人教版九年級數(shù)學(xué)上冊重點壓軸題專項講練：圓與二次函數(shù)的綜合

專題24.4圓與二次函數(shù)的綜合

典例精析

【典例1】如圖，已知拋物線y=/+6久+c與無軸交于點力(2m一1,0)和點B(ni+2,0),與y軸交于點C,

對稱軸軸為直線乂=-1.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點P是直線AC上一動點，過點尸作PQIIy軸，交拋物線于點。，以尸為圓心，PQ為半徑作OP,

當(dāng)OP與坐標(biāo)軸相切時，求OP的半徑;

(3)直線y=fcc+3k+4(kK0)與拋物線交于M,N兩點，求AAMN面積的最小值.

【思路點撥】

(1)由題意及拋物線的對稱性知：一1-(2爪-1)=爪+2—(-1),即可求得加的值，從而用待定系數(shù)法

可求得函數(shù)解析式；

(2)首先求出直線AC的解析式為y=―乂-3,由PQ||y軸及點Q在拋物線上，可得點。的坐標(biāo)，從而求

得PQ的長度，分兩種情況討論：當(dāng)OP與x軸相切時；當(dāng)OP與y軸相切時；分別利用圓心到切線的距離等

于半徑得到方程，解方程即可求得半徑；

(3)由、=/?:+3々+4(/￡k0)知，直線過點G(—3,4),則得4G_Lx軸，且4G=4;聯(lián)立直線與拋物線的解

析式，消去y得一元二次方程，可求得M與N的橫坐標(biāo)，再由SMMN=SAAGM+SAAGN=2|x”-XNI，可得

關(guān)于左的函數(shù)關(guān)系式，即可求得面積的最小值.

【解題過程】

(1)解：拋物線y=/+匕X+c與％軸交于點A(2zn—1,0)和點8(TH+2,0),對稱軸為直線％=-1

???/、8關(guān)于對稱軸對稱，

???—1—(2m—1)=m+2—(―1),

解得：m——1,

即4(-3,0),8(1,0),

把A、5兩點坐標(biāo)代入y=/+卜％+c中，得^];，

解得：『二2

1c=—3

則所求函數(shù)解析式為y=x2+2x-3；

(2)解：對于y=%2+2%—3,令汽=0,得y=-3,

C(0,-3),

設(shè)直線AC的解析式為y=ax+d,

則有｛一箕f;。，

解得:｛評,

所以直線AC的解析式為y=-X-3,

設(shè)點P(a,—a—3),

??,PQIIy軸，點。在拋物線上，

???。的坐標(biāo)為(見。2+2。-3),

PQ—|Q2+2a—3—(—CL—3)|—|ct^+3a|；

當(dāng)。尸與％軸相切時；

\a2+3a|=\—a—3|,

即a2+3d=-CL—3,或ia2+3ci=—(—CL—3),

解得：a=—1,a=-3或a=1,a=-3

顯然a=-3時點P、。與點A重合，不合題意，則。=一1及a=l,

當(dāng)a=-1時，一a—3=-2；當(dāng)a=1時,—a—3=—4,

此時。P的半徑分別為2或4；

當(dāng)。尸與y軸相切時；

\a2+3a|=\a\,

即小+3a=—a,或小+3a=a,

解得：a=0,a=—4,或a=0,a=-2,

顯然a=0時點尸、。與點C重合，不合題意，則@=一4及。=一2,

此時OP的半徑分別為4或2；

綜上，。尸與坐標(biāo)軸相切時，。尸的半徑分別為2或4；

(3)解：如圖，

當(dāng)久=—3時，y=kX(-3)+3k+4=4,

?，.直線y=kx+3/c+4過點G(—3,4),

??.ZG1%軸，且AG=4；

聯(lián)立直線與拋物線的解析式得：F=+

消去y得：%2+(2—fc)x—3fc—7=0,

v△=(2-fc)2-4x1x(一3k-7)=(k+4)2+16>0,

._-(2-fc)+V(fc+4)2+16_-(2-fc)-7(fc+4)2+16

"XN—2，XM—2，

???XN_XM=J(/c+4)2+16,

11

S

???S^AMN-LAGM+S^AGN-Q/G-(-3-XM)+-AG-(xN+3)=2|%M-

?*,S^AMN=2d(k+4)2+16,

當(dāng)々=一4時，(/c+4)2+16有最小值16,從而ANMN的面積有最小值2x4=8.

學(xué)霸必刷

1.(22-23上?南京?階段練習(xí))已知拋物線y=a(久一3)2+§過點C(0,4),頂點為與x軸交于A、B兩

點.如圖所示，以為直徑作圓，記作。Q.

(1)試判斷點C與。。的位置關(guān)系；

(2)直線CM與。。相切嗎？請說明理由；

(3)在拋物線上是否存在一點E,能使四邊形力DEC為平行四邊形.若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由.

2.（2324上?長沙?階段練習(xí)）如圖，拋物線y=a/+匕乂+c（a,b,c是常數(shù)，aK0）的對稱軸為y軸,

且經(jīng)過（0,0）和（歷,兩點，點尸在該拋物線上運動，以點尸為圓心的OP總經(jīng)過定點4（0,2）.

