAsinB,

所以由正弦定理得c2=ab,

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b?-ab=ab,則(a-b)?=O,所以a=b,所以2=6=a故4ABC為

等邊三角形.

13.D由cosA-cosB+勁=0,得a-ccosB=b-ccosA,

c

由余弦定理的推論得a-c?日盧=b-c?塔等,化簡得馬匕=立了.

2ac2bcab

當(dāng)a2+b2<2=0,即a2+b2=c2Ht,AABC為直角三角形;

當(dāng)a2+b2-c2#0時,a=b4iUABC為等腰三角形.

故4ABC為等腰三角形或直角三角形,故選D.

14.A設(shè)直角三角形的三邊長分別為a,b,c,且a2+b2=c2,令三邊都增加x(x>0),則

(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=a2+b2+2x2+2(a+b)x-c2-2cx-x2=2(a+b-c)x

+x2>0,所以由余弦定理的推論可知新三角形中最大邊所對的角是銳角,所以新三角形是銳

角三角形.故選A.

15.BC對于A,由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,

即sin2A=sin2B,又A,BG(0㈤,所以2A=2B或2A+2BF,即A=B或A+B=*所以三角形為

等腰三角形或直角三角形,故A錯誤;

對于B,由正弦定理得sinBcosC+sinCeosB=sinB,

即sin(B+C)=sinB,即sinA=sinB,

又A,B?(0,兀),所以A=B,所以△ABC是等腰三角形,故B正確;

對于C,由正弦定理得赳”=巴坦=衛(wèi)三即tanA=tanB=tanC,

cosAcosBcosC

又A,B,C為三角形的內(nèi)角,所以A=B=C,所以△ABC是等邊三角形,故C正確;

對于D,由余弦定理可得ac=b2=a2+c2-ac,可得(a-c)2=0,解得a=c,又B=60°,所以b=a=c,故

△ABC是等邊三角形,故D錯誤.

故選BC.

方法總結(jié)利用正、余弦定理判斷三角形的形狀一般有兩種方法:一是角化邊,利用正、余

弦定理把條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系,再結(jié)合因式分解、配方等方法得到邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷

三角形的形狀;二是邊化角,利用正、余弦定理把條件轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,再結(jié)合三角恒等變

換得相應(yīng)內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷三角形的形狀.

16.A由題意得SAABc=4)csinA=^x5cx^=g4解得c=3,

2224

則^ABC的周長為a+b+c=15.故選A.

17.D因為cosB=61+cb=號c=2,所以a2+c2-b2=4x-=—,

2ac555

則SAABc=?ac)2-2K4_024故選D.

18.解析(1)因為m〃n,所以asinB-V3bcosA=0,

由正弦定理得sinAsinB-V3sinBcosA=0,

又BG(0,兀),所以sinBWO,所以sinA-V3cosA=0,則tanA=V3,

又AG(0㈤,所以

⑵解法一(余弦定理):由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,因為a=V7,b=2,A=p

所以7=4+c2-2c,解得c=3或c=-l(舍),

所以△ABC的面積S=jbcsinA=jx2x3x^=^.

解法二(正弦定理):由瑜=三,得4=心,所以sinB="

smAsmBV3smB7

2

由a>b,知A>B,所以cosB=V1—sin2B=^,

故sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin

所以△ABC的面積S=-absinC=、<V7x2x2二辿.

22142

19.解析⑴由題意及正弦定理得2sinAcosC-sinCeosB=sinBcosC,

所以2sinAcosC=sinBcosC+sinCeosB=sin(B+C)=sinA,

易知sinA/),所以cos又CG(0㈤斯以C=1

(2)由SAABc=|absin^=:Yab=18V3,Mab=72,

因為CD平分NACB,NACB=E,所以NACD=NBCD=:

36

貝USAABC=SAACD+SABCD=-b-CDsinj[CDsin-=ix4V3x(a+b)xi=V3(a+b)=18V3,^

262622

a+b=18,

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos^=(a+b)2-3ab=182-3x72=108,

所以C=6A/3.

能力提升練

l.A2.ACD6.B7.B8.D

l.A

信息提取當(dāng)傘完全收攏時,AB=BD=:AD;

當(dāng)傘完全張開時,AD=AD-24,NBAC=2NBAD.

