三角形（一）重難點(diǎn)-2024-2025學(xué)年初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)期中重難點(diǎn)復(fù)習(xí)攻略

第11章三角形（1）——重難點(diǎn)

內(nèi)容范圍：11.1-11.2

?重難點(diǎn)知識(shí)導(dǎo)航

三角形

?重難點(diǎn)知識(shí)剖析

R點(diǎn)不

知識(shí)點(diǎn)一：三角形的邊

1.三角形三邊的關(guān)系

三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊.

2.三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用

應(yīng)用方式解題技巧

判斷三條線段能否構(gòu)成三角

把較短的兩條線段相加，所得的和與第三條線段比較

形

已經(jīng)兩條線段，求第三條線已知線段（。三力，第三條線段X的取值范圍是：

段的取值范圍a—b<x<a+b

解決等腰三角形腰、底邊和

兩腰之和大于底邊

周長(zhǎng)問(wèn)題

利用三角形三條線段的不等關(guān)系判斷絕對(duì)值里面的正負(fù)符

化簡(jiǎn)絕對(duì)值

號(hào)，再利用絕對(duì)值法則化簡(jiǎn)

利用三角形三邊的關(guān)系，結(jié)合等線段的代換和不等式的性質(zhì)，

證明線段間的不等關(guān)系

證明線段間的不等關(guān)系

求線段之和的最小值或線段

構(gòu)造三角形，利用三邊關(guān)系求解

之差的最大值

3.三角形的穩(wěn)定性

三角形的形狀是不變的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.三角形的這個(gè)性質(zhì)在生產(chǎn)

生活中應(yīng)用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀.

典例精講

例1

1.平面內(nèi)，將長(zhǎng)分別為1,5,1,1,d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d

可能是（）

5

A.1B.2C.7D.8

例2

2.己知VABC的三邊長(zhǎng)為。，b,c,化簡(jiǎn),+分-‘|-性-°-<?|的結(jié)果是.

O變式訓(xùn)練

變式1

3.已知〃、b、c為VABC的三邊長(zhǎng).若VABC為等腰三角形，且周長(zhǎng)為16,已知。=4,

求6、。的值.

變式2

4.已知。，b,c是VABC的三邊長(zhǎng)，a、人滿足卜—7|+。-2）2=0,且邊長(zhǎng)c的值為偶數(shù),

則VABC的周長(zhǎng)為多少？

知識(shí)點(diǎn)二：三角形的主要線段

L三角形的角平分線、中線、高線比較

線端三條

段點(diǎn)線段

定義示圖主要性質(zhì)

名名交點(diǎn)

稱稱名稱

三角形的一個(gè)角的平

角頂/

分線與這個(gè)角的對(duì)邊

平點(diǎn)

相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和內(nèi)心/BAD=/CAD

分交

交點(diǎn)間的線段叫做三

線點(diǎn)BDC

角形的角平分線

在三角形中，連接一個(gè)頂

中頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)點(diǎn)8r>=DC平分三角形

重心

線的線段叫做三角形的中的面積

BnC

中線點(diǎn)

從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向

頂

它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)A構(gòu)造兩個(gè)直角三角

點(diǎn)

高和垂足之間的線段叫垂心形，利于計(jì)算三角形

垂

做三角形的高線（簡(jiǎn)稱的面積

足

三角形的高）

2.角平分線與三角形的角平分線的比較

比

較

角平分線三角形的角平分線

項(xiàng)

目

從角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊

定

分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做角的相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三

義

平分線角形的角平分線

圖

示

0ABDC

性

ZAOC=ZBOC=-ZAOB/BAD=ZCAD=-ABAC

質(zhì)22

區(qū)

射線線段

別

3.中線平分面積的常見(jiàn)模型

中線數(shù)

