人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一復(fù)習(xí)講義：直線與圓的位置關(guān)系

第09講2.5.1直線與圓的位置關(guān)系

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①理解與掌握直線與圓的位置關(guān)系的判定

方法的代數(shù)法與幾何法。

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，會(huì)判斷直線與圓的位置關(guān)系，會(huì)求

②會(huì)求與圓有關(guān)的直線方程與圓的方程。

切線方程、弦長(zhǎng)及弦所在的直線方程，會(huì)根據(jù)直線與圓

③會(huì)根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求坐標(biāo)、長(zhǎng)

的位置求待定參數(shù)及圓的方程，能解決與直線、圓有關(guān)

度、面積、周長(zhǎng)等。

的綜合問(wèn)題.

④會(huì)求待定參數(shù)并能解決與之相關(guān)的綜合

問(wèn)題。

思維導(dǎo)圖

<

?,與

so

的

1住

關(guān)

系

知識(shí)點(diǎn)01：直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓的三種位置關(guān)系

2.1幾何法（優(yōu)先推薦）

圖象

—

位置相交/相切

關(guān)系

判定C:(x-6z)2+(y—bp=r2；C:(%-〃)2+(y-/?)2=r2；C:(x-6Z)2+(y—bp=r2；

方法

1:Ax+By+C=GoI:Ax+By+C=GoI:Ax+By+C=Go

圓心C（a,?到直線/的距離：圓心C（a,?到直線/的距離：圓心。（。力）到直線/的距離：

7|Act+Bb+C|7|Act+Bb+C|7|Act+Bb+C|

d圓與直線相交。d=圓與直線相切。d>圓與直線相離。

2.2代數(shù)法

直線/：Ax+By+C=O；圓M尤2+/+瓜+硝+尸=o

Ax+By+C=0

聯(lián)立<消去“》”得到關(guān)于“x”的一元二次函數(shù)4必+法+0=0

x+y1+Dx+Ey+F=Q

①A>00直線/與圓M相交

②A=0=直線/與圓M相切

③AvOo直線/與圓M相離

【即學(xué)即練1】(2023秋?浙江嘉興?高二統(tǒng)考期末)直線2x+y-2=0與曲線(、+丫-1))/+/-4=0的交點(diǎn)

個(gè)數(shù)為()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【詳解】因?yàn)榍€(x+y-l)jY+y2-4=0就是尤+y-1=0或/+尸=4,表示一條直線與一個(gè)圓，

(、

聯(lián)立］2x++；y-12==00，解得(［x==l0，即直線2x+y-2=0與直線x+y_l=°有一個(gè)交點(diǎn),(1,0)；此時(shí)，^/i-%-2--+--/-----4-

沒(méi)有意義.

8

%二一

2x+y—2=0x=05

聯(lián)立x“』,解得y=2或'所以直線2尤+〉-2=0與必+,2=4有兩個(gè)交點(diǎn).

6

y=-

5

所以直線2x+y-2=。與曲線(x+y-i)jY+y2-4=0的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).

故選：B

知識(shí)點(diǎn)02：直線與圓相交

記直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)為IA31的常用方法

1、幾何法(優(yōu)先推薦)

①弦心距(圓心到直線的距離)

②弦長(zhǎng)公式：AB=2〃—屋

2、代數(shù)法

直線/：Ax+By+C=0；圓Mf+/+瓜+與+尸=0

Ax+By+C=0

聯(lián)立消去“>"得到關(guān)于“了”的一元二次函數(shù)af

x2+y2+Dx+Ey+F=0+bx+c=0

弦長(zhǎng)公式：AB=y/l+k2-，(石+%2『一4x^2

【即學(xué)即練2］(2023春?江蘇南京?高二南京市江寧高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末)已知直線/：x+y-l=0：與圓

C:(x—3『+(y+4)2=5交于A8兩點(diǎn)，貝卜.

【答案】2^/3

【詳解】由圓C:(x-3)2+(y+4)2=5,可得圓心坐標(biāo)為C(3,-4),半徑為廠=店,

又由圓心C到直線/：x+y-1=0的距離為d=-"=0,

VI+1

根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，可得|=2>/4-儲(chǔ)=24-(應(yīng)了=.

故答案為：2A.