解析依題意知AD'=60cm,當(dāng)傘完全張開時,AD=60-24=36(cm),

當(dāng)傘完全收攏時,B為AD的中點,故AB=AC=BD=|AD'=30(cm).

4B2+A02-B02900+1296-900_3

當(dāng)傘完全張開時,在△中,

ABDcosNBAD=2AB-AD2X30X365’

2

故cosZBAC=cos2ZBAD=2cos2ZBAD-1=2x^0/=-3故選A.

a+b=9x,

2.ACD因為(a+b):(a+c):(b+c)=9:10:H,所以可設(shè)a+c=10%,(汽>0),解得

b+c=llx

a=4x,

b=5%所以由正弦定理可得sinA:sinB:sinC=a:b:c=4:5:6,故A正確.

c=6x,

易知c最大,所以△ABC中角C最大,又COSC*普二(4”+:5x):(6x)2q以c為銳角

2ab2x4xx5x8

所以△ABC為銳角三角形,故B錯誤.

易知a最小,所以△ABC中角A最小,

222

-r-yAc+b-a(6x)2+(5x)2-(4x)2

又COSA=---------=―—3

2cb2x6xx5x4

所以cos2A=2cos2A-l=;所以cos2A二cosC,

8

由^ABC中角C最大且C為銳角可得2AG(0R),CG(0,y,所以2A=C,故C正確.

設(shè)^ABC外接圓的半徑為R,則2口=肅,又c=6,sinC=V1-cos2C=第所以2R=*,解得

~8~

R=¥,故D正確.故選ACD.

3.答案20-00

思路點撥⑴根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到*=黑=2;

ADDU

(2)在4ABD,AACD中分別利用余弦定理表示出cosZADB,cosZADC;

⑶由cosZADB+cosZADC=0解方程,求出AB2;

(4)求出cosNADC,從而得到NADC的大小,再化成密位制.

解析因為AD是^ABC的內(nèi)角A的平分線,所以NBAD=/CAD,

所以SAADC_5AD-ACsinNC4D_4c_CD=2

々“OB癡.ABsinzBADABBD'

設(shè)AB=m(m>0),則AC=2m,

在△ABD中,由余弦定理可得m2=AD2+BD2-2ADBDcosZADB,即

222

m=4+2-2x4x2cosZADB,

所以cosNADB=------,

16

在4ACD中,由余弦定理可得4m2=AD2+CD2-2ADCDcosZADC,即

4m2=42+42-2x4x4cosZADC,

所以cosZADC=8m,

8

因為NADB+NADC=?i,

所以cosZADB+cosZADC=0,

所以空*+上空=0,解得??=12,所以COSZADC=A

1682

又0<NADC<71,所以ZADC=y,

易得四里U=2000,所以NADC的大小用密位制表示為20-00.

3211

4.答案^,V2

解析由①②結(jié)合正弦定理可得sinA=V^sinC=^,此時A=E或巴.

244

若選①②③,則由COSB=-^<0知B為鈍角,故A=:,此時BF-A-Ce,cosB=絢與孚,矛

441244

盾,.'.△ABC不存在,不符合題意.

若選①②④,則A有兩解,不符合題意.

若選①③④,則由余弦定理的推論得-半=三安,解得c=W(負值舍去).

42C-V2C2

若選②③④,cosB=W,BG(OH),

4

sinB=V1—cos2B=J1一看

fhb-c徨豆、廳

由嬴一嬴?倚c-不6-工72.

4

故滿足條件的所有C的值為樂2

5.解析(1)由bcosA=V2asinB得sinBcosA=V2sinAsinB,又sinB/),所以cosA=V2sin

A>0,所以A為銳角,又si/A+cos2A=1,所以sin

⑵若選條件①,由⑴可得cosA=V2sinA=y,

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,又a=V^,b=V^c,所以3=6c2+c2-4c2,^fc=l,所以b=y/6,

所以△ABC唯一確定,SAABC^bcsinA二半

V3.—

若選條件②,由44=^^,得sinB=屋=■,由b=V6>a=V3,MB>A,

smZsmBy/33

因此角B有兩解,分別對應(yīng)兩個三角形,不符合題意.