圖形數(shù)量關(guān)系

量

一條中

Q^ABD-°AACD_2△ABC

線

“Dc

q-V=—S

^△ABD一口△ACD—2

二條中

S^ACE~SgCE=2SAABC

線

q一q

□△BOE-°ACOD

q-v-XQ

°4ABD—U&ACD_2AABC

三條中

q-Q--S

°AABP—QQBp-2UAM。

線

q_q-Av

°AACP一°QCP—2AACO

S/^ABD=S&ACD=萬(wàn)^AABC

c_c_J_V

四條中°AABE-°DBE-2uAM。

線=

‘△ACES^DCE=萬(wàn)^/\ACD

q-v-XQ

BDCn^BEF-。MF—?。&BCE

4.銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的高比較

比

較

銳角三角形直角三角形鈍角三角形

項(xiàng)

目

圖

A

示A

J

0「

條BDCC

高

條AD,BE,CFAC,BC,CDAD,BF,CE

高

垂

心

三角形內(nèi)部斜邊上三角形外部

位

置

面

積S=-ABCF=-BCAD=-A^?^E-ABCD=-BC-AS=-ABCE=-BCAD=-A(

22222222

公

式

典例精講

例1

5.如圖，在VABC中，Z1=Z2,G為A￡＞的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BG交AC于E.點(diǎn)P為A3上的一

點(diǎn)，于".下列判斷正確的有（）

（1）AD是VABC的角平分線；（2）BE是VABC邊AC上的中線；（3）CH為^ACD邊AD

上的高；（4）AMG和△G3D面積相等.

例2

6.【圖形定義】

有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱為等高三角形.

例如：如圖①.在7ABC和^A'B'C'中，AD,AD'分別是BC和B'C邊上的高線，且AD=4D，

則VABC和△AB'C'是等高三角形.

圖①圖②圖③

【性質(zhì)探究】

如圖①，用S/Bc，2A，B，C，分別表示VABC和AAUC的面積.

則S^c=^BCAD,SAA,B,C,=1B'C-A'D',

,:AD=AD

*e?S^ABC:^AA'B'C=BC：B'C'.

【性質(zhì)應(yīng)用】

⑴如圖②，。是VABC的邊BC上的一點(diǎn).若叨=3,DC=4,則S皿=；

(2)如圖③，在VABC中，D,￡分別是BC和A3邊上的點(diǎn).若BE:AB=1:2,CD:BC=1:3,

S/\ABC=]'貝IS^BEC=，S&CDE=；

⑶如圖③，在VABC中，分別是BC和AB邊上的點(diǎn)，若BE:AB=l:〃z,CD:BC=l;n,

SAABC=A,則CDE=?

o變式訓(xùn)練

變式1

7.如圖，在VABC中，已知點(diǎn)。、E、F分別是2C、AD.CE的中點(diǎn)，且VABC的面積

是8,則△3EF的面積是()

A.1B.2C.3D.4

變式2

8.(三角形面積)如圖，三角形ABC中，D為邊上任一點(diǎn),AD=3AE,EB=3EF,FG=GC,

三角形EPG的面積為1平方厘米，求三角形ABC的面積.

知識(shí)點(diǎn)三：三角形的內(nèi)角和外角

1.三角形的內(nèi)角和外角比較

比

定義圖形性質(zhì)關(guān)系

較

項(xiàng)

目

角三角形兩邊所

A

組成的角叫做三

形同一頂點(diǎn)的一對(duì)

ZA+ZB+ZC=180°

的角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)

內(nèi)外角是鄰補(bǔ)

內(nèi)稱三角形的角

BC角；三角形的外

角

角等于不相鄰的

兩個(gè)內(nèi)角的和；

三角形的外角大

角三角形的一邊與

于不相鄰的內(nèi)

形另一邊的線

N4+N5+N6=360。

角；

的組成的角，叫做

外三角形的外角

角

2.直角三角形的性質(zhì)

文字表述圖形表述符號(hào)表述

A

直角三角形的兩個(gè)銳角互余ZC=90°,ZA+Zfi=90°

C二B

3.三角形內(nèi)外角常見(jiàn)模型

模型名稱圖示性質(zhì)

“8”字模型

D乙A----------

A

“A”字模型ZADE-^-ZAED=NC+N5

飛鏢模型Z.BDC=ZA+Z5+ZC

AA

雙內(nèi)角平分線ZBOC=90°+-ZA

A2

A

雙外角平分線ZBOC=90°--ZA

2

A

內(nèi)角平分線+外角平分線v\ZBOC=-ZA

zc2

1

角平分線與高模型ZDA￡=|ZB-ZC

7D/

典例精講

例1

9.如圖，已知跖、CE分別是ZABD和NACD的角平分線，NA=40。，ZD=30°,則2E

的度數(shù)為()

C.40°D.45°

例2

10.如圖①，在VABC中，/ABC與/ACB的平分線相交于點(diǎn)尸.