知識(shí)點(diǎn)03：直線與圓相切

1、圓的切線條數(shù)

①過(guò)圓外一點(diǎn)，可以作圓的兩條切線

②過(guò)圓上一點(diǎn)，可以作圓的一條切線

③過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)，不能作圓的切線

2、過(guò)一點(diǎn)6(%,%)的圓的切線方程(M:(x—o)2+(y—b)2=r2)

①點(diǎn)4(%,%)在圓上

步驟一：求斜率：讀出圓心M(a,3,求斜率心材，記切線斜率為左，則底“衣=-In左

步驟二：利用點(diǎn)斜式求切線(步驟一中的斜率+切點(diǎn)《(％,%))

②點(diǎn)《(%,為)在圓外

記切線斜率為左，利用點(diǎn)斜式寫成切線方程y-%=左(%-％)；在利用圓心到切線的距離d=r求出左

(注意若此時(shí)求出的k只有一個(gè)答案；那么需要另外同理切線為X=X。)

3、切線長(zhǎng)公式

記圓M:(x-a)2+(y4)2=產(chǎn)；過(guò)圓外一點(diǎn)P做圓M的切線，切點(diǎn)為利用勾股定理求PH；

【即學(xué)即練3](2023秋?江蘇鹽城?高二鹽城市伍佑中學(xué)?？计谀?由直線丫=%上的點(diǎn)向圓

(x-4>+(y+2)2=l引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為.

【答案】V17

【詳解】圓(x-4『+(y+2)2=l的圓心為。(4,-2)/=1,

在直線上取一點(diǎn)P,過(guò)P向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為A.連接尸CAC.

在RtAPAC中，|CA|=r=l.要使1pAi最小,則歸。應(yīng)最小.

又當(dāng)尸C與直線垂直時(shí)，|PC|最小，其最小值為厘=3垃.

故|尸4|的最小值為?3何-1?=717.

故答案為：厲.

知識(shí)點(diǎn)四：圓上點(diǎn)到直線的最大（小）距離

設(shè)圓心到直線的距離為d,圓的半徑為廣

①當(dāng)直線與圓相離時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：d+r,最小距離為：d—r；

②當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：2r,最小距離為：0；

③當(dāng)直線與圓相交時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：d+r,最小距離為：0；

【即學(xué)即練4］（2023?湖北武漢?華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線/:尤+y-3=0上的兩點(diǎn)A,8,且

點(diǎn)P為圓。：/+/+2尤一3=0上任一點(diǎn)，貝I的面積的最大值為（）

A.72+1B.2A/2+2C.◎一1D.272-2

【答案】A

【詳解】把圓。:爐+/+2彳-3=。變形為（x+l）2+y2=4,

則圓心。（-1,0）,半徑r=2,

圓心D到直線/：尤+y-3=0的距離d=［?,

V1+1

則圓。上的點(diǎn)到直線A3的距離的最大值為"廠=2拒+2,又|AB|=1,

.PLB的面積的最大值為］X（2\/^'+2）xl=0^1.

故選：A.

題型精講

題型01判斷直線與圓的位置關(guān)系

【典例11（2023春?甘肅白銀?高二?？计谀┳鴺?biāo)軸與圓C:x2+y2-4x-2y+l=。的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【典例2】（2023春?上海黃浦?高二上海市向明中學(xué)?？计谥校﹫AC:*+y2+2x+4y-3=0上到直線

x+y+l=O距離為四的點(diǎn)有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

【典例3】（多選）（2023春?重慶沙坪壩?高一重慶一中?？计谀┮阎本€/：>=履+2左+2（左eR）與

圓C：尤2+y2_2y_8=O.則下列說(shuō)法正確的是（）

A.直線/過(guò)定點(diǎn)（-2⑵

B.直線/與圓C相離

C.圓心C到直線/距離的最大值是2拒

D.直線/被圓。截得的弦長(zhǎng)最小值為4

【變式1］（2023?新疆喀什?校考模擬預(yù)測(cè)）已知圓C:/+y2+2x-4y=0,直線/：2x—y-1=0,貝！|圓C

與直線/（）

A.相交B.相切C.相離D.相交且直線過(guò)圓C的圓心

【變式2］（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）直線/：x+陽(yáng)+1-m=0與圓C:（尤-l）2+（y-2）2=9的位置關(guān)系

是（）

A.相交B.相切C.相離D.無(wú)法確定

題型02由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)

【典例1］（2023秋?高一單元測(cè)試）若直線y="-1與曲線y=+4x-3恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的

取值范圍是（）

A?B.［《JC.［1,1］D.［。,力

【典例2】（2023?河北?校聯(lián)考一模）直線/:辦+力-4=。與圓O：/+y2=4相切，則（a-3>+（b-4>的

最大值為（）

A.16B.25C.49D.81

【典例3】（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知圓C：（x-2）2+（y-l）2=/（r>0）,直線/:ax+y—2a+1=0,

若直線/與圓C總有交點(diǎn)，則，?的取值范圍為

【變式1］（2023?湖南益陽(yáng)?安化縣第二中學(xué)?？既＃┲本€y=x+b與曲線》=萬(wàn)丁恰有兩個(gè)不同的

公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）

A--l<b<y/2B.-y［2<b<-\

C.—1<Z?<—1,b=—y/2D.-y/2<b<1

【變式2］（2023春?上海靜安?高二統(tǒng)考期末）過(guò)點(diǎn)（0,1）的直線/與圓x2+y2+4x+3=o相切，則直線/

的斜率為.