（1）求mb,c的值；

（2）求證：在點尸運動的過程中，圓心產(chǎn)到x軸的距離始終小于半徑；

（3）設(shè)。尸與x軸相交于M（%i，0）,N（%2，0）（/V%2）兩點，當(dāng)aAMN是以AM為底邊的等腰三角形時,

求圓心P的縱坐標(biāo).

3.(22.23上?廣州?期末)如圖，拋物線y=+c與x軸相交于點4,B(點4在點B的左側(cè)),與y軸

42

相交于點C,點8的坐標(biāo)為(2,0),OM經(jīng)過三點，且圓心M在x軸上.

(1)求c的值.

(2)求OM的半徑.

(3)過點C作直線CD,交x軸于點。，當(dāng)直線CD與拋物線只有一個交點時直線CD是否與0M相切？若相切,

請證明；若不相切，請求出直線CD與OM的另外一個交點的坐標(biāo).

4.(2223上?廣州?期末)如圖，拋物線y=a久2久+?的圖象與x軸交于點4(一1,0)、B(3,0)與y軸交于

點C,頂點為D以力B為直徑在無軸上方畫半圓交y軸于點E,圓心為/,尸是半圓上一動點，連接DP,點

。為PD的中點.

(1)試用含a的代數(shù)式表示c；

(2)若/Q1PD恒成立，求出此時該拋物線解析式；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)點尸沿半圓從點B運動至點A時，點。的運動軌跡是什么，試求出它的路徑長.

5.(2122?全國?專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，以點P(2百，-3)為圓心的圓與x軸相交于4、B兩點，與y軸

相切于點C,拋物線y=a久2+。久+c經(jīng)過點力、B、C,頂點為。.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點M為y軸上一點，連接DM,MP,是否存在點M使得△DMP的周長最??？若存在，求出點M的坐標(biāo)及

△DMP的周長最小值；若不存在，請說明理由.

6.（2L22下?長沙?期中）如圖1,拋物線y=:/—2萬與x軸交于。、A兩點，點B為拋物線的頂點，連

接

（1）求NA08的度數(shù)；

（2）如圖2,以點A為圓心，4為半徑作。A,點M在。A上.連接OM、BM,

①當(dāng)△是以為底的等腰三角形時，求點〃的坐標(biāo)；

②如圖3,取。M的中點N,連接BN,當(dāng)點〃在。A上運動時，求線段BN長度的取值范圍.

7.（2122上?長沙?階段練習(xí)）已知拋物線y=a/+6x+3（a和）經(jīng)過A（3,0）、8（4,1）兩點，且與y

軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為。，在拋物線上是否存在點P,使A抬8的面積是△8D4面積

的2倍？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

（3）如圖（2）,連接AC,￡為線段AC上任意一點（不與A、C重合），經(jīng)過A、E、。三點的圓交直線

于點乩當(dāng)△OEF的面積取得最小值時，求面積的最小值及E點坐標(biāo).

8.(2021下.揚州.一模)如圖,拋物線與x軸交于A,B兩點，點8坐標(biāo)為(3,0)頂點尸的坐標(biāo)為(1,一4),

以AB為直徑作圓，圓心為D過P向右側(cè)作OD的切線，切點為C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)請通過計算判斷拋物線是否經(jīng)過點C；

(3)設(shè)N分別為x軸，y軸上的兩個動點，當(dāng)四邊形PNMC的周長最小時，請直接寫出M,N兩點的

坐標(biāo).

9.（2122上?宜昌?期末）如圖所示，對稱軸為直線x=1的拋物線y=/+bx+c與x軸交于力、B兩點，與

y軸交于點。（0,-2）,點P在拋物線對稱軸上并且位于x軸的下方，以點P為圓心作過4、B兩點的圓，恰好使

得弧48的長為OP周長的

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求OP的半徑和圓心P的坐標(biāo)，并判斷拋物線的頂點C與OP的位置關(guān)系；

（3）在拋物線上是否存在一點M,使得SMBM=3V3?若存在，求出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

10.(2122.全國?專題練習(xí))定義：平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，過二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點的圓，稱為該二

次函數(shù)的坐標(biāo)圓.

(1)已知點P(2,2),以P為圓心，逐為半徑作圓.請判斷。P是不是二次函數(shù)y=/-4x+3的坐標(biāo)圓,

并說明理由；

(2)已知二次函數(shù)y=/-4x+4圖像的頂點為A,坐標(biāo)圓的圓心為P,如圖1,求△PO4周長的最小值；

(3)已知二次函數(shù)yuaf-dx+d(0<a<l)圖像交x軸于點A,B,交y軸于點C,與坐標(biāo)圓的第四個交

點為。，連接尸C,PD,如圖2.若/CPD=120。，求cz的值.

