三角形中的角平分線模型（解析版）-2023年中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破

專題05三角形中的角平分線模型

內(nèi)容導(dǎo)航：模型分析T典例分析T

【模型1］如圖，已知0P平分ZAOB,過點(diǎn)P作尸。CM,尸￡，08；可根據(jù)角平分線性質(zhì)證得NODP

卷AOEP,從而可得NOP。=NO尸￡,OD=OE;PD=PE。

A

EB

【模型拓展】與角平分線有關(guān)的輔助線作法

【輔助線作法一】

如圖，已知0P平分NZ08,點(diǎn)C是0A上的一點(diǎn)，通常情況下，在0B上取一點(diǎn)D,使得0。=。。，連接

PD,結(jié)合。尸=。尸，NPOC=ZPOD,可證得AOPC以AOPD。從而可得PC=PD,ZPCO=ZPDO,

ZCPO=NDPO。

P

DB

【輔助線作法二】

如圖，己知0P平分NZ05,CPLOP,通常情況下，延長CP交0B于點(diǎn)D,結(jié)合。尸=。尸,

ZPOC=ZPOD,ZOPC=ZOPD=90°,可證得AOPCgAOPD。從而可得尸C=尸。，

ZPCO=ZPDO,OC=ODa

A

c

DB

【輔助線作法三】

如圖，已知OP平分4408,通常情況下，過點(diǎn)P作PC〃OB,根據(jù)平行線性質(zhì)：兩直線平行內(nèi)錯角相等;

結(jié)合/尸。。=/尸?！?gt;,從而可得尸C,ZCOP=ZCPOo

【例1】如圖，OC為々108的角平分線，點(diǎn)P是。C上的一點(diǎn)，PD工04于D,PELOB于E,尸為OC上另

一點(diǎn)，連接。尸，EF,則下列結(jié)論：?OD=OE；②DF=FE；③乙DFO=LEFO；@SADFP=SAEFP,正

確的個數(shù)為()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】證明△0。尸三△OEP(AAS),由全等三角形的性質(zhì)可推出OD=OE,證明/三△EPF(S4S),由

全等三角形的性質(zhì)可推出。尸=￡足4>FP=LEFP,SADFP=SAEFP,則可得出答案.

【解析】解：①??,OC平分乙

:?乙DOP=(EOP,

???尸ZHCM于點(diǎn)。，PELOB于點(diǎn)、E,

工乙ODP=￡OEP=9。。,

，：OP=OP,

^.AODP=AOEP(AAS),

：.OD=OE.故①正確；

@---AODP=AOEP,

：.PD=PE,乙OPDxOPE,

???乙DPF=(EPF,

，:PF=PF,

???△DPF三AEPF(SAS)f

：.DF=EF.故②正確；

@--ADPF=AEPF,

.-.ADFO=AEFO,故③正確；

@---ADPF=AEPF,

■■.SADFP=SAEFP,故④正確.

故選：D.

【例2】如圖，已知0c平分WON,點(diǎn)/、8分別在射線OM,ON上,且O/=O8.

求證：AAOC=ABOC.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法可以證明結(jié)論成立.

【解析】證明：:OC平分39N,

"OC=LBOC,

在A4OC和△8OC中,

OA=OB

</AOC=/BOC,

oc=oc

?.AAOC=ABOC（&4S）.

【例3】請閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的問題：角平分線分線段成比例定理：如圖1,在△ZBC中，4。平

分乙BAC,則空二絲，下面是這個定理的部分證明過程：

證明：如圖2,過。作CE,交氏4的延長線于瓦

任務(wù)：

（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

（2）如圖3,已知RfA42c中，AB=3,2c=4,ZJ5c=90。，4D平分4B4C,求AD的長.（請按照本題題干

的定理進(jìn)行解決）

9+3加

【答案】（1）見解析；（2）2.

【分析】（1）如圖2：過。作CEII。/.交R4的延長線于E,利用平行線分線段成比例定理得到空=答

CDEA

利用平行線的性質(zhì)得乙2=乙4?！?乙l=LE,由N1=/2得乙4CE=N￡,所以即可證明結(jié)論；

ArCD5CD

（2）先利用勾股定理計算出4C=5,再利用（1）中的結(jié)論得到二=須；，即g=W則可計算出

ABBD3BD

BD=W，然后利用勾股定理計算出4）=述，從而可得到418。的周長.