題型03直線與圓相交問(wèn)題

【典例1】(2023?高二課時(shí)練習(xí))已知。為原點(diǎn)，直線x+2y-3=0與圓f+'2+X一6>+機(jī)=0交于p、Q

兩點(diǎn).

(1)若|PQ|=J乳，求〃，的值；

(2)若OPLOQ,求圓的面積.

【典例2](2022秋?安徽蕪湖?高二安徽省無(wú)為襄安中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知點(diǎn)A(0,0),8(2,0),曲線

。任意一點(diǎn)P滿足|冏=也|可|.

(1)求曲線C的方程；

(2)設(shè)直線工->+機(jī)=。與圓C交于A、B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)加，使得以A3為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，若存在，

求出實(shí)數(shù)機(jī)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式1](2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))若不等式病了〈注/>0)的解集為區(qū)間口㈤，且〃-。=2,則左=

()

A.與B.72C.6D.2

【變式2】(2023?高三課時(shí)練習(xí))已知圓C:(尤-3)2+9=4,過(guò)點(diǎn)A(2,0)的直線/交圓C于M、N兩

點(diǎn)，且OM.ON=2,則直線/的方程是.

題型04求切線方程

【典例1】(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))過(guò)點(diǎn)?(1』)作圓E：/+4%+2y=0的切線，則切線方程為

()

A.x+y-2=0B.2x+y—3=。

C.%—2y+l=0D.2x-y-l=0

【典例2】(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)且與圓V+V一4x-2y+3=0相切的直線方程為

【典例3】(2023秋?浙江麗水?高二統(tǒng)考期末)已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)41,2)和8(5,-2),且圓C關(guān)于直線2x+y=0

對(duì)稱.

(1)求圓C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)。(-3,1)作直線/與圓C相切，求直線/的方程.

(1

【變式1】(2023春?天津西青?高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))過(guò)點(diǎn)亍-手作圓

(7：/+/=1的切線/,則切線/的方程為.

【變式2](2023春?河北張家口?高二張家口市宣化第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知一圓C的圓心為(2,-1),

且該圓被直線/：尤-〉-1=0截得的弦長(zhǎng)為2忘.

(1)求該圓的方程；

⑵求過(guò)點(diǎn)P(4,3)的該圓的切線方程.

【變式3](2023秋?高二課時(shí)練習(xí))在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)。為圓心的圓與直線x-6y-4=0相

切

(1)求圓。的方程；

(2)若已知點(diǎn)尸(3,2),過(guò)點(diǎn)P作圓。的切線，求切線的方程.

題型05切線長(zhǎng)(切點(diǎn)弦)問(wèn)題

【典例1】（2023春?福建廈門?高二廈門雙十中學(xué)校考階段練習(xí)）過(guò)直線上的一點(diǎn)尸作圓

（尤-5y+（y_l）2=2的兩條切線4，L切點(diǎn)分別為A3,當(dāng)直線乙，乙關(guān)于尸彳對(duì)稱時(shí)，線段的長(zhǎng)為

（）

A.4B.2A/2C.s/6D.2

【典例2】（2023春?湖北?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）過(guò)直線x+2y-4=0上一點(diǎn)尸作圓/+y2=i的兩條切線

PA，PB,切點(diǎn)分別為A,B,則|明的最小值為.

【典例3】（2023春?貴州?高二遵義一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓O：f+y2=4,點(diǎn)/是直線3x+y+10=。

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)4作圓。的兩條切線切點(diǎn)分別為M,N,則四邊形AMON的面積的最小值為

;直線過(guò)定點(diǎn).

【變式1]（2023?北京海淀?北大附中?？既＃┮阎獔A。:犬+丁=1,直線3x+4y-10=0上動(dòng)點(diǎn)尸，

過(guò)點(diǎn)尸作圓。的一條切線，切點(diǎn)為A,貝!1|弘|的最小值為（）

A.1B.72C.V3D.2

【變式2]（2023?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）由直線》+'+6=。上一點(diǎn)P向圓

C:（x-3）2+（y+5）2=4引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為.

【變式3]（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)PQ⑵作圓/+丁=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B,則

直線A3的方程為.

題型06已知切線求參數(shù)

【典例1】（2023?河北唐山?開(kāi)灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)在直

線辦+勿+6“+8=0上，則當(dāng)a,b變化時(shí)，直線OP的斜率的取值范圍是.

【典例2】（2023?天津南開(kāi)?統(tǒng)考二模）若直線履-y-24+3=。與圓V+（y+l）2=4相切，貝心=.