11.(2223上?嘉興?期中)如圖，拋物線y=-％2+版+c與x軸相交于點4B,與y軸相交于點C,已知4C

兩點的坐標(biāo)為力(-1,0),C(0,3).點P是拋物線上第一象限內(nèi)一個動點，

(1)求拋物線的解析式，并求出8的坐標(biāo)；

(2)如圖1,y軸上有一點。(0,1),連接。P交BC于點H,若“恰好平分DP,求點P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,連接力P交BC于點M,以4M為直徑作圓交ZB、BC于點E、F,若E,F關(guān)于直線4P軸對稱,

求點E的坐標(biāo).

12.（21-22上?鄂爾多斯?階段練習(xí)）如圖，拋物線y=ax2-2x+c經(jīng)過直線y=x-3與坐標(biāo)軸的兩個交點

A、B,此拋物線與無軸的另一個交點為C,拋物線的頂點為D

（2）點P為拋物線上的一個動點，求使S“PB=S-BC的點P的坐標(biāo)；

（3）。時是過4、B、C三點的圓，連接MC、MB、BC,求劣弧CB的長.

13.(22-23下?汕頭?三模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=a/+6x—3(a*0)與x軸交于4(3,0)

0)兩點，與y軸交于點C,連接力C,

￡/V

AxBO'N_1A_x

(1)求拋物線的解析式與頂點M坐標(biāo)：

(2)如圖，在對稱軸上是否存在一點。，使=若存在，請求出點。的坐標(biāo)：若不存在，請說

明理由；

(3)如圖，若點P是拋物線上的一個動點，且N4PB=45。，請直接寫出點P的橫坐標(biāo)

(4)如圖，以4B為直徑畫交OE,Q為圓上一動點，拋物線頂點為M,連接MQ,點N為MQ的中點，請直

接寫出8N的最小值.

14.(2223上?濟(jì)寧?期末)如圖1,已知拋物線y=-久2+bx+c經(jīng)過點4(1,0),8(-5,0)兩點，且與y軸

交于點C.

(1)求6,c的值.

(2)在第二象限的拋物線上，是否存在一點P,使得APBC的面積最大？求出點尸的坐標(biāo)及APBC的面積

最大值.若不存在，請說明理由.

(3)如圖2,點E為線段BC上一個動點(不與2,C重合)，經(jīng)過B、E、。三點的圓與過點3且垂直于BC的

直線交于點R當(dāng)AOEF面積取得最小值時，求點E坐標(biāo).

15.(2223上淄博?期末)如圖，頂點M在y軸上的拋物線與直線y=x+l相交于4B兩點，且點4在x軸

上，點B的橫坐標(biāo)為2.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)連接BM.判斷點4是否在以BM為直徑的圓上，并說明理由；

(3)以點M為圓心，M4為半徑畫OM,BC與OM相切于點C.求直線BC的函數(shù)表達(dá)式.

16.(2L22上?長沙?階段練習(xí))如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=加+6無+<?與x軸分別相交于

A、8兩點，與y軸相交于點C,下表給出了這條拋物線上部分點(x,y)的坐標(biāo)值：

X-10123

y03430

(1)求出這條拋物線的解析式；

(2)如圖1,直線y=kx+l(k<0)與拋物線交于P,。兩點，交拋物線對稱軸于點T,若AQWT的面積

是APMT面積的兩倍，求女的值；

(3)如圖2,點。是第四象限內(nèi)拋物線上一動點，過點。作。軸，垂足為R△A3。的外接圓與

相交于點E.試問：線段EF的長是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由.

圖1圖2

17.（2122上?長沙?期中）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-5%+5與x軸，y軸分別交于A、C兩

點，拋物線y=/+bx+c經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為3.

（1）求拋物線解析式；

（2）若點M為無軸下方拋物線上一動點，尤軸交BC于點N,當(dāng)點M運動到某一位置時，線段

的長度最大，求此時點M的坐標(biāo)及線段的長度；

（3）如圖2,以8為圓心，2為半徑的08與x軸交于E、尸兩點（尸在E右側(cè)），若P點是08上一動點，

連接E4,以外為腰作等腰RtAP力。，使NP2D=90。（尸、A、。三點為逆時針順序），連接尸D

①將線段AB繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90°,請直接寫出B點的對應(yīng)點的坐標(biāo)；

②求如長度的取值范圍.

圖1圖2

18.(2L22?遵義?中考真題)如圖，拋物線y=ax2+3+c經(jīng)過點A(-1,0)和點C(0,3)與x軸的另一

交點為點2,點M是直線BC上一動點，過點M作軸，交拋物線于點P.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)在拋物線上是否存在一點Q,使得AQC。是等邊三角形？若存在，求出點。的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由；

(3)以M為圓心，河尸為半徑作。當(dāng)?！ㄅc坐標(biāo)軸相切時，求出。M的半徑.

專題24.4圓與二次函數(shù)的綜合

典例精析

【典例1】如圖，已知拋物線y=/+6久+c與無軸交于點力(2m一1,0)和點B(ni+2,0),與y軸交于點C,

對稱軸軸為直線乂=-1.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點P是直線AC上一動點，過點尸作PQIIy軸，交拋物線于點。，以尸為圓心，PQ為半徑作OP,

當(dāng)OP與坐標(biāo)軸相切時，求OP的半徑;

(3)直線y=fcc+3k+4(kK0)與拋物線交于M,N兩點，求AAMN面積的最小值.