22

【解析】（1）解：如圖2：過C作CEIID4.交8/的延長線于E,

■■■CE//AD,

BDBA

—,￡2=cACE,zl=zE,

~CDEA

-AD平分乙BAC

?,.Z.1=Z2,

工乙4CE=^E,

：.AE=AC,

AB_BD

"ACCD'

(2)?：AB=3,BC=4,乙45C=90。，

?.4C=5,

-AD平分ABAC,

ACCD54—BD

???——=——,n即n一=-----,

ABBD3BD

3

:.BD=—,

2

■■AD=^BD2+AB2=J])+3?=孚，

■■.AABD的周長=』+3+—="3振.

222

一、單選題

1.如圖，中，AB=5,BC=6,CA=10，，點(diǎn)￡分別在BC,口上，DE//AB,F為DE中點(diǎn),

AF平分NB4C,則8。的長為()

BDC

368

A.—B.—C.-D.2

255

【答案】B

【分析】根據(jù)角平分線和平行可得區(qū)4=斯，從而可得。E=2/E,然后證明△EDC-△/2C,利用相似

三角形的性質(zhì)即可求出/E,DE,進(jìn)而求出CD,最后進(jìn)行計算求出50即可解答.

【解析】解：???尸為DE中點(diǎn)，

???ED=2EF，

???AF平分ABAC,

ZEAF=/FAB,

-DE//AB,

???/FAB=ZAFE,

；"EAF=/AFE,

???EA=EF,

DE=2AE,

設(shè)=貝lJO￡=2x,

-DE//AB,

ZEDC=ZB,

???zc=zc,

??.△EQC?LABC,

EDECDC

.?耘一就一就‘

vAB=5,BC=6,CA=10,

2x_10-x

,,一，

510

x-2,

DE=2x=4,

ACD

一=，

56

24

：.CD=—,

BD=BC-CD=6--=-.

55

故選：B.

2.如圖，平行四邊形4BCD中，的平分線/￡交8于E,若48=5,BC=3,則EC的長為（

A.1B.2C.2.5D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得45=。。=5,4。=8。=3,4價。。,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出5=乙4切,

然后根據(jù)角平分線的定義可得"45=乙以。，從而得出N區(qū)4。=々助，根據(jù)等角對等邊可得即

可求出EC的長.

【解析】解:???四邊形4BCZ）是平行四邊形，AB=5,BC=3,

；.AB=CD=5,AD=BC=3,AB\\CD

；/EAB=〃lED

-AE平分（DAB

：/EAB=（EAD

:.乙EAD=UED

：.DA=DE=3

：.EC=CD—DE=2

故選B.

3.如圖，O尸平分NMCW,尸于點(diǎn)A,點(diǎn)。是射線OM上的一個動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

二/M

0AN

A.PA=PQB.PA<PQC.PA>PQD.PA<PQ

【答案】D

【分析】連接尸0,當(dāng)尸時，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PQ=PA,利用直線外一點(diǎn)到直線的垂線段最

短即可得出結(jié)論.

【解析】解：連接尸0,

M

ON

當(dāng)尸Q1（W時,

?：OP平分乙MON,PQLOM,PALON,

：.PQ=PA,

此時點(diǎn)P到OM的距離PQ最小,

■■.PA<PQ,

故選：D.

4.如圖，CD,CE,CF分別是A/BC的高、角平分線、中線，則下列各式中錯誤的是（）

A.AB=2BFB.ZACE=-ZACBC.AE=BED.CDVBE

2

【答案】C

【分析】從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高.三角形一個內(nèi)

角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點(diǎn)，則這個內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線.三

角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線.依此即可求解.

【解析】解：,??”），CE,CF分別是△N5C的高、角平分線、中線，

：.CDLAB,Z.ACE=\/.ACB,AB=2BF,無法確定

故選：C.