【變式1]（2023?四川成都?樹德中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若直線"+辦=1（。>0/>0）,與eO:/+y2=i相

切，則。+26最大值為（）

A.73B.琳C.3D.5

【變式2]（2023?黑龍江?黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┮阎本€/：2x+y+〃工=0上存在點(diǎn)A,使得過(guò)點(diǎn)

A可作兩條直線與圓C：尤?+丁-2x-4y+2=。分另IJ切于點(diǎn)M,N,且NWW=120。，則實(shí)數(shù)旭的取值

范圍是（）

A.[-75-2,75-2]B.[-厲-26,岳-2g]

C.[-2^-4,275-4]D.[0,715-273]

題型07圓的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦問(wèn)題

【典例1】（2023秋?四川涼山?高二統(tǒng)考期末）過(guò)點(diǎn)（L1）的直線/被圓C:尤2+/=4截得的弦長(zhǎng)最短，

則直線/的斜率是（）

A.1B.2C.-2D.-1

【典例2】（2023春?上海黃浦?高二統(tǒng)考期末）設(shè)直線丫="+3與圓/+y=4相交所得弦長(zhǎng)為2班，

貝！Ia=；

【典例2】（2023?廣東佛山?華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中校考模擬預(yù)測(cè)）已知圓加：5-4）2+y=16,過(guò)

點(diǎn)N（2,0）的直線/與圓加交于A,8兩點(diǎn)，。是A3的中點(diǎn)，則。點(diǎn)的軌跡方程為.

【變式1］（2023?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓己丈2+/一6升5=0,直線>=；（苫+1）與圓。相交于加，

N兩點(diǎn),則pVW卜.

【變式2］（2023?天津?三模）已知直線依+?-1=。平分圓C:（x-l）2+（y+2>=4,則圓C中以點(diǎn)

為中點(diǎn)的弦弦長(zhǎng)為

【變式3］（2023春?浙江?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,-l）,和直線x+y=l相切，且圓心在

直線V=-2x上.

（1）求圓C的方程；

⑵求圓C在V軸截得的弦長(zhǎng).

題型08已知圓的弦長(zhǎng)求方程或參數(shù)

【典例1】（2023秋?高一單元測(cè)試）已知圓C:尤2+V-2ay=0,過(guò)圓C內(nèi)一點(diǎn)A（2,l）的直線被圓C所截

得的最短弦的長(zhǎng)度為2,則a=（）

A.2B.2\/2C.—D.3

【典例2】（2023春?新疆塔城?高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓P過(guò)兩點(diǎn)"（0,2）,N（g,l）,且圓心尸在直

線y=x上.

（1）求圓P的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)Q（T,2）的直線交圓尸于A6兩點(diǎn)，當(dāng)|陽(yáng)=26時(shí)，求直線A3的方程.

【典例31（2023秋?浙江嘉興?高二統(tǒng)考期末）已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4,2）、3（6,0）,圓心C在直線x+y-4=0

上.

(1)求圓C的方程；

(2)若直線y=%(x+2)與圓C相交于尸、。兩點(diǎn)，閘=2后求實(shí)數(shù)上的值.

【變式1](2023春?浙江?高二校聯(lián)考期末)若直線4：>=丘+1截圓C2:(尤-2)2+/=5所得弦長(zhǎng)|AB|=4,

則左的值為.

【變式2](2023秋?山東濱州?高二統(tǒng)考期末)已知圓C的圓心在直線2x+y-4=0上，且與V軸相切于

點(diǎn)0(0,0).

(1)求圓C的方程；

⑵已知過(guò)點(diǎn)以1,3)的直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)為2石，求直線/的方程.

【變式3](2023春?廣西柳州?高二柳州地區(qū)高中?？计谥?已知圓C：x、(y-l)2=5,直線/：

iwc-y+l-m=0.

(1)設(shè)直線/與圓C相交于A,8兩點(diǎn)，且卜求直線/的方程;

(2)設(shè)直線/與圓C相交于A8兩點(diǎn)，求弦A8中點(diǎn)的軌跡方程.

題型09圓內(nèi)接三角形面積

【典例1](2023?廣東廣州?廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知直線，：x-y+5=O與圓

C:Y+y2-2x-4y-4=0交于A，8兩點(diǎn)，若M是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，則AAMB面積的最大值是.

【典例2】(2023秋?江蘇鹽城?高二鹽城中學(xué)校考期末)已知圓C:/+y2一4x-6y+4=0.

(1)若一直線被圓C所截得的弦的中點(diǎn)為M(3,2),求該直線的方程；

(2)設(shè)不過(guò)圓心C的直線/：y=x+根與圓。交于A,3兩點(diǎn)，把鉆的面積S表示為根的函數(shù)，并求S

的最大值.