QQ

圖②圖③

⑴若NA=60。，則N3PC的度數(shù)是.

(2)如圖②，作VABC外角NMBC,NNCB的角平分線交于點(diǎn)2,試探索/。，/A之間的

數(shù)量關(guān)系;

(3)如圖③，延長(zhǎng)線段3尸，QC交于點(diǎn)E,在△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍,

求—A的度數(shù).

O變式訓(xùn)練

變式1

11.具備下列條件的VABC中，不是直角三角形的是()

A.ZA=2ZB=3ZCB.

C.ZA:ZB:ZC=3:4:7D.ZA=-ZB=-ZC

23

變式2

12.［實(shí)驗(yàn)探究］

(1)將一副三角板如圖1擺放，使三角板。的兩條直角邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,點(diǎn)C,且

EF//BC,貝l]N4B￡>+NACE)=

(2)在圖1的基礎(chǔ)上，三角板ABC保持不動(dòng)，將三角板。跖旋轉(zhuǎn)得到圖2,使三角板。跖

的兩條直角邊依然分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,點(diǎn)C,貝UNAB￡>+NACD=

ErE

［猜想證明］

如圖3,試猜想NA,/3,NC,N3r>C之間的關(guān)系，并證明.

［結(jié)論應(yīng)用］

請(qǐng)直接利用以上的結(jié)論，解決問(wèn)題：如圖4,與NACD的角平分線交于點(diǎn)E,若

ZA=54°,ZD=98°,求2E的度數(shù).

1.三角板模型

名

圖形關(guān)系

稱

平

行A

線

與Nl+N2=NC=90。

嬴'N

角

板

角C

板

Zl-Z2=ZA=30°

與

直

尺

共

頂

點(diǎn)

E

的

ZBED=ZB-ZD=15°

ZAED=ZAEB+N5ED=90。+15。=105。

副

角

板

共

E

頂

N3=Nl=N￡=60。

點(diǎn)

N2=NG4B—Nl=30。

的

N4=NC=45。

副

角

板

不

共

頂

點(diǎn)

的Na=ZA+ND=75。

=NF+ZB=135。

副

角

板

不

共

頂

點(diǎn)

的

ZAPF=ZA+ZF=105°

副

角

板

2.三角形折疊問(wèn)題

描述圖形關(guān)系

■

頂點(diǎn)落在三角形內(nèi)部Zcr+Z^=2Z/

1

\F

頂點(diǎn)落在三角形的外部Z1-Z2=2ZA

E廿’

DC

C

/八1

￡)/:

折線過(guò)頂點(diǎn)，頂點(diǎn)落在三角形外

NCDC=2NBDC

部

AB

拆線過(guò)頂點(diǎn)，頂點(diǎn)落在三角形邊

ZBDE=ZA-ZB

上

ADB

；Q?典例精講

例1

13.如圖，將VABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)火處，且平分/ABC,AC平分/ACB,

若/54'C=122。，則4+N2的度數(shù)為（）

AEC

A.116°B.100°C.128°D.120°

例2

14.如圖，VABC中NA=30。，E是AC邊上的點(diǎn)，先將AABE沿著B(niǎo)E翻折，翻折后AABE

的AB邊交AC于點(diǎn)。，又將△BCD沿著3D翻折，C點(diǎn)恰好落在BE上，此時(shí)NCD3=82。，

則原三角形的NB=_度.