【思路點撥】

(1)由題意及拋物線的對稱性知：一1-(2爪-1)=爪+2—(-1),即可求得加的值，從而用待定系數(shù)法

可求得函數(shù)解析式；

(2)首先求出直線AC的解析式為y=―乂-3,由PQ||y軸及點Q在拋物線上，可得點。的坐標(biāo)，從而求

得PQ的長度，分兩種情況討論：當(dāng)OP與x軸相切時；當(dāng)OP與y軸相切時；分別利用圓心到切線的距離等

于半徑得到方程，解方程即可求得半徑；

(3)由、=/?:+3々+4(/￡k0)知，直線過點G(—3,4),則得4G_Lx軸，且4G=4;聯(lián)立直線與拋物線的解

析式，消去y得一元二次方程，可求得M與N的橫坐標(biāo)，再由SMMN=SAAGM+SAAGN=2|x”-XNI，可得

關(guān)于左的函數(shù)關(guān)系式，即可求得面積的最小值.

【解題過程】

(1)解：拋物線y=/+匕X+c與％軸交于點A(2zn—1,0)和點8(TH+2,0),對稱軸為直線％=-1

???/、8關(guān)于對稱軸對稱，

???—1—(2m—1)=m+2—(―1),

解得：m——1,

即4(-3,0),8(1,0),

把A、5兩點坐標(biāo)代入y=/+卜％+c中，得^];，

解得：『二2

1c=—3

則所求函數(shù)解析式為y=x2+2x-3；

(2)解：對于y=%2+2%—3,令汽=0,得y=-3,

C(0,-3),

設(shè)直線AC的解析式為y=ax+d,

則有｛一箕f;。，

解得:｛評,

所以直線AC的解析式為y=-X-3,

設(shè)點P(a,—a—3),

??,PQIIy軸，點。在拋物線上，

???。的坐標(biāo)為(見。2+2。-3),

PQ—|Q2+2a—3—(—CL—3)|—|ct^+3a|；

當(dāng)。尸與％軸相切時；

\a2+3a|=\—a—3|,

即a2+3d=-CL—3,或ia2+3ci=—(—CL—3),

解得：a=—1,a=-3或a=1,a=-3

顯然a=-3時點P、。與點A重合，不合題意，則。=一1及a=l,

當(dāng)a=-1時，一a—3=-2；當(dāng)a=1時,—a—3=—4,

此時。P的半徑分別為2或4；

當(dāng)。尸與y軸相切時；

\a2+3a|=\a\,

即小+3a=—a,或小+3a=a,

解得：a=0,a=—4,或a=0,a=-2,

顯然a=0時點尸、。與點C重合，不合題意，則@=一4及。=一2,

此時OP的半徑分別為4或2；

綜上，。尸與坐標(biāo)軸相切時，。尸的半徑分別為2或4；

(3)解：如圖，

當(dāng)久=—3時，y=kX(-3)+3k+4=4,

?，.直線y=kx+3/c+4過點G(—3,4),

??.ZG1%軸，且AG=4；

聯(lián)立直線與拋物線的解析式得：F=+

消去y得：%2+(2—fc)x—3fc—7=0,

v△=(2-fc)2-4x1x(一3k-7)=(k+4)2+16>0,

._-(2-fc)+V(fc+4)2+16_-(2-fc)-7(fc+4)2+16

"XN—2，XM—2，

???XN_XM=J(/c+4)2+16,

11

S

???S^AMN-LAGM+S^AGN-Q/G-(-3-XM)+-AG-(xN+3)=2|%M-

?*,S^AMN=2d(k+4)2+16,

當(dāng)々=一4時，(/c+4)2+16有最小值16,從而ANMN的面積有最小值2x4=8.

學(xué)霸必刷

1.(22-23上?南京?階段練習(xí))已知拋物線y=a(久一3)2+§過點C(0,4),頂點為與x軸交于A、B兩

點.如圖所示，以為直徑作圓，記作。Q.

(1)試判斷點C與。。的位置關(guān)系；

(2)直線CM與。。相切嗎？請說明理由；

(3)在拋物線上是否存在一點E,能使四邊形力DEC為平行四邊形.若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由.

【思路點撥】

(1)求出CD的長，并且CD,。。比較，如果相等，說明點C在圓上；

(2)先用兩點間距離公式求出線段的長，在用勾股定理的逆定理判斷是直角三角形，最后由垂直可判斷相

切；

(3)先嘗試作出四邊形力DEC,再證明一組對邊平行但不相等，最后說明不存在.