【變式1](2023?浙江?校聯(lián)考三模)在平面直角坐標(biāo)系上，圓C:/+(y-l)2=l,直線y=“(x+l)與圓

C交于A,B兩點(diǎn),ae(O,l),則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，a=()

A.變B.73-1C.2-V3D.I

22

【變式2](2023?江西?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知圓C的方程為-3)2+"-4)2=25,若直線/:3x+4y-5=O與

圓C相交于A8兩點(diǎn)，則MC的面積為.

題型10直線與圓的實(shí)際應(yīng)用

【典例1](2023秋?山西晉中?高二統(tǒng)考期末)如圖，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一個(gè)長(zhǎng)方形(長(zhǎng)、

寬分別為8m、4m)和圓弧構(gòu)成，截面總高度為6m,為保證安全，要求行駛車輛頂部(設(shè)為平頂)與隧道

頂部在堅(jiān)直方向上高度之差至少要有0.5米，已知行車道總寬度|AB|=6m.

(1)試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出圓弧所在圓的一般方程;

(2)車輛通過(guò)隧道的限制高度為多少米？

【典例2】(2023秋?湖北?高二武漢市第二十三中學(xué)校聯(lián)考期末)如圖，某海面上有0、4、3三個(gè)小

島(面積大小忽略不計(jì))，A島在。島的北偏東45。方向距。島40五千米處，3島在。島的正東方向距0

島20千米處以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，0的正東方向?yàn)閄軸的正方向，1千米為單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系圓

。經(jīng)過(guò)0、A、B三點(diǎn).

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在。島的南偏西30。方向距。島40千米處，正沿著北偏東60°行

駛，若不改變方向，試問(wèn)該船有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？

【變式11(2023秋?高一單元測(cè)試)黨的二十大報(bào)告提出要加快建設(shè)交通強(qiáng)國(guó).在我國(guó)960萬(wàn)平方千米的

大地之下?lián)碛谐^(guò)35000座，總長(zhǎng)接近赤道長(zhǎng)度的隧道(約37000千米).這些隧道樣式多種多樣，它們或

傍山而過(guò)，上方構(gòu)筑頂棚形成“明洞”；或掛于峭壁，每隔一段開(kāi)出“天窗”形成掛壁公路.但是更多時(shí)候

它們都隱伏于山體之中，只露出窄窄的出入口洞門、佛山某學(xué)生學(xué)過(guò)圓的知識(shí)后受此啟發(fā)，為山體隧道設(shè)

計(jì)了一個(gè)圓弧形洞門樣式，如圖所示，路寬4B為16米，洞門最高處距路面4米.

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求圓弧的方程.

(2)為使雙向行駛的車輛更加安全，該同學(xué)進(jìn)一步優(yōu)化了設(shè)計(jì)方案，在路中間建立了2米寬的隔墻.某貨車

裝滿貨物后整體呈長(zhǎng)方體狀，寬2米，高3.6米，則此貨車能否通過(guò)該洞門?并說(shuō)明理由.

【變式2](2023秋?浙江寧波?高二期末)如圖1,某圓拱形橋一孔圓拱的平面示意圖，已知圓拱跨度

AB=30m,拱高OP=5m,建造時(shí)每間隔6m需要用一根支柱支撐，則支柱A片的高度等于m(精

確到0.01m）.若建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系立制，則圓拱所在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

（可用參考數(shù)據(jù)：-7616=24.82,7600=24.49,7599=24.47,>/544=23.32,>/525=22.91.）

題型11直線與圓中的定點(diǎn)定值問(wèn)題

【典例1】（多選）（2023嚏國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知圓C:Y+y2-2ay+a-l=0,直線/：x-y=0,貝!）（）

A.存在awR,使得/與圓C相切

B.對(duì)任意awR,/與圓C相交

C.存在aeR,使得圓。截/所得弦長(zhǎng)為1

D.對(duì)任意aeR,存在一條直線被圓。截，所得弦長(zhǎng)為定值

【典例2】（2023?寧夏石嘴山?平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）直線/：mr-y+2-3〃?=0（〃?eR）與圓

C:x2+/-2y-15=0交于兩點(diǎn)RQ,則弦長(zhǎng)歸。|的最小值是.