5.如圖，在Al5c中，ZC=9O°,平分NA4C,DEL4B于E,則下列結(jié)論：①4D平分乙CDE；

②乙BACMBDE；③DE平分4LD2；@BE+AC=AB,其中正確的有（）

B

E

CA

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)題中條件，結(jié)合圖形及角平分線的性質(zhì)得到結(jié)論，與各選項進(jìn)行比對，排除錯誤答案，選出

正確的結(jié)果.

【解析】解：以。平分NR4C,

；"AC=3AE,

,?"=90°,DELAB,

.?"=NE=90°,

■.AD=AD,

■■.ADAC=ADAE,

:.4CDA=￡EDA,：.@AD平分乙CDE正確；

無法證明Z.BDE=60°，:.③DE平分乙4D2錯誤；

■■■BE+AE=AB,AE=AC,

■.BE+AC=AB,.-.@BE+AC=AB1E^；

■■■/.BDE=90°-Z.B,乙BAC=9Q°-乙B,

,.乙BDE=LBAC,二②4BAC=4BDE正確.

綜上，正確的個數(shù)的3個，

故選：C.

6.如圖，乙BAC=30°,平分N8/C,DFLAB交AB于F,DELDF交AC于E,若/￡=8,則。/等于

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】過點(diǎn)。作。G，ZC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得。尸=QG,根據(jù)角平分線的定義，平行線的性質(zhì)以

及等腰三角形的判定，可得AE=ED,進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【解析】如圖，過點(diǎn)。作。GL4C

???4。平分/胡。，DFLAB,DG1AC

DF=DG,ACAD=ABAD

?：DE1DF,DFLAB,

AB//DE

/BAD=/EDA

/LEAD=NEDA

EA=ED

AE=8

DE=AE=8

,?24C=30。，

/DEG=30°

DG=LDE=4

2

DF=4

故選B

二、填空題

7.如圖，已知4D是A43C的角平分線，DEIMC交于點(diǎn)E,請你添加一個條件，使四邊形/皮火

是菱形.

A

【答案】DF\\AB

【分析】添加DWI/5,根據(jù)DEII/C交N8于點(diǎn)E,。尸||/8交/C于點(diǎn)R可以判斷四邊形NEZ小是平行四

邊形，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可證明結(jié)論成立.

【解析】解:DFUB,理由如下：

?.DEWAC交AB于點(diǎn)E,DF\\AB交AC于點(diǎn)F,

???四邊形4EZ＞廠是平行四邊形，4EAD=UDF,

"AD是AABC的角平分線，

???Z-EAD=Z.FAD,

:?乙4DF=cFAD,

???FA=FD,

平行四邊形AEDF是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）.

8.如圖，在平行四邊形/BCD中，DE平分UDC,AD=8,BE=3,則N8的長為.

【答案】5

【分析】首先由在平行四邊形48CD中，/。=8,BE=3,求得CE的長，然后由DE平分乙4DC,可證CD=

CE=5,即可求解.

【解析】???在平行四邊/BCD中，40=8,

■.BC=AD=S,AD//BC,

:CE=BC-BE=8-3=5,AADE=Z.CED,

■■.DE平分乙4DC,

：.^ADE=/-CDE,

:.乙CDE=4CED,

；.CD=CE=5=AB,

故答案為：5.

9.如圖，在中，N/C8的平分線交于點(diǎn)D,D￡_L/C于點(diǎn)￡尸為2C上一點(diǎn)，若DF=AD,

SAACD-S^CDF=6,貝!U/EO的面積為.

【答案】3

【分析】在CN上截取CG=CF,連接。G.根據(jù)題意易證ACDG泌CDF(SNS),得出DG=DP,

S&CDG=$ACDF?即可求出AD=DG,SAADG=6.最后根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)即可求出S“DE.

【解析】如圖，在。上截取CG=CF,連接。G,

,:CD平分/LACB,

/.ZACD=/BCD.

'CG=CF

在△CDG和/中，\ZGCD=ZFCD,

CD=CD

.sCDG=^CDF(SAS),

DG=DF,SKDG=S^CDF.