【解題過程】

(1):拋物線y=a(x-3)2+彳過點C(0,4)

25

???4=9a+—

4

???拋物線的解析式為y=—3尸+個

44

*.*當(dāng)y=0時，方程0=--(x—3)2+交的解為％=8或%=—2

44

???/(—2,0),8(8,0)

J.AB=10,40=5,。0=3

CD=70c2+。。2=V32+42=5

...CD=。。=5

故點c在圓上

(2)如圖，連接CM,CD,MD

代入頂點坐標(biāo)公式，可得：加(3,彳)

利用兩點間距離公式可得：MC2=^,MD2=^,CD2=25

1626

\'MC2+CD2=MD2

：.△MCD為直角三角形

CD1MC

直線CW與。。相切

(3)不存在，理由如下：

如圖，過點C作CEII4B,交拋物線于點E

當(dāng)y=4時，方程4=-抖一3尸+爭勺解為x=0或x=6

；.C(0,4),E(0,6)

CE=6

CE豐AD

.?.在拋物線上不存在一點E,能使四邊形ADEC為平行四邊形

2.（2324上.長沙.階段練習(xí)）如圖，拋物線y=a/+bx+c（a,b,c是常數(shù)，aK0）的對稱軸為y軸,

且經(jīng)過（0,0）和（份,2）兩點，點尸在該拋物線上運動，以點尸為圓心的OP總經(jīng)過定點4（0,2）.

（2）求證：在點尸運動的過程中，圓心P到x軸的距離始終小于半徑；

（3）設(shè)OP與x軸相交于M（ji，0）,Ng0）01<亞）兩點，當(dāng)△4MN是以4M為底邊的等腰三角形時，

求圓心P的縱坐標(biāo).

【思路點撥】

（1）拋物線y=a/+打+c（a,b,c是常數(shù)，a#0）的對稱軸為y軸，且經(jīng)過（0,0）和（正,5兩點，

2

可得拋物線的一般式為：y=a/,則看=a（V^）,進(jìn)而即可求解；

（2）設(shè)尸（7H,jm2^,OP的半徑丁=+4>即可證明；

（3）設(shè)P（n,"2）,pa=+4,作PH1MN于H,MH=NH=J》。+4-（/了=2,故MN=4,

由M（n—2,0）,N（n+2,0）,則4M=J（n—2尸+4,4N=+2尸+4當(dāng)AN=MN時,

V（n+2）2+4=4,即可求解；

【解題過程】

⑴解：：拋物線丫二收+塊+^^6,c是常數(shù)，。力0）的對稱軸為y軸，且經(jīng)過（0,0）和（返2）兩

點，

二?拋物線的一般式為：y=a/,

工］=a（Va）2,

解得：a=±],

:圖象開口向上,

?1

??CL——

4

...拋物線解析式為:廣沁

故a=b=c=0；

4

2

（2）設(shè)P（zn,^m^,OP的半徑r=Jm2+?7n2—2）,

化簡得：r=J*+4〉*

點P在運動過程中，圓心P到x軸的距離始終小于半徑;

（3）設(shè)P（n，1話）,

*：PA=—n4+4,

\16

作PH1MN于H,

又二PH=工層,

4

則MH=NH=+4_（"2'=2,

故MN=4,

.".M（n-2,0）,N（n+2,0）,

又：力（0,2）,

—2.+4,AN=J（n+2++4

當(dāng)AN=MN時，J（n+2/+4=4,

解得：n=-2+2V3,貝日小=4±2V3；

綜上所述，尸的縱坐標(biāo)為：4+2舊或4一2次.

3.(2223上?廣州期末)如圖，拋物線y=—；/-卜+c與x軸相交于點4,B(點4在點B的左側(cè)),與y軸

42

相交于點C,點B的坐標(biāo)為(2,0),OM經(jīng)過4,B,C三點，且圓心用在力軸上.

(1)求c的值.

(2)求OM的半徑.

(3)過點C作直線CD,交x軸于點。，當(dāng)直線CD與拋物線只有一個交點時直線CD是否與0M相切？若相切,

請證明；若不相切，請求出直線CD與OM的另外一個交點的坐標(biāo).

【思路點撥】

(1)將點8(2,0)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求拋物線解析式即可；

(2)令y=0,可得—；/一|%+4=0,求解即可確定2點坐標(biāo)，然后確定OM的半徑即可；

(3)直線CD與拋物線只有一個交點，則方程y=-1%+4=for+4有兩個相等的實數(shù)根，由4=

(4/c+6)2-4x1x0=0可求出k的值，進(jìn)而求解即可.

【解題過程】

(1)解：:拋物線y=一|%+c經(jīng)過點8(2,0),

—x2—x2+c=0,

42

解得c=4,

；?c的值為4；

(2)在y=一一|工+4中，

令y=0,可得—工/--%+4=0,

42

解得：X]=-8,x2=2,

???4(-8,0),

=2-(-8)=10,

...(DM的半徑為T=5；

(3)直線CD與OM相交.

在了=—工——%x+4中，令x=0,得y=4,

42

AC(0,4).

設(shè)直線CD解析式為丫=kx+b,將點C(0,4)代入，可得b=4,

直線CD解析式為y=fcx+4,

?.?直線CD與拋物線只有一個交點，

，方程y=-^x2-|x+4=fcx+4有兩個相等的實數(shù)根，

整理，得/+(4k+6)%=0,

.".△=(4/c+6)2-4x1x0=0,

解得k=—￡

...直線CD解析式為y=—|久+4,

設(shè)直線CD與。M的另外一個交點的坐標(biāo)為(%,-|x+4),

VM(-3,0),(DM的半徑為5,

貝l|(x+3)2+(-|x+4)2=52,

解得x=0(舍去)或x=|^,

將X=胃代入到y(tǒng)=-|%+4,可得y=-1x11+4=11，

二直線CD與OM的另外一個交點的坐標(biāo)為借瀉).