【變式11（2023春?湖南岳陽(yáng)?高三湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）直線2/x-y-2/+l=0（"R）

與圓Y+y2=4相交于a,3兩點(diǎn)，貝！的最小值為（）

A.0B.2C.2夜D.4

【變式2］（2023春?海南?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若直線/：履—y+3-2無(wú)=0與圓C：//一6彳-4丫+4=0

交于A,B兩點(diǎn),且直線/不過(guò)圓心C,則當(dāng)ABC的周長(zhǎng)最小時(shí)，實(shí)數(shù)后=（）

A.-1B.gC.1D.2

題型12根據(jù)直線與圓位置關(guān)系求距離最值

【典例1】（2023春?河南南陽(yáng)?高二社旗縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知直線/：x+y+2=0與x軸、

y軸分別交于M，N兩點(diǎn),動(dòng)直線4：y=-wu（/neR）^|/2；里y-x-4"z+2=0交于點(diǎn)p,則△WP的

面積的最小值為（）

A.回B.5-A/WC.272D.2A/10-3

【典例2］（2023?廣西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線/：e+（5-2m）.一2=0（，€2和圓。:1+"2=4,

則圓心0到直線/的距離的最大值為（）

A.-B.—C.吏~D.-

5532

【典例3】（2023春?云南昆明?高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)P是直線2x+y-3=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)P作圓0:Y+y2=i的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,8,則點(diǎn)到直線AB的距離的最大值為.

【變式1］（2023?山東泰安?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線/：〃式-y+，〃+l=0（mw0）與圓C:

x2+y2-4x+2y+4=0,過(guò)直線/上的任意一點(diǎn)尸向圓C引切線，設(shè)切點(diǎn)為4?,若線段A3長(zhǎng)度的最小值

為6,則實(shí)數(shù)機(jī)的值是（）

121277

A.——B.—C.-D.——

5555

【變式2］（2023?寧夏石嘴山?平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）直線/:〃zr-y+2-37〃=0G〃eR）與圓

C:x2+/-2y-15=0交于兩點(diǎn)P、Q,則弦長(zhǎng)歸。|的最小值是.

【變式3］（2023?貴州貴陽(yáng)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線/與圓C:（x-1）2+V=l有公共點(diǎn)且與直線

2元一y+3=0交于點(diǎn)N,貝！||A￡V|的最小值是.

題型13直線與圓綜合問(wèn)題

【典例4（2023春?重慶沙坪壩?高一重慶一中?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，圓C過(guò)點(diǎn)A（4,0）,3（2,2）,

且圓心。在x+y-2=0上.

（1）求圓。的方程；

（2）若已知點(diǎn)尸（4,2如），過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線，求切線的方程.

【典例2】（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）（1）求函數(shù)y=+行的最大值和最小值

(2)求函數(shù)y=A咕的值域；

J1+X

(3)求函數(shù)y=x+，24-4x+6的值域;

(4)已知IVf+y2V2,求z”?-孫+/的最值.

【典例3】(2023春?湖北?高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知圓。:爐+丁=16,直線/:(2+左卜+(1+左)丫+左=0.

(D證明：直線/和圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)；

(2)若直線/和圓C交于A3兩點(diǎn)，求|筋|的最小值及此時(shí)直線/的方程.

【典例4】(2023春?上海嘉定?高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？计谥?已知過(guò)點(diǎn)A(-LO)的直線/與圓

C:/+(y-3)2=4相交于P、。兩點(diǎn)，M是弦尸。的中點(diǎn)，且直線/與直線機(jī)"+3y+6=0相交于點(diǎn)N.

(1)當(dāng)直線/與直線切垂直時(shí)，求證：直線/經(jīng)過(guò)圓心C;

⑵當(dāng)弦長(zhǎng)|PQ|=2百時(shí)，求直線/的方程；

(3)設(shè)仁AM2N，試問(wèn)7是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出/的值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式1](2023秋?高一單元測(cè)試)已知直線/：>=左(無(wú)+2虛)與圓0：f+產(chǎn)=4相交于不重合的A,

3兩點(diǎn)，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，且A，B,。三點(diǎn)構(gòu)成三角形.

(1)求人的取值范圍；

(2)ABO的面積為S,求S的最大值，并求取得最大值時(shí)女的值.

【變式2](2023秋?江西萍鄉(xiāng)?高二統(tǒng)考期末)已知直線/過(guò)點(diǎn)P0,-1),且__________.

在下列所給的三個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在題中的橫線上，并完成解答.

①與圓(X+1)2+V=5相切；②傾斜角的余弦值為冷；③直線/的一個(gè)方向向量為。=(-2,T).

(1)求直線/的一般式方程；

⑵若直線/與曲線C:V+y2一6X一2k6=0相交于加仆兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|MN|.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【變式3](2023春?四川內(nèi)江?高二四川省資中縣第二中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試)已知點(diǎn)P(0,2),設(shè)直線/：

y=kx+b(b,左ER)與圓。：爐+產(chǎn)=4相交于異于點(diǎn)尸的A,B兩點(diǎn).