G）變式訓(xùn)練

變式1

15.一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點(diǎn)E在A3的延長(zhǎng)線上，當(dāng)。尸〃A5時(shí)，ZEDB

的度數(shù)為（）

變式2

16.將一副三角板中的兩塊直角三角板如圖1放置，PQ//MN,ZACB=ZEDF=90°,

ZDEF=ZDFE=45°,ZCBA=60°,/C4B=30。.（溫馨提示：三角形的內(nèi)角和為180。）

⑵現(xiàn)固定VABC的位置不變，將山即沿AC方向平移至點(diǎn)E正好落在P2上,如圖2所示,

DF與PQ交于點(diǎn)、G,作々GQ和NGE4的角平分線交于點(diǎn)a,求NG/7F的度數(shù)；

(3)現(xiàn)固定ADEF,將VABC繞點(diǎn)A以每秒3度的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖3所示，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)

間為f秒(t<50),旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)線段3C與△/)砂的一條邊平行時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出f的值.

參考答案:

1.c

【分析】如圖(見(jiàn)解析)，設(shè)這個(gè)凸五邊形為ABCDE,連接ACCE,并設(shè)AC=a,CE=6,

先在VA3C和ACDE中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得4<a<6,0<b<2,從而可得

4<a+b<8,2<a-b<6,再在AACE中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得a-b<a+b,

從而可得2<d<8,由此即可得出答案.

【詳解】解：如圖，設(shè)這個(gè)凸五邊形為ABCDE,連接AC,CE,并設(shè)AC=",CE=6,

在VABC中,5-1<?<1+5,即4<a<6,

在ACDE中，1-1<6<1+1,即0<6<2,

所以4<a+Z?<8,2<a-b<6,

在ZXACE中，a-b<d<a+b,

所以2<d<8,

觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)C符合，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造三個(gè)三角形是解題關(guān)鍵.

2.2b—2c##—2c+2b

【分析】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，根據(jù)三角形中任意兩邊之差

小于第三邊，任意兩邊之和大于第三邊得至!ja+6>c，a+c>6,貝!Ja+b-c>。，b-a-c<0,

據(jù)此化簡(jiǎn)絕對(duì)值求解即可.

【詳解】解：：VABC的三邊長(zhǎng)為。，b,c,

a+b>c,a+c>b,

a+b—c>0,b—a—c<0,

|cz+Z?-c1一弧—a-c]

=a+b-c+(b-a-c)

=a+b—c~\~b—a—c

=2b-2c,

故答案為：2b-2c.

3.b=c=6

【分析】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，對(duì)4=4分為。為腰

長(zhǎng)或。為底邊兩種情況進(jìn)行分類討論，即可作答.

【詳解】解：???△ABC為等腰三角形，且周長(zhǎng)為16,

分兩種情況：

①當(dāng)。=4為腰長(zhǎng)時(shí)，

底邊=16-4-4=8,

,.-4+4=8,

二不能構(gòu)成三角形，故a=4為腰長(zhǎng)舍去；

②當(dāng)a=4為底邊時(shí)，

?「4為底邊，6為腰長(zhǎng)符合三角形的三邊關(guān)系，

:.b=c=6.

4.AABC的周長(zhǎng)為15或17

【分析】本題考查了絕對(duì)值，偶次塞的非負(fù)性，三角形三邊數(shù)量關(guān)系，根據(jù)題意，

o-7=0,6-2=0,求出a,匕的值，根據(jù)三角形三邊數(shù)量關(guān)系，確定。的值，分類討論，由

此即可求解.

【詳解】解：已知心―7|+(6-2)2=。，|a-7|>0,(&-2)2>0,

a—7=0,b—2=0,

解得，a=7,b=2,

：.7-2<c<7+2,即5<c<9,

的值為偶數(shù)，

??c—6c=8,

當(dāng)c=6時(shí)，三角形三邊長(zhǎng)分別為：2,6,7,

...△ABC的周長(zhǎng)為：2+6+7=15；

當(dāng)c=8時(shí)，三角形三邊長(zhǎng)分別為：2,7,8,

的周長(zhǎng)為：2+7+8=17；

綜上所述，AABC的周長(zhǎng)為15或17.