..v_v=￡

?°AACDn^CDF~口，

SAACD—SXCDG=6，即SA/DG=6.

VAD=DF,

AD=DG.

：.AE=EG,

.<?-<?—V—2

J

,?0LADE_2"GDE_2°^ADG~?

故答案為：3.

10.如圖，AB=BE,3BC=guBE,BDLAC,則下列結(jié)論正確的是：.（填序號）

①3c平分ZDCE；②A48E+NECZ）=180。；③AC=2BE+CE；@AC=2CD-CE.

【答案】①②④

【分析】根據(jù)已知■乙48E，BDL4C,想到構(gòu)造一個等腰三角形，所以延長CD以8為圓心，BC

長為半徑畫弧，交C￡＞的延長線于點(diǎn)R則8尸=BC,就得至IUF3C=2乙D3C,然后再證明三△C8E,

就可以判斷出3c平分ZDCE,再由角平分線的性質(zhì)想到過點(diǎn)3作8GLCE,交CE的延長線于點(diǎn)G,從而證

明4ABDmAEBG,即可判斷.

【解析】解：延長CD,以8為圓心，3c長為半徑畫弧，交CD的延長線于點(diǎn)尸，則8F=BC,過點(diǎn)8作

BG1CE,交CE的延長線于點(diǎn)G,

"FB=BC,BDLAC,

：.DF=DC,ZJDBC=LDBF=y乙FBC,

"DBC=|UBE,

Z-FBC=Z-ABE,

:,乙FBA=^CBE,

?；AB=AE,

:?△FABdCBE(S4S),

:,乙F=2LBCE,

?：BF=BC,

???cF=^BCD,

:?乙BCD=LBCE,

???5C平分NOCE,

故①正確；

?:乙FBC+乙F+乙BCD=180°,

???^ABE+乙BCE+乙BCD=180°,

；BE+5CE=T800,

故②正確；

?:乙BDC=^BGC=90。,BC=BC,

:ABDC三ABGC(44S),

：.AD=GE,CD=CG,

-AC=AD+DC,

^AC=AD+CG

=AD+GE+CE

=2GE+CE,

?：GE豐BE,

:?AC豐2BE+CE,

故③錯誤；

?-AC=CF-AF,

???AC=2CD-CE,

故④正確；

故答案為：①②④.

11.如圖，在A48C中，8。平分乙交ZC于點(diǎn)。，DE//AB,交BC于點(diǎn)E,BE=2,則QE的長是

A

D

【答案】2

【分析】根據(jù)角平分線的定義得到乙根據(jù)平行線的性質(zhì)得到乙48。=乙以）E,等量代換得到

乙DBE—BDE,得到。于是得到結(jié)論.

【解析】解：MD平分乙45C,

：.Z.ABD=Z-CBD,

-DE//AB,

???Z-ABD=Z-BDE,

'-Z-DBE—Z-BDE,

:.DE=BE,

???5￡=2,

.，.￡)￡=2.

故答案為：2.

12.如圖，A42C中，40、BD、CD分別平分ZkABC的外角NC/E、內(nèi)角4LBC、外角乙4CF,AD\\BC.以

下結(jié)論：?^ABC=^ACB；@^ADC+^ABD=90°；③8。平分乙4DC；④2乙BDCNBAC.其中正確的結(jié)論有

____________.（填序號）

【答案】①②④

【分析】根據(jù)角平分線的定義得到NE4D=NC4。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到乙弘￡>=乙48C,乙CAD=UCB,求

得UBC=UCB,故①正確；根據(jù)角平分線的定義得到乙4。。=90。-3乙48C,求得乙4OC+乙450=90。故②正

確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/2=酸，與題目條件矛盾，故③錯誤，根據(jù)角平分線的定義和三角形外角

的性質(zhì)即可得到2乙MCVA4C,故④正確.