(1)若R4±PB,求的值；

(2)若|48|=26，且直線/與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為友，求直線/的斜率左的值；

3

(3)當(dāng)|以卜|尸切=4時(shí)，是否存在一定圓使得直線/與圓N相切?若存在，求出該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

二、多選題

9.(2023春?廣西?高二校聯(lián)考階段練習(xí))圓心在x軸上，半徑為2,且與直線x-y=0相切的圓的方程可能

是()

A.(尤-2應(yīng)『+丁=4B.(x-2)2+y2=4

C.(x+2V2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4

10.(2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=16,直線/:(2"2+l)x+(m+l)y-7m-4=0,

則()

A.直線/恒過(guò)定點(diǎn)

B.直線/能表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)每一條直線

C.對(duì)任意實(shí)數(shù)機(jī)，直線/都與圓C相交

D.直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值為2血

三、填空題

11.(2023?天津武清?天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)A。,。)，5(2,0),經(jīng)過(guò)點(diǎn)8作圓

(x-3)2+(>-2)2=5的切線與V軸交于點(diǎn)P,則|APk.

12.(2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考)若直線>=依》+1)與曲線丫:亞。7有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是

四、解答題

13.(2023春?安徽?高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知圓C過(guò)三個(gè)點(diǎn)(0,2),(1,1),(2,2),過(guò)點(diǎn)尸(2,0)

引圓C的切線，求：

⑴圓C的一般方程；

⑵圓C過(guò)點(diǎn)P的切線方程.

14.(2023秋淅江紹興?高二統(tǒng)考期末)已知M(4,0),N(0,0),P(0,3),圓C經(jīng)過(guò)M,N,P三點(diǎn).

⑴求圓C的方程，并寫出圓心坐標(biāo)和半徑的值；

⑵若經(jīng)過(guò)點(diǎn)。(1,1)的直線/與圓C交于AB兩點(diǎn)，求弦A3長(zhǎng)的取值范圍.

B能力提升

1.(2023秋?高一單元測(cè)試)已知實(shí)數(shù)MV滿足V+y2-4x-2y-4=0,貝建-y的最大值是()

A.1+乎B.4C.1+3拒D.7

2.(2023秋,高二課時(shí)練習(xí))與y軸相切，圓心在直線x-3y=0上，且在直線＞=》上截得的弦長(zhǎng)為26,

則此圓的方程是()

A.(x-3)2+(y-l)2=9

B.(x+3)2+(y+l)2=9

C.(x+3)2+(y+l)2=9或(x-3y+(y-l)2=9

D.(x+3)2+”-1)2=9或。-3)2+”+1)2=9

3.(2023?湖北襄陽(yáng)?襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè))數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距

離之比為常數(shù)〃彳＞0且Xwl)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面

直角坐標(biāo)系xOy中，A(-2,0),動(dòng)點(diǎn)M滿足|肱1|=2M。|,得到動(dòng)點(diǎn)”的軌跡是阿氏圓C.若對(duì)任意實(shí)數(shù)3

直線/:y=Mx-l)+b與圓C恒有公共點(diǎn)，貝后的取值范圍是()

屈岳］rVi4V1444

--_-->--_-DD.______?_____D.

353

4.(2023春?重慶沙坪壩?高一重慶一中?？计谀?已知點(diǎn)尸在直線丁=%-2上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)￡是圓好+y2=i上

的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)/是圓(x-6y+(y+2)2=9上的動(dòng)點(diǎn)，則「目-|咫的最大值為.

5.(2023春,江蘇鹽城?高二江蘇省響水中學(xué)?？计谀?已知圓Y+y2-4x-2y+3=0被直線

4:ax+y-2-a=0,/2：x-ay+2a-l=。截得的兩條弦長(zhǎng)分別為以“，則相〃的最大值為.

C綜合素養(yǎng)

1.（2023春?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓C過(guò)點(diǎn)0（0,0）,A（-1,V3）,B（2,2⑹.

⑴求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若過(guò)點(diǎn)C且與X軸平行的直線與圓C交于點(diǎn)N,點(diǎn)P為直線x=5上的動(dòng)點(diǎn)，直線PM,PN與圓C的

另一個(gè)交點(diǎn)分別為E,F（防與不重合），證明：直線EF過(guò)定點(diǎn).

2.（2023春?安徽合肥?高二校考開(kāi)學(xué)考試）已知圓心在x軸上的圓C與直線/：4x+3y-6=0切于點(diǎn)M

⑴求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知N（2,l）,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且斜率為正數(shù)的直線4與圓C交于P（&x）,。（匕,%）.求|PN「+|QN「的最大值.

第09講2.5.1直線與圓的位置關(guān)系

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①理解與掌握直線與圓的位置關(guān)系的判定

方法的代數(shù)法與幾何法。

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，會(huì)判斷直線與圓的位置關(guān)系，會(huì)求

②會(huì)求與圓有關(guān)的直線方程與圓的方程。

切線方程、弦長(zhǎng)及弦所在的直線方程，會(huì)根據(jù)直線與圓

③會(huì)根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求坐標(biāo)、長(zhǎng)

的位置求待定參數(shù)及圓的方程，能解決與直線、圓有關(guān)

度、面積、周長(zhǎng)等。

的綜合問(wèn)題.