5.B

【分析】本題考查了三角形的角平分線、中線、高線的概念，注意：三角形的角平分線、中

線、高都是線段，且都是頂點(diǎn)和對(duì)邊相交的交點(diǎn)之間的線段.正確理解定義是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)三角形的角平分線、中線、高線的概念逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】解：=

二AD是VABC的角平分線，故（1）正確.

無(wú)法判斷AE=EC,故BE不是VABC邊AC邊上的中線，故（2）錯(cuò)誤.

CHLAD,

C”為AACD邊AD上的高，故（3）正確，

：G是AD的中點(diǎn)，

.??△ABG和△GBD面積相等，故（4）正確.

故選：B.

6.（1）3:4

【分析】（1）由圖可知和小。。是等高三角形，然后根據(jù)等高三角形的性質(zhì)即可得

到答案；

（2）根據(jù)3E:AB=1:2,S=BC=1和等高三角形的性質(zhì)可求得“BEC，然后根據(jù)8：BC=1：3

和等高三角形的性質(zhì)可求得SACDE；

（3）根據(jù)=S/Bc=a和等高三角形的性質(zhì)可求得SABEC,然后根據(jù)

CD-.BC=l.n,和等高三角形的性質(zhì)可求得以CDE.

【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AEL8C,

則S，ABD=；BD.AE,SVADC=^DC-AE

\"AE=AE,

?1.5AABD：SAADC=BD:DC=3:4.

(2)解：：V3EC和VABC是等高三角形,

**?S&BEC-S4ABC=BE:AB=1:2,

S^BEC=/^AAfiC=/X1=耳

,/"2DE和YBEC是等高三角形,

**?SMDE:S&BEC=CD:BC=1:3,

.03_ii_i

,,>ACDE~TABEC_TXT-T

3、326

(3)解：和VABC是等高三角形,

,?S^BEC?SAABC=BE:AB=1'm,

1a

△Xa=

s4BtFmC=-sL,ABC=-—

mmm

：ACDE和VBEC是等高三角形,

:?SMDE:S^BEC=CD:BC=l:n,

S.cDE=-S-BEC=-X-=—

nnmmn

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等高三角形的定義、性質(zhì)以及應(yīng)用性質(zhì)解題，熟練掌握等高三角形

的性質(zhì)并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

7.B

【分析】此題考查了利用三角形中線求面積，依據(jù)三角形的面積公式及點(diǎn)。、E、尸分別

是BC、AD,CE1的中點(diǎn)，推出s△D朝Cr.=A-s從而求得△3EF的面積.

【詳解】解：；點(diǎn)D、E、F分別是BC、AD.CE的中點(diǎn),

J_vq-J_Qq

,,S4ABD-^^ADC

2°AABC，Q^BDE~2AABD'O&CDE5^AADC、BEF=5S4BEC'

1

?q=

CDE)=-1-——(SABD+SADC)—S;

,?°ABEF5々BEC=](S^BED+SS△ABD4\AABDAAUC/4A/AIDBC'

ACD匕/212，

TVABC的面積是8,

,?S^BEF=2?

故選：B

8.9平方厘米

【分析】本題考查三角形的中線，連接CE,根據(jù)三角形的中線平分面積，同高三角形的面

積比等于底邊比，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：連接CE,

?/FG=CG,

,?,3VEFC-—乙7uV4EFG-—乙9，

;EB=3EF,

?q—QV—A

,?屋BEC_AEFC_u，

'：AD=3AEf

：.DE=2AE,

?q--vq—A<?

,?乙ABE_2ABDE5AACE-。^^CDE，

=R

?q+v=J-S+A<;=J_qJ

,.Q?ABE十04ACE_20I.BDE十o°C.CDE_2adBEC~，

三角形ABC的面積=S^E+S.ACE+S.BEC=9（平方厘米）

9.B

【分析】本題考查的是角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，先設(shè)

ZABE=ZDBE=x°,ZACE=ZDCE=y0,證明NA—NE=NE—NO,再代入數(shù)據(jù)計(jì)算即

可；

【詳解】解:如圖,

E

H

C、D

?:BE、CE分別是和ZACD的角平分線,

:?設(shè)NABE=NDBE=x。,ZACE=ZDCE=y°f

VZAGB=ZCGE9NBHE=NCHD,

結(jié)合三角形的內(nèi)角和可得：

ZA+x0=ZE+y°,x°+ZE=ZD+y0,

ZA-AE=ZE-ZD,

/.ZE=1(ZA+Zr)),

VZA=40°,NO=30。，

ZE=ix70°=35°；

2

故選：B.

