人教版高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平面向量及其應(yīng)用 練習(xí)（含解析）

人教A版（2019）必修二第六章平面向量及其應(yīng)用

（共20題）

一、選擇題（共11題）

1.已知a+b+c=0,㈤=2,同=3,|c|=V19,則向量五與石之間的夾角（a,b）為（）

A.30°B.45°C.60°D.以上都不對(duì)

2.若窗b都是單位向量，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A->7*

A.a=bB.a-b=1C.d//bD.\d\=\b\

3,已知單位向量a,b滿足|d|=|d+faI?則（a+-K=()

A.-B.1c.-D.0

22

->

4.已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2),若c=a—(a-b)b,則Ic|等于（)

A.4V2B.2V5C.8D.8V2

5.在△ABC中,HA>是"sinA>si?的()

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

6.若平面向量后與1的夾角為120°,a=（1，—J同=2,則|2日—同等于（）

A.V3B.2V3C.4D.12

7.在平行四邊形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，設(shè)荏=2,AD=bf貝!J麗=

()

1T13W3-*a41T

A.--a+-bB.-a+-DC.-a--bD.-a--b

42242442

8.在中，內(nèi)角4和B所對(duì)的邊分別為a和b,貝1Ja>b是sinA>sinB的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若ccosB+bcosC=asin/1,△ABC

的面積S=^S2+a2—c2),則B=()

A.90°B.60°C.45°D.30°

10.如圖，菱形ABCD中，下列結(jié)論中正確的是（)

D

B

A.AB=CD

B.AB-AD=~BD

C.(AB+AD)1(AB-AD)

D.\AB+AD\=\AB-AD\

11.給出下列命題：

①兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；

②若|a|=\b\,則a=b；

③若AB=~DC,則ABCD為平行四邊形；

④在平行四邊形ABCD中，一定有AB=DC,

⑤若m=n,n=p,則訪=萬(wàn).

其中不正確的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

二、填空題（共5題）

12.已知a,b是單位向量，3且B_L落則2不=____,|c|=____.

13.在AaBC中，已知AB=2,AC=3,BC=4,M是BC的中點(diǎn)，則AM=

14.已知。是銳角△ABC的外心，tanA=-,若上空?AB+上江-AC=2m-AO,則實(shí)數(shù)

2sinCsinB

m=

15.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120。的扇形40B,小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)

C處，且小區(qū)里有一條平行于BO的小路CD,已知某人從C沿CD走到。用了10分鐘，

從D沿DA走到4用了6分鐘，若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑OA的

長(zhǎng)約為—（精確到1米）.

16.在工ABC中a=3,b=2A/6,B=2A,COSXc=

三、解答題(共4題)

17.已知平面向量a=(—1,2),b=(2,m).

(1)若21求|2+I；

(2)若m=0,求2+3與五一B夾角3的余弦值.

18.已知a,b,c分別為AABC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊，a(sin4+4sinB)=8sin4.

(1)若b=1,4=E,求sinB；

6

(2)已知C=p當(dāng)AZBC的面積取得最大值時(shí)，求AABC的周長(zhǎng).

19.東西向的鐵路上有兩個(gè)道口A,B,鐵路兩側(cè)的公路分布如圖，C位于A的南偏西15。，且位于

B的南偏東15°方向，D位于A的正北方向，AC=AD=2km,C處一輛救護(hù)車(chē)欲通過(guò)道口

前往D處的醫(yī)院送病人，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向的E處(火車(chē)頭位置)有一列火車(chē)自東向西駛來(lái),

若火車(chē)通過(guò)每個(gè)道口都需要1分鐘，救護(hù)車(chē)和火車(chē)的速度均為60km/h.

⑴判斷救護(hù)車(chē)通過(guò)道口A是否會(huì)受到火車(chē)影響，并說(shuō)明理由；

(2)為了盡快將病人送到醫(yī)院，救護(hù)車(chē)應(yīng)選擇A,B中的哪個(gè)道口？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明.

20.如圖所示，甲船在距離A港口24海里，并在南偏西20。方向的C處駐留等候進(jìn)港，乙船在

A港口南偏東40。方向的B處沿直線行駛?cè)敫?，甲、乙兩船距離為31海里.

(1)求^ABC的大?。?/p>

(2)當(dāng)乙船行駛20海里到達(dá)D處，接到港口指令，前往救援忽然發(fā)生火災(zāi)的甲船，此時(shí)甲、

乙兩船之間的距離為多少？

答案

一、選擇題(共11題)

I.【答案】C

【解析】由題意知a+b=-c,兩邊平方得，|c|2=\a,\2+|fo|2+2\a.\\b\cos(a.,b),即19=4+

9+2x2x3xcos(a,b),所以cos(a,b)=所以值3)=60。.

2.【答案】D

3.【答案】D

【解析】對(duì)條件式兩邊平方計(jì)算d-b,再計(jì)算(a+jb)-h.

因?yàn)槁鋌是單位向量，所以a2=b2=1,

因?yàn)閨石|=|2+||,所以a2+2a-b+b2=1,故a-b=

所以(五+}3)7=17+之12=—：+：=0.

4.【答案】D

5.【答案】A

【解析】由正弦定理知目=3=2R,

smAsinB

因?yàn)閟in->sinB,

所以a>b,

所以

反之，

因?yàn)锳>B,

所以a>b,

因?yàn)閍=2Rsin4b=27?sinB,

所以sinA>sinB.