4.(22-23上?廣州?期末)如圖，拋物線y=a/+.+。的圖象與x軸交于點4(-1,0)、B(3,0)與y軸交于

點C,頂點為D以48為直徑在x軸上方畫半圓交y軸于點E,圓心為/,尸是半圓上一動點，連接DP,點

。為PD的中點.

y

(l)試用含a的代數(shù)式表示c；

(2)若/QIPD恒成立，求出此時該拋物線解析式；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)點尸沿半圓從點8運動至點A時，點Q的運動軌跡是什么，試求出它的路徑長.

【思路點撥】

(1)根據(jù)點點4(—1,0)、8(3,0)可得該函數(shù)的解析式為曠=。0+1)0-3),展開括號即可進(jìn)行解答；

(2)根據(jù)點。為PD的中點，且/QLPD,可得點。在。/上，進(jìn)而得出點。的坐標(biāo)，即可求解；

(3)根據(jù)題意得N/QD=90。，則點。在以“為直徑的圓上運動，求出點尸與點A和點2重合時點。的坐

標(biāo)，進(jìn)而得出QiQ2b軸，QiQz=2,則點。在以￡?/中點為圓心的半圓上運動，再根據(jù)圓的周長公式求解即

可.

【解題過程】

(1)解：:拋物線y=a/+bx+c的圖象與x軸交于點4(一1,0)、8(3,0),

...該函數(shù)的解析式為y=a(x+1)(%—3)=ax2—2ax—3a,

??c=3a.

(2)解:連接”,

?.?尸是半圓上一點，點。為PD的中點，且/Q1PD,

...點。在O/上,

.-.D/=-11XB-1|x[3-(-l)]=2,

??.該拋物線的對稱軸為直線％=芳=1，

A0(1,-2),

把。(L—2)代入y=ax2—2ax—3a得：—2=a—2Q—3a,

解得：a=5

該拋物線解析式為：y=ixz-x-|；

(3)解：；IQ1PD,

:/QD=90°,

...點。在以川為直徑的圓上運動，

VX(-l,0)>B(3,0),D(l,-2),

...當(dāng)點尸與點8重合時，Q1(祟,言)，即Q1(2,-1),

當(dāng)點尸與點A重合時，<?2(與即。2(0,-1)，

??QiQzll”軸，Q1Q2=2,

...點。在以￡)/中點為圓心的半圓上運動，

點。的路徑長為：|X27T=7T.

5.(2122.全國.專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，以點P(2舊3)為圓心的圓與式軸相交于4B兩點，與y軸

相切于點C,拋物線y=a/+6%+。經(jīng)過點人、B、C,頂點為。.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點M為y軸上一點，連接DM,MP,是否存在點M使得△OMP的周長最??？若存在，求出點M的坐標(biāo)及

△DMP的周長最小值；若不存在，請說明理由.

【思路點撥】

(1)如圖①，連接24,PB,PC,設(shè)拋物線對稱軸交支軸于點G,先求出4(遮,0),B(3V3,0),C(0,-3),

把這三點代入y=ax2+bx+c求解即可；

(2)如圖②，作點P關(guān)于y軸的對稱點P,連接PO與y軸交于點M,連接PM,此時△DMP的周長為PM+MD+

DP=P'M+MD+DP=P'D+DP,即當(dāng)點D,M,P，三點共線時，4DMP的周長取得最小值，最小值為P'D+

DP的長，先求出ADMP的周長最小值，然后求出直線DP'的解析式，即可求出點M.

【解題過程】

(1)如圖①，連接P4PB,PC,設(shè)拋物線對稱軸交x軸于點G,

圖①

由題意得24=PB=PC=2V3,PG=3.

AG=BG=J(2V3)2-32=V3.

力(百,0),B(3A/3,0),C(0,-3).

_1

3。++c=0,"-3’

把點Z(b,0),5(373,0),。(0,-3)代入、=。/+力%+。中，得｛27。+37^+。=0,解得"=更

；?拋物線的解析式為y=-1/+#》一3；

(2)存在.如圖②，作點P關(guān)于y軸的對稱點P,連接P'。與y軸交于點“，連接PM,此時AOMP的周長為

PM+MD+DP=P'M+MD+DP=P'D+DP,即當(dāng)點D,M,P，三點共線時，/DMP的周長取得最小值,

最小值為P'D+DP的長，

圖②

?.?點P（2班,-3）與點口關(guān)于y軸對稱，

.?.點P'的坐標(biāo)為（-2百，-3）,PP'=4V3,

易得。

DP=4.

P'D=JPP'2+DP2=8,

???P'D+DP=12.

.?.ADMP的周長最小值為12；

設(shè)直線DP'的解析式為y=kx+b1,

將P（-28，-3）、D（2百,1）代入，

得1—2遍上+b]=-3,

守2V3fc+瓦=1.