10.(1)120°；

(2)Ze=90°-1zA,理由見(jiàn)解答過(guò)程；

(3)45°或60°或120°或135°.

【分析】(1)根據(jù)角平分線定義及三角形內(nèi)角和定理得

ZPBC+NPCB=1(ZABC+ZACB)=1(180°-ZA),貝!]

/BPC=180°-(ZPBC+ZPCB)=90°+1zA,再根據(jù)ZA=60?？傻?BPC的度數(shù)；

(2)由三角形的外角定理及三角形三角形內(nèi)角和定理得NMBC+NNCB=180o+NA,再由

角平分線定義得/Q2C+NQCB=；(NMBC+NNC2)=90o+g/A,由此得/Q,—4之間

的數(shù)量關(guān)系；

(3)先求出NEBQ=90。，根據(jù)/。=90。-^44得NA=2NE,然后分四種情況討論即可；

此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角定理，角平分線定義，熟練掌握三角形

的內(nèi)角和定理，三角形的外角定理，理解角平分線定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)在VABC中，ZABC+ZACB=180°-ZA,

,//ABC與/ACB的平分線相交于點(diǎn)P,

/.PBC=-NABC,ZPCB=-ZACB,

22

ZPBC+ZPCB|(ZABC+ZACB)=1(180°-ZA),

/.NBPC=180°-(NPBC+ZPCB)=180°-1(180°-ZA)=90°+^NA

?；ZA=60。，

ZBPC=90°+-ZA=90°+-x60°=120°,

22

故答案為：120°；

(2)NQ,—A之間的數(shù)量關(guān)系是NQ=90。-；NA,理由如下：

VZMBC=ZACB+ZA,ZNCBZABC+ZA,ZACB+ZA+ZABC=1W0,

：.ZMBC+ZNCB=ZACB+ZA+ZABC+ZA=180°+ZA,

:點(diǎn)。是ZMBC和/NCB的角平分線的交點(diǎn)，

ZQBC=|ZMBC,ZQCB=|NNCB,

：.NQBC+ZQCB=+NNCB)=1(180°+ZA)=90°+1zA,

NQ=180°-(ZQBC+NQCB)=180。一190。+1/A]=90°-1ZA,

NA之間的數(shù)量關(guān)系是NQ=90。一;/A；

(3)：尸8平分-45(7,8。平分/用8。，ZABC+ZMBC=180°,

：.NPBC=-ZABC,ZQBC=-ZMBC,

22

ZPBC+ZQBC=1(ZABC+ZMBC)=1xl80°=90°,

即NEBQ=90°,

：.ZE+ZQ=90°,

由(2)可知：Ze=90°-1zA,

ZE+90°--ZA=90°,

2

ZA=2ZE,

如果在中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，那么有以下四種情況:

①當(dāng)ZEBQ=3NE時(shí)，則3ZE=90°,

ZE=30°,

此時(shí)NA=2NE=60。，

②當(dāng)NEBQ=3NQ時(shí)，貝IJ3NQ=90°,

NQ=30。，則NE=60。，

此時(shí)NA=2NE=120。，

③當(dāng)/Q=3/E時(shí)，則ZE+3ZE=9O。，

/.ZE=22.5°,

此時(shí)ZA=2NE=45。，

④當(dāng)NE=3NQ時(shí)，貝l］3NQ+NQ=90。，

/.N0=22.5。，

，NE=675°,

此時(shí)NA=24=135°,

綜上所述，/A的度數(shù)是45。或60?；?20?；?35。.