6.【答案】B

【解析】因?yàn)槠矫嫦蛄亢笈c后的夾角為120。，江|同=2,

所以\a\—1,

所以a-b=\d\-\b\-cosl20°=1x2x(―號(hào))=—1,

所以12a—b|=4|五『+|/)|—4五,b=4+4—4X(—1)=12,

所以\2a-b\=2V3.

7.【答案】D

【解析】由題可知，

FB=AB-AF

=AB--AE

2

=AB-\(AD+DE}-AB-^AD-\^AB)

=-AB--AD

42

=-3aT——ibr.

42

8.【答案】C

【解析】在三角形中，若a>b,由正弦定理號(hào)=島，得sin4>sinB.

sinAsinB

若sin/>sinB,則正弦定理-^―=一也，得a>b,

sinAsinB

所以，a>6是sinZ>sinB的充要條件.

故選：C.

9.【答案】D

10.【答案】C

【解析】A：由圖形可知，AB=DC,故A錯(cuò)誤；

B：由平面向量的減法法則可知，AB-AD=DB,故B錯(cuò)誤；

C：由平面向量的加、減法法則可知，

AB+AD=AC,AB-AD=DB,

又菱形的對(duì)角線互相垂直，所以就1礪，

即(IB+AD)1(AB-AD^),故C正確；

D：根據(jù)選項(xiàng)C的分析可知，

\AB+AD\=\AC\,\AB-AD\=\DB\,

菱形ABCD中，AC豐DB,所以\AB+AD\^\AB-AD\,故D錯(cuò)誤.

11.【答案】B

【解析】對(duì)于①，兩個(gè)向量相等時(shí)，若它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同，①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，若㈤=向，貝1|a=b不一定成立，②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，若荏=灰,則ABCD不一定構(gòu)成四邊形，③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，平行四邊形4BCD中，|荏|=|反且方向相同，所以四=反，④正確;

對(duì)于⑤，若沅=記，ii=p,根據(jù)向量相等的定義知m=p,⑤正確；

綜上，其中不正確的序號(hào)是①②③，共3個(gè).

二、填空題（共5題）

12.【答案】—5(或—0.5)；V5

【解析】因?yàn)?=a+2坂且21落

則5?c=a-(a+2b)=a2+2a-b=14-2a-b=0,

可得a-b=—I，\c|2=(a+2b)2=a2+4a-b+4b2=1+4x(—+4=3,

故Ic1=V3.

13.【答案】當(dāng)

【解析】如圖所示，

在4ABC中，AB=2,BC=4,AC=3,

因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，

所以BM=MC=2,

所以AM2=AC2+CM2-2AC-CM-cosC=32+22-2x3x2x-=-,

82

所以AM=^,即AM的長(zhǎng)為早.

14.【答案】噂

15.【答案】445米

【解析】連接0C,

由題設(shè)可知CD=10X50=500米，AD=6x50=300米，

在△OCD中，

0D=(0A-300)米，0C=0A,乙CDO=180°-120°=60°,

由余弦定理得0c2=CD2+OD2-2xCDxODxcos60",

即OA2=5002+(。4-300)2-500X(04-300),

故。A=詈。445（米）.

16.【答案】?；5

三、解答題（共4題）

17.【答案】

(1)因?yàn)?1亡2=(-1,2),3=(2,m),

所以五?石=0,即—2+2zn=0,

解得m=1,

所以3=(2,1),

所以a+2b=(—1,2)+(4,2)=(3,4),

所以|五+2b|=V32+42=5.

(2)若m=0,則3=(2,0),

所以d+/?=(1,2),3.—b=(—3,2),

所以I,+b|=V5,\a-b\=V13,(2+b).(2—b)=-3+4=1,

(a+D)-(a-H)

所以cosd=1V65

\a.+b\\a.-b\V5xV1365

18.【答案】

(1)由a(sinX+4sinB)=8sinX,

得a(a+4b)=8a,即a+4力=8.

因?yàn)閎=1,

所以a=4.

由4_1

si弓sinB'

得sinB=

8

(2)因?yàn)閍+4b=822,4ab=4y/~ab>

所以abW4,當(dāng)且僅當(dāng)a=4,b=1時(shí)，等號(hào)成立.

因?yàn)椤鰽BC的面積S=^absinC<|x4xsin]=V3.

所以當(dāng)a=4,b=l時(shí)，A4BC的面積取得最大值，

止匕時(shí)c2=42+I2-2x4x1xcos^=13,解得c=V13,

所以AABC的周長(zhǎng)為5+V13.

19.【答案】

(1)依據(jù)題意：在AZCE中，正弦定理：

1

.A：二,解得：AE=2x^-=V2,

sin30°sin45°%

2

所以救護(hù)車(chē)到達(dá)A處需要時(shí)間：9=去h=2min,

6030

火車(chē)到達(dá)A處需要時(shí)間：h=1.41min,火車(chē)影響A道口時(shí)間為[V2,V2+1],

2G[V2,V2+1],

所以救護(hù)車(chē)經(jīng)過(guò)A會(huì)受影響.

(2)若選擇A道口：

一共需要花費(fèi)時(shí)間為：以=/+1+2x60=(3+⑨=4.41min,