【解析】解：???4D平分㈤C,

,.乙EAD=LCAD,

■■■ADWBC,

:/EAD=UBC,乙CAD=UCB,

,.乙4BC=UCB,故①正確；

■：AD,CD分別平分乙弘C,乙4CF,

???可得ZJOC=90。-gAABC,

：.^ADC+^/-ABC=9Q°,

：.^ADC+/-ABD=9Q0,故②正確；

■：^ABD=/-DBC,BD=BD,右1DB"BDC,

■■.AABD=ABCD(ASA),

：.AB=CB,與題目條件矛盾，故③錯誤，

■：/-DCF=/-DBC+Z^DC,UCF=LABC+乙BAC,

.-.2ADCF=2ZJDBC+2^BDC,2ZDCF=23BC+乙BAC,

；.24BDC=ABAC,故④正確，

故答案為：①②④.

三、解答題

13.如圖，AC=BC,Z1=Z2,求證：O￡>平分乙408.

【答案】見詳解

【分析】證明A4C。三ABC。即可求證.

【解析】證明：?.N1=N2,41+乙4co=180°,z2+z5CO=180°,

：./.ACO=/.BCO,

■■■AC=BC,CO=CO,

■■.AACO^ABCO,

工人AOC=￡BOC,

??.6）平分乙405.

14.如圖，在中，AE平分/BAC,BELAE于點(diǎn)E,延長交4c于點(diǎn)。，點(diǎn)廠是的中點(diǎn).若

AB—3,AC—5,求瓦7的長.

A

/

B乙二——4----------'、

FC

【答案】1

【分析】根據(jù)角平分線的定義結(jié)合題意，即可利用“ASA”證明AH4EMD4E,即得出/。=/8=3,

BE=DE,從而可得出CD=2,點(diǎn)￡為8。中點(diǎn)，從而可判定E尸為△8C。的中位線，進(jìn)而可求出￡尸的

長.

【解析】平分/A4C,BE1AE

：.NBAE=2DAE,ZAEB=ZAED=90°.

又,；AE=AE,

；.ABAE=ADAE（ASA）,

AD=AB=?>,BE=DE,

;.CD=AC-AD=2,點(diǎn)、E為BD中點(diǎn)、.

,??尸是8c的中點(diǎn)，

；.￡戶為△BCD的中位線，

.-.EF=-CD=1.

2

15.已知：如圖，在A43C中，AB=AC,乙4=100。，2D是442c的平分線，BD=BE.求證：

（□△CEO是等腰三角形；

Q）BD+AD=BC.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】⑴由/8=/C,乙4=100。求出乙48C=NC=40。，再由8。是ZA8C的平分線求出N￡>8C=9

乙4BC=20。,根據(jù)3￡>=3E求出乙8ED=A8Z)E=80。，再根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求得

z￡￡)C=40°,貝此EDC=NC,從而證明ED=EC,即△(7成)是等腰三角形；

(2)在8E上截取連結(jié)。尸，先證明△F5O三A48。，則陽=4),乙8陽=乙4=100。，可證明

乙EFD=^FED=80°,貝!J/。=陽=￡。=￡(7,即可證明8O+/O=8E+￡C=8C.

【解析】(1)■■-AB=AC,乙4=100。,

.-.zJSC=zC=yX(180°-100°)=40°,

-■BD是ZABC的平分線，

；/DBC=guBC=20°,

,:BD=BE,

:.(BED=(BDE=：x(180°-20°)=80°,

.-.z￡Z)C=z5￡'Z)-zC=80o-40o=40o,

工人EDC=(C,

：,ED=EC,

??.△CEO是等腰三角形.

(2)如圖，

在邊BC上取點(diǎn)尸，使BF=B4,

在和&FBD中

AB=FB

?.?</ABD=/FBD

BD=BD

???Z\ABDQ/\FBD

AD=DF,ZBFD=ZA=100°,

.?./￡）在=180。-100。=80。，

；.NDFE=NDEF

DF=DE

AD=EC

：.BD+AD=BE+EC=BC.

16.如圖，為A48C的角平分線.

圖3

(1)如圖1,若CEL4Z)于點(diǎn)F,交于點(diǎn)E,48=8,AC=5.則2E=

(2)如圖2,若乙C=24B,點(diǎn)￡在上，MAE=AC,AB=a,AC=b,求CD的長；(用含a、6的式子表示)

(3)如圖3,BGLAD,點(diǎn)G在40的延長線上，連接CG,若MCG的面積是7,求A45C的面積.