若選條件③,由⑴可得cosA=V2sinA=y,

因為sinA=-^>sinC=[,所以a>c,

所以A>C,則cosC考

因此sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=-y,AABC唯一確定,

由a=三,得c=^|^=l,所以SAABC=^acsinB=f.

sinZsinC里22

3

6.B由c-b=2bcosA,結(jié)合正弦定理得sinC-sinB=2sinBcosA,

又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinAcosB+cosAsinB-sinB=2sinBcosA,

則sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B),

因為△ABC是銳角三角形,所以0<A<p0<B<p

則」<A-B<:

22

所以B二A-B,即A=2B,則

[0<2B<-,什r歷n

所以2解得則朱cosBv今

0<TT-3B<-,6422

2

所以2WH*=2COSBe(V2,V3).

bsmBsmB

故選B.

設(shè)貝

7.BNAOP=8,U0<0<4-,

VAB/7OP,ZPOQ=J

.?.ZABO=^ZOAB=O,ZAOB=^-O,

OA-sinz.OAB

在^OAB中,由正弦定理得OB=2sin0-=2V2sin仇

sinz.ABO匹

2

SAoAB=|OAOBsinZAOB=2V2sinOsin(;-0)

=2V2sin6(手cos0-產(chǎn)sin0)=2sin0cos0-2sin20

=sin20-1+cos20=V2sin^20+-1,

???0?(05-2。+#&聿,

???當(dāng)29+巖,

即時,5/,(^取得最大值加-1.故選B.

o

解后反思本題考查幾何圖形中面積最值的求解,解題關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笕切蚊娣e表

示為關(guān)于變量0的函數(shù),結(jié)合三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)得到最值.

8.D對于A,由余弦定理的推論得bcosA+acosB=""《)

2bc

a{a2+c2-b2}_2c2_

+2ac-2c—

貝U叱絲竺"二上二2R=延,故A錯誤;

sinCsinC3

對于B,由E:=2R得等=竽,解得sinC咚又C為銳角,所以C=J

sinCsinC323

則^ABC的周長為a+b+c=2R[sin?l+sin(y-A)]+2

4A/3.人V3.1.人八4A/33.人V3人c

sinAH-cosA+-smA+2=——I-sinA+—cosAJ+2

322322

=4sin(2+1)+2,

因為0<A<,,所以£<A+£聾,所以4sin(2+沙2G(4,6],故4ABC周長的最大值為6,故B

錯誤;

TT"COSBcos(^-A)cos竿cosA+sin竽sirM(

對于c,—二——~--——--------------------—-■=-1+-ytanA,A£0,1U

cosAcos>lcosA

故tanA£(-oo,-V3)U(0,+oo),

所以W的取值范圍為(-00,-2)U故c錯誤;

C0Si4\2/

對于D,由正弦定理得名高言丁號號,所以b音sin(2+5

則aB/C=2bcosA=2x^^sin(2+§cosA

=—[-sinAcosA+^COS2AJ=—[-sin2A+同辰°$2可=±&in(22+-)+2,

3223443V3/

因為0<A<*,所以]<2A+]<T,

則當(dāng)2A+>封港硝max粵+2,故D正確.

故選D.

9.解析⑴由a2-V^ac+c2=b?及余弦定理得2accosB=V2ac,

所以cosB=^,又Be(OR),所以B=?

⑵因為B=:,所以&cosA+cosC=V2cosA+cos(乎-A)

=—sinA+—cosA=sm(A+-Y

22\4/

因為0<A<拳所以A+衿&11)'

所以sin(4+g£(0,l],

所以acosA+cosC£(0,1],

故&cosA+cosC的取值范圍為(0,1].

10.解析⑴由(2a-b),cosC-ccosB=0及正弦定理得

(2sinA-sinB)cosC-sinCeosB=0,

則2sinAcosC-sin(B+C)=0,

IA+B+C=7t,:.sin(B+C)=sin(7C-A)=sinA,則有2sinAcosC-sinA=0,

???A£(0,7i),

sinA>0,/.cosC二一,

2

XCe(0,7i),.*.C=J

⑵解法一(余弦定理+

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