④會(huì)求待定參數(shù)并能解決與之相關(guān)的綜合

問(wèn)題。

思維導(dǎo)圖

直

線

與

90。

知識(shí)點(diǎn)01：直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓的三種位置關(guān)系

2.1幾何法（優(yōu)先推薦）

圖象

—

位置相交/相切

關(guān)系

判定C:(x-6z)2+(y—bp=r2；C:(%-〃)2+(y-/?)2=r2；C:(x-6Z)2+(y—bp=r2；

方法

1:Ax+By+C=GoI:Ax+By+C=GoI:Ax+By+C=Go

圓心C（a,?到直線/的距離：圓心C（a,?到直線/的距離：圓心。（。力）到直線/的距離：

7|Act+Bb+C|7|Act+Bb+C|7|Act+Bb+C|

d圓與直線相交。d=圓與直線相切。d>圓與直線相離。

2.2代數(shù)法

直線/：Ax+By+C=O；圓M尤2+/+瓜+硝+尸=o

Ax+By+C=0

聯(lián)立<消去“》”得到關(guān)于“x”的一元二次函數(shù)4必+法+0=0

x+y1+Dx+Ey+F=Q

①A>00直線/與圓M相交

②A=0=直線/與圓M相切

③AvOo直線/與圓M相離

【即學(xué)即練1】(2023秋?浙江嘉興?高二統(tǒng)考期末)直線2x+y-2=0與曲線(、+丫-1))/+/-4=0的交點(diǎn)

個(gè)數(shù)為()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【詳解】因?yàn)榍€(x+y-l)jY+y2-4=0就是尤+y-1=0或/+尸=4,表示一條直線與一個(gè)圓，

(、

聯(lián)立］2x++；y-12==00，解得(［x==l0，即直線2x+y-2=0與直線x+y_l=°有一個(gè)交點(diǎn),(1,0)；此時(shí)，^/i-%-2--+--/-----4-

沒(méi)有意義.

8

%二一

2x+y—2=0x=05

聯(lián)立x“』,解得y=2或'所以直線2尤+〉-2=0與必+,2=4有兩個(gè)交點(diǎn).

6

y=-

5

所以直線2x+y-2=。與曲線(x+y-i)jY+y2-4=0的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).

故選：B

知識(shí)點(diǎn)02：直線與圓相交

記直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)為IA31的常用方法

1、幾何法(優(yōu)先推薦)

①弦心距(圓心到直線的距離)

②弦長(zhǎng)公式：AB=2〃—屋

2、代數(shù)法

直線/：Ax+By+C=0；圓Mf+/+瓜+與+尸=0

Ax+By+C=0

聯(lián)立消去“>"得到關(guān)于“了”的一元二次函數(shù)af

x2+y2+Dx+Ey+F=0+bx+c=0

弦長(zhǎng)公式：AB=y/l+k2-，(石+%2『一4x^2

【即學(xué)即練2］(2023春?江蘇南京?高二南京市江寧高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末)已知直線/：x+y-l=0：與圓

C:(x—3『+(y+4)2=5交于A8兩點(diǎn)，貝卜.

【答案】2^/3

【詳解】由圓C:(x-3)2+(y+4)2=5,可得圓心坐標(biāo)為C(3,-4),半徑為廠=店,

又由圓心C到直線/：x+y-1=0的距離為d=-"=0,

VI+1

根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，可得|=2>/4-儲(chǔ)=24-(應(yīng)了=.

故答案為：2A.

知識(shí)點(diǎn)03：直線與圓相切

1、圓的切線條數(shù)

①過(guò)圓外一點(diǎn)，可以作圓的兩條切線

②過(guò)圓上一點(diǎn)，可以作圓的一條切線

③過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)，不能作圓的切線

2、過(guò)一點(diǎn)6(%,%)的圓的切線方程(M:(x—o)2+(y—b)2=r2)

①點(diǎn)4(%,%)在圓上

步驟一：求斜率：讀出圓心M(a,3,求斜率心材，記切線斜率為左，則底“衣=-In左

步驟二：利用點(diǎn)斜式求切線(步驟一中的斜率+切點(diǎn)《(％,%))

②點(diǎn)《(%,為)在圓外

記切線斜率為左，利用點(diǎn)斜式寫成切線方程y-%=左(%-％)；在利用圓心到切線的距離d=r求出左

(注意若此時(shí)求出的k只有一個(gè)答案；那么需要另外同理切線為X=X。)

3、切線長(zhǎng)公式

記圓M:(x-a)2+(y4)2=產(chǎn)；過(guò)圓外一點(diǎn)P做圓M的切線，切點(diǎn)為利用勾股定理求PH；

【即學(xué)即練3](202