【答案】(1)3；Q)CD=a—b；(3)5^=14

【分析】(1)利用/“證明A4EP三A4CF,得NE=/C=5,得出答案;

(2)利用證明ZUDE三A4OC,得4C=UED,DC=DE,再證明乙8=乙8?！?得出即可得到結(jié)

論;

(3)利用NS4證明A4G3三A4GH,得出3G=//G,即可得出A43C的面積.

【解析】(1)以。是△/8C的平分線,

工乙BAD=(CAD,

??,CE1AD,

；?CCFA=^EFA,

ZEAF=ZCAF

???在4AEF和4ACF中\(zhòng)AF=AF

ZAFE=ZAFC

.'.AAEF=AACF(ASA),

-'-AE=AC=5,

,-AB=S,

??.BE=AB-AC=8-5=3,

故答案為：3；

(2)???40平分乙8ZC,

'-Z.BAD=Z.CAD,

在A4OE和中

AE=AC

</LEAD=ZCAD

AD=AD

:?AADE三A4DC

；ZC=UED,DC=DE

又?：(C=2么B,UED=^B+乙BDE

--Z-B=Z-BDE

??DE=BE,

：,DC=DE=BE=AB-AE=AB-AC=a—b；

(3)如圖，分別延長4C,BG交于點(diǎn)、H,

-AD平分乙BAC,

???Z-BAD=Z-CAD,

，乙AGB=CAGH=9O。,

???在ZUGB和A4GH中

/BAD=/CAD

<AG=AG,

/AGB=/AGH

:.AAGB三AAGH,

:?BG=HG,

,.?UQ^BCH~—乙7Qv&BCG-27^vHCG，

又???SAABC+SsBCH_2（S?4CG+SACGH^

'''S./BC=14.

17.已知：如圖1,在必A48C中，AACB=90°,AB=60°,AD,CE是角平分線，4D與C￡相交于點(diǎn)

F,FMVAB,FNLBC,垂足分別為M,N.

【思考說理】

（1）求證：FE=FD.

【反思提升】

（2）愛思考的小強(qiáng)嘗試將【問題背景】中的條件"http://C8=90。”去掉，其他條件不變，觀察發(fā)現(xiàn)（1）中結(jié)

論（即相=即）仍成立.你認(rèn)為小強(qiáng)的發(fā)現(xiàn)正確嗎？如果不正確請舉例說明，如果正確請僅就圖2給出

證明.

【答案】（1）證明見詳解；（2）正確，證明見詳解;

【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理證用MDN=QANEEM（44S）即可求解;

（2）在N2上截取。=CO,分別證ACE甲三ACP廠（"S）、AAFE三A4EP（/"）即可求證;

【解析】證明：（1）vAD平分4B4C,CE平分乙4CB,

二點(diǎn)廠是A4BC的內(nèi)心,

'：FMVAB,FN1BC9

；.FM=FN,

vZ^CB=90°,ZABC=60°,

?，ZCAB=30°

.-.ZCAD=15°

??.NADC=75。

vZACE=45°

??./CEB=75°

??.ZADC=ZCEB

RtAFDN=Rt\AFEM(AAS)

；.FE=FD

(2)如圖，在48上截取。尸=CD,

在AC。尸和AC尸尸中,

CD二CP

ZDCF=ZPCF

CF=CF

ACDF"CPF〈SAS)

??.FD=FP,乙CFD=^CFP,

???4。平分NH/C,CE平分々CB,

；/CAD=XBAD,UCE=cBCE,

,?z5=60°,

“C5+4氏4C=120。，

??ZC4D+乙4CE=60。,

山廠0120。，

-/.CFD=Z.AFE=1800-/-AFC=60°,

-Z-CFD=Z-CFP,

.'.^AFP=^CFP=^CFD=^AFE=60°,

在\AFE和\AFP中，

ZAFE=ZAFP

<AF-AF

NPAF=ZEAF

??.AAFE=AAFP(ASA)

：,FP=EF

：.FD=EF.

18.如圖，入3N是一個鈍