解得｛卜一3,

瓦=—1

???直線DP'的解析式為y=y%-1,

令汽=0,則y=-1,

6.（21」22下?長沙?期中）如圖1,拋物線丫=；乂2一2%與％軸交于0、A兩點，點B為拋物線的頂點，連

4

接

（1）求NAOB的度數(shù);

（2）如圖2,以點A為圓心，4為半徑作。A,點M在0A上.連接OM、BM,

①當(dāng)△08M是以O(shè)B為底的等腰三角形時，求點M的坐標(biāo)；

②如圖3,取0M的中點N,連接BN,當(dāng)點M在。A上運動時，求線段BN長度的取值范圍.

【思路點撥】

(1)將函數(shù)解析式化為頂點式，得到點2的坐標(biāo)，作于則。8=27/=4,即可得到/AOB的

度數(shù)；

(2)①先求出A點坐標(biāo).作08的垂直平分線交。A于Mi、M2兩點，由A”=4=OH=B“，得到坐標(biāo)為

(4,0).連接4M2，由乙做2從4=Z0HC=45。，AH=AM2=4,得到坐標(biāo)為(8,4)；

②延長OB至點。，使BD=OB,則點D坐標(biāo)為(8,-8),連接根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到BN=^MD,

當(dāng)過點A時，長度達(dá)到最大值，當(dāng)點M在點E處時，有最小值，由此解決問題.

【解題過程】

(1):丫=]/—2;(:：]。:-4y一4,點8為拋物線頂點，

.,.點2的坐標(biāo)為(4,-4).

作BH1.OA于H,則OH=BH=4,

：.ZAOB=45°.

(2)①-2x=0,解得/=0,x2=8,

A點坐標(biāo)為(8,0).

作OB的垂直平分線交。A于Mi、M2兩點，

半徑為4,AH=4,

.?.點H在。A上，此時

二點H與點％重合，

坐標(biāo)為（4,0）.

連接AM?,

乙

VZ.M2HA=OHC=45°,AH=AM2=4,

：.^HAM2=90°,則M2坐標(biāo)為（8,4）,

綜上，點M的坐標(biāo)為（4,0）或（8,4）.

②延長OB至點。，使8。=。8,則點O坐標(biāo)為（8,—8）,

連接

:點N為中點，

BN=-MD.

2

如圖，當(dāng)MZ）過點A時，長度達(dá)到最大值，

當(dāng)點M在點E處時，有最小值，

?點A、D橫坐標(biāo)相同，

此時軸，

；.M￡）=8+4=12,OE=8-4=4,

.".4<MD<12,

：.2<BN<6.

7.（2L22上?長沙?階段練習(xí)）己知拋物線yud+Zw+B（存0）經(jīng)過A（3,0）、B（4,1）兩點，且與y

軸交于點c.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為在拋物線上是否存在點P,使△的面積是△BD4面積

的2倍？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

(3)如圖(2),連接AC,E為線段AC上任意一點(不與A、C重合)，經(jīng)過A、E、。三點的圓交直線

A8于點尸，當(dāng)△。跖的面積取得最小值時，求面積的最小值及E點坐標(biāo).

【思路點撥】

(1)根據(jù)待定系數(shù)法求解即可;

(2)根據(jù)拋物線的解析式求出點。的坐標(biāo)，取點E(l,0),作EP〃人2交拋物線于點尸，得到直線EP

為y=x-l,聯(lián)立方程組求解即可;

(3)作于。，得到。4=OC=3,AD=BD=1,證明所是△AE。的外接圓的直徑，得到AE。/

是等腰直角三角形，當(dāng)。E最小時，的面積最小，計算即可;

【解題過程】

(1)將點A(3,0),B(4,1)代入可得:

9a+36+35,解得：

14a+4b+3—1

故函數(shù)解析式為y=|x2-|x+3；

(2):拋物線與x軸的交點的縱坐標(biāo)為0,

—|x+3=0,解得：xj=3f短=2,

???點。的坐標(biāo)為(2,0),取點E(1,0),作￡尸〃A3交拋物線于點尸,

：Er>=A￡)=l,.?.此時八PAB的面積是八DAB的面積的兩倍,

,/直線AB解析式為y=尤-3,

.??直線EP為y=x-1,

7-V177+V17

y=x—1X=

22

由15,o解得?

y=-xz2——％+35-V175+V17

-22

22

5-V17-7+V175+V17

...點P坐標(biāo)(目至，xZ

222

(3)如圖2中，作3D_LO4于。.