11.A

【分析】分別進(jìn)行變形結(jié)合NA+N3+NC=180。，進(jìn)行逐一求解，即可判斷.

【詳解】解：A.vZA=2ZB=3ZC,ZB=ZC=|zA,ZA+ZB+ZC=180°,

.-.ZA+|ZA+1ZA=18O°,解得：NA=(甯＞，NB=［答)。，；.VABC

不是直角三角形，故符合題意；

B.QZC-ZA=ZB,:.ZC=ZA+ZB,-.?ZA+ZB+ZC=180°,\2?C180?,解得：NC=90°,

二VABC是直角三角形，故不符合題意；

C.vZA:ZB:ZC=3:4:7,...設(shè)ZA=3x,ZB=4x,NC=7x,-.?ZA+ZB+ZC=180°,

.-.3x+4x+7x=180°,解得：xj?］。，=［苧］。x7=90。，，VABC是直角三角形,

故不符合題意；

D.vZA=-ZB=~ZC,.-.ZB=2ZA,ZC=3ZA,-.?ZA+ZB+ZC=18O°,

23

.-.ZA+2ZA+3ZA=180o,解得：ZA=30°,，3=60。，ZC=90°,，VABC是直角三角形,

故不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，掌握定理是解題的關(guān)鍵.

12.［實(shí)驗(yàn)探究］(1)45°；(2)45。；［猜想證明］ZABD+ZACD=ZBDC-ZA,證明見(jiàn)

解析；［結(jié)論應(yīng)用］76。

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，準(zhǔn)確識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

［實(shí)驗(yàn)探究］(1)根據(jù)直角三角板的性質(zhì)可得/08￡>+/灰刀=180。-/應(yīng)心=90。,

ZABC=90°,ZACB=45°,即可求解；

(2)根據(jù)直角三角板的性質(zhì)可得NCBD+N3c0=180?！狽3DC=90。，

ZABC=90°,ZACB=45°,即可求解；

［猜想證明］連接BC,在VABC和△D3C中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得

ZABC+NAC3=18()o—NA,ZDBC+ZDCB=180°-ZBDC,即可求解；

［結(jié)論應(yīng)用］由［猜想證明］得：ZASD+ZACD=ZfiDC-ZA=98°-54o=44°,

NABE+NACE=/BEC-ZA=NBEC—54。,再由角平分線的定義可得

ZABD+ZACD=2(ZABE+ZACE)=2(ZBEC-ZA),即可求解.

【詳解】解：［實(shí)驗(yàn)探究］(1)^BDC=90°,

Z.CBD+/BCD=180。一ZBDC=90°,

ZABC=90°,ZACB=45°,

ZABD+ZACD=ZABC+ZACB-(NCBD+ZBCD)=45°；

故答案為：45°

(2)ZBDC=90°,

：.Z.CBD+/BCD=180。一ZBDC=90°,

ZABC=90°,ZACB=45°,

ZABD+ZACD=ZABC+ZACB-(NCBD+ZBCD)=45°；

故答案為：45°

［猜想證明］ZABD+ZACD=ZBDC-ZA,證明如下：

如圖，連接BC,

在VA3C中，ZABC+ZACB=180°-ZA,

在△ABC中，ZDBC+ZDCB=1800-ZBDC,

：.ZABD+ZACD=(ZABC+ZACB)-(ZCBD+ABCD)

=(180°-ZA)-(180°-NBDC)

=ZBDC-ZA,

即ZABD+ZACD=NBDC-ZA；

［結(jié)論應(yīng)用］由［猜想證明］得：ZABD+ZACD=ZBDC-ZA=98°-54°=44°,

/ABE+ZACE=NBEC-ZA=Z.BEC-54°,

,/與NACO的角平分線交于點(diǎn)E,

ZABD=2/ABE,ZACD=2ZACE,

：.ZABD+ZACD=2(ZABE+ZACE)=2(NBEC-ZA),

：.44°=2(ZBEC-54°),

解得：ZBEC=76°.

13.C

【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，圖形的折疊問(wèn)題.根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，

可得NA2C+NA'CB=58。，再根據(jù)角平分線的定義可得