VA(3,0),C(0,3),B(4,1),

：.OA=OC=3,AD=BD=\,

：.ZOAC=ZBAD=45°,

9

：ZOAF=ZBAD=45°f

：.ZEAF=90°,

???EF是八AEO的外接圓的直徑,

???NEOF=9。。,

：.ZEFO=ZEAO=45°9

△EO尸是等腰直角三角形，

當(dāng)OE最小時，△EOF的面積最小,

：OE_LAC時，?！曜钚。琌C=OA,

:.CE=AE,O￡=-AC=—,

22

|),SAEOF=^X^=l

.?.當(dāng)△。斯的面積取得最小值時，面積的最小值為J,E點坐標(biāo)《，

422

8.(20?21下?lián)P州.一模)如圖，拋物線與x軸交于A,2兩點，點B坐標(biāo)為(3,0)頂點尸的坐標(biāo)為(1,—4),

以AB為直徑作圓，圓心為。，過尸向右側(cè)作OD的切線，切點為C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)請通過計算判斷拋物線是否經(jīng)過點C；

(3)設(shè)M,N分別為x軸，y軸上的兩個動點，當(dāng)四邊形PNMC的周長最小時，請直接寫出M,N兩點的

坐標(biāo).

【思路點撥】

(1)可設(shè)頂點式，將頂點為4(1,-4),點B(3,0)代入求出拋物線的解析式；

(2)首先求出。點坐標(biāo)，再利用CO等于圓。半徑為;48=2,由cosNPOC=*=；=；,得出C點坐標(biāo)

2PD42

即可，進(jìn)而判斷拋物線是否經(jīng)過點C即可；

(3)作C關(guān)于x軸對稱點。，尸關(guān)于y軸對稱點P',連接P'C',與x軸，y軸交于"、N點，此時四邊形

PNMC周長最小，求出直線P'C'的解析式，求出圖象與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)即可.

【解題過程】

(1)解:設(shè)拋物線的解析式為y=a(x—無/+上把h=1,k=—4,代入得；y=a(x—1)2—4,

把％=3,y=0代入y=a(x-l)2-4,解得a=1,

拋物線的解析式為：y=(x-I)2-4,即：y=%2-2%-3；

(2)解:如圖,

作拋物線的對稱軸，

2

把y=0代入y=x-2x-3解得X1=-1,x2=3,

.，?A點坐標(biāo)為(-1,0),

：.AB=|3-(-1)|=4,

.,.OD=2-1=1,

：.D點坐標(biāo)為(1,0),而拋物線的對稱軸為直線x=1,

...點。在直線x=1上，

過點C作CE1PD,軸，垂足分別為E,F,連接。C,

：PC是的切線，

：.PC1DC,在RtAPC。中

.?.cos乙PDC=—CP=-2=-1

PD42

:.乙PDC=60°,

解直角三角形C￡)E,可得OE=1,CE=痘,

...(7點坐標(biāo)為(百+1,-1),

把x—y/3+1代入y—x2—2x—3得：y=-1

.?.點C在拋物線上;

(3)解：如圖2,作點C關(guān)于x軸的對稱點。，點P關(guān)于y軸的對稱點口，連接P。，分別交x軸，y軸于

M,N兩點,

此時四邊形PNMC的周長最小，

???（7點坐標(biāo)為（8+1,-1）,

點坐標(biāo)為（g+1,1）,

的坐標(biāo)為（1,一4）,

，「'的坐標(biāo)為（一1,一4）,

代入y=kx+b中，［（8+l）k+b=l,

（—k+b=—4

則直線PC的解析式為：y=(-5V3+10)x-5V3+6,

當(dāng)％=0,y=-5^3+6,

故N點坐標(biāo)為：(0,-58+6),

當(dāng)y=0,貝!JO=(-5V3+10)x-5V3+6,

故M點坐標(biāo)為：（社產(chǎn),0）.

9.（2122上?宜昌?期末）如圖所示，對稱軸為直線久=1的拋物線y=/+bx+c與x軸交于力、B兩點，與

y軸交于點。（0,-2）,點P在拋物線對稱軸上并且位于x軸的下方，以點P為圓心作過4B兩點的圓，恰好使

得弧的長為OP周長的

(1)求該拋物線的解析式；

(2)求OP的半徑和圓心P的坐標(biāo)，并判斷拋物線的頂點C與OP的位置關(guān)系；

(3)在拋物線上是否存在一點M,使得SMBM=3V3?若存在，求出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

【思路點撥】

(1)根據(jù)二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，根據(jù)對稱軸為x=l,得—/=—￡=1,求出。=一2,把。(0,-2)代

入了二爐+板+的求得C=-2,即可求出拋物線的解析式.

(2)根據(jù)二次函數(shù)的解析式推出4(1一8,0),B(l+V3,o).從而得到。B=g+1.根據(jù)對稱軸為x=1,

得到。E=l.SF=V3.連接P4PB.由勾股定理可得PE=1,PB=2,求出0P的半徑為2,P的坐標(biāo)

為(1,—1).根據(jù)拋物線y=/_2%-2=(x-I/-3,求出拋物線y=%2-2x-2的頂點坐標(biāo)為(1,一3).得

到PC=2.所以推出點C在OP上

(3)設(shè)點時的坐標(biāo)為(4。2-2(1-2),根據(jù)三角形的面積公式推出3*2百*|(12-2。一2|=3百，得到

|a2-2a—2|=3,①當(dāng)a?—2a—2=3時，②當(dāng)a?—2a—2=—3時，求出a的值，即可求得M點的坐

標(biāo